2014届高考数学(文)一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式

2021届高考数学一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式一、选择题1．a、b为非零实数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则M和N的关系( )A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 答案：A2．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则4a＋1＋4b＋1的最大值是( ) A．26 B．23 C.6 D．12 答案：B3．已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为( ) A．6 B.6 C．11 D.11 答案：D4．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )6A．1 B．6 C．11 D.11答案：D5．设a1、a2、…、an都是正数，b1、b2、…、bn是a1、a2、…、an的任一排列，则a1b1－1＋a2b2－1＋…＋anbn－1的最小值是( ) A．1 B．nC．n2 D．无法确定答案：B6．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则3a＋2b＋c的最大值为( ) 16913133A.B. C. D.13 333答案：C 二、填空题7．若a1－b2＋b1－a2＝1，则a2＋b2＝__________. 答案：18．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：a≥4或a≤－2a21a22a220219．设a1，a2，…，a2021都为正数，且a1＋a2＋…＋a2021＝1，则＋＋…＋2＋a12＋a22＋a2021的最小值是__________．1答案： 4023三、解答题10．求函数y＝1－x＋4＋2x的最大值．解析：因为y2＝(1－x＋2・2＋x)2≤[12＋(2)2][1－x＋2＋x]＝3×3，∴y≤3，当且仅当12＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3. 1－x2＋x11．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解析：由柯西不等式知：?1?2＋?1?2?≥?x＋1×2y＋1×3z?2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)． [x2＋(2y)2＋(3z)2]?12＋3???2??3???2因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，497a7a所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.36667a36因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，6493694所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，49494936所以a的值为.491112．已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m.4911a＋b＋c?2(1)求证：a2＋b2＋c2≥；4914(2)求实数m的取值范围．1?1b2＋?c?2](12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，即解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋??2??3??a2＋1b2＋1c2?・14≥(a＋b＋c)2，所以a2＋1b2＋1c2≥a＋b＋c?2，当且仅当|a|＝1|b|＝1|c|时，49??491449取等号．(2)由已知得(a＋b＋c)2＝(2m－2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m5115－5≤0，所以－≤m≤1，又a2＋b2＋c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－≤m≤1.2492感谢您的阅读，祝您生活愉快。

选修4－5不等式选讲1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.（1)求a的值;（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。

（1)画出函数y＝f(x）的图象；(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．5．已知a，b为正实数．(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取值范围．7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。

(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2＋2x.（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤错误!＋错误!＋xy;（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。

2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲不等式选讲第1讲含有绝对值的不等式及其解法、证明不等式的基本方法1.不等式|2x-1|<3的解集为.【答案】{x|-1<x<2}< p="">【解析】(1)当2x-1≥0,即x≥时,不等式变为2x-1<3,即x<2,所以≤x<2;(2)当2x-1<0,即x<时,不等式变为-(2x-1)<3,即x>-1,所以-1<x<.< p="">综上,原不等式的解集为={x|-1<x<2}.< p="">2.(2012·江西卷,15(2))在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.【答案】3.若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.【答案】(-∞,3]【解析】(方法一)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是a≤3.(方法二)∵|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|B C|=3,∴|AB|+|AC|≥3.故a≤3.(方法三)设f(x)=|x+1|+|x-2|=作出函数f(x)的图象如图所示,由图易知f(x)≥3.故a≤3.4.不等式|x-x2-2|>x2-3x-4的解集是.【答案】{x|x>-3}【解析】∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2>0恒成立,∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,即2x>-6,x>-3.故原不等式的解集为{x|x>-3}.5.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1【解析】a>(|x-3|-|x-4|)min,令y=|x-3|-|x-4|,由几何意义得-1≤y≤1,故a>-1.6.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是. 【答案】(1,3)【解析】∵≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得1<a<3.< p="">7.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=,则集合A∩B=.【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解不等式|x+3|+|x-4|≤9.(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x≤9,则x≥-4,即-4≤x<-3;(2)当-3≤x≤4时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-x≤9恒成立,则-3≤x≤4;(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|=x+3+x-4≤9,则x≤5,即4<x≤5.< p="">综上所述,A={x∈R|-4≤x≤5}.∵t∈(0,+∞),∴x=4t+-6≥2-6=-2,当且仅当t=时等号成立.于是B={x∈R|x≥-2}. 故A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.8.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或解之可得≤x<或-2<x<.< p="">故原不等式的解集是.9.(2012·江苏卷,21D)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.10.若n∈N+,n≥2,求证:-<++…+<1-.【证明】∵++…+>++…+=++…+=-,又++…+<++…+=++…+=1-,∴-<++…+<1-.11.若x,y∈{x|x>0,且x+y>2},求证:<2和<2中至少有一个成立.【证明】假设<2和<2都不成立,则有≥2,≥2同时成立.∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x同时成立.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.这与条件x+y>2相矛盾.因此,<2和<2中至少有一个成立.12.(2012·辽宁卷,24)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.【解】(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=从而可知|h(x)|≤1,因此k≥1.拓展延伸13.(2012·课标全国卷,24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解】(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;< p="">当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;综上,可知f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|4-x-(2-x)≥|x+a|-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].</x<3时,f(x)≥3无解;<></x<.<></x≤5.<></a<3.<></x<2}.<></x<.<></x<2}<>。

