2021高考数学理科概率大题专项练习(尖子生必做)(含离散型随机变量)

高考理科概率综合大题练习（概率与函数，概率与数列结合）1．某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习提供参考依据．成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级（等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分）．某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为A 的考生有3人．（1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为A 的人数；（2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为X ，求()P X EX ≥．（3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”．规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是12，35，25，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果）2．某实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η.(i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值. 参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10,ln 5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=3．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ； (2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．4．如图，直角坐标系中，圆的方程为221x y +=，1,0A ，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，1,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()1P A O =，()112P B =，()112P C =．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量n X ，求4X 的分布列和数学期望；（3）记()n n P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，其中1nn n a b c ++=．证明：数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求2020a .5．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.6．为普及科学知识，提高全民科学参与度，某科技馆举办了游戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种游戏方案，具体规则如下：玩一次甲游戏，若绿灯闪亮，获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分（即获得-20分），绿灯，黄灯及红灯闪亮的概率分别为16，13，12；玩一次乙游戏，若出现音乐，则获得80分；若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为()01p p <<.每位顾客能参与两次甲游戏或两次乙游戏（两次游戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一）且每次游戏互不影响.若两次游戏后获得的分数为正，则获得奖品；若获得的分数为负，则没有奖品. ⑴若14p =，试问顾客选择哪种游戏更容易获得奖品？请说明理由. ⑵当p 在什么范围内取值时，顾客参与两次乙游戏后取得的平均分更高？7．甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得1-分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为m 和n ，在一轮闯关中，甲的得分记为X .（1）求X 的分布列；（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.(0,1,2,3,4,5,6)=i P i 表示“甲的累积得分为i 时，最终认为甲获胜”的概率，则06110,1,0-+==-+=i i k P P xP yP zP ，其中(1)==-x P X ，(0)==y P X ，(1)==z P X ，令0.5,0.6==m n .证明：点()113,,2αβ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭i i M P N P 的中点横坐标为54i P ； （3）在第（2）问的条件下求2P ，并尝试解释游戏规则的公平性.8．某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++> 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：市场情形概率 价格p 与产量q 的函数关系式 好0.4 1643p q =- 中0.4 1013p q =- 差 0.2 704p q =-设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式；（II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．9.某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或者黄花，已知该植物第一代开红花的概率都是12 ，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是13 ，开黄花的概率是23 ；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是35 ，开黄花的概率是25 ，记第n 代开红花的概率是p n ，第n 代开黄花的概率是q n（1）求p 2（2）证明数列{p n −919}为等比数列（n ∈N ∗）（3）第n （n ≥2）代开哪种颜色花的概率更大？。

