2018版高中数学人教B版必修二学案2.3.1 圆的标准方程

教学设计表教学环节起止时间（’”- ’”）环节目标教学内容学生活动媒体作用及分析导入环节0’5”- 1’15”激发学生学习兴趣，创设学习情境。

了解圆在生活中的应用。

观看视频欣赏图片。

通过让学生们观看视频及图片，激发学生学习兴趣，让同学们尽快将思维走进圆的世界，并解决相关问题。

新课讲授1‘15“- 06‘30“理解并掌握圆的定义，尤其是圆的标准方程及其特点圆心和半径。

圆的定义，推导得出圆的标准方程，对圆的标准方程进行说明，尤其是圆心及半径。

学生与教师互动探究得出圆的标准方程，并进行与老师互动探究。

教师与学生互动，得出圆的定义，并对圆的标准方程探究通过手机遥控课件，并利用白板的书写圈画对圆的标准方程进行说明，尤其是圆心及半径。

互动探究06’30”- 08’40”掌握判断点和圆的位置关系通过和初中对比让学生们掌握点和圆的位置关系，通过数量关系进行判断。

让学生们通过计算，快速判断点和圆的位置关系。

教师通过标注，进行师生互动判断点和圆的位置关系。

巩固新知08’40”- 17’40”通过已知条件求出圆的标准方程的方法有很多种，根据具体条件寻找最优原则求圆的标准方程。

掌握根据具体条件寻求最优原则求圆的标准方程。

学生通过与白板互动，并将自己的答案与学生进行交流，下面的同学分组练习将自己的答案老师通过手机借助授课助手上传到大屏幕，在座位上对自己的答案进行讲解，与学生互动和老师互动。

学生通过与白板的人机互动，并将自己的解答与学生互动，分组练习的答案老师通过手机借助授课助手上传到大屏幕，在座位上对自己的答案进行讲解，实现人机互动与生生互动和师生互动。

这种教学得到了学生们的高度认可，并锻炼了孩子们的语言表达能力及信息素养的提升，体会信息技术创新教学带来的乐趣。

同时教师运用白板的小黑板分析题中两种情况的讲解。

及使用白板的书写标注功能。

应用提升17’40”- 27’20”对给定已知条件确定圆的标准方程。

对给定已知条件快速求出圆的标准方程进一步巩学生通过人机互动及学生的答案上传实现无缝对接，实现了人机学生通过人机互动，在白板上进行书写答案，之后与学生进行互。

.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。

（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。

2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。

2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。

二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。

( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。

写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。

1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。

第课时圆的标准方程一三维目标:1知识与技能:掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法几何法或待定系数法求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题2过程与方法:经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法3情感、态度与价值观通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,让学生懂得追求真理是人成长的内在需要二知识生发:1问题情境1如何用轨迹的观点描述圆平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆定点是圆心,定长为半径P,rCa,bO2如何建立以Ca,b为圆心,r为半径的圆的方程2圆的标准方程图11以Ca,b为圆心,r为半径的圆的标准方程为_________________-a2-b2=r2①如何求曲线方程轨迹问题②22−1−2=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…③圆的标准方程的特点2圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为2=r23点和圆的位置关系图1、2、3问题:研究,圆拱高为ab m,其中正数a,b是常数建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、最著名的单孔空腹式石拱桥实测的数据是2错误!=,ab=法1按左图方式建立坐标系,设圆心C0,c设圆的方程为2−c2=r2把B错误!,0及D0,ab代入此方程 c=b,r=a得拱圆方程为2−b2=a2法2按图2方式建立坐标系,圆心在原点O 设圆的方程为22=r21BDCO跨度拱高DA BODA BOC PCO 图1PCO图3 PCO图2把B错误!,r−a−b及D0,ab代入此方程⇒r=a得拱圆方程为22=a2四精练掌控:,b,c,d,λ都是常数,若a−b2c−d2=λ是某个圆的方程,则CAa=c=1,且λ>0Ba=c≠0,且λ≠0C|a|=|c|≠0,且λ>0Dacλ≠04下列圆其中a,b是常数,ab≠0中,经过坐标原点的是DA−a2−b2=a2B−a2−b2=b2C−a2−b2=错误!D−a2−b2=a2b2,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是BA−r2−r2=r2B−r2r2=r2Cr2−r2=r2Dr2r2=r2 3,−6到圆32−22=25上各点的距离为d,则d的最大值是CA5B10C15D5错误!的方程是错误!−2−错误!3=0,则曲线C的长度为BA10πB错误!πC5πD错误!π五课堂小结:________________________________六作业回馈:−7,5,B1,−1,以线段AB为直径的圆的方程是________32−22=25−6,6,B1,−1,C0,−2三点的圆的方程是________32−22=25过点0,6且与直线1:=2和2:=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________32−22=25:−2232=25,圆C ′与圆C 关于直线:−=0对称,则圆C ′的方程是________32−22=25 −3,2,一底角顶点B 2,2,则另一底角顶点C ,的轨迹方程为________32−22=25≠2且≠−8 −6,0,点为线段的轨迹方程 32−22=25O−32=2 =−3CO−32P 3,−6CAA 1A 2O−3 2AB2C ,−8A −6,0P 0,0 M ,2−42=100。