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ，－f x ，f x去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0) ________； |ax ＋b |≥c (c ＞0) ___ _______.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b ||a |＝|a ＋b |＋|b ||(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |b (a ＋b )≤0. 同理可得|a |－|b |＝|a －b |b (a －b )≥0.1．(2012天津高考)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，则实数m 的取值范围为__________．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a 的值为__________．4．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，f (x )＞2的解集为__________；若不等式a ＞f (x )有解，则实数a 的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则a ＝__________；若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，则k 的取值范围是__________． 方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值． 请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若a ＝－1，则不等式f (x )≥3的解集为__________；若f (x )≥2，则a 的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|，则不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为__________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为__________．解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | 4－x －(2－x )≥|x ＋a |－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4}(2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2] [－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若AB，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为M，则集合M＝__________，若a，b∈M，则ab＋1与a ＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．－3 解析：∵|x －2|≤5， ∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5 (|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.3．2 解析：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.4．(1,3) 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.5.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－7或x >53 a ＞－92解析：原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】 2 k ≥1 解析：由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【例2】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件； 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于任意的x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】 {x |x ＜5} 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图像如下：不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图像可知，原不等式的解集为{x |x ＜5}． 演练巩固提升1．|a －b |≥3 解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，集合B ＝{x |x ＜b －2，或x ＞b ＋2}，又因为AB ，所以有a ＋1≤b －2，或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3，或a －b ≥3，即|a －b |≥3.2．－2≤a ≤4 解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.3．{x |x ≥0} 解析：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图像如图所示：由图像可以观察出使y ≥8的x 的取值范围为[0，＋∞)． ∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为{x |x ≥0}． 4．{x |0＜x ＜1} ab ＋1＞a ＋b解析：由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．由a ，b ∈M ，得0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .。

活页作业三个重要的不等式一、选择题1．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为( )A．2 B．3C．4 D．53．函数y＝3x－5＋46－x的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0，故y＝3x－5＋46－x≤32＋42×x－52＋6－x2＝5，所以y max＝5.答案：C4．x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为( )A．[－52，52] B．(－52，52)C．(－∞，52] D．(52，＋∞)解析：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－y)2，∴－52≤2x－y≤5 2.答案：A5．已知a＞0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＞NC．M≤N D．M<N解析：取两组数：a ，a ＋1，a ＋2与a 2，(a ＋1)2，(a ＋2)2，显然a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3是顺序和；而a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B.答案：B6．已知x ＋y ＋z ＝1，则μ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11D.611二、填空题7．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：由三角形面积相等知：12(x ＋y ＋z )×23＝12×23×3⇒x ＋y ＋z ＝3， 由柯西不等式知：(x 2＋y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋y ＋z )2＝9⇒x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 答案：38．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为________．解析：∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时等号成立． ∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．解：由a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的对称性，不妨设a≥b≥c>0，有a2≥b2≥c2>0，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.12.等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及取到最小值时P的位置．。

