7.2正弦、余弦(2)

课题：§7.2正弦、余弦（一）主备：杨守德审核：周飞班级：姓名：使用时间：［学习目标］1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。

［学习重难点］在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

［学习过程］一、出示目标二、自主学习1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？20m13m2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

（根据是______________________________________。

）1、正弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.2、余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________________________________________________.3、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。

（2）观察与思考：从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？____________________________________________________________。

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点1、余弦函数：y=cosx ，x ∈ R ，y ∈ [-1,1] ，需掌握余弦函数的五点法画图。

（0，1） （π/2，0） （π，-1） （3π/2，0） （2π，1）★因为cosx=sin( x +π/2)，所以，余弦曲线可以由正弦曲线向左平移π/2后得到。

2、余弦函数的最小正周期是2π。

①对于y=Acos （ωx+φ），ω≠0，T= ωπ；②形如y=x Acos ω的周期，常结合图像 来解决，通常，周期是减半的，即T= ω 。

3、余弦函数f(x)=cosx 是定义在R 上的 偶 函数，关于y 轴 对称。

余弦曲线是轴对称图形且对称轴不唯一，对称轴：直线x=k π，k ∈Z ；还是中心对称图形且对称中心不唯一，对称中心为：（k π+π/2，0），k ∈Z 。

4、余弦函数f(x)=cosx 的严格增区间是[2k π-π，2k π]，k ∈Z ；严格减区间是[2k π，2k π+π]，k ∈Z 。

在x=2k π，k ∈Z 时，有f(x)max = 1 ；在x=2k π+π，k ∈Z 时，有f(x)min = -1 ；值域为 [-1,1] ，称为有界性 。

5、求值域典例1：求y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域。

思路：①换元，设t=sinx+cosx ，由辅助角公式可知t ∈[-2,2]，②改写式子，y=0.5(t 2-1)+t ，并通过配方求出值域。

y=0.5(t+1)2-1，y ∈[-1，0.5+2]。

6、求值域典例2：求y=2cosx 1sinx 5++的值域。

思路：①化为整式，利用辅助角公式将sinx 和cosx 合并。

去分母得：5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx-ycosx =2y-1 ⇒5y 2+sin(x+φ)=2y-1。

②利用正弦函数的有界性构造不等式，从而求出值域。

7.2 正弦、余弦教学目标1.使学生了解正、余弦定义的理论基础是相似三角形；掌握正弦、余弦的定义，并能初步应用解答一些简单的三角函数值问题；2.使学生理解正、余弦的特殊角的三角函数值和取值范围的推导过程，并会用它们去解 答一些基本问题；3.使学生理解从特殊到一般是认识客观事物的基本方法。

教学重点和难点正、余弦定义及其应用是重点；而它的抽象概括过程是难点。

教学过程设计一、从生产实际中提出学习本章的重要性例如，修建某扬水站……(板书本章和本节课题)二、正弦和余弦定义的教学过程1.从特殊到一般抽象、概括出正、余弦定义。

(教师打出投影片，每打一个，边讲边问)从图6-1到图6-4我们发现以下两点：(一边讲解，一边启发学生说出结论) 在Rt △ABC 中，(1)当锐角∠A 不变时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值不变；(2)当锐角∠A 发生变化时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值也随着发生变化。