高三数学总复习概率大题集锦1. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。

你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。

……4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。

因此乙抽到的牌的数字大3的概率为;32……………………8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种 ………………11分甲胜的概率p 1=125，乙获胜的概率为,1272=p ,127125<∴此游戏不公平………………………………12分2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率； （2）求甲队获得冠军的概率； 解：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M ，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,依题意得20736.04.06.0)(434=⨯⨯=C M P ．（2）设甲队获得冠军为事件E ，则E 包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．∴ 710208.04.06.04.06.04.06.06.0)(343624354344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=C C C E P ．3. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率4416;5525P =⨯=…………………… 6分 （Ⅱ）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为A 、B 、C ．1()5P A =， 414()5525P B =⨯=， 24116()()55125P C =⨯= 所以，取球次数不超过3次的概率是()()()()P A B C P A P B P C ++=++＝15＋425＋16125=61125． 答：取球次数不超过3次的概率是61125．…………………………………………12分4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为6的概率；（2）两数之积是6的倍数的概率；（3）以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x, y)在直线 x －y=3的下方区域的概率（1）两数之和为6的概率为365 （2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A ，则由下面的列表可知，事件A 中含有其中的15个等可能基本事件， 所以P(A)=3615=125, 两数之积是6的倍数的概率为1256. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是p 1，乙射击一次中靶概率是p 2，已知 1p 1 , 1p 2是方程x 2－5x + 6 = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 54 ．(1) 求 p 1、p 2的值；(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？解析：(1) 由题意可知 ξ甲 ~ B(5, p 1)，∴D ξ甲 = 5p 1 (1－p 1) = 54 ⇒ p 12－p 1 + 14=0 ⇒ p 1 = 12 ．2分；又 1p 1 ·1p 2 = 6，∴ p 2 = 13． 3分(2) 两类情况：共击中3次概率C 22 ( 12 ) 2 ( 12 ) 0×C 12 ( 13 ) 1 ( 23 ) 1 + C 12 ( 12 ) 1 ( 12)1×C 22 ( 13 ) 2 ( 13 ) 0 = 16；共击中4次概率C 22 ( 12 ) 2 ( 12 ) 0×C 22 ( 13 ) 2 ( 23 ) 0 = 136 ． 6分所求概率为 16 + 136 = 736． 8分(3) 设事件A, B 分别表示甲、乙能击中．∵ A, B 互相独立（9分），∴ P (⎺A ·⎺B ) = P (⎺A )P (⎺B ) = (1－P (A ) )(1－P (B ) ) = (1－p 1)(1－p 2) = 12×23= 13（11分），∴ 1－P (⎺A ·⎺B ) =23为所求概率． 12分 评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明． 7. 有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为53；乙第一次在距离8米处投篮命中率为43，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差； （Ⅱ）求乙投篮命中的概率.解：（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即)53,3(~B ξ，…………2分则393,55E np ξ==⨯= ………………………………4分 32183.5525D npq ξ==⨯⨯=…………………………6分（Ⅱ） 记乙三次投篮依次为事件A 、B 、C ，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a ，则由题意得23(),4884a P A a ==∴=……………………………………7分 21()123a P B ∴==…………………………8分 .16316)(2==a C P ……………………9分故乙投篮命中的概率为)()()()()()()()()(C P B P A P B P A P A P C B A P B A P A P P ⋅⋅+⋅+=++=.96831633241314143=⨯⨯+⨯+=………………………………12分 8. 某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。

专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即σ1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。

对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。

2021年高考数学一轮复习 11.4 离散型随机变量及分布列课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是( )A.C120C410C530B.C220C310C530C.C320C210C530D.C420C110C530解析：X服从超几何分布，P(X＝2)＝C220C310 C530.答案：B2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为( )A．1 B.12 C.13D.15解析：设X的分布列为：即“X＝0”表示试验失败，“X p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝1 3 .答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2155解析：X＝4表示取2个旧的，1个新的，∴P (X ＝4)＝C 23·C 19C 312＝27220.答案：C4．随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 解析：∵P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56. 答案：D 二、填空题5．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其表如下：X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100.x 50.100.1y0.20解析：由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y )＋0.20＝1， 得10x ＋y ＝25，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,56．随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 x 3 Pp 1p 2p 3若p 1，p 2，p 3． 解析：由题意p 2＝p 1＋d ，p 3＝p 1＋2d .则p 1＋p 2＋p 3＝3p 1＋3d ＝1，∴p 1＝13－d .又0≤p 1≤1，∴0≤13－d ≤1，即－23≤d ≤13.同理，由0≤p 3≤1，得－13≤d ≤23，∴－13≤d ≤13.答案：－13≤d ≤137．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.解析：由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110∴P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－22C 35＝5.答案：45三、解答题8．(xx·北京卷节选)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列．解：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝Ø(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4 13，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4 13，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13.所以X的分布列为：X 01 2P 5134134139.(xx·江西卷节选)戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a ，再由乙猜甲写的数字，记为b ，已知a ，b ∈{0,1,2,3,4,5}．若|a －b |≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 为甲乙两人一次竞猜成功，则P (A )＝6＋5×2C 16·C 16＝49，则甲乙两人获奖的概率为P ＝1－P (0)－P (1)＝1－C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫490⎝ ⎛⎭⎪⎫593－C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫491⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝304729.(2)由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数X 取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝C 12·C 12·C 22C 46＝415，P (X ＝1)＝C 12C 12C 12＋C 22C 46＝23，P (X ＝2)＝C 22C 46＝115， 分布列如下：X 0 1 2 P4152311511.(xx·江西宜春模拟)支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数 0 1 2 3 人数5102015(1)从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P 1；(2)从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解：(1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,5)上有且只有一个零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f 4<0f 5>0即：⎩⎪⎨⎪⎧16－4η－1<025－5η－1>0，解得：154<η<245所以，η＝4当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245. (2)从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， 于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27， P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249 P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049， P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P 2722491049349ξ的数学期望：E(ξ)＝0×7＋1×49＋2×49＋3×49＝49.12．(xx·安徽省江南十校高三开学第一考)某校高二(4)班组织学生报名参加国学社和摄影社，已知报名的每位学生至少报了一个社团，其中报名参加国学社的学生有2人，参加摄影社团的学生有5人，现从中选2人．设ξ为选出的学生中既报名参加国学社又报名参加摄影社的人数，且P(ξ>0)＝7 10.(1)求高二(4)班报名参加社团的学生人数；(2)写出ξ的分布列并计算E(ξ)．解：设既报名参加国学社又报名参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为(7－x)人．(1)∵P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝7 10，∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310，∴7－2x6－2x7－x6－x＝310，解得x＝2.故高二(4)班参加社团的学生有5人．(2)P(ξ＝0)＝310，P(ξ＝1)＝C12·C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110.所以ξ的分布列为：ξ01 2P31035110∴E(ξ)＝0×310＋1×35＋2×10＝5.[热点预测]13．(xx·北京朝阳期末考试)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70) a第3组[70,80)200.40第4组[80,90)0.08第5组[90,100]2b合计(1)写出a，b，x(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．解：(1)由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004，(2)由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C26＝15种情况．设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)＝C24＋C22C26＝715.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715.(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C24C26＝615＝25，P(ξ＝1)＝C14C12C26＝815，P(ξ＝2)＝C22C26＝115.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×25＋1×815＋2×15＝3.d35326 89FE 觾24694 6076 恶23717 5CA5 岥34517 86D5 蛕34071 8517 蔗30052 7564 畤G32200 7DC8 緈35410 8A52 詒}yz25418 634A 捊。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考试题分项解析数学〔理科〕专题12概率〔老师〕一、选择题:1.(2021年高考卷理科7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是〔〕A.49B.13C.29D.193.(2021年高考卷理科6)如下列图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，那么点P恰好取自阴影局部的概率为〔〕4.(2021年高考卷理科10)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB 的长，那么该矩形面积小于32cm2的概率为〔〕(A)16(B)13(C)23(D)455.(2021年高考卷理科8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。

