第二章1.2 直线的方程第2课时目标导学 北师大版必修2

2.1.2 直线的方程(2)教学目标：1．掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况2．能够根据条件熟练地求出直线的方程教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围教学难点：根据条件熟练地求出直线的方程教学过程：1．问题情境问题：在几何中我们知道不同的两点确定一条直线，那如果知道直线上不同的两点坐标，如何求这条直线的方程呢？2．两点式方程已知直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，求直线l 的方程． 解：直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，∴斜率2121y y k x x -=-，代入点斜式得：211121()y y y y x x x x --=--， 当12y y ≠时，方程可写成112121y y x x y y x x --=--． 说明：(1)以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线的两点式方程；(2)两点式方程适用范围是12x x ≠，12y y ≠，即当直线与x 轴或y 轴垂直时，直线不能用两点式方程表示． 思考：由112121y y x x y y x x --=--得()()()()121121y y x x x x y y --=--，此方程表示什么？它能表示所有的直线吗？3．截距式方程例1．已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程． 解：l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 说明：(1)以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线的截距式方程；(2)截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．即当直线与x 轴，y 轴垂直或过原点时，直线不能用截距式方程表示．4．例题讲解例2．三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程。

第2课时直线方程的两点式和一般式问题导学1．直线的两点式和截距式方程活动与探究1求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A(－1，－5)和B(2,1)；(2)经过点A(0，－3)和B(4,0)；(3)经过点M(2,6)，且在两坐标轴上的截距相等．迁移与应用1．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；(2)过点A(－3，－4)，B(－3,10)；(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；(4)在x轴，y轴上的截距都是4.2．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．1．已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时，要注意这一局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．2．直线方程的一般式活动与探究2设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.迁移与应用1．经过点(1，－3)，且斜率是直线3x＋2y－1＝0的斜率的2倍的直线方程的一般式是__________．2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．直线方程的综合应用活动与探究3已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．迁移与应用1．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )．A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c2．若直线(3a ＋2)x ＋y ＋8＝0不过第二象限，求a 的取值范围．1．含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．2．直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过第一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过第二、三、四象限．当堂检测1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )．A ．y ＋11＋1＝xB ．y －1－1＝x －1－1C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x2．在x 轴，y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．A ．x 2＋y 3＝1B ．x 2－y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝03．若直线mx ＋(m －2)y ＋3＝0的斜率存在，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ≠0 B ．m ≠2 C ．m ≠0且m ≠2 D ．m ≠34．若直线3x ＋4y ＋m ＝0经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是__________． 5．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． 求：(1)边AC 所在直线方程；(2)AC 边上的中线BD 所在直线方程．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 预习交流1 提示：不能．当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，x 2－x 1＝0或y 2－y 1＝0，此时方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1无意义，因此不能用两点式表示．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.预习交流2 提示：若A ＝B ＝0，则方程变为C ＝0，此时该式不能表示任何直线．故直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0必须加上A ，B 不同时为0这个条件，才能表示一条直线．预习交流3 提示：当B ≠0时，直线的斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB；当B ＝0时，直线的斜率不存在，在y 轴上的截距不存在． 课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：(1)直接根据直线方程的两点式写出方程；(2)可利用直线方程的两点式，也可利用截距式直接写出方程；(3)需要对直线在两坐标轴上的截距等于0和不等于0进行分类求解．解：(1)由两点式得：y －(－5)1－(－5)＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x －y －3＝0，此即为所求直线的方程．(2)(方法1)由两点式得：y －(－3)0－(－3)＝x －04－0，整理得3x －4y －12＝0，即直线方程为3x －4y －12＝0.(方法2)由于直线经过点(0，－3)和(4,0)，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别是4和－3，由截距式得x 4＋y－3＝1，整理得3x －4y －12＝0.(3)①当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设其方程为x a ＋ya＝1，又直线经过点M (2,6)，所以2a ＋6a＝1，解得a ＝8.因此直线方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y －8＝0.②当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点M (2,6)，所以6＝2k ，解得k ＝3.直线方程为y ＝3x .综上，直线的方程为x ＋y －8＝0或y ＝3x .迁移与应用 1．解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0. (4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3,4)，∴3a ＋4－a ＝1，解得 a ＝－1.∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.活动与探究2 思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得m ≠－1且m ≠3，由②得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④ 由③得m ≠－1且m ≠12，由④得m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.迁移与应用 1．3x ＋y ＝0解析：由3x ＋2y －1＝0得y ＝－32x ＋12，该直线斜率为－32，从而所求直线斜率为2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，于是由点斜式可得所求直线方程为y ＋3＝－3(x －1)，整理得3x ＋y ＝0.2．C 解析：因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0，显然B ≠0.将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B ＜0，b ＝－CB＞0.所以直线不经过第三象限．活动与探究3 思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．(1)证明：方法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0.∵上式对任意的a 总成立，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.以下同方法一．(2)解：直线OA 的斜率为k =305105--=3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x =0时，y =35a --≤0，∴a ≥3.迁移与应用 1．C 解析：由题图形可知，直线l 1的斜率－1a ＞0，在y 轴上的截距－ba＜0，因此a ＜0，b ＜0；直线l 2的斜率－1c ＞0，在y 轴上的截距－dc＞0，因此c ＜0，d ＞0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a ＞－1c，因此a ＞c ，故选C.2．解：直线方程化为y ＝－(3a ＋2)x －8，由于该直线不过第二象限，∴－(3a ＋2)≥0，∴a ≤－23.当堂检测1．A 2．B 3．B 4．m ＞0 5．解：(1)∵A (0,4)，C (－8,0)，∴由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.∴边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)设中点D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得x 0＝0－82＝－4，y 0＝4＋02＝2.由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.∴AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.。