《圆的标准方程》教学设计一、教材分析1、教学内容人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。

本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2、教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3、三维目标（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。

4．教学重点圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程5. 教学难点根据条件求圆的标准方程。

二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三、学法分析从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

2.3.1 圆的标准方程基础梳理1．圆的标准方程：圆心为C (a ，b )、半径为r 的圆的标准方程为 ． 练习1： (1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为： ． (2)圆心在x 轴上，半径为1，且过点(－1，1)的圆的标准方程为： ． 2．点与圆的位置关系．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如下表所示的对应关系：练习2：圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝32的圆心为 ，半径为 ． ►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．圆心是O(－3，4)，半径为5的圆的方程为() A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 2．点P(m ，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定 3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)、(2，－2)，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D.3 基础达标1．已知点P(a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25内部，那么a 的取值范围是( ) A ．－4<a <3 B ．－5<a <4 C ．－5<a <5 D ．－6<a <4 2．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 4．已知圆上三点A (0，4)，B (3，0)，C(0，0)，则该圆的方程为________________． 5．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．6．圆x 2＋y 2＝4上的点到点A (3，4)的距离的最大值是________，最小值是________． 巩固提升7．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m 8．已知点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的任意一点，点A (－1，0)、B (1，0)， 试求|P A |2＋|P B |2的最大值和最小值．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝3a ＋1，y ＝4a }，集合B ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2<25a 2}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2练习1：x2＋y2＝9(2)(x＋1)2＋y2＝1练习2：(1，－2)，3．►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．【答案】D【解析】直接代入圆的标准方程可得．2．【答案】A【解析】：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．3．【答案】B【解析】∵所求圆的圆心为(2，－1)，半径r＝（2－2）2＋（0＋2）22＝1，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4．【答案】A【解析】圆心C(1，0)，再利用点到直线的距离公式得d ＝12.基础达标 1．【答案】A【解析】由a 2＋(a ＋1)2<25可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3. 2．【答案】D【解析】当y ≤0时，平方得x 2＋y 2＝25，表示下半圆． 3．【答案】A【解析】(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 4．【解析】利用待定系数法或利用几何性质求解． 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝2545．【解析】由图形可知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O(2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥O A ，所以k ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 【答案】226．【答案】7 3 巩固提升 7．【答案】B【解析】下图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x 轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)，点A 的坐标为(0.8，h)，设M(0.8，y )在半圆上，则y ＝ 3.62－0.82≈3.5，∴h≤y ＝3.5(m )．8 .【解析】设P(x ，y )，则有P 是圆上任一点，|P A |2＋|P B |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)2＋2 ＝2[（x －0）2＋（y －0）2]2＋2＝2|OP|2＋2. 则O 在圆C 外．由题意得|OP|的最大值是|OC|＋r ＝5＋1＝6，最小值是|OC|－r ＝5－1＝4. 所以|P A |2＋|P B |2的最大值是2×62＋2＝74，最小值是2×42＋2＝34.9．【解析】集合A 表示点M(3a ＋1，4a )，集合B 表示圆N ：(x －2)2＋y 2＝25a 2的内部部分． A ∩B ≠∅表示点M(3a ＋1，4a )在圆N 内部，∴(3a ＋1－2)2＋(4a )2<25a 2，解得a >16，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a>16.。

《圆的标准方程》教课方案一、教材剖析1、教课内容人教 B 版教科书《数学》必修 2 第二章平面分析几何初步中2﹒3 节圆的方程。

本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的地点关系，圆与圆的地点关系，以及他们在生活中的简单运用。

2、教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线以后，学习三大圆锥曲线以前，旨在熟习曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的地点问题，也是分析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决供给了基本的思想方法。

应此教课中应增强练习，使学生的确掌握这单元的知识和方法。

本课是单元的第一课，和直线方程同样，教课中先设计一个问题情形，让学生议论，并指引学生察看圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的实质，打破难点。

3、三维目标（1）知识与技术：掌握圆的标准方程的形式；可以依据题目给定条件求圆的标准方程；可以依据圆的标准方程找到圆心和半径。

（2）过程与方法：加深对数形联合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

（3）感情、态度、价值观：培育主动研究知识、合作沟通的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培育勤于思虑、勤于着手的优秀质量。

4．教课要点圆的标准方程的推导以及依据条件求圆的标准方程5.教课难点依据条件求圆的标准方程。

二．教法剖析高一学生，在老师的指引下，已经具备必定研究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应试虑周到和灵巧性，采纳启迪式研究式教课，师生共同商讨，共同研究，让学生踊跃思虑，主动学习。

