[教案+试卷]高中数学2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。

向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）学 习 目 标：1通过自学课本能推导出向量数量积的坐标表达式，并写出两向量垂直的坐标公式。

2通过自学课本能够准确写出向量的长度、距离和夹角余弦的坐标公式并会熟练地应用解决有关问题。

3通过合作探究一学会向量垂直条件坐标形式的应用，通过合作探究二学会求已知向量夹角为锐角和钝角时参数的取值范围。

通过合作探究三体会向量的工具性以及函数思想的应用。

4根据学习的内容，完成思维导图案。

自学指导一）阅读课本P112至思考讨论前思考以下问题1、在正交基底{}21,e e 下，已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出它们的正交分解式吗？{}21,e e 的模与数量积分别是多少？由此你能推出a ·b 坐标表达式吗？2、向量b a ,垂直的等价条件是什么？你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？（二）阅读课本P112下3、向量的长度、距离和夹角公式至P113例题2并思考思考以下问题1. 你能写出a ·b 的定义式吗？2、根据a ·b 的定义式你能快速写出|a |以及><b a ,cos 的表达式吗？3.若已知向量已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出|a |以及><b a ,cos 的坐标表达式吗？4已知),(),(2211y x B y x A ==则AB =自学检测中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝1，－2，错误!＝2,1，则错误!·错误!＝A ．5B ．4C ．3D ．22已知向量a =（-1,2），b =（3,），若a ∥b ，则=_______;若a ⊥b ，则=_______3已知向量a =（4,5），b =（-4，3），求a ·b ，|a |，|b |,cos a b4 夹角的余弦值为与则若b b a a ),12,5(),4,3(=-=（1,2），B （-5,8），C （-2，-1），求证：AB ⊥AC 。

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。

2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。

3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。

二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。

2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。

三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。

2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。

3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。

4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。

四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。

2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。

3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。

第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。

2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。

3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。

第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。

2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。

五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。

并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学 习 目 标核 心 素 养1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2．能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养(1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22. (2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？[提示] 由于单位向量a 0＝a |a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a |a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A ．5B ．4C ．－2D ．－1D [a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________.－210 [∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a |＝22＋22＝22，|b |＝－82＋62＝10.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－422×10＝－210.]3．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________. ±4 [|a |＝32＋x 2＝5，∴x 2＝16.即x ＝±4.]平面向量数量积的坐标运算则x 的值等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]向量的模的问题则|2a－b|等于( )A．4 B．5C．3 5 D．45(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)2 5 4 [(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)由题意知，a ＋b ＝(－2,4)，a －b ＝(4,0)， 因此|a ＋b |＝25，|a －b |＝4.] 向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. 2．已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________．[2，＋∞) [∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋x ＋22＝2x 2＋4x ＋4＝2x ＋12＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞)．]向量的夹角与垂直问题1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. ∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？[思路探究] (1)可利用a ，b夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0a ≠λb求解．(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a－b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)．因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向， 即4k －6－6<0， 解得k <3.当2a －3b 与c 反向时，k ＝－92，所以k 的范围是k <3且k ≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题． 2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( )A. 2 B ．2 C ．5 2D ．50A [∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝－12＋12＝ 2.故选A.]2．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4A [∵a ·b ＝|a |·|b |cos π4，∴3x ＋2＝10×x 2＋4×22，解得x ＝1或x ＝－4.又∵3x ＋2>0，∴x >－23，故x ＝1.]3．设a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0.即x ＋2(x ＋1)＝0. 解得x ＝－23.]4．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究探究一 向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．【例1】 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解：(1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， 所以a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，a ＋b ＝(5,2)，所以|a ＋b |＝225229+＝．(2)设向量a 与b 的夹角为x ，则cos ＝a b a b ∙＝222211(1)43+-∙+＝152＝210．探究二 向量的模、夹角的坐标表示1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．2．向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．【例2】 已知向量a ＝(－2，－1)，a ·b ＝10，|a －b |＝5，则|b |＝( )A ．25B ．210C ．20D ．40解析：设b ＝(x ，y )，由a ＝(－2，－1)，a ·b ＝10，可得－2x －y ＝10．①a －b ＝(－2－x ，－1－y )，所以|a －b |＝22(2)(1)x y --+--＝5．②由①②可得x ＝－4，y ＝－2．所以b ＝(－4，－2)，|b |＝22(4)(2)-+-＝25．答案：A反思 本题是利用公式|a |＝2122a a + (其中a ＝(a 1，a 2))求解．【例3】 在△ABC 中，AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． 分析：要对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A ＝90°时，AB ·AC ＝0，所以2×1＋3×k ＝0．所以k ＝－23． 当B ＝90°时，AB ·BC ＝0，BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0．所以k ＝113． 当C ＝90°时，AC ·BC ＝0，所以－1＋k (k －3)＝0，所以k ＝3132±． 因此，当k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3132±时，△ABC 的一个内角为直角． 探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．【例4】 以原点O 和点A (5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO ，B 为直角顶点，试求AB 的坐标． 解：设B (x ，y )，则OB ＝(x ，y )，AB ＝(x －5，y －2)．因为△ABO 是等腰直角三角形，故OB ⊥AB ，且|OB |＝|AB |，所以2222(5)(2)0,(5)(2),x x y y x y x y -+-=⎧⎨+=-+-⎩解得117,232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22327.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【例5】 已知a ＝(3，－1)，b ＝13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且存在实数k 和t 使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求2k t t+的最小值． 解：由题意有|a |＝2，|b |＝1．因为a ·b ＝3×12－1×32＝0，所以a ⊥b ． 因为x ·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，化简得k ＝t 3－3t 4，所以2k t t+＝14(t 2＋4t －3)＝14 (t ＋2)2－74． 当t ＝－2时，2k t t+有最小值为－74． 反思 本题的关键是注意到a ⊥b ，以此来化简x ·y ＝0．探究四易错辨析易错点：因a·b<0理解不完全而致误【例6】设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，即－2λ－1<0，解得λ>－12．错因分析：a·b<0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b的夹角为平角的情况舍去．正解：a·b<0⇒(－2,1)·(λ，－1)<0⇒λ>－12．又设b＝t a(t<0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，所以λ∈1,22⎛⎫-⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．故选A．答案：A。