由此我们给出定义在△ABC 中，∠C ＝90°，如图6-5，那么BCAB(锐角A的对边与斜边的比)叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A类似地，ABAC (锐角A 的邻边与斜边的比)叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝斜边的邻边A 2.对符号的理解.sin 的全文为Sine,国际音标为［sain ］,cos 的全文为cosine,国际音标为［kausain ］.sinA 是一个完整的记号，不是Sin ·A,记号里省略了角的符号“∠”，第一个字母“S ”要小写.3.运用标准图形，变式图形和复合图形进一步熟悉正、余弦的定义.(图6-6)sinA ＝ sin Ｄ＝ sin Ｅ＝ ＝cos Ａ＝ cos Ｄ＝ cos Ｅ＝ ＝sin Ｂ＝ sin Ｅ＝ sin ∠ＧＦＥ＝cos Ｂ＝ cos Ｅ＝ cos ∠ＧＦＥ＝4.标准图形简单应用，变式练习.例1 △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10.(图6-7)求：(1)∠B 的正弦；(2)∠B 的余弦；(3)∠A 的正弦；(4)∠A 的余弦；练习1(标准图形)(课本P.7.1)例2 △ABC 中，∠C ＝90°，sin Ａ＝32.求：(1)cosA ； (2)sinB ； (3)cosC.例3 (复合图形)如图6-8，△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D.BC ＝12，AC ＝5.求：sinA,sin ∠BCD,cos ∠ACD.如图6-9，∠A 为钝角，AB ＝10，AC ＝17，sinB ＝4 5.求BC.(提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ，BC ＝21)三、特殊角的正弦和余弦三角函数值的教学过程1.求30°，45°，60°的正弦和余弦值.例4 根据定义求30°和60°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-10)，得到解答)sin30°＝ cos30°＝sin60°＝ cos30°＝例 5 根据定义求出45°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-11，得到解答)sin45°＝cos45°＝2.记忆方法.(1)根据图形记忆；(图6-10和图6-11)(2)列表记忆.3.应用举例，变式练习.例6 求值：(1)sin30°＋sin60°；(2)︒-︒-︒30cos 160sin 45sin 2 答：(1)231+； (2)231--. 四、引导学生根据定义发现正弦和余弦的取值范围1.取值范围：如图6-12，sinA ＝ cosA ＝sinB ＝ cosB ＝你能发现sinA ，cosA 的取值范围吗?在学生回答的基础上，教师总结出，当∠A 为锐角时：0＜sinA ＜1， 0＜cosA ＜1.(因为sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，而直角三角形斜边大于直角边.)2.应用举例，变式练习.例7 ∠A 为锐角，下列正确的是（）A.2)1(sin -A ＝sinA －1B.cosA ＝1.02C.sinA ＝－0.34D.｜cosA ＋1｜＝cosA ＋1例8 化简：(1)｜1－cosA ｜－｜sinA －1｜；(A 为锐角)(2)｜cos α｜＋2)cos 1(α-.( α不锐角)解(1)：因为A 为锐角，所以0〈cosA 〈1,0〈sinA 〈1,则1－cosA 〉0，sinA －1〈0.故原式＝(1－cosA)－(1－sinA)＝sinA －cosA.(2)因为α为锐角，所以0＜cos α＜1，故原式＝cos α＋｜1－cos α｜＝cosA ＋1－cos α＝1.五、小结1.教师先提出以下问题：这两节课学习了哪些内容?哪些重要的思维方法?应注意哪些问题?2.在学生回答的基础上，教师总结出：在学习了三个主要内容(2)学习了从特殊到一般认识客观规律的基本方法.(3)应注意sinA 是一个整体符号，是比值，它随着∠A 的变化而变化.六、作业1.已知△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5.求sinA,cosA 的值.2.已知△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝34.求sinA,sinB,cosB.3.计算：(1)sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°；(2)1－sin260°＋cos260°.选作：已 知∠A ，∠B 均为锐角，并且sinA 是6x 2－11X ＋3＝0的根，cosB 是方程6X2－X －2＝0的根.求sin 2A ＋COS 2B 的值.(答案：95) 板书设计(略)课堂教学设计说明这份教案为两课时，讲了三个内容：正弦和余弦的定义及其两条性质.对于定义的教学，采取从特殊到一般的认识方法，让学生理解概念的形成过程，提高学 生的抽象、概括问题的能力.对于两条性质的教学，也是尽可能让学生去猜想和发现，教师再归纳总结，其目的也是培养学生发现问题的能力.为了让学生理解和掌握上述三个内容，每一个内容之后，尽可能采取标准图形、变式图形(或变式练习)、复合图形和构造基本图形相结合的方式进行讲解和练习，以达到巩固知识的目的.这份教案是根据大纲和教材要求设计的，如果学生的学习成绩较好，还可以适当增加一些难度较大的题.由于这份教案是两课时，所以板书设计由老师们自定.。