在教课过程中采纳议论法，向学生供给具备启迪式和思虑性的问题。

所以，要修业生在课上议论，提升学生的研究，推理，想象，剖析和总结概括等方面的能力。

三、学法剖析从高考发展的趋向看，高考愈来愈重视学生的剖析问题、解决问题的能力。

所以，要求学生在学习中碰到问题时，不要急于求成，而要依据问题供给的信息回想所学知识，波及到转变思想，数形联合的思想，应用平面分析几何的有关知识。

2.3.圆的方程2.3.1.圆的标准方程[学习目标].1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.[知识链接]1.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径.3.平面上两点间的距离公式d[预习导引]1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点→圆的圆心；定长→圆的半径.(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是x2＋y2＝r2.2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM| ＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内.(2)可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.要点一.点与圆的位置关系例1.已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围.解.由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞). 规律方法.判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内，②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上，③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外.跟踪演练1.点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是(..)A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定答案.A解析.把点P (m 2,5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外.要点二.求圆的标准方程例2.求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程.解.方法一.设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a ).又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.方法二.由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.跟踪演练2.以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是(..)A.(x －1)2＋(y －2)2＝10B.(x －1)2＋(y －2)2＝100C.(x －1)2＋(y －2)2＝5D.(x －1)2＋(y －2)2＝25答案.D解析.∵点A (－3，－1)和B (5,5)的中点坐标为(1,2)，∴以A 、B 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.要点三.圆的方程的综合应用例3.已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解.(1)由已知，得C (3,0)，r ＝|AB |2＝2， ∴所求方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2. ∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法.解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题. 跟踪演练3.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值.解.设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO |2＝52＝25，∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2.即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.1.圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是(..)A.(－2,3)，1B.(2，－3)，3C.(－2,3)， 2D.(2，－3)， 2答案.D2.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(..)A.x 2＋y 2＝2B.x 2＋y 2＝4C.(x －2)2＋(y －2)2＝8D.x 2＋y 2＝ 2 答案.B3.已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.答案.5解析.C 1圆心为(5,3)，C 2圆心为(2，－1)，则d ＝(5－2)2＋(3＋1)2＝5.4.圆的直径端点为A (2,0)，B (2，－2)，则此圆的标准方程为________.答案.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析.圆心C (2，－1)，半径r ＝12(2－2)2＋(0＋2)2＝1，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________. 答案.x 2＋(y －1)2＝1解析.由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.。

2.3.1 圆的标准方程1．能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．2．掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．1．圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，定点是______，定长是圆的______．设M(x，y)是⊙C上的任意一点，点M在⊙C上的条件是|CM|＝r.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【做一做1】已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为__________．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为__________．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为__________．几种特殊形式的圆的标准方程【做一做2－1】圆心是(－3,4)，半径为5的圆的方程为( )．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25【做一做2－2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．3．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔|PC|＞r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.【做一做3－1】下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是( )．A．(1,1) B．(2,1) C．(0,0) D．(2，2)【做一做3－2】点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y＝b＋r2－x－a2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b上方的半圆弧；函数y＝b－r2－x－a2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b下方的半圆弧．题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程．(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得弦长为4.分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题．题型二圆的直径式方程【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3)，且以P1P2为直径的圆的标准方程．分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为|CP1|.反思：一般地，以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y －y1)(y－y2)＝0，此结论被称为圆的直径式方程．若本例改为选择题、填空题，可直接得(x －4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．分析：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决．反思：(1)如果动点P (x ，y )的轨迹依赖于另一动点Q (a ，b )的轨迹，而Q (a ，b )又在已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，a ，b 的方程组，利用x ，y 表示出a ，b ，把a ，b 代入已知曲线方程便可得动点P 的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)．(2)本题容易忽视两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点O ，M 共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹方程的点都符合条件．题型四 圆的标准方程的实际应用【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题． 反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现．本题若选择其他方法建系也不影响结论．题型五 易错辨析【例5】已知圆C 的半径为2，且与y 轴和直线4x －3y ＝0都相切，试求圆C 的标准方程．错解：由题意可设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝4，又圆C 与y 轴相切，可知a ＝2，又圆C 与4x －3y ＝0相切，可知|4×2－3b |42＋－32＝2，得b ＝6，或b ＝－23. ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝4.错因分析：圆C 与y 轴相切意味着|a |＝2，而不是a ＝2.1以点A (－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( )．A ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝16B ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝16C ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝25D ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝252圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )．A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝53经过圆(x ＋3)2＋(y －5)2＝36的圆心，并且与直线x ＋2y －2＝0垂直的直线方程为______________．4圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________．5已知点P 是曲线x 2＋y 2＝16上的一动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P 在曲线上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．答案：基础知识·梳理1．轨迹 圆心 半径 【做一做1】2332．(1)x 2＋y 2＝r 2(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2【做一做2－1】D【做一做2－2】x 2＋y 2＝2 圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离R ＝|－2|12＋12＝ 2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3．上 外 内 【做一做3－1】C 【做一做3－2】A 典型例题·领悟【例1】解：(1)设圆心为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1a －2·－1＝－1，r ＝a －22＋－2a ＋12，解得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，利用点到直线的距离公式可以求得d ＝|3－0＋1|1＋1＝22，∴r ＝222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝2 3. ∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝12.【例2】解：由题意可知，圆心C 为P 1P 2的中点，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋62，9＋32，为(5,6)．半径r ＝|CP 1|＝5－42＋6－92＝10.故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.【例3】解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，即N (x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此点P 的轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.【例4】解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2，①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r －2)2＝r 2， ∴r ＝10.∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0＞0)，将A ′的坐标(x 0，－3)代入方程②，得x 0＝51， ∴水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251(米)．【例5】正解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝4，又由题意可得|a |＝2即a ＝±2. 当a ＝2时，再由圆C 与4x －3y ＝0相切，得 |4×2－3b |5＝2，解得b ＝－23或b ＝6； 当a ＝－2时，由|4×－2－3b |5＝2，解得b ＝－6或b ＝23.综上可知，满足条件的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝4或(x ＋2)2＋(y ＋6)2＝4或(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝4.随堂练习·巩固1．A ∵圆与x 轴相切，∴r ＝4.∴圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y －4)2＝16. 2．A 求圆关于某点或直线的对称图形的方程，主要是求圆心关于点或直线的对称点．求出圆心(－2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0)．3．2x －y ＋11＝04．(x －1)2＋(y －1)2＝1 设其圆心为P (a ，a )，而切点为A (1,0)，则PA ⊥x 轴，∴由PA 所在直线x ＝1与y ＝x 联立，得a ＝1.故方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1,0)，圆心在y ＝x 上，可推知与y 轴切于(0,1)．5．解：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．由题意，得x 0＋122＝x ，y 0＋02＝y .∴x 0＝2x －12，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上， ∴x 20＋y 20＝16.∴(2x －12)2＋(2y )2＝16，即(x －6)2＋y 2＝4.。