选修4-5中的著名不等式内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。

选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。

绝对值的三角不等式（）：定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。

绝对值的三角不等式一般形式：，简记为。

柯西不等式（）定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。

当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。

当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。

定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。

柯西不等式的一般形式（）定理：设为实数，则，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。

闵可夫斯基不等式（）定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。

闵可夫斯基不等式的一般形式：定理：设是两组正数，，则或，当且仅当时，等号成立。

排序不等式（）定理：设为两组实数为的任一排列，则有。

当且仅当或时，等号成立。

排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。

切比晓夫不等式（）：定理：设为任意两组实数，①如果或，则有②如果或，则有①②两式，当且仅当或时，等号成立。

平均值不等式（）定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。

当时，，当且仅当时，等号成立。

加权平均不等式（）定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。

杨格不等式（）：定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。

当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。

贝努利不等式（）：定理：设，且，为大于1的自然数，则。

贝努利不等式的一般形式：（1）设，且同号，则；（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。

一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．33．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．274．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②；()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．函数()f x = ）A ．5B C ．1D ．26．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．7347．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．98．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D9．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．165C ．3D ．2510．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 11．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．设,,a bc 为正数，241a b c ++=的最大值是___________ 14．已知M =M 的最大值为___． 15．设x ，y ，z ________．16．已知实数a b c d ,,,满足条件1a b c d +++=，求2222832a b c d ++-的最小值是_________17．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____18．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____．三、解答题21．已知a ，b ，c 均为正数，函数()||||f x x a x b c =-+++的最小值为1．（1）求222236a b c ++的最小值；（232>． 22．已知函数()2f x x x a =++. （1）若1a =-，解不等式f (x )≤1；（2）已知当x >0时，23123()()x x x x x x ---++++的最小值等于m ，若0x R ∃∈使不等式00()()f x a f x m ->+成立，求实数a 的取值范围.23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 24．已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥． 25．若关于x 的不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2），求函数f （x ）＝（a ﹣1）（b ﹣126．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

第3讲柯西不等式与排序不等式,)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2， 得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 将2x －y －2z ＝6代入其中， 得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立， 所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号， 所以1a ＋4b ≥9a ＋b.2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32., )1．设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4，即1a ＋1b≥2. 当且仅当a ·1b＝b ·1a，即a ＝b 时取等号，所以当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.3．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．5．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14， 因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14， 所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2， 所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.7．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝·≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围； (2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，所以a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是．10．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n ， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2，…a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1，以上n 个式子两边相加得n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2，两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn ≥a 1＋a2＋a 3＋…＋a n n，结论得证．不等式选讲1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．1．(选修4­5 P19习题1.2T5，P17例5改编)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x ≤2）2（2<x ≤4）2x －6（x >4）. 结合函数y ＝f (x )的图象知，不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112.2．(选修4­5 P16例3、P35例3改编)已知函数f (x )＝|3x －1|.(1)设f (x )≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为a max ，最小元素为a min ，求a max －a min ； (2)若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝a max ，求1a ＋1b的最小值．(1)f (x )≤2，即为 |3x －1|≤2，所以－2≤3x －1≤2，即－13≤x ≤1.所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤ x ≤1. 即a max ＝1，a min ＝－13，a max －a min＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝43.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b 为正实数，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，即1a ＋1b ≥4，所以1a ＋1b的最小值为4.3．(选修4­5 P20习题1.2T9，P37习题3.1T8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的范围；(2)若g (x )＝x ，且p >0，q >0，p ＋q ＝1，x 1，x 2∈ (1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1.即|x －3|＋|x －4|的最小值为1.所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a ≥1. 法二：设f (x )＝|x －3|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4.函数f(x)的图象为所以f(x)min＝1.则f(x)≤a的解集不是空集时，a≥1.(2)证明：由p>0，q>0，p＋q＝1，要证不等式pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)成立，即为证明p x1＋q x2≤px1＋qx2成立．(*)法一：(分解法)要证(*)成立，即证(p x1＋q x2)2≤(px1＋qx2)2成立．即证：p2x1＋2pq x1x2＋q2x2≤px1＋qx2，即证px1(1－p)＋qx2(1－q)－2pq x1x2≥0.因为p＋q＝1.只需证pqx1＋pqx2－2pq x1x2≥0成立．即证(x1－x2)2≥0.因为(x1－x2)2≥0显然成立．所以原不等式成立．法二：(柯西不等式法)因为(p x1＋q x2)2＝(p·px1＋q·qx2)2≤＝(p＋q)(px1＋qx2)因为p＋q＝1.所以(p x1＋q x2)2≤px1＋qx2.所以p x1＋q x2≤px1＋qx2.即pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．4．(选修4­5 P19习题1.2T5，P45习题3.3T4改编)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈ (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以，要证f (ab )>f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|>|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0， 即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1， 所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立， 所以原不等式成立．。