在扇形OAB内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是()A.21π- B.112π-.C.2π D.1π【答案】A【解析】设以OA，OB为直径作两个半圆的半径为r,那么扇形OAB的半径为2r,那么左下方的阴影区域面积为2221112()(1)422r r r ππ-=-,右上方阴影区域面积为2144r π⋅-212r π- 214r π-222111[()]242r r r π--=2212r r π-,所以阴影局部的面积为222r r π-,又因为扇形OAB 的面积为22144r r ππ⋅=,所以阴影局部的概率为2222r r r ππ-=21π-,应选A. 【考点定位】本小题考察几何概型,对文科来说,几何概型与古典概型是概率局部的重点内容，是高考的热点内容，年年必考，纯熟这两种模型是解答好本类题目的关键.二、填空题:1.〔2021年高考卷6〕现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是．【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数一共有取法10种，其中小于8的取法一共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53.【考点定位】此题主要考察古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清根本领件数和根本领件总数，此题要注意审题，“一次随机取两个数〞，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.2．(2021年高考卷理科11)三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人选择的工程完全一样的概率是〔结果用最简分数表示〕.3.(2021年高考全国卷理科15)某个部件由三个元件按以下列图方式连接而成，元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常互相HY ，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为4.(2021年高考卷理科15)函数f 〔x 〕=sin(x ωϕ+)的导函数()y f x '=的局部图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.〔1〕假设6πϕ=，点P 的坐标为〔033〕，那么ω=; 〔2〕假设在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，那么该点在△ABC 内的概率为.5.(2021年高考卷理科15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，那么在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为〔用数字答题〕.三、解答题:1．〔2021年高考卷22〕〔本小题总分值是10分〕ξ=；当两条棱平行时，ξ设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=．的值是两条棱之间的间隔；当两条棱异面时，1Pξ=；〔1〕求概率(0)Eξ．〔2〕求ξ的分布列，并求其数学期望()2.(2021年高考卷理科17)〔本小题总分值是13分〕某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