讲授新课,y yk x xx x-=≠-即：问：（1）经过点000(,)P x y且倾斜角为00的直线方程是什么？答：直线与y轴垂直，直线方程为：y y=（2）经过点000(,)P x y且倾斜角为090的直线能用点斜式方程表示吗？答：直线与x轴垂直，所以直线方程为：x x=例1求下列直线的方程（1）直线l：过点()1,2，1-=k;（2）直线l：过点()1,2和点()3,3-（3）直线l过点()5,0,1-=k问：若已知直线l与y轴的交点为(0,)A b，的斜率等于k，求直线l的方程。

方程bkxy+=与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数bkxy+=？一次函数中和b的几何意义是什么？例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程？问：已知两点()112,P x x，()222,P x y，其中()1212,x x y y≠≠，求通过这两点的直线方程解：当21x x≠时，直线斜率存在，且斜率2121y ykx x-=-，学生根据斜率公式，可以得到直线的点斜式。

教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。

在学生得到上式后，要求学生小组讨论，并思考直线的两种特殊情况。

通过做题使学生了解方程为点斜式方程必须满足两个条件。

学生独立完成练习，并展示答案。

引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程本课总结使学生对直线方程的理解有一个整体的认识，同时养成良好的学习习惯布置作业课后习题练习题86页87页练习第2题，第3题；课后练习89页A组第1题,第3题；课后练习89页B组第2题，第3题。

让学生思维由具体问题向含参问题过渡，给学生更多的应用数学思想的空间，分层梯度训练让学生夯实基础，逐步提高教学反思本节课通过对直线方程的推导和探究，让每一位学生都能积极主动参与到教学活动中，并且敢于发表自己的见解，调动了学生学习的兴趣，使学生的主体地位得到充分的体现，也使得本节课的重点和难点得以突破但是，在探究过程中没能把握好时间的安排，使得未能安排深入性对五类直线特殊形式问题的练习，对知识点的巩固运用形式比较单一板书设计 一．黑板布局直线的几种形式一、点斜式：二、斜截式：b kx y += 三、两点式：()1112122121,y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 四、截距式：1=+bya x （a ,b 均不为0）五、一般式：)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax例题解析过程：例1求下列直线的方程 例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程 例3、已知直线与轴的交点为Aa,0,与轴的交点为B0,b 其中a ≠0,b ≠0,求这条直线的方程例4已知直线经过点)4,-6(A ，斜率为34-，求直线的点斜式、一般式和截距式方程 例4、。

第二课时 直线方程的两点式和一般式[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围． 2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程． 4.会进行直线方程不同形式的转化.【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)所有的直线吗？ 提示：在方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．(2)直线的一般式方程中，A ，B 不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？ 提示：A 、B 不同时为零的含义有三点：①A ≠0且B ≠0；②若A ＝0且B ≠0；③若B ＝0且A ≠0.以上三种情况可用统一的代数式A 2＋B 2≠0表示．2．直线2x －y ＝8的截距式方程为( ) A ．y ＝2x －8 B.x 4＋x8＝1C.x 4＋y －8＝0D.x 4＋y－8＝1 提示：D 方程2x －y ＝8中，令x ＝0，得y ＝－8；令y ＝0，得x ＝4；即直线2x －y ＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x 4＋y－8＝1.3．如果AC <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 提示：C 因为AC <0，BC <0，所以AB >0，显然B ≠0. 将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B <0，b ＝－C B>0.所以直线不通过第三象限．4．已知直线l 与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l 的方程为________． 提示：2x ＋3y －6＝0 由截距式得x 3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x ＋3y －6＝0.例1 求满足下列条件的直线方程． (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1，化简为5x －4y －20＝0.(3)①若截距为零，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若截距不为零，则l 的方程可设为x a ＋y a＝1. ∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0. 类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1] 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－4－2－－4＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－4＋－22＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－352－－3，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.例2 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解] (1)因为直线l 的斜率存在， 所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2， 由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. (2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1， 由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求，A ，B 不同时为0；(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3，②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解] (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一．(2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零， 即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．[变式训练3] 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.若a ≠2，由l 在两坐标轴上的截距相等，有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．易错点⊳忽略截距为零的情况[典例] 已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[错解] 设直线l 的方程为x m ＋y m＝1，因为直线l 过点P (2,3)，所以2m ＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.[错因分析] “截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解] 若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0； 若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k ＝3－02－0＝32，故此时直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用.1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2； ③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．过两点A (1,1)，B (0，－1)的直线方程是( ) A.y ＋1x －0＝1＋11－0 B.y －10－1＝x －10－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D.y ＋11＋1＝x －01－0答案 D解析 由直线的两点式方程，易得y －－11－－1＝x －01－0，即y ＋11＋1＝x －01－0.3．下列说法中正确的是( )A ．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.x 2－y 3＝1与x 2＋y3＝－1是直线的截距式方程C ．直线方程的斜截式都可以化为截距式D ．在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y－3＝1答案 D解析 因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y3＝1与x 2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x 2＋y－3＝1，所以D 正确．4．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1) 答案 D解析 y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．。