1.（14江西理11(1).（不等式选做题））对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.42.（14广东理15、（几何证明选讲选做题））如图3，学科网在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则 CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿3.（14陕西文15. .A (不等式选做题)）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=22m n +的最小值为4.（14陕西理15..B （几何证明选做题））如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =5.（14辽宁文24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.6.（14课标I 文24.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲）若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.7.（14新课标2文24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲） 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->。

（Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围。

8.（14福建理21.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将） 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .9.（14辽宁理24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.10.（14课标1理24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲）若0,0a b >>，且11a b +=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.11.（14新课标Ⅱ理24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.12.（14江苏21.D. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分））已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥参考答案：1.C2. 93. 54. 35.解：（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩，当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤得2116()44x -≤，解得1344x -≤≤ 因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤ 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤6.解：（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33a b +≥a b ==所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=7.解：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥ 所以()2f x ≥ （Ⅱ）1(3)|3||3|f a a=++-当3a >时，1(3)f a a =+，由(3)5f <得532a +<<当03a <≤时，1(3)6f a a=-+，由(3)5f <得132a +<≤综上，a 的取值范围是15(,)22+ 8.解：（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正实数，所以2222222()(111)(111)p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯ 2()p q r =++9=，即2223p q r ++≥9.解：（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩，当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤得2116()44x -≤，解得1344x -≤≤ 因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤ 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤10.解：11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33a b +≥a b ==所以33a b +的最小值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=11.解：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥ 所以()2f x ≥ （Ⅱ）1(3)|3||3|f a a=++-当3a >时，1(3)f a a=+，由(3)5f <得532a +<<当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5f <3a <≤综上，a 的取值范围是 12.证明：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>210x y ++≥>故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=。