离散型随机变量问题一、单选题（共9题；共18分）1.（2021·贵阳二模）设随机变量，满足：，，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 72.（2020·大连模拟）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知，则A. B. C. D.3.（2018·榆社模拟）若随机变量服从二项分布，则（）A. B.C. D.4.（2021·深圳模拟）已知随机变量，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.（2021·天河模拟）在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A. 0.16B. 0.24C. 0.32D. 0.486.（2020高二上·黄冈期末）设随机变量服从正态分布，函数没有零点的概率是，则等于（）A. 1B. 2C. 4D. 不能确定7.（2020·青岛模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额（单位：元）服从正态分布，则该市某居民手机支付的消费额在内的概率为（）附：随机变量服从正态分布，则，，．A. 0.9759B. 0.84C. 0.8185D. 0.47728.（2020·哈尔滨模拟）下列说法正确的是（）A. 命题“ ，”的否定形式是“ ，”B. 若平面，，，满足，则C. 随机变量服从正态分布（），若，则D. 设是实数，“ ”是“ ”的充分不必要条件9.（2020·桂林模拟）已知随机变量X服从正态分布，，（）A. B. C. D.二、多选题（共2题；共6分）10.（2020·枣庄模拟）下列结论正确的有（）A. 若随机变量，，则B. 若，则C. 已知回归直线方程为，且，，则D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2211.（2020·济南模拟）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（）．附：随机变量服从正态分布，则，，A. 该市学生数学成绩的期望为100B. 该市学生数学成绩的标准差为100C. 该市学生数学成绩及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等三、填空题（共3题；共3分）12.（2021·八省联考）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量________次（若，则）．13.（2021·淄博零模）已知随机变量，若，则________．14.（2020·淄博模拟）设随机变量，若实数a满足，则a的值是________四、解答题（共12题；共120分）15.（2021·韶关模拟）在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：得分（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.16.（2020·济宁模拟）过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.17.（2020·沈阳模拟）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）18.（2020·南昌模拟）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望.19.（2020·江西模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标A．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：（1）求这500份血液样品指标A值的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作）；（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标的值X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．附：参考数据与公式：，，；若，则① ；② ；③．，，，．20.（2020·漯河模拟）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入（单位：千元）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得=6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？21.（2020·龙岩模拟）交强险是车主必须为机动车购买的险种，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.每年交强险最终保险费计算方法是：交强险最终保险费，其中a为交强险基础保险费，A为与道路交通事故相联系的浮动比率，同时满足多个浮动因素的，按照向上浮动或者向下浮动比率的高者计算.按照我国《机动车交通事故责任强制保险基础费率表》的规定：普通6座以下私家车的交强险基础保险费a为950元，交强险费率浮动因素及比率如下表：上一个年度未发生有责任道路交通事故上两个年度未发生有责任道路交通事故上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及以上有责任道路交通事故上一个年度发生有责任道路交通死亡事故某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计结果如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题.（1）记X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望（数学期望值保留到个位数字）；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将经销商购车后下一年的交强险最终保险费高于交强险基础保险费a的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损3000元，购进一辆非事故车盈利5000元.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆是事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望.22.（2020·南京模拟）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．23.（2020·厦门模拟）一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得-10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．24.（2020·莆田模拟）为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.参考公式：，其中.参考数据：0.102.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（1）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关；（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.25.（2020·池州模拟）某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：，，，，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差，以频率值作为概率估计值．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分及众数；（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间内的个数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）：① ，② ，③ ，其中．评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？26.（2020·辽宁模拟）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有天，从这天中任取两天，设为这两天中客流量超过7万人的天数.求的分布列和期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】由题意可得：，解得：，则：，故答案为：A。