高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积一、教学目标本课程旨在让学生掌握向量的数量积和向量积的概念、性质和使用方法，特别是向量积在求解平面中的面积和三角形的重心、外心、垂心等几何中的应用。

二、教学内容1. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数量乘积，即A·B =|A||B|cosθ。

其中，cosθ是两个向量夹角的余弦值。

向量的数量积满足以下几个性质：(1) A·B = B·A，即数量积满足交换律；(2) A·(kB) = k(A·B) = (kB)·A，其中k是常数；(3) A·A = |A|^2即自己与自己的数量积等于向量的长度的平方。

2. 向量的向量积向量的向量积是指两个向量所形成的平行四边形的面积的大小，方向垂直于这两个向量构成的平面。

向量的向量积满足以下几个性质：(1) A×B = -B×A，即向量积满足反交换律；(2) A×(kB) = k(A×B) = (kB)×A，其中k是常数；(3) A×B = 0 当且仅当两个向量共线；(4) A×B的大小等于|A||B|sinθ，其中θ是两个向量所夹角的大小。

三、教学方法1. 以具体的例子讲解向量的数量积和向量积的含义和性质；2. 通过多个实例演示向量的数量积和向量积在几何中的应用；3. 帮助学生理解向量数量积和向量积的物理意义。

四、教学步骤1. 向量的数量积(1) 向量的数量积的概念和性质；(2) 数量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量数量积的应用在平面几何和物理中的场景。

2. 向量的向量积(1) 向量的向量积的概念和性质；(2) 向量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量的向量积的应用在平面几何和物理中的场景。

五、教学重点和难点1. 向量的数量积的概念、性质和应用；2. 向量的向量积的概念、性质和应用；3. 向量的数量积和向量积在几何中的应用。

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、背景描述在运算教学中，教师往往会从实效的角度出发，忽略了公式的本源而更加注重公式的应用。

结果会导致学生生搬硬套，不能灵活解题。

实际上，运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，教学设计要呈现出高中数学核心要素——数学运算。