(建议用时：分钟).设函数()＝－＋，其中>.()当＝时，求不等式()≥＋的解集；()若不等式()≤的解集为{≤－}，求的值.解()当＝时，()≥＋可化为－≥.由此可得≥或≤－.故不等式()≥＋的解集为{≥，或≤－}.()由()≤得－＋≤.此不等式化为不等式组或即或因为>，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－，故＝..已知函数()＝＋＋－.()当＝－时，求不等式()≥的解集；()若()≤－的解集包含[，]，求的取值范围.解()当＝－时，()＝当≤时，由()≥得－＋≥，解得≤；当<<时，()≥无解；当≥时，由()≥得－≥，解得≥.所以()≥的解集为{≤，或≥}.()()≤－⇔－－－≥＋.当∈[，]时，－－－≥＋⇔－－(－)≥＋⇔－－≤≤－.由条件得－－≤且－≥，即－≤≤.故满足条件的的取值范围是[－，]..已知，，均为正实数，且互不相等，且＝，求证：＋＋＜＋＋. 证明法一∵，，均为正实数，且互不相等，且＝，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.∴＋＋＜＋＋.法二∵＋≥＝；＋≥＝；＋≥＝.∴以上三式相加，得＋＋≥＋＋.又∵，，互不相等，∴＋＋＞＋＋.法三∵，，是不等正数，且＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＞＋＋＝＋＋.∴＋＋＜＋＋..已知＞，＞，＋＝，求证：()＋＋≥；()≥.证明()∵＋＝，＞，＞，∴＋＋＝＋＋＝＝＝＋≥＋＝.∴＋＋≥(当且仅当＝＝时等号成立).()∵＝＋＋＋，由()知＋＋≥.∴≥..(·全国Ⅰ卷)已知函数()＝＋－－，＞.()当＝时，求不等式()＞的解集；()若()的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.解()当＝时，()＞化为＋－－－＞.当≤－时，不等式化为－＞，无解；当－＜＜时，不等式化为－＞，解得＜＜；当≥时，不等式化为－＋＞，解得≤＜.所以()＞的解集为.()由题设可得，()＝所以函数()的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，(＋，)，(，＋)，△的面积为(＋).由题设得(＋)＞，故＞.所以的取值范围为(，＋∞)..已知函数()＝－－，∈，且(＋)≥的解集为[－，].()求的值；。

一、选择题1．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．2．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．3．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 4．用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为（ ）A ．*n N ∈B ．*n N ∈，2n ≥C ．*n N ∈，3n ≥D ．*n N ∈，4n ≥5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad ＝bc （即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x =x 的值分别为（ ）A 215B 215C 6113D 61136．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．127．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9B ．8C ．3D ．139．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．1810．若5x 1+6x 2-7x 3+4x 4=1,则222212343x 2x 5x x +++的最小值是（ ） A ．78215B ．15782C ．3D ．25311．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．23C ．611D ．1112．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则 222a b c ++ 的最小值为( ) A ．3B ．1C ．33D ．3二、填空题13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=，则22124x y +++的最小值是______. 14．已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，则49x y z ++的最小值为________． 15．设,,a b c 为正数，241a b c ++=，则2a b c ++的最大值是___________ 16．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 17．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___．18．已知实数,x y 满足2222(1)(1)4x y x y ++⋅-+=，则22x y +的取值范围为___________.19．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ， q ， r 为正实数，且p q r a ++=，求证： 2223p q r ++≥．20．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．三、解答题21．（Ⅰ）若,a b ∈R ，且满足32b a +=，证明：2262b a +≥；（Ⅱ）若,a b ∈R ，且满足1123b c a ++=222623b c a ++≥.22．已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥．23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥. 25．已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->≤ 26．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）若()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．2．C解析：C. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.3．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.4．D解析：D 【分析】根据题意验证1n =，2n =，3n =时，不等式不成立，当4n =时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】解：当1n =，2n =，3n =时，显然不等式不成立， 当4n =时，6461>不等式成立，故用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为4n ≥，*n N ∈ 故选：D .本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．5．A解析：A 【分析】将 【详解】由柯西不等式可知：()22222215⎡⎤++=⎣⎦所以=x ＝215时取等号，故函数()f x =的最大值及取得最大值时x215， 故选：A ． 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