统计与概率1.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下： （I ）求频数直方图中的值；（II ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数； （III ）从成绩在[50，70）的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[60，70）中的概率.解：（1）由(237+62)101a a a a a +++⨯=，解得0.005a =（2）成绩落在[50，60）学生人数为20(20.00510)2⨯⨯⨯=成绩落在[50，60）学生人数为20(30.00510)3⨯⨯⨯=（3）记成绩落在[50，60）中的2人为12,A A ，成绩落在[60，70）中的3人为123,,B B B ，则从成绩在[50，70）的学生中人选2人的基本事件共有10个：其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：121323(,),(,)(,)B B B B B B 故所求概率为310P =2．从一批草莓中，随机抽取n 个，其重量（单位：克）的频率分布表如下： 分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 频数（个） 10 50 x 15 已知从n 个草莓中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的草莓的概率为．（1）求出n ，x 的值；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率． 解：（1）依题意可得，，解得得x=20，n=95；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，则重量在[80，85）的个数为；记为x ，y ；在[95，100）的个数为；记为a，b，c；从抽出的5个草莓中，任取2个共有（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10种情况．其中符合“重量在[80，85）和[95，100）中各有一个”的情况共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6种．设事件A表示“抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有一个”，则．故从抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有一个的概率为．3．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）m p[25，30）20.05合计M1（1）求出表中M、p及图中a的值；（2）试估计他们参加社区服务的平均次数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．解：（1）由题可知=0.25，=n，=p，=0.05．又10+25+m+2=M，解得M=40，n=0.625，m=3，p=0.075．则[15，20）组的频率与组距之比a为0.125．（4分）（2）参加社区服务的平均次数为：次（8分）（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b．从该5名学生中取出2人的取法有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共10种，至少1人在[20，25）内的情况有共9种，∴至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．4.在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率分布直方图.(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及期望.解(1)因为A，B，C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C镇应选取80×40200＝16(人)，所以这40人中有16人来自C镇，因为x＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为3 5，显然X 可取0,1,2,3，且X ～B 3(3,)5，则 P (X ＝0)＝033238()()55125C =， P (X ＝1)＝12132336()()55125C =， P (X ＝2)＝21232354()()55125C =， P (X ＝3)＝30332327()()55125C =. 所以X 的分布列为所以期望E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.5.山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]]]，[81，90][]，[71，80][]，[61，70][，[51，60]，[41，50][]，[31，40][]，[21，30][八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,169). (1)求物理原始成绩在区间(47,86]的人数；(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[[61，80]]的人数，求X 的分布列和期望.(附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)解 (1)因为物理原始成绩ξ～N (60,132)， 所以P (47<ξ≤86)＝P (47<ξ≤60)＋P (60<ξ≤86)＝12P (60－13<ξ≤60＋13)＋12P (60－2×13<ξ≤60＋2×13)≈0.682 72＋0.954 52≈0.818 6.所以物理原始成绩在(47,86]的人数为2 000×0.818 6≈1 637. (2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[[61，80]]内的概率为25.所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且X ～B 2(3,)5， 所以P(X ＝0)＝0332327()()55125C =, P(X ＝1)＝12132354()()55125C =, P(X ＝2)＝21232336()()55125C =， P(X ＝3)＝3033238()()55125C =. 所以X 的分布列为所以期望E (X )＝3×25＝65.6.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45,50)，第二组[50,55)[)，…，第六组[[70,75)]，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率.(1)求频率分布直方图中a ，b ，c 的值；(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[55,65)的人数，求X 的分布列和期望； (3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P (μ－2σ≤ξ<μ＋2σ)>0.954 5，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由.解 (1)由图(2)知，100名样本中体重低于50公斤的有2人， 可得体重低于50公斤的频率为2100＝0.02，则a ＝0.025＝0.004，在[50,55)上有13人，该组的频率为0.13， 则b ＝0.135＝0.026，所以2c ＝1－2×0.02－2×0.135＝0.14，即c ＝0.07.(2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[55,65)的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X 服从二项分布B (3,0.7)，X 的所有可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 030.700.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 130.710.32＝0.189， P (X ＝2)＝C 230.720.31＝0.441， P (X ＝3)＝C 330.730.30＝0.343，所以X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝2.1. (3)由N (60,25)得σ＝5，由图(2)知P (μ－2σ≤ξ<μ＋2σ)＝P (50≤ξ<70) ＝0.96>0.954 5.所以可以认为该校学生的体重是正常的.7.2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. (1)求该样本的中位数和方差；(2)若把成绩不低于85分(含85分)的作品认为是优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.解 (1)样本数据按从小到大的顺序排列为59,67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为81＋822＝81.5，平均数为x ＝59＋67＋73＋76＋78＋81＋82＋84＋85＋86＋93＋9612＝80，方差为s 2＝112×(212＋132＋72＋42＋22＋12＋22＋42＋52＋62＋132＋162)＝1 18612≈98.83.(2)设抽到优秀作品的个数为X ， 则X 的可能值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 38C 312＝56220＝1455，P (X ＝1)＝C 28C 14C 312＝28×4220＝2855，P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝8×6220＝1255，P (X ＝3)＝C 34C 312＝4220＝155，所以X 的分布列为期望为E (X )＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1.8.某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与期望. 解 (1)令事件A 表示“3个人来自于两个不同专业”， A 1表示“3个人来自于同一个专业”， A 2表示“3个人来自于三个不同专业”，P (A 1)＝C 33＋C 35C 310＝11120，P (A 2)＝C 12C 13C 15C 310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率 P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－11120－30120＝79120. (2)随机变量X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝35120＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝63120＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝21120＝740，P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120，∴X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.9.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2 135亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X .①求随机变量X 的分布列； ②求X 的期望和方差. 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：则K 2的观测值k ＝200×(1 400－400)2150×50×180×20≈7.407.由于7.407<7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为710，且X 的取值可以是0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝030337()()1010C =＝271 000， P (X ＝1)＝121337()()1010C =＝1891 000， P (X ＝2)＝212337()()1010C =＝4411 000， P (X ＝3)＝303337()()1010C =＝3431 000. 故X 的分布列为②由于X ～B 7(3,)10， 则E (X )＝3×710＝2110， D (X )＝3×710×7(1)10-＝63100.10.(Ⅰ)根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y x 与的线性相关性强弱(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()niix x yy r --∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑， 解：(Ⅰ)20161x y ==，，()()3.60.753.6056niix x yy r --===>∑， ∴y x 与线性相关性很强. …………………………5分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014ii i ii xx y y bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. 当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A 地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分。