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能通过运算促进数学思维发展。

二、教材分析前面我们学习了平面向量的数量积运算以及平面向量的坐标表示，这为研究向量数量积的坐标表示奠定了知识和方法的基础。

由于数量积运算涉及了向量的模与夹角，因此在实现了数量积运算的坐标表示之后，推导出模与夹角的度量公式。

本节课把数量积运算的研究从“定性”推到“定量”的深度，使空间结构系统地代数化，为用“数”的运算解决“形”的问题搭建了桥梁。

不仅使使学生形成了完整的知识体系，而且对后续用空间向量求解立体几何问题有着深远的意义。

三、学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了向量数量积的性质、运算及向量线性运算的坐标运算，并且初步体会了研究向量的一般方法。

从知识层面上看，学生对于本节课的学习相对容易。

但由于学生数学思维能力较弱，知识迁移能力不强，体现在对向量运算法则易混以及运算不准确等方面。

鉴于农村普通高中学生基础薄弱，数学思维能力较差的特点，教师要着力于引导学生构建知识体系，再设计合理的导学案，提升学生运算素养；让学生主动参与课堂并组织互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。

四、重难点分析由以上教材分析和学情分析，确定本节教学重难点如下：1.教学重点：向量数量积的坐标表示2.教学难点：向量数量积坐标表示的应用五、目标分析1.通过探究数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表达形式；2.会利用坐标形式进行平面向量数量积的运算解决有关长度、角度、垂直等几何问题；3.通过向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对数量积的认识，提高运算速度，培养运算能力，提高归纳类比的能力及数形结合的能力，提升学生数学学科素养。