示范教案整体设计教学分析本节内容是学习圆的起始课，由于圆是学生比较熟悉的曲线，在初中已学习了圆的几何性质，所以学习本节的难度不大．教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程，并讨论了点与圆的位置关系．在教学中，应引导学生自己探究，避免教师直接给出圆的标准方程．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成用代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．重点难点教学重点：圆的标准方程．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 课时安排 1课时教学过程 导入新课设计1.如左下图，已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能安全驶入这个隧道？如右上图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．设计2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题：圆的标准方程．推进新课 新知探究 提出问题(1)回顾圆的定义.(2)怎样确定一个圆？(3)圆C 的圆心C (a ，b )，半径为r ，点M (x ，y )是圆C 上的任意一点，那么x ，y 满足什么等式？(4)怎样判定点与圆的位置关系？讨论结果：(1)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点是圆心，定长是圆的半径． (2)只要圆心和半径确定了，就可以确定一个圆．(3)如果点M在⊙C上，则|CM|＝r，反之，如果|CM|＝r，则点M在⊙C上．如下图所示．由两点间的距离公式，得x，y满足的等式，(x－a)2＋(y－b)2＝r.两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①显然，⊙C上任意一点M的坐标(x，y)适合方程①；如果平面上一点M的坐标(x，y)适合方程①，可得|CM|＝r，则点M在⊙C上．因此方程①是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．特别地，如果圆心在坐标原点(如下图)，这时a＝0，b＝0，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.(4)容易看出，如果点M1(x1，y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即(x1－a)2＋(y1－b)2>r2.如果点M2(x2，y2)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即(x2－a)2＋(y2－b)2<r2.如果点M3(x3，y3)在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径r，即(x3－a)2＋(y3－b)2＝r2.应用示例思路1例1根据下列条件，求圆的方程：(1)圆心在点C(－2,1)，并过点A(2，－2)；(2)圆心在点C(1,3)，并与直线3x－4y－6＝0相切；(3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5.分析：圆心和半径是圆的两要素，只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程．解：(1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5.因为圆的圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25.(2)因为直线3x－4y－6＝0是所求圆的切线，所以圆心(1,3)到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有r ＝|3×1－4×3－6|32＋42＝155＝3. 所以，所求圆的方程为 (x －1)2＋(y －3)2＝9.(3)设圆心坐标为(a ，b)，则圆的方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝5.已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝5，(2－a )2＋(1－b )2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，或(x －1)2＋(y －3)2＝5. 点评：求圆的方程时，关键是确定圆心坐标和半径． 变式训练1．求以C(4，－6)为圆心，半径等于3的圆的方程．解：将圆心C(4，－6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋6)2＝9.2.已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3)．求以M 1M 2为直径的圆的方程． 解：根据已知条件，圆心C(a ，b)是M 1M 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.根据两点间距离公式，得圆的半径r ＝|CM 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10.因此，所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.例2求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程(如下图)．分析：由题意得，圆心在线段AB 的垂直平分线m 上，又在直线l 上，所以圆心是直线m 与l 的交点．将直线l 和m 的方程联立，解方程组，可以求出圆心坐标，再由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径．解法一：直线AB 的斜率 k ＝5－01－6＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1. AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x ＝6＋12＝72，y ＝0＋52＝52，因此，直线m 的方程为 y －52＝1(x －72)， 即x －y －1＝0.又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以圆心坐标为C(3,2)，又半径r ＝|CA|＝13，则所求圆的方程是 (x －3)2＋(y －2)2＝13.解法二：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )2＋(0－b )2＝r 2，(1－a )2＋(5－b )2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝13.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.点评：解法一是利用圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，直接写出圆的方程，此法称为直接法．解法二是设出圆的标准方程，列方程解出圆心坐标和半径，此法称为待定系数法．变式训练1.2008山东高考，文11若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1解析：设圆心C(a ，b)，由条件可得b ＝1，|4a －3b|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12.∵圆心在第一象限．∴a ＝2.∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.∴选B.答案：B2．△ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程． 分析：从圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数．另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求．解法一：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，r ＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：线段AB 的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －6)，即x －2y －8＝0.①同理，线段AC 的中点坐标为(72，－72)，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y ＋72＝－13(x －72)，即x ＋3y ＋7＝0.②解由①②组成的方程组得x ＝2，y ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(5－2)2＋(1＋3)2＝5， 所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.例3赵州桥的跨度是37.02m ，圆拱高约为7.2m ，求这座圆拱桥的拱圆方程(精确到0.01m)．解：左下图是拱桥的示意图．以AB 的中点为原点，x 轴通过AB 建立直角坐标系．如右下图．根据已知条件，B ，C 的坐标分别为(18.51,0)，(0,7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2.下面用待定系数法求b 和r 2的值．因为B ，C 都在圆上，所以它们的坐标都满足这个方程，于是得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧18.512＋b 2＝r 2，(7.2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ≈－20.19，r 2≈750.21.因此，圆拱桥的拱圆的方程近似为 x 2＋(y ＋20.19)2＝750.21.点评：解决本题的关键是建立适当的直角坐标系．本题中由于圆心位置不确定，所以建立坐标系时，以AB 的中点为原点能使圆心位置落在坐标轴上．变式训练1.已知圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．106B ．206C ．306D ．40 6解析：圆心记作M(3,4)，半径为5.记E(3,5)．则过E(3,5)的最长弦AC 为圆的直径，最短弦BD 的中点为E. 如下图所示，S ABCD ＝12AC·BD ＝12×10×2×24＝20 6.答案：B2．