《正弦、余弦》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是巩固学生对正弦、余弦概念的理解，掌握其基本计算方法，并能通过实际问题加深对正弦、余弦应用的认识，提高其解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 基础概念练习：- 让学生根据所给角度画出对应的正弦、余弦函数图像，并标注出相应的数值。

- 准备一些关于正弦、余弦定义及性质的填空题，如“正弦值在什么范围内？”等。

2. 计算题：- 给出一定数量的直角三角形，要求学生利用正弦或余弦求出未知的边长或角度。

- 设计一些涉及正弦、余弦混合运算的题目，如“已知一个角的正弦值和另一个角的余弦值，求其他未知量”。

3. 应用题：- 结合实际生活场景，设计一些与正弦、余弦相关的应用问题，如“计算旗杆的高度”等。

- 通过图像变化等问题，引导学生运用正弦、余弦的变化规律解决实际问题。

三、作业要求1. 完成所有题目并标注解题步骤。

特别是计算题和应用题，应要求学生明确每一步的计算依据。

2. 学生应正确理解正弦、余弦在直角三角形中的意义，并能够熟练运用其进行计算。

3. 鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高应用能力。

对于应用题，学生应详细描述解题思路和过程。

4. 作业应在规定时间内独立完成，严禁抄袭。

对于抄袭现象，教师应给予相应的处罚。

四、作业评价1. 评价标准：以准确性、完整性和创新性为评价标准，对学生的作业进行综合评价。

2. 批改方式：教师批改后给出分数和评语，评语应具体指出学生的优点和不足。

3. 反馈方式：将作业中出现的共性问题进行汇总，并在课堂上进行讲解；对个别学生的问题，通过个别辅导或面批的方式进行反馈。

五、作业反馈1. 对学生作业中出现的错误进行及时纠正，并指导学生改正。

2. 对学生的优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极完成作业。

3. 根据学生作业情况，调整后续教学计划，确保教学效果。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是使学生能够理解正弦、余弦的基本概念，掌握正弦、余弦的函数图像及性质，能够运用正弦、余弦解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力和思维水平。

§7.2 正弦、余弦(2) 教案备课时间: 主备人:班级___________________姓名________________________学号__________ 【课前复习】:【新课导入】:如图,在Rt △ABC 中, ∠C=90º, AC=12, BC=5. 求: sinA 、cosA 、sinB 、cosB 的值.你发现sinA 与cosB 、 cosA 与sinB 的值有什么关系吗? 结论：【典型例题】: 1. 比较大小2．已知α为锐角:90A B ∠+∠=︒若sinA =cosB cosA =sinB（1） sin α= ，则cos α=______,tan α=______,（2） cos α= ，则sin α=______,tan α=______,（3）tan α= ，则sin α=______,cos α=______,3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,CD=8，AC=10 (1)求锐角A 、B 的正弦、余弦: (2)求AB 、BD 的长4．如图,在△ABC 中, ∠C=90º,D 是BC 的中点,且∠ADC=45º,AD=2,求tanB 的值.课后练习: 【知识要点】:在Rt △ABC 中，若∠A+∠B=90゜，则sinA=cosB, cosA=sinB1212【基础演练】:1．在R t△ABC中,如果各边长度都扩大3倍,则锐角A的各个三角函数值 ( )A.不变化B.扩大3倍C.缩小13D.缩小3倍2.在R t△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA, 则∠A的度数是( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º3.在R t△ABC中,∠C=90º,sinA=12,则BC:AC:AB等于 ( )A. 1:2:5B. 1:12D. 1:2:4. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )A.C DA CB.D BC BC.C BABD.C DC B5．如图,P是∠α的边OA上一点, 且P点坐标为(3,4), 则αsin= _________,αcos=_____________.6. 在R t△ABC中,∠B=90º,AC=15,sinC=35,则BC=_______________7．比较大小:(用>,<或=表示)①sin40゜cos40゜②sin80゜cos30゜③sin45゜ cos45゜8.菱形的两条对角线长分别是8和6,较短的一条对角线与菱形的一边的夹角为α,则sinα=______________,cosα=_______________,tanα=_________________9．已知α为锐角，（1）αsin=23，则αcos=_________ tanα=_________________（2）cosα=23，则sinα=_________ tanα=_________________（3）tanα=23，则sinα=_________ cosα=_________________10.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90゜，CD⊥AB 于D已知AC=5，BC=2 ，求sin∠ACD的值.DB ADC B A【拓展与延伸】:11．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且 4cos 5α=, AB = 4, 则AD的长为____________________. 12．已知α为锐角且αsin =35则sin(90)α︒-等于（ ）A ．925B ．35C.45D ．162513．如图,AB 表示地面上某一斜坡的坡面,BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度, ∠A=14º, AB=240m.（友情提示：sin14º=0.24, cos14º=0.97, tan14º=0.25） 求点B 相对于水平地面的高度(精确到1m).CBAABCDE。