向量数量积的运算律示X教案整体设计教学分析上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算．学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框．学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律．认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础．三维目标1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和．2．通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题．3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生表达表达自己解题思路和探索问题的能力．重点难点教学重点：向量数量积的运算律．教学难点：向量数量积运算律的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更有意义．现在我们探索一下，看看它会有哪些运算律呢？思路2.(特例引入)让学生计算a·b和b·a，其中|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝π3.学生会发现向量运算满足交换律，进而探究是否满足其他的运算律呢？推进新课新知探究提出问题1由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？2我们知道，对任意a，b∈R，恒有a＋b2＝a2＋2ab＋b2，a＋b a－b＝a2－b2.对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？①a＋b2＝a2＋2a·b＋b2；②a＋b·a－b＝a2－b2.活动：首先看看它有没有交换律a·b＝b·a.由向量数量积的定义，得|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ，可以直接推出交换律成立．在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了．向量的数量积是否具有分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c?直观上，不太容易看出它是否成立．让我们从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立．我们知道，一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正射影的数量．如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，那么分配律变为(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0.①证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正射影的数量等于各个向量在这个方向上的射影的数量和．为此，我们画出①式两边的几何图形(图1)，看看能否推出①式两边相等．图1作轴l与向量c的单位向量c0平行．作OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b .设点O ，A ，B 在轴l 上的射影为O ，A′，B′，根据向量的数量积的定义有 OA′＝OA →·c 0＝a ·c 0， A′B′＝AB →·c 0＝b ·c 0， OB′＝OB →·c 0＝(a ＋b )·c 0，但对轴上任意三点O ，A′，B′，都有OB′＝OA′＋A′B′， 即(a ＋b )·c 0＝a·c 0＋b·c 0， 这就证明了①式成立．①式两边同乘以|c |，得(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 至此，我们完成了分配律的探索与证明．另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数λ，有λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．至此，我们探究并证明了数量积的运算律：a ，b ，c 和实数λ，那么向量的数量积满足以下运算律：①a·b ＝b·a (交换律)；②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； ③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．应向学生特别指出：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.(2)实数a 、b 、c(b≠0)，那么ab ＝bc a ＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·c 不能推出a ＝c .由图2很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a ≠c .图2(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a 、b 、c ，(a·b )c ＝a (b·c )不成立．这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )不成立．讨论结果：(1)数量积满足a·b ＝b·a (交换律)； (λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； (a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)． (2)1°(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝a 2＋2a·b ＋b 2；2°(a ＋b )·(a －b )＝a·a －a·b ＋b·a －b·b ＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2. 显然由1°式解出：3°a ·b ＝12((|a ＋b |)2－|a |2－|b |2)．此时可向学生点明(2)中的三个向量表达式，有着深刻的几何意义．后面马上就要学到．应用示例思路1例1在△ABC 中，设边BC ，CA ，AB 的长度分别为a ，b ，c. 证明：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.活动：根据上面的讨论结果，教师指导学生自己完成证明． 证明：如图3，设AB →＝c ，BC →＝a ，AC →＝b ，图3那么a 2＝|a |2＝|BC →|2＝BC →·BC → ＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝(b －c )·(b －c ) ＝b ·b ＋c ·c －2b ·c ＝|b |2＋|c |2－2|b ||c |cosA＝b 2＋c 2－2bccosA. 同理可证其他二式．点评：这就是上面讨论结果②中1°，3°的式子，我们把这个结果称为余弦定理，以后我们还要专门讨论它的意义，教材把它放到必修5中去了，以便那个时候再返回到低的层面上循环.例2求证：菱形的两条对角线互相垂直．：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线(图4)．图4求证：AC⊥BD.证明：因为AC →＝AB →＋AD →， BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2.因为|AB →|＝|AD →|，所以AC →·BD →＝0. 因此AC⊥BD.点评：上面讨论结果②中的3°式，作出图来，显示的即为平行四边形的性质．当等式右边等于0时，也就证明了菱形的对角线互相垂直，这点可对学有余力的学生点明一下．