下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20m ，拱高OP ＝4m ，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01m)．解：建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意，得P(0,4)，B(10，0)． 设圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2，因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 02＋(4－b )2＝r 2，102＋(0－b )2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r 2＝14.52.所以这个圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.设点P 2(－2，y 0)，由题意y 0>0，代入圆方程，得(－2)2＋(y 0＋10.5)2＝14.52， 解得y 0＝14.52－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)． 即支柱A 2P 2的长度约为3.86m.思路2例4圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是________．解析：圆心(1，－2)关于直线x－y＝0的对称点是(－2,1)，则对称圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝9.答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝9点评：圆关于点或直线对称的圆，其半径不变，只是圆心位置发生了变化．本题利用点关于直线对称点求得对称圆的圆心．变式训练1．圆x2＋(y＋3)2＝7关于原点对称的圆的方程是________．答案：x2＋(y－3)2＝72．圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋y2＝4关于直线x＝6对称，则a＝________.答案：123．直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为________．解析：圆心为(－1,2)．弦中点与圆心连线的斜率为2－1－1－0＝－1，由圆的性质知，弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.故l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝0例5写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上．解：圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.∵(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M1在圆上．∵(－5－2)2＋(－1＋3)2＝53>25，∴点M2在圆外．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．变式训练1．经过圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．解析：圆心(－1,0)．与直线x ＋y ＝0垂直的直线斜率为1， ∴所求的方程为y ＝x ＋1.答案：x －y ＋1＝02．已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)， Q(5,3)是在圆上、圆外，还是圆内？解：由已知条件可得圆心坐标为C(5,6)，半径为r ＝12|P 1P 2|＝12(4－6)2＋(9－3)2＝10.所以以P 1P 2为直径的圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.因为|CM|＝(5－6)2＋(6－9)2＝10＝r ，|CQ|＝(5－5)2＋(6－3)2＝3<10＝r ，∴点M 在圆上，点Q 在圆内． 知能训练1．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直线y ＝－x 对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，知对称的圆心为(0，－1)．答案：C2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 解析：r ＝|3×2－4×(－1)＋5|32＋42＝3.答案：C3．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________． 解析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.由已知可得|5＋a|13＝＋a|＝13，所以a 的值为－18或8.答案：－18或84．已知圆(x －2)2＋y 2＝8的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________． 解析：由已知得圆心为P(2,0)，由点P 到直线距离公式，得d ＝|2－0－1|1＋1＝22.答案：225.已知圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋a 2)2＝4＋a 24(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__________.解析：圆心C(－1，－a 2)由题意知圆心C 在直线l 上即－1＋a2＋2＝0，解得a ＝－2.答案：－26．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．分析：(1)利用圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，只要能构造三个方程求出a 、b 、r 便可．(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA|或|CB|.解法一：设所求的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，将点A(1,1)和B(2，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2. 又圆心在l ：x －y ＋1＝0上，所以a －b ＋1＝0.联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.所以所求的圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：因为A(1,1)和B(2，－2)，所以线段AB 的中点坐标为(32，－12)，直线AB 的斜率为k AB ＝－2－12－1＝－3，故线段AB 的垂直平分线方程为y ＋12＝13(x －32)，即x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.因此圆心C 的坐标为(－3，－2)，半径r ＝|AC|＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5，所以所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.拓展提升已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －m －2＝0，且l 1⊥l 2. 求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上．证明：∵l 1与l 2分别过定点(0,0)、(2,1)，且两直线垂直， ∴l 1与l 2的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆上． ∴圆心为(1，12)，半径为52，(x －1)2＋(y －12)2＝(52)2.课堂小结本节课学习了：1．圆的标准方程．2．求圆的标准方程的方法：直接法和待定系数法； 3．判定点与圆的位置关系； 作业本节练习B1,2题．设计感想圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此本节布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点．利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生应用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．备课资料备选习题1．写出下列各圆的方程； (1)圆心在原点，半径是3； 答案：x 2＋y 2＝9.(2)圆心在点C(3,4)，半径是5； 答案：(x －3)2＋(y －4)2＝5.2．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A ．(2，－3)、 2B ．(2，－3)、2C ．(－2,3)、1D ．(－2,3)、 2 答案：A3．点P(m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定 答案：A4．直线x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝25上，求k 的值． 答案：±55．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝1 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1解析：与圆心(3，－4)关于直线x ＋y ＝0对称的点是(4，－3)，于是，与已知圆关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝1.选B.答案：B6．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－2x上且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心在点(2，－1)，且截直线y＝x－1所得弦长为2 2.解：(1)设圆心坐标为(a，－2a)，由题意知圆与直线y＝1－x相切于点(2，－1)，所以|a－2a－1|＝(a－2)2＋(－2a＋1)2，解得a＝1.所以所求圆心坐标为(1，－2)，半径r＝12＋12(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，由题意知圆心到直线y＝x－1的距离为d＝|2＋1－1|＝ 2.又直线y＝x－1被圆截得弦长为22，所以r2－d2＝2，即r＝2.所以所求圆的12＋12标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.。