九年级数学下册7.2.2正弦、余弦值的求法同步练习（共2套苏科版）[7.2 第2课时正弦、余弦的求法]一、选择题．在Rt△ABc中，∠c＝90°，AB＝5，Ac＝2，则cosA的值为链接听课例1归纳总结A.215B.52c.212D.25．已知在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosB＝12，则tanA的值为链接听课例3归纳总结A．2B.32c.3D.33．XX?常州模拟在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝35，则sinB的值为链接听课例3归纳总结A.54B.45c.53D.35．如图－27－1，直径为10的⊙A经过点c和点o，B是y 轴右侧⊙A优弧上一点，则∠oBc的余弦值为图－27－1A.12B.34c.32D.45．XX?菏泽如图－27－2，△ABc与△A′B′c′都是等腰三角形，且AB＝Ac＝5，A′B′＝A′c′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABc与△A′B′c′的面积比为2－27图－A．25∶9B．5∶3c.5∶3D．55∶33二、填空题．如图－27－3，在Rt△ABc中，∠AcB＝90°，cD⊥AB，垂足为D.若Ac＝5，Bc＝2，则sin∠AcD的值为__________．图－27－3．如图－27－4，△ABc的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．．比较大小：sin24°________cos66°，cos15°________tan55°.链接听课例3归纳总结图－27－4．如图－27－5，在△ABc中，AB＝Ac＝5，Bc＝8.若∠BPc ＝12∠BAc，则tan∠BPc＝________．图－27－50．如图－27－6，AB是半圆的直径，点o为圆心，oA＝5，弦Ac＝8，oD⊥Ac，垂足为E，交半圆o于点D，连接BE.设∠BEc＝α，则sinα的值为________．图－27－61．XX?泰安如图－27－7，在矩形ABcD中，AB＝6，Bc＝10，将矩形ABcD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点c，则sin∠ABE的值为________．7－27图－三、解答题．分别求出图－27－8中∠A，∠B的正弦、余弦和正切值.链接听课例1归纳总结图－27－83．如图－27－9，在△ABc中，cD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，cD＝6，tanA＝32，求sinB＋cosB的值．图－27－914．在△ABc中，若∠c＝90°，cosA＝1213，求sinB的值；如图－27－10，在正方形ABcD中，是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠Ec的值．图－27－1015．如图－27－11所示，在△ABc中，AD是Bc边上的高，E为边Ac的中点，Bc＝14，AD＝12，sinB＝45.求：线段Dc的长；tan∠EDc的值．图－27－11数形结合思想学习了正切值、正弦值、余弦值的求法后，我们知道tan30°＝33，tan60°＝3，tan45°＝1，那么tan67.5°的值是多少？如图－27－12，在Rt△ABc中，∠c＝90°，cB＝cA，延长cB到点D，使BD＝AB，则∠cAD＝67.5°.设Ac＝，则Bc ＝，BD＝AB＝2，∴cD＝，∴tan∠cAD＝tan67.5°＝cDAc＝＝2＋1，即tan67.5°＝2＋1.请模仿以上解法，求sin15°的值．图－27－12详解详析[课堂达标]．[解析]D 在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝AcAB＝25.．[解析]D 在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosB＝12，∴设Bc＝x，则AB＝2x.根据勾股定理求出Ac＝3x，∴tanA＝BcAc ＝33.．[解析]D ∵在Rt△ABc中，∠c＝90°，cosA＝35，∴sinB＝cosA＝35.故选D.．[解析]c 本题是易错题．易错误地认为∠oBc的余弦值等于BoBc.产生错误的原因就是没有正确理解三角函数的定义．可以连接cA并延长，交x轴于点D.根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得cD是圆的直径，并且∠D＝∠oBc，所以cos∠oBc＝cosD＝5310＝32.．[解析]A 如图，过点A作AD⊥Bc于点D，过点A′作A′D′⊥B′c′于点D′.