思路2例1在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， 即a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )． 由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2. 又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2. 同理可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2. 由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA ， ∴ABCD 是平行四边形． 故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b ，即AB →⊥BC →. 综上所述，ABCD 是矩形．点评：此题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2a ，b 是两个非零向量，且|a|－|b|＝|a ＋b|，求向量b 与a －b 的夹角． 活动：教师引导学生利用向量减法的平行四边形法那么，画出以a ，b 为邻边的ABCD ，假设AB →＝a ，CB →＝b ，那么CA →＝a ＋b ，DB →＝a －b .由|a|－|b|＝|a ＋b |，可知∠ABC＝60°，b与DB →所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算，得出向量b 与a －b 的夹角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点拨和指导，即由cos 〈b ，a －b 〉＝b·a －b|b||a －b|作为切入点，进行求解．解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2. ∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.∴a·b ＝－12|b|2. 而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2， 而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2， ∴|a －b|＝3|b|.② ∵cos〈b ，a －b 〉＝b·a －b|b||a －b|，代入①②，得cos 〈b ，a －b 〉＝－32|b|2|b|·3|b|＝－32.又∵〈b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈b ，a －b 〉＝5π6.变式训练设向量c ＝m a ＋n b (m ，n∈R )，|a |＝22，|c |＝4，a ⊥c ，b·c ＝－4，且b 与c 的夹角为120°，求m ，n 的值． 解：∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.又c ＝m a ＋n b ，∴c·c ＝(m a ＋n b )·c ， 即|c |2＝m a·c ＋n b·c .∴|c |2＝n b·c . 由|c|2＝16，b·c ＝－4， ∴16＝－4n.∴n＝－4. 从而c ＝m a －4b .∵b·c ＝|b||c |cos120°＝－4， ∴|b |·4·(－12)＝－4.∴|b |＝2.由c ＝m a －4b ，得a·c ＝m a 2－4a·b ，课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，通过回顾数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，探究得到了数量积的运算律．2．教师进行简要总结本节学习的数学方法：归纳类比、数形结合等．我们通过类比实数的乘法运算，得到了数量积满足的三条运算律，并且这些运算律类似于实数的乘法运算律，很方便记忆和运用．3．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题．如在探究完数量积满足的运算律之后，又接着探究了三个向量a，b，c，数量积不满足结合律，这点往往被学生忽视．作业课本本节习题2.4 A组2、3、4.设计感想1．本节是平面向量的核心部分，也是解决物理、几何问题的基础，其重要性显而易见，也是高考的热点之一．应让学生结合上节中数量积的定义、重要性质综合归纳整理一下，并进行必要的基础练习．2．结合学生的归纳整合，教师根据学生掌握的情况可再次提醒几个常见思维误区，如向量夹角的定义、X围，三个向量的积的结合律问题等．以便学生更深层次地理解数量积的内涵和外延，切实掌握好数学概念．3．对于本节教材中的例1可视教学情况作适度引申，尝试一下也不失为一种教法，对必修5的教学或许有意想不到的好处．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.如图5.图5向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ，那么|a×b|＝|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，假设这两个向量中至少有一个是零向量，那么a×b＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(m a)×b＝m(a×b)．二、备用习题1．平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，那么λ等于( ) A．－1 B．1C．－2 D．22．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有以下四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2. 其中正确的是( )A ．①② B．②③ C ．③④ D．②④ 3．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，那么|b||c|2－b·c2等于( )A ．0 B.12S △ABCC ．S △ABCD ．2S △ABC4．设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，那么实数m ＝________.5．假设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，那么a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.6．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求： (1)(a －3b )·(2a ＋b )； (2)|3a －4b |.7．|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，某某数λ的取值X 围．8．|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与n ＝a －4b 的夹角的余弦值．解答：1．A 2.D 3.D 4.－2 5.－13 6．(1)－30＋303；(2)337＋144 3. 7．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856}．8．解：由向量的数量积的定义，得a·b ＝2×1×cos π3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21.word∴|m|＝21.又∵n＝a－4b，∴n2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝12.∴|n|＝2 3.设m与n的夹角为θ，那么m·n＝|m||n|cosθ.①又m·n＝2a2－7a·b－4b2＝2×4－7－4＝－3.把m·n＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，∴cosθ＝－714，即向量m与向量n的夹角的余弦值为－714.。