圆的标准方程教学目标：1.掌握圆的标准方程；由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据已知条件求圆的标准方程；2.培养学生用坐标法研究几何问题的意识和能力。

教学重点：圆的标准方程的结构特征，在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。

教学难点：用待定系数法、数学结合法求圆的标准方程。

教学过程：一、开启智慧之门1.前面学习了用坐标来研究直线，我们生活中出了直线还有曲线，例如圆，我们能否用坐标来研究圆的有关内容呢？2.如何确定一定圆？(1)平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆(2)线段绕一端点旋转一周，另一端点所走过的轨迹就是一个圆——同样体现了到定点的距离等于定长。

3.对于圆的研究，类似于直线的研究，先研究方程，再研究有关关系和性质，如何来确定圆的方程？4.复习回顾求曲线方程的方法与步骤(1)建系；(2)设点；(3)找条件；(4)坐标表示；(5)化简；(6)检验并给出结论。

二、探究智慧之源1.以圆心为原点建立直角坐标系，求以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程。

以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2特别地：当r=1时，方程x2+y2=1表示的是单位圆2.求以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程。

以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2。

3.应用：例1.求圆心是C(2,－3)，且经过坐标原点的圆的标准方程。

分析：解法一、圆心已经确定，关键是确定半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可求解；解法二、设圆的标准方程，含半径r，为构造关于r的方程，只要将圆上的点(原点)的坐标代入即可。

例2.求过点A(1,-1)，B(-1,1)，且圆心在C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程。

分析：解法一、待定系数法——设圆的方程，建立关于圆心横纵坐标和半径的方程组；解法二、数形结合法——几何方法确定圆心和半径。

三、生成智慧之果巩固训练：根据下列条件求圆的标准方程：(1)经过点(0,4)，(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；(2)经过点A(3,5)和B(－3,7)，且圆心在x轴上；(3)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x －3y ＋5＝0上．四、点燃智慧之炬——巩固训练1．方程x －1＝21y -表示的曲线是什么？2．方程y ＝2)1(1--x 表示的曲线是什么？3．已知△ABC 的三顶点分别是A(1,1)，B(2,3)，C(－1,2)，如何求△ABC 外接圆的方程？五、生成智慧之果——课堂小结1.基础知识：圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2圆心在原点的圆的标准方程：x 2+y 2=r 22.基本应用：(1)能根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径；(2)会根据条件求圆的标准方程：①待定系数法（设圆的方程，建立方程组）②数形结合法（定圆心和半径）六、作业布置课堂作业：课本111页习题2.2（1）1，3题.课后作业：《泰微课》（测评与反馈）P62 第1~4、7、8题P64 第7题。

圆的标准方程学习目标：1.掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径。

2.会根据不同的已知条件，利用几何法或待定系数法建立圆的标准方程；能运用圆的标准方程解决一些实际问题。

问题导学：1．什么叫做圆？ 2。

确定圆需要哪几个要素？3．圆心是C(a,b)，半径是r 的圆的方程是什么？探索过程： 观察圆的方程的特点有哪些？范例导析：例1：求圆心是C （2,-3），且经过原点的圆的标准方程.例2:已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1)和B (2, －2)，且圆心C 在直线上l ：x －y +1=0，求变式1：直线x+y=4和x-y=-2均过圆心，半径为3的圆的标准方程是什么？ 变式4：求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A (2， 3)的圆的标准方程。

变式3：求圆心在（1，3），且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程. 变式2：已知点A （-4，-5），B （6，-1），求以线段AB 为直径的圆的标准方程.圆心为C 的圆的标准方程．例3：已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？巩固练习：课外作业：《同步学案》圆的方程第1课时课后思考：已知：一个圆的直径端点是11(,)A x y ，22(,)B x y 。

证明：圆的方程是()()()()12120x x x x y y y y --+--= 4.求经过两点A(-1, 4)、B （3，2）， 且圆心在y 轴上的圆的方程。