∵△ABc与△A′B′c′都是等腰三角形，∴∠B＝∠c，∠B′＝∠c′，Bc＝2BD，B′c′＝2B′D′，∴AD＝AB?sinB，′＝c′B，cosB?2AB＝2BD＝Bc′，sinB′?B′A′＝D′A．2B′D′＝2A′B′?cosB′.∵∠B＋∠B′＝90°，∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB.∵S△ABc＝12AD?Bc＝12AB?sinB?2AB?cosB＝25sinB?cosB，S△A′B′c′＝12A′D′?B′c′＝12A′B′?sinB′?2A′B′?cosB′＝9sinB′?cosB′，∴S△ABc∶S△A′B′c′＝25∶9.．[答案]53[解析]根据勾股定理可得AB＝22＋5＝9＝3.由题意，可知∠AcD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠AcD＝∠B，∴sin ∠AcD＝sinB＝AcAB＝53.55．[答案]＝＜[解析]cos66°＝sin＝sin24°，0＜cos15°＜1，1＝tan45°＜tan55°，∴cos15°＜1＜tan55°.故答案为＝，＜.．[答案]43[解析]如图，过点A作AE⊥Bc于点E.∵AB＝Ac＝5，∴BE＝12Bc＝12×8＝4，∠BAE＝12∠BAc.∵∠BPc＝12∠BAc，∴∠BPc＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE＝AB2－BE2＝52－42＝3，∴tan∠BPc＝tan∠BAE＝BEAE＝43.故答案为43.0．[答案]31313[解析]如图所示，连接Bc.∵AB为半圆o的直径，∴∠BcA＝90°.∵oD⊥Ac，∴cE＝AE＝12Ac＝12×8＝4.在Rt△AoE中，oE＝oA2－AE2＝52－42＝3.∵AE＝cE，Ao＝Bo，∴oE是△ABc的中位线，∴Bc＝2oE＝6.在Rt△BcE中，BE＝Bc2＋cE2＝62＋42＝213，∴sinα＝BcBE＝6213＝31313.1．[答案]1010[解析]由折叠知∠BA′E＝∠A＝90°，AE＝A′E，A′B＝AB＝6，故在Rt△A′Bc中，由勾股定理，得A′c＝Bc2＝DE，8＋x＝cE，则x＝E′A＝AE设8.＝62－102＝B2′A－10－x.在Rt△cDE中，由勾股定理，得2＝62＋2，解得x＝2.在Rt△ABE中，BE＝22＋62＝210，所以sin∠ABE＝AEBE ＝2210＝1010.．解：由勾股定理，得Ac＝62－22＝42，sinA＝BcAB＝26＝13，cosA＝AcAB＝426＝223，tanA＝BcAc＝242＝24；sinB＝AcAB＝426＝223，cosB＝BcAB＝26＝13，tanB＝AcBc＝422＝22.由勾股定理，得AB＝Ac2＋Bc2＝62＋22＝210，sinA＝BcAB＝2210＝1010，cosA＝AcAB＝6210＝31010，tanA＝BcAc＝26＝13；sinB＝AcAB＝6210＝31010，cosB＝BcAB＝2210＝1010，tanB＝AcBc＝62＝3.3．[解析]根据锐角三角函数的定义，找准对边、邻边、斜边．解：在Rt△AcD中，cD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BcD中，Bc＝82＋62＝10，∴sinB＝cDBc＝35，cosB＝BDBc＝45，∴sinB＋cosB＝75.．解：∵在Rt△ABc中，∠c＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝1213.设AE＝x，则BE＝3x，Bc＝4x，A＝D＝2x，cD＝4x，∴cE＝2＋2＝5x，E＝x2＋2＝5x，c＝2＋2＝25x，∴E2＋c2＝cE2，∴△cE是直角三角形，且∠cE＝90°，∴sin∠Ec＝EcE＝55.．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝45，且AD＝12，∴12AB＝45，∴AB＝15，∴BD＝152－122＝9，∴Dc＝Bc－BD＝14－9＝5.方法一：∵E为Ac的中点，∠ADc＝90°，∴DE＝12Ac＝Ec，∴∠EDc＝∠c.在Rt△ADc中，tanc＝ADDc＝125，∴tan∠EDc＝tanc＝125.方法二：过点E作EH⊥Dc于点H，则EH∥AD，∴cEAc＝cHcD＝EHAD.∵E为Ac的中点，∴12＝cH5＝EH12，∴cH＝2.5，EH＝6，125.＝EHcH∴又∵DH＝cH＝2.5，∴EHDH＝125，∴tan∠EDc＝125.[素养提升]解：如图，在Rt△ABc中，∠c＝90°，∠cBA＝30°，延长cB到点D，使BD＝AB，则∠cDA＝15°.设Ac＝，则BD＝AB＝2Ac＝2，Bc＝3，∴cD＝，∴AD2＝Ac2＋cD2＝2＋22＝2＝22，∴AD＝，∴sin∠cDA＝sin15°＝AcAD＝＝6－24，即sin15°＝6－24.。

