抛物线及其标准方程(公开课)

x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一种顶点、 一种焦点、一条准线; 4.抛物线旳离心率是拟定旳,为1;
y
P(x, y)
o F( p ,0) x
2
补充（1）通径： 经过焦点且垂直对称轴旳直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点旳线段叫做抛物线旳通径。
2
⑵有两个公共点
k 0 △ 16(2k 2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
k
1)
0
k
1,
或k 1 2
综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当 1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
解:因焦点在y轴旳负半轴上,且p=4,故其原则 方程为:x 2= - 8y
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线旳原则方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线旳距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
4
O
x
当焦点在x轴旳负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
∴抛物3线旳原则方程为x2
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
思索题、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点

(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对照、概括、转化等方面的能力．(三)学科渗透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．1．重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加之“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决办法：向学生加以说明． )提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思量两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或者开口向下两种情形．引导学生进一步思量：如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那末就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更普通意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当0＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那末当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29，把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺摆布滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线 l 上)．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才干使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启示辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案 1： (由第一组同学完成，请一优等生演板． )以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30)．设定点 F(p，0)，动点 M 的坐标为(x，y)，过 M 作MD⊥y 轴于 D，抛物线的集合为： p={M| |MF|= |MD|}．化简后得： y2=2px-p2(p＞0)．方案 2： (由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31)．设动点 M 的坐标为(x，y)，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0)，过 M 作MD⊥l 于 D，抛物线的集合为：p={M| |MF|= |MD|}．化简得： y2=2px+p2(p＞0)．方案 3： (由第三、四组同学完成，请一优等生演板． )取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(图 2-32)．抛物线上的点 M(x，y)到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p={M||MF|=d}．化简后得： y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会浮现四种不同的情形，四种情形中 P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0，-2)，求它的标准方程．方程是 x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以订正．答案是： (1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或者准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定了；若抛物线的焦点坐标或者准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、布置作业到准线的距离是多少？点 M 的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y； (2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0； (4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6；(2)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6，-3)．4．求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3． (1)y2=24x，y2=-2x(2)x2=-12y(图略)4．分别令 x=0，y=0 得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为 x2=-12y 或者 y2=16x六、板书设计。

• 抛物线方程的求法
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物 线上的点 M(3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值．
[解析] 解法一：设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，则焦点
Fp2，0，
m2＝6p
由题设可得
m2＋3－p22＝5
解得pm＝＝42 6 或pm＝＝4－2 6 .
• 与抛物线有关的最值问题
已知定点 M(a,0)，试在抛物线 y2＝2px(p>0)上求 一点 N，使得|MN|最小．
• [分析] 在抛物线上任取一点N，再利用两点 间距离公式表示出|MN|.
[解析] 设抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 N(x0，y0)，则有 y20＝ 2px0，因为 x0≥0，且|MN|2＝(x0－a)2＋y20＝x20－2ax0＋a2＋2px0 ＝x20－(2a－2p)x0＋a2＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap.
• 如图，抛物线顶点在原点，圆x2＋y2－4x＝0 的圆心恰是抛物线的焦点．
• (1)求抛物线的方程；
• (2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点， 它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点， 求|AB|＋|CD|.
• [解析] (1)圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，知 圆心坐标为(2,0)，即抛物线的焦点为F(2,0)， ∴p＝4.
• [点评] 求抛物线标准方程的方法：
• ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参 数p.
• ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根 据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确 定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx 或x2＝my.
• 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准 方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛 物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的 图象及开口方向确定．

1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.