3.求以点C( -1 ,-5)为圆心,并且和y 轴 相切的圆的方程。

2.求以点A (1, 5)与B （3，-1）为直径 两端点的圆的方程。

1. 求经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2)的 圆的方程。

人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计教学目标1.掌握圆的标准方程的概念及其应用。

2.能够通过已知圆心坐标和半径求解圆的标准方程。

3.能够利用圆的标准方程解决实际问题。

教学重点1.圆心坐标及半径的概念。

2.圆的标准方程的推导及应用。

3.实际问题的解决。

教学难点1.圆的标准方程的推导。

2.实际问题的解决。

教学准备1.教学PPT。

2.教案。

3.圆板、圆规、直尺等几何工具。

4.笔、纸等文具。

教学步骤步骤一：引入通过PPT展示圆的图片及其应用场景，引出本次授课的主题：圆的标准方程。

让学生了解圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

步骤二：概念讲解1.通过PPT讲解圆心的概念，引导学生认识圆心在圆上的位置关系，并在黑板上画出圆心的示意图。

2.通过PPT讲解半径的概念，引导学生从几何角度认识“半径”这个概念，并在黑板上画出半径的示意图。

3.通过PPT介绍圆的标准方程的概念及应用场景，引导学生了解这一概念与几何学中圆的相关问题的解决有着密切的联系。

步骤三：标准方程的推导1.通过PPT讲解圆的标准方程的定义，即：以圆心为原点，半径为r的圆所对应的点的坐标满足x^2 + y^2 = r^2，引导学生根据定义推导出圆的标准方程的数学表达式。

2.在黑板上进行推导，让学生理解标准方程的求解过程。

步骤四：标准方程的应用1.引导学生使用标准方程求解已知圆心坐标和半径的圆的方程。

2.调动学生的学科知识，结合相关实例进行讲解，让学生感知标准方程在解决实际问题中的应用。

3.引导学生掌握使用标准方程解决实际问题的基本方法和技巧，以及提高学生对几何思维的理解和应用能力。

教学方法1.让学生主动参与课堂讨论，边讲解边呈现相关习题和实际问题的解决方案。

2.引导学生多思考、多探究，开展适当形式的小组活动，提高学生的动手实践能力。

3.针对学生的不同程度，采取灵活多样的教学方法，如“三人小组集训法”，“错题集法”，“比赛法”等等，使每位学生都能够有效参与课堂，并在圆的标准方程学习过程中有所收获。

4．1.1 圆的标准方程教学目标1．明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程．2．会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．教学重难点教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：根据具体条件求写出圆的标准方程，教学过程（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)+(y-b)=r(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．基础知识1．圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是______和______标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是____________ 图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的____适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在____上由圆的标准方程，可直接得到圆心和半径；给出圆心和半径，也可直接写出圆的标准方程．【做一做1－1】圆x2＋y2＝1的圆心为( )A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．不存在【做一做1－2】圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为( )A．1 B. C．2 D．4练习：写出下列各圆的方程圆心在点C（3,4），半径是√5 （C类学生做）（2）经过点P（5,1），圆心在点C（8，-3）（AB类学生做）补充练习写出圆的圆心坐标和半径（x+1）2+（y-2）2=9 （C类学生做）（2）（x+a）2+y2=a2 （AB类学生做）2．点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2点在圆上d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2（四）例题解析题型一：判断点与圆的位置关系例1.写出圆心为A（2，3）半径长等于5的圆的方程，并判断点M1（5，-7），M2（- ，-1）是否在这个圆上。

《圆的标准方程》教案一.教学目标1、知识与技能目标：（1）理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，并能从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径。

（2）能够理解和判断点与圆的位置关系。

（3）能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。

（2）学会借助实例分析探究数学问题。

3、情感态度与价值观目标：通过学生的主动参与，师生间及学生间的合作交流，提高学生的学习兴趣，从而激发求知欲，培养兴趣和探索精神。

二．学情分析学生们在初中已经对圆有所接触，学习了圆的一些基础知识，再加上之前学习两点之间距离公式，因此对推导圆方程的过程较易接受。

但学生平时较重视课本知识的学习，缺乏探究能力，因此对圆的标准方程的应用还有待加强。

在情感上，学生对已接触过的事物富有较高的激情，学习动机更容易被激发。

三．重点难点1.教学重点：圆的标准方程。

2.教学难点：根据不同的条件灵活应用待定系数法及几何法求圆的标准方程。

四．教学过程活动1【导入】创设情境，引入新课教师用多媒体播放实际生活中圆的模型,引导学生从中看出圆的几何图形。

并引出今天所学新课内容——圆的标准方程。

（所用时间1分钟即可，可从直观上加深学生对圆的感觉，激发学习兴趣）活动2【导入】复习引入引导学生回顾：1.两点之间距离公式？2.初中所学的圆的定义？（教师在白板上画出圆，让学生明确体会圆的定义和确定圆的两要素）3.确定一个圆需要几要素？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 活动3【活动】课堂探究1确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，且r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么根据圆的定义，得点M 满足的条件是（引导学生自己列出）|MA|=r,再由两点间距离公式让学生写出点M 适合的条件 r b y a x =-+-22)()(，化简可得：(x −a )2+(y −b )2=r 2 提出问题：特别地，当圆心为原点O （0,0）,半径为r 时，圆的标准方程又如何？（引导学生自己列出）归纳总结：1.圆心坐标C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程：(x −a )2+(y −b )2=r 22.圆心坐标为原点O （0，0），半径为r 的圆的标准方程：x 2+y 2=r 23.圆的标准方程的特点：（1）二元二次方程，x ，y 前系数为1（2）含有a，b，r，三个未知数，且已知圆的标准方程能求出圆心和半径，反之亦然。