正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数．3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca ，∠A 的余弦cos ＝cb ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．ABBC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABAC A =∠斜边的邻边．实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47，cosB ＝cos ∠ACD ＝43．例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝AB BC AB CD =．正解：sin ＝BCBD ABBC ACCD ==．说明：错解之一是所答线段比ABCD ，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD ，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD ．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了．例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21³6＝3．在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BDAB ＝4．∵S △ABC ＝21BC ²AD ＝21AC ²BE ，∴BC ²AD ＝AC ²BE ， 即6³4＝5³BE ． ∴BE ＝524．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BEAB ．∴cos ＝257=ABAE ．说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21．说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键． 例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA s in c o s c o s ∙的值是( ) A ．ca B ．ac C ．baD ．ab剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝cb ，sinB ＝cb ，cosB ＝ca ，化简得ca ，所以选A ．剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即Bsin Bcos A cos ⋅＝cosB ＝ca ．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值．解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1．∴cos α＝31=ABAC ．说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】1．选择题(1)下列各式中，正确的是( ) A ．sin60°＝21 B ．cos （90°－30°）＝sin60° C ．cos60°＝21D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°²cos60°等于( ) A ． 22B ．23 C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( ) A ．54 B ．53 C ．43 D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213C ．131 D ．135(5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21 B ．1C ．215 D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大两倍B ．缩小到一半C ．没有变化D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( )A ．21 B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32 C ．23 D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( ) A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦(12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41(13)下列等式中正确的是( ) A ．sin20°＋sin40°＝sin60° B ．cos20°＋cos40°＝cos60° C ．sin （90°－40°）＝cos40° D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( ) A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( ) A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosA C ．sin （A ＋B ）＝cos D ．sinA＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( ) A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( ) A ．α＞β B ．α＜β C ．α＝β D ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( )A ．259 B ．54C ．53 D ．2516(21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒∙︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′； (6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°²cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°²cos45°＋cos30°²sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)： (1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29； （2）b ＝9，c ＝85； （3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ²sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15°23 （10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23(2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′ 6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292;(2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859; (3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。