2021年高考数学尖子生培优专题11 概率统计一、单选题（共8题；共16分）1.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率，故答案为：C【分析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可2.为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间上，分组为，，，，，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间上的频率为，所以评分在区间上的客户有（人），即对该公司的服务质量不满意的客户有15人.故答案为：A【分析】由频率分布直方图可求出评分在区间上的频率，可得评分在区间上的客户人数.3.甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：，分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1，S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( )A. = ，S 1>S2B. > ，S1>S2C. < ，S1>S2D. > ，S1<S2【答案】B【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】= =1.5，= =1.2，∴>由表可知，甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，故S1>S2，故答案为：B【分析】利用平均数和方差的定义分别求出甲乙两台机床同时生产一种零件的平均数和方差即可得到答案。

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高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对,则“星队"得1分；如果两人都没猜对,则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;（II）“星队"两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人,利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2，3的人数分别为3,3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．(Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，,，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表：（注:所有小球仅颜色有区别）红球个3210数实际付半78原款价折折价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下,双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．(Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ,求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试,录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分"人选中选取8人，再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？(Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列,并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下:测试指标［70，76)［76，82）[82，88）［88,94）[94,100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元；生产一件元件B,若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(Ⅰ）的前提下，(ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位:克），重量分组区间为[5，15],（15，25］，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图），（1）求a的值，并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率)11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为;（1）求该小组中女生的人数；（2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：海洋学院医学院经济学院学院机械工程学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目,根据市场分析知道：一年后可能获利10％，可能损失10％,可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，,；如果投资乙项目，一年后可能获利20％，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金）,求ξ的概率分布及Eξ；(2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取,然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．(1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X)；（2)求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走"，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表)．健步走步数（千卡）16171819消耗能量（卡路里）40444852(Ⅰ)求小王这8天“健步走"步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80,90），[90，100),[100，110)，［110,120］（1)在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率:（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90,100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100)内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷,设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1)求这批产品通过检验的概率;(2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课"的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X)．【解答】解：(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分)(2）由题意得,．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分)2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对,则“星队”得3分；如果只有一个人猜对,则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动,求：(I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解:（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个",“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个"三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为:0，1，2，3，4，6,则P（X=0）==,P(X=1）=2×［+］=，P(X=2)=+++=，P（X=3)=2×=，P（X=4）=2×［+]=P(X=6）==故X的分布列如下图所示：X 012 3 4 6P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；（2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次;共有+=15种，∴事件A发生概率:P==．（Ⅱ）X的可能取值为0,1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为:X012P∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是,…（3分)则．…（6分）(Ⅱ） X的可能取值为0，1,2，3，4,…(7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为,且每个人下电梯互不影响,所以，．…(9分）X01234P…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E 所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望．【解答】解:（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A,B，C,则P（A)=，P（B）=，P(C）=．依题意,集成电路E需要维修有两种情形:①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P(）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B)+P(C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，）,而X=100ξ，P（X=100ξ)=P(ξ=k）=••，k=0,1，2．X的分布列为:X010200P∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表：（注:所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：(Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A)==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P （）P （)=1﹣（1﹣）2=．…(5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256,320．P（X=160）=，P（X=224）==，P(X=256）==，P（X=320)==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240,∴第二种方案比较划算．…(12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手,而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3,4，5所以ξ的分布列为ξ345P数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位:分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门"工作；180分以下者到“乙部门"工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作"的人数，写出X的分布列,并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门"人选10人，“乙部门”人选10人,所以选中的“甲部门”人选有10×=4人,“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中",则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P(X=3)==．因此,X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下:测试指标[70，76）［76，82）［82，88）[88，94）[94,100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下,（ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望;(ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P(X=45）==；P（X=30)==;P（X=﹣15)==．∴随机变量X的分布列为：EX=．(ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有5﹣n件．依题意得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以 n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15］,（15,25］，（25,35]，（35，45］，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1)求a的值,并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在［5，15］内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24。