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课时提升卷(十一)排序不等式（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a1,a2,…,a n都是正数,b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任意一个排列,则a1+ a2+…+ a n的最小值是( )A.1B.nC.n2D.无法确定2.(2013·丹东高二检测)已知a,b,c为正数,P=,Q=abc,则P,Q的大小关系是( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q3.设a1,a2,a3为正数,E=++,F=a1+a2+a3,则E,F的关系是( )A.E<FB.E≥FC.E≤FD.E>F4.(1+1)……的取值范围是( )A.(21,+∞)B.(61,+∞)C.(4,+∞)D.(3n-2,+∞)5.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的( )A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对6.若0<α<β<γ<,则F=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sin2α+sin2β+sin2γ)的符号为( )A.F>0B.F<0C.F≥0D.F≤0二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知a,b,c为正实数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab) 0(填>,≥,<,≤).8.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是.9.设正数a,b,c的乘积abc=1,++的最小值为.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.设x1≥x2≥…≥x n,y1≥y2≥…≥y n.求证:(x i-y i)2≤(x i-z i)2.其中z1,z2,…,z n是y1,y2,…,y n的任意一个排列.11.(2013·镇江高二检测)已知a,b,c∈R+,求证:a+b+c≤++≤++.12.(能力挑战题)利用排序原理证明切比雪夫不等式:若a1≤a2≤…≤a n且b1≤b2≤…≤b n,则a ib i≥·.答案解析1.【解析】选B.设a 1≥a2≥…≥a n>0.可知≥≥…≥,由排序原理,得a 1+ a2+…+ a n≥a 1+ a2+…+ a n=n.2.【解析】选B.不妨设a≥b≥c>0,则0<≤≤,0<bc≤ca≤ab,由排序原理:顺序和≥乱序和,得++≥++,即≥a+b+c,因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,于是≥abc,即P≥Q.3.【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2, 由排序不等式:顺序和≥乱序和得,++=++≥·a1a3+·a2a3+·a1a2=a1+a3+a2即:++≥a 1+a2+a3.4.【解析】选C.令A=(1+1)(1+)…=×××…×,B=×××…×,C=×××…×.由于>>,>>,>>,…>>>0,所以A>B>C>0.所以A3>A·B·C.由题意知3n-2=61,所以n=21.又因为A·B·C=3n+1=64.所以A>4.5.【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.6.【解题指南】已知,α,β,γ∈,由y=sinx与y=cosx在的单调性结合排序不等式可判断.【解析】选A.因为0<α<β<γ<,且y=sinx在(0,)上为增函数,y=cosx在上为减函数.所以0<sinα<sinβ<sinγ,cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式:乱序和≥反序和则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ=(sin2α+sin2β+sin2γ).7.【解析】设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:≥【拓展提升】审题的技巧无论柯西不等式还是排序不等式,都只是一般的乘积形式,而本题中涉及指数幂的变换,故利用对数运算变为指数乘法运算是一个很有技巧性的解题思路.8.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.9.【解析】设a=,b=,c=,则xyz=1,且++可化为++,不妨设x≥y≥z,则≥≥,据排序不等式得++≥z·+x·+y·,及++≥y·+z·+x·,两式相加并化简可得2(++)≥3.即++≥.即++≥.所以++的最小值为.答案:10.【证明】要证(x i-y i)2≤(x i-z i)2,只需证(+)-(2x i y i)≤(+)-(2x i z i),只要证x i y i≥x i z i.由题设及排序原理知上式显然成立.11.【证明】不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2,≥≥.由排序不等式,可得a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·, ①a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·. ②由(①+②)÷2,可得++≥a+b+c,又因为a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,≥≥.由排序不等式,得a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·. ③a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·. ④(③+④)÷2,可得++≥++.综上可知原式成立.12.【解题指南】排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.【证明】由排序不等式有:a1b1+a2b2+…+a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b n,a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b2+a2b3+…+a n b1,a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b3+a2b4+…+a n b2,……a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b n+a2b1+…+a n b n-1.将以上式子相加得:n(a1b1+a2b2+…+a n b n)≥a1(b1+b2+…+b n)+a2(b1+b2+…+b n)+…+a n(b1+b2+…+b n),所以a i b i≥·.关闭Word文档返回原板块。