1 / 52 / 5教 学 过 程 与 内 容师生活动 一、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、探索研究：1、圆的标准方程：推导：设M 〔x,y 〕是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ,所以圆C 就是集合}.|| {r MC M P ==由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为r b y a x =-+-22)()(，把此式两边平方，得222)()(r b y a x =-+-注：〔1〕这是二元二次方程，展开后没有xy 项〔2〕括号内x ，y 的系数都是1〔3〕点(a ，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径，只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了 〔4〕当圆心在原点，即C(0，0)时，方程为222r y x =+.〔5〕圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，三个独立的条件．注意，确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决．2、对照之先方程的概念，使学生意识到：假设平面上一点M 〔x,y 〕适合上述方程，那么M是圆上的点。

3、根据上述解法,总结求曲线方程的一般步骤：〔1〕建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； 〔2〕写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程王新敞)〔3〕用坐标表示条件P 〔M 〕，列出方程0),(=y x f ; 〔4〕化方程0),(=y x f 为最简形式；〔5〕证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞)简记为：建系、设点、列式、化简、证明。

4、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：〔1〕2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 〔2〕2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 〔3〕2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内三、应用举例：例1：根据以下条件，求圆的方程：〔1〕圆心在点(2,1)-，并过点(2,2)A -；22(2)(1)25x y ++-=引导学生分析研究独立解决3 / 54 / 55 / 5。

圆的标准方程课标解读栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性.编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作.教学策略栏目功能：针对本节教学内容，在教材处理、教法等方面简要阐述一些有建设性的教学建议，使教师的教学目标性强、针对性强.编写要求：注意应突出启发性、过程式原则，不要写的太死，要写出最好的教学手段，怎样处理新旧知识的联系以及处理问题的方法和注意事项，不要完全照搬教参。

1．本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。

难点是用数形结合法求圆的标准方程。

2．在得到圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。

即若点M 在圆上，由上述结论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若N 的坐标适合方程，说明点N 与圆心A 的距离为r 。

3．对于圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，应强调其圆心为C(a ,b )，半径为r ，注意方程中的减号。

4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。

5．在引导学生列关于a 、b 、r 的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。

学习策略栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。

编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。

1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.3.1圆的标准方程【目标要求】（1）了解圆标准方程的概念．（2）理解公式的推导过程，掌握过圆的标准方程的求法．（3）通过圆标准方程推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 【巩固教材——稳扎马步】1． 圆心为坐标原点，半径为最小的完全平方数，则圆的方程为（ ）A ．()()22111x y -+-=B ． 221x y += C ．()2214x y -+= D ． 224x y +=2．已知圆的方程为()()22229x y -++=，点()2,3和该圆的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法确定 3． 圆过点()2,3A -和点()4,5B ，并且直径是AB 那么圆的方程为（ ）A ． ()()221217x y -+-= B ． ()()222134x y -+-= C ．()()222117x y -+-= D ． ()()222117x y -+-= 4．集合(){},1,1A x y x y =≤≤，()()(){22,B x y x a y a =-+-＜}1，若AB =Φ，则实数a 的取值范围是____________。

A ． 212a ≥+B ． a ＞212+ C ． 12a ≥+ D ．a ＞12+ 【重难突破——重拳出击】5．若直线过点(0,2)，且被圆224x y +=截得的弦长等于2，则此直线的斜率等于：（ ）A ．32±B.33± C.3± D.2±6. 圆22(1)(1)8x y +++=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有：（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，的坐标都使不等式0≥++c y x 成立，则c 的取值范围是（ ）．A.(]0，∞- B. [21,)++∞ C.[21,)-+∞ D.[12,)-+∞ 8．已知111222(,),(,)P x y P x y ，则下列方程中不是以线段12P P 为直径的圆的方程的是：（ ） A.1212()()()()0y y y y x x x x --+--=B.222212121212()()()()2222x x y y x x y yx y ++---+-=+ C.12121y y y y x x x x --⋅=--- D.2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=9．已知圆心在x 轴上，半径为5，且以(5,4)A 为中点的弦长是25，则这个圆的方程为：（ ）A.22(3)25x y -+= B.22(7)25x y -+=C.22(3)25x y ±+= D.22(3)25x y -+=或22(7)25x y -+=10．设直线 230x y --=与y 轴交点为P ，点P 把圆()22125x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为（ ）A ．73或37 B ． 47或 74 C ． 75或 57 D ．67或 7611．若实数x y 、满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是（ ） A ．5 B ．9 C ．10 D ．525+12．一束光线从点A （-1，1）出发经x 轴反射到圆C ：()()22231x y -+-=的最短路程是（ ）A ．4B ．5C ． 321-D ． 26 【巩固提高——登峰揽月】13．已知过(0,1)A 和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值，及此时圆的方程。