7.2.1 三角函数的定义-人教B版高中数学必修第三册（2019版）教案一、教学目标1.了解三角函数的概念和定义；2.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域及基本性质；3.能够运用三角函数解决实际问题。

二、教学重点1.正弦函数、余弦函数和正切函数的概念和定义；2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域和基本性质。

三、教学难点1.正弦函数、余弦函数和正切函数的初步运用；2.运用三角函数解决实际问题。

四、教学准备1.教材《人教B版高中数学必修第三册（2019版）》；2.课件、黑板、粉笔或白板、马克笔等。

五、教学过程1. 引入教师重点突出三角函数在数学中的重要性和应用，引导同学们了解三角函数的定义及其性质。

2. 三角函数的定义1.弧度制与角度制的转化；2.弧度的定义和性质；3.三角函数的定义及其性质。

3. 正弦函数和余弦函数1.正弦函数和余弦函数的图像；2.正弦函数和余弦函数的定义域、值域和周期；3.正弦函数和余弦函数的基本性质（奇偶性、对称轴等）；4.正弦函数和余弦函数的运用。

4. 正切函数1.正切函数的图像；2.正切函数的定义域、值域和周期；3.正切函数的基本性质；4.正切函数的运用。

5. 同济大学题型设计对同济大学的题型进行设计，完美演练同学们运用所学知识解决实际问题的能力。

6. 总结回顾本节课的内容，向同学们提出三角函数和函数常见问题。

六、教学反思三角函数是整个数学体系中的重要知识点，是学好高数的关键之一。

本节课程主要以三角函数的定义、性质、图像、基本性质和运用为主线，突出了数学在现实生活中的运用，强调了同学们对物理、几何等科目知识的综合应用能力。

整节课教学共计60分钟，时间安排合理有条理，同学们也能够积极参与互动，展现出自己的思维能力及实际操作能力。

《正弦和余弦》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《正弦和余弦》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“正弦和余弦”是初中数学中三角函数这一板块的重要内容，它是在学生已经学习了直角三角形的边与角的关系，以及相似三角形的基础上进行的。

本节课的学习，不仅为后续学习正切函数以及解直角三角形等知识奠定基础，而且在实际生活中也有着广泛的应用，比如测量物体的高度、距离等。

教材通过引导学生观察直角三角形中锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值，引出正弦和余弦的概念，注重培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了直角三角形的基本性质和相似三角形的相关知识，具备了一定的逻辑推理能力和数学思维。

但是，对于正弦和余弦这两个抽象的概念，学生可能会感到理解困难。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握。

同时，学生在学习过程中可能会出现对概念的混淆和应用的错误，需要通过大量的练习和及时的反馈加以纠正。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正弦和余弦的概念，能够正确地表示出直角三角形中一个锐角的正弦和余弦值。

（2）掌握正弦和余弦的基本性质，会根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。

2、过程与方法目标（1）通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。

（2）经历探索正弦和余弦概念的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）通过对正弦和余弦的学习，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）在探索和交流的过程中，培养学生的合作精神和创新意识。

四、教学重难点1、教学重点（1）正弦和余弦的概念及其表示方法。

（2）根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。

2、教学难点（1）理解正弦和余弦的概念。