(完整word 版)平面向量的坐标运算和数量积教案【课题】平面向量基本定理 【教学目标】1。

了解平面向量基本定理；2。

理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.【教学重点】平面向量基本定理【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用 【教学过程】一.复习引入⒈实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作:λa（1）|λa |=｜λ｜｜a ｜;（2）λ>0时λa 与a方向相同;λ〈0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ（μa )=(λμ)a；分配律：（λ+μ）a =λa +μa ， λ（a +b )=λa+λb3。

向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使b =λa .4.由火箭升空和小练习：已知向量1e ，2e ,求作向量 2.51e +32e 引入二.新课讲解1．平面向量基本定理:如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e ，2e 均非零向量；②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一;④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时,a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．⑤一个平面向量用一组基底12,e e 表示成1122a e e λλ=+的形式，称它为向量a 的分解.当12,e e 所在直线互相垂直时这种分解称为a 的正交分解.(完整word 版)平面向量的坐标运算和数量积教案2．例题分析： 例1。

书69P 例1变式练习：,OA a OB b ==，试用1.已知OADB 的对角线交于点C,且11,33BM BC CN CD ==.如果,a b 表示,OM ON 。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂导学三点剖析一、向量数量积的坐标运算若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.(1)求D 点的坐标;(2)用、表示.思路分析:求D 点坐标要先设出D 点的坐标,然后用待定系数法求之.解：(1)设D(x,y),则AB =(1,2),AD =(x+1,y), 所以·=x+1+2y=5,①2=(x+1)2+y 2=10.②联立①②,解之,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=.1,23,2y x y x 或所以D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当D 点的坐标为(-2,3)时,AB =(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m +n ,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),所以⎩⎨⎧+=-=-.321,2n m n m 所以m=-1,n=1. 所以AC =-+.当D 点的坐标为(2,1)时,设AC =p AB +q AD ,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),所以⎩⎨⎧+=+=-.21,32q p q p 所以p=1,q=-1. 所以=-.综上,当D 点的坐标为(-2,3)时,AC =-+.当D 点的坐标为(2,1)时,AC =AB -AD .各个击破类题演练 1设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值.思路分析:运用(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°列出等式,解方程.解:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),(a +t b )·b =(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=+-++t t t . 由(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.温馨提示本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.变式提升 1已知向量a 与b 同向,b=(1,2),a·b =10.(1)求向量a 的坐标;(2)若c =(2,-1),求(b ·c )a .思路分析:因为a 与b 同向,所以在设出a 的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件. 解:(1)∵a 与b 同向,∴可设a =(k,2k)(k>0).又a·b =10,∴(k,2k)·(1,2)=10⇒k=2.∴a =(2,4).(2)(b ·c )a =［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.二、两向量垂直条件的坐标表示设a 与b 为两个非零向量,且a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0.【例2】 在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 为直角三角形,求k 的值.思路分析:题目中只给出了△ABC 为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论. 解：若∠A=90°,由已知得·=0,∴2×1+3k=0,解得k=32-. 若∠B=90°,则·=0, ∵BC =AC -=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∴AB ·BC =2×(-1)+3(k-3)=0,解得k=311. 若∠C=90°,则·=0.∴1×(-1)+k(k-3)=0,即k 2-3k-1=0,解得k=2133±. 综上可得k=32-或k=311或k=2133±. 类题演练 2已知a =(1,0),b =(1,1),当λ为何值时,(a +λb )⊥a ?思路分析:先求出a +λb 的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.解:∵a =(1,0),b =(1,1),∴a +λb =(1+λ,λ).又∵a +λb 与a 垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.∴当λ=-1时,a +λb 与a 垂直.变式提升 2平面上三点A 、B 、C 共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且⊥.求m 、n 的值. 思路分析:解答本题要注意A 、B 、C 三点共线这个条件的运用,即与AC 共线. 解:由题意得向量AB 与AC 共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.∴⎩⎨⎧=+-=----+.02,0)1(7)1)(2(m n m m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==.23,33,6n m n m 或 三、向量的模、距离和夹角公式1.设a =(a 1,a 2)，则|a |=2221a a +.2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 则=(x 2-x 1,y 2-y 1)， ∴|AB |=212212)()(y y x x -+-.3.设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则cos 〈a ,b 〉=222122212211b b a a b a b a +•++.【例3】 已知a =(-2,-1),b=(λ,1),若a 与b 的夹角α为钝角,求λ的取值范围.思路分析：由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=||||b a b a •去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.解:由题意cosα=1512||||2+•--=•λλb a b a ,∵90°<α<180°,∴-1<cosα<0.∴-1<15122+•--λλ<0.∴⎪⎩⎪⎨⎧+->--<--.5512,0122λλλ 即⎪⎩⎪⎨⎧+<+->.55)12(,2122λλλ即⎪⎩⎪⎨⎧≠->.2,21λλ∴λ的取值范围是(-21,2)∪(2,+∞). 类题演练 3已知a 、b 是两个非零向量,同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.思路分析:设出a 与b 的坐标,运用公式.解:设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2·21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12), 得|a +b |=)(32121y x +.设a 与a +b 的夹角为θ,则cosθ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+••++++=++•y x y x y x y x b a a b a a . ∴θ=30°.变式提升 3如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，试用向量法证明PA ⊥EF .证明:以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，|DP |=λ，则A （0，1），P （22λ，22λ），E （1，22λ），F （22λ，0）.于是PA =（22-λ，1-22λ），EF =(22λ-1,22-λ).∵PA ·EF =(22-λ)·(22λ-1)+(1-22λ)(22-λ)=0,∴⊥.。