概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。

以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。

练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。

求取出红球的概率。

解答：总共有8个球，其中5个是红球。

取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。

现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。

从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。

因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。

现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。

解答：这是一个二项分布问题。

次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。

使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。

练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。

投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。

每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。

2021年高考数学 10.7 离散型随机变量及其分布列练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )【解析】选C.P(X=1)=2P(X=0),且P(X=1)+P(X=0)=1.所以P(X=0)=.2.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便.下列概率中等于的是( )A.P(X=4)B.P(X≤4)C.P(X=6)D.P(X≤6)【解析】选A.X服从超几何分布,则=P(X=4).3.(xx·哈尔滨模拟)离散型随机变量X可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又E(X)=3,则3a+b=()【解析】选B.依题意知:E(X)=1×(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=a+b+4a+2b+9a+3b+16a+4b=30a+10b=3,所以3a+b=.4.在100张奖券中,有4张有奖,从这100张奖券中任意抽取2张,则2张都中奖的概率为()【解析】选C.P(X=2)=5.已知随机变量X的概率分布列如下表:则P(X=10)=()【解题提示】利用离散型随机变量的分布列的性质表示m,再利用等比数列的前n项和求得m.【解析】选C.由题易知:P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=10)=1二、填空题(每小题5分,共15分)6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是.【解析】X=-1,甲抢到一题但答错了.X=0,甲没抢到题,或甲抢到2题,回答时一对一错.X=1时,甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且一错两对,X=2时,甲抢到2题均答对.X=3时,甲抢到3题均答对.答案:-1,0,1,2,3【加固训练】设某运动员投篮投中的概率为P=0.3.则一次投篮时投中次数的分布列是.【解析】此分布列为两点分布列.答案:7.设随机变量ξ的分布列为=ak(k=1,2,3,4,5),则常数a的值为,P=.【解析】随机变量ξ的分布列为由a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.=3a+4a+5a=12a=.答案:【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:随机变量ξ的分布列为由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=,答案:【加固训练】若离散型随机变量X的分布列为则常数c=,P(X=1)=.【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知:答案:8.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则的值为. 【解析】由×a=1.知a=1.所以a=.故()()1515155 P(X)P X1P X2. 2224646 <<==+==⨯+⨯=答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.为适应公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》,某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从10个备选测试项目中随机抽取4个,只有选中的4个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8;乙对其中8个测试项目完全有合格把握,而对另2个测试项目根本不会.(1)求甲恰有2个测试项目合格的概率.(2)记乙的测试项目合格数为ξ,求ξ的分布列.【解析】(1)设甲的测试项目的合格数为X,则X～B(4,0.8),则甲恰有2个测试项目合格的概率为P(X=2)=(0.8)2(1-0.8)2=.(2)ξ的可能取值为2,3,4,且服从超几何分布,所以ξ的分布列为:10.将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球,随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个球,ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数.(1)求1号球恰好落入1号盒子的概率.(2)求ξ的分布列.【解析】(1)设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”,所以1号球恰好落入1号盒子的概率为.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.所以随机变量ξ的分布列为:【加固训练】1.一个袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回去,直到取到白球为止,求取球次数的分布列.【解析】设取球次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,【方法技巧】概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现,其解题的一般步骤为:第一步:理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散型随机变量的所有可能值;第二步:利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;第三步:画出随机变量的分布列;第四步:明确规范表述结论.2.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数.(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【解析】(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则P(A)=得到x=5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,P(X=k)=,k=0,1,2,3.于是可得其分布列为【方法技巧】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.(20分钟40分)1.(5分)(xx·淄博模拟)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.【解析】“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=答案:【一题多解】本题还可用以下方法求解:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.答案:2.(5分)若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中x1<x2,则P(x1≤X≤x2)等于.【解析】由分布列性质可有:P(x1≤X≤x2)=P(X≤x2)+P(X≥x1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).答案:1-(α+β)3.(5分)如图所示,A、B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)=.【解析】由已知得X的取值为7,8,9,10.所以X的概率分布列为所以P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)答案:4.(12分)(xx·贵阳模拟)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0,当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P(ξ=0).(2)求ξ的分布列.【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(ξ=0)=(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,所以随机变量ξ的分布列是5.(13分)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一人,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.(1)试确定a,b的值.(2)从40人中任意抽取3人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率.(3)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)由题中表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A,则P(A)=,解得a=6.所以b=40-(32+a)=40-38=2.(2)由题中表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人.方法一:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B,则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件,所以P(B)=1-P()=方法二:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉能力超常的学生”为事件B,所以P(B)=(3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P(ξ=k)=(k=0,1,2,3),ξ的可能取值为0,1,2,3,因为P(ξ=0)=所以ξ的分布列为【加固训练】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率.(2)求随机变量X的分布列.【解析】(1)因为x,y可能的取值为1,2,3,所以|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.因为有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P(X=3)=.故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为.(2)X的所有取值为0,1,2,3.因为X=0时,只有x=2,y=2这一种情况,X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.则随机变量X的分布列为25233 6291 抑26573 67CD 柍0S: H23363 5B43 孃=23001 59D9 姙a29252 7244 牄26488 6778 杸21215 52DF 募z。