高中数学2-3平面向量的数量积2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练新人教B 版必修4高中数学2-3平面向量的数量积2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练新人教B 版必修45分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC 为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB2+AC2=BC2.∴△ABC 为直角三角形.(本题亦可画图，验证·=3-3=0⊥)⇒答案：B2.已知m=(3，-1)，n=(x ，-2)，且〈m ，n 〉=，则x 等于（ ）4π A.1B.-1C.-4D.4解析：cos=，解得x=1.4π410232+∙+x x答案：A3.已知a=(2，5)，b=(λ，-3)，且a⊥b，则λ=________________. 解析：∵a⊥b，∴a·b=0，即2λ-15=0，λ=.215答案：215 4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O 为原点)为_________________.解：设=(x ，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1). ∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0.①OC OB又∵∥，∴3(y -1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0.②BC OA由①②得x=11，y=6.∴=(11，6).答案：(11，6)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a=(m-2，m+3)，b=(2m+1，m-2)，且a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围为（ ）A.m ＞2或m ＜B.＜m ＜234-34- C.m≠2D.m≠2且m≠34- 解析：a 与b 夹角大于90°a·b＜0，⇔a·b=(m -2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m2-2m-8,解不等式3m2-2m-8＜0，得＜m ＜2.34-答案：B2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k 为常数.若||=||,则与的夹角为( )AB AC AB ACA.arccos()B.或arccos 2524-2π2524 C.arccosD.或π-arccos 25242π2524。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课前导引
情景导入
已知△ABC 中，a =5，b =8,∠C=60°,求·.
对此题，有位同学求解如下：
解析:如下图，∵||=a=5，||=b=8，∠C=60°,
∴BC ·CA =|BC ||CA |cosC=5×8cos60°=20.请问：这位同学的解答是否正确？如果不正确，错在何处？
思路分析：不正确.原因在于没能正确理解向量夹角的定义.由于向量BC 与向量CA 的起点不同，因此，∠C 并不是它们的夹角，而正确的应是∠C 的补角为120°,所求数量积为-20. 知识预览
1.已知两个非零向量a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y
2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
2.若a =(x,y ），则|a |2=x 2+y 2
,|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别是（x 1,y 1),(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1)，|a |=212212)()(y y x x -+-.
3.设a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0.
4.设a 、b 都是非零向量，a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，θ
是a 与b 的夹角，则cos θ=
222221212121||||y x y x y y x x b a b a +++=∙.。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标表示设e1，e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1e1·e1，e2·e2，e1·e2分别是多少？思考2取e1，e2为坐标平面内的一组基底，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，试将a，b用e1，e2表示，并计算a·b.梳理设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式思考若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示.梳理(1)向量的长度公式：设a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝______________.知识点三两个向量夹角余弦的坐标表达式思考设a ，b 都是非零向量，a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？梳理设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，a 与b 的夹角为θ，则(1)cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22·b 21＋b 22. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.类型一平面向量数量积的坐标运算例1已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于()A.－1B.0C.1D.2类型二向量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图).已知点A (16,12)，B (－5,15).(1)求|OA →|，|AB →|；(2)求∠OAB .反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练2已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围.类型三向量垂直的坐标形式例3(1)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A.17 B.－17 C.16 D.－16(2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值.反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)，若(AB →－tOC →)⊥OC →，则实数t ＝____.1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为() A.π6 B.π4 C.π3 D.π22.已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于() A.30° B.45° C.60° D.120°3.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于()A.－4B.－3C.－2D.－14.已知平面向量a ，b ，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________.5.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值.1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.答案精析问题导学知识点一思考1e 1·e 1＝1×1×cos 0＝1，e 2·e 2＝1×1×cos 0＝1，e 1·e 2＝0.思考2∵a ＝a 1e 1＋a 2e 2，b ＝b 1e 1＋b 2e 2，∴a ·b ＝(a 1e 1＋a 2e 2)·(b 1e 1＋b 2e 2)＝a 1b 1e 21＋(a 1b 2＋a 2b 1)e 1·e 2＋a 2b 2e 22＝a 1b 1＋a 2b 2. 梳理a 1b 1＋a 2b 2知识点二思考∵a ＝(a 1，a 2)，∴|a |2＝a ·a ＝(a 1，a 2)·(a 1，a 2)＝a 21＋a 22，∴|a |＝a 21＋a 22.梳理(2)x 2－x 12＋y 2－y 12 知识点三思考cos θ＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22·b 21＋b 22. 题型探究例1解(1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．跟踪训练1C例2解(1)由OA →＝(16,12)，AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋1＝20，|AB →|＝－212＋32＝15 2. (2)cos ∠OAB ＝cos AO →，AB →＝AO →·AB →|AO →||AB →|. 其中AO →·AB →＝－OA →·AB →＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，故cos ∠OAB ＝30020×152＝22. ∴∠OAB ＝45°.跟踪训练2(－∞，－1)∪(－1,1)．例3(1)B(2)解∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°， 则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°， 则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 跟踪训练3－1当堂训练1．B2.A3.B4.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 5．解(1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝－12＋＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.。