专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将T 2,T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X 的概率分布列和数学期望.7.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C 解析 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328. 3.B 解析 由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B . 4.1532 解析 T 2,T 3并联电路正常工作概率为1-1-34×(1-34)=1516,故电路不发生故障的概率为12×1516=1532.5.2572 解析 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P (A )=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P (X=0)=C 30C 74C 104=16,P (X=1)=C 31C 73C 104=12, P (X=2)=C 32C 72C 104=310,P (X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ,则P (A )=35×C 32×(12)2×(1-12)1+C 33×(12)3×(1-12)0=310. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ,X 可取0,1,2,3.则X~B (3,310),P (X=0)=C 30×(310)0×(1-310)3=3431 000, P (X=1)=C 31×(310)1×(1-310)2=4411 000, P (X=2)=C 32×(310)2×(1-310)1=1891 000, P (X=3)=C 33×(310)3×(1-310)0=271 000, 随机变量X 的分布列如下:E (X )=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910.[或E (X )=3×310=910]。

专题15概率与统计（解答题）1．【2021·全国高考真题（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯=，=，y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.2．【2021·北京高考真题】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()E Y E X >．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()E Y ，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C C P C ==，不在同一组的概率为19599P =，则()()49529502530=999999E Y E X =⨯+⨯>.3．【2021·全国高考真题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．4．【2021·全国高考真题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)8(0ii x x =-=∑，2021)9000(i iy y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数)((iinx y r x y --=∑1.414≈．【解析】（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20220.943(iix y y x r --=∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．7．【2020年高考全国III 卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．8．【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO [0,50](50,150](150,475]PM 2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．9.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313((1)()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．12．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k k P X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== ．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y ===== (3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．13．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为X012P 0.240.520.24故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为X1-01P (1)αβ-(1)(1)αβαβ+--(1)αβ-（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+ 877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=．4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。

高三数学专项训练：概率解答题（理科）1．某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：（Ⅰ）从甲．抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙．抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）2．某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计分数段（分）频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.3．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。

如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望。

2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。

3、某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。

4、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.5、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。

另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．7、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下表：(1)求a 的值和ξ的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率．8、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。