2019-2020年高中数学 2.1.2 直线的方程2教案 北师大版必修2 教学目标：1．掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况2．能够根据条件熟练地求出直线的方程教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围教学难点：根据条件熟练地求出直线的方程教学过程：1．问题情境问题：在几何中我们知道不同的两点确定一条直线，那如果知道直线上不同的两点坐标，如何求这条直线的方程呢？2．两点式方程已知直线经过两点，，求直线的方程．解：直线经过两点，，斜率，代入点斜式得：，当时，方程可写成．说明：(1)以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线的两点式方程；(2)两点式方程适用范围是，，即当直线与轴或轴垂直时，直线不能用两点式方程表示． 思考：由得()()()()121121y y x x x x y y --=--，此方程表示什么？它能表示所有的直线吗？3．截距式方程例1．已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程．解：经过两点，，代入两点式得：，即．说明：(1)以上方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线的截距式方程；(2)截距式方程适用范围是．即当直线与轴，轴垂直或过原点时，直线不能用截距式方程表示．4．例题讲解例2．三角形的顶点是、、，求这个三角形三边所在直线方程。

解： 由两点式得：：， 整理得：，由点斜式得：：，整理得：：，由截距式得：：，整理得：：．例3．已知直线在轴上的截距比在轴上的截距大，且过定点，求直线的方程．分析：可用四种形式的直线方程假设，比较繁简．简解：(点斜式)设，即()16262x y k k k+=+-+， 则，解得，或，或；(两点式)设交轴于，则，令得，，则，解得，或，或；(斜截式)设，令得，，又过定点， 则11112162k k b b b k b ⎧⎧=---=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩或22232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，或； (截距式)设，又过定点，则，解得，或，或．例4．求经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解：设直线在轴与轴上的截距分别为，○1当时，设直线方程为，直线经过点，，，，直线方程为 ；○2当时，则直线经过原点及，直线方程为 ， 综上，所求直线方程为 或或．变式：若改为“截距绝对值相等”，结果又如何？直线方程为 或或．5．课堂小结(1)直线的两点式、截距式方程及适用范围．(2)如何根据条件选用恰当的形式熟练地求出直线的方程．2019-2020年高中数学 2.1.2 直线的方程3教案 北师大版必修2 教学目标：1．掌握直线方程的一般式(不同时为)2．理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：○1直线的方程是都是关于的二元一次方程；○2关于的二元一次方程的图形是直线 3．掌握直线方程的各种形式之间的互相转化教学重点：各种形式之间的互相转化教学难点：理解直线方程的一般式的含义教学过程：1．问题情境(1)复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程．(2)问题：○1点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于的什么方程(二元一次方程)？ ○2平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于的二元一次方程表示吗？ ○3关于的二元一次方程是否一定表示一条直线？ 2．一般式方程(1)直线的方程是都是关于的二元一次方程：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程．(2)关于的二元一次方程的图形是直线：因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为．在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系． 我们把(其中不同时为)叫做直线的一般式方程．说明：○1一般地，需将所求的直线方程化为一般式． ○2直线的一般式方程可表示任意位置的直线． 3．例题讲解例1．求直线的斜率及轴， 轴上的截距，并作图．解：直线的方程可写成，∴直线的斜率；轴上的截距为；当时，，∴ 轴上的截距为．例2．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定的值：(1)直线在轴上的截距为；(2)直线的斜率为．解：(1)令得，，由题知，，解得．(2)∵直线的斜率为，∴，解得．例3．若直线不经过第二象限，求的取值范围．解：当即时，符合题意；当即时，不经过第二象限，则2333 20222ttttt-⎧->⎧⎪<⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩；综上：．4．课堂小结到目前为止，我们研究了直线的所有表达形式．(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)五种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用，(3)要注意四种形式方程的不适用范围。

2.1.2 直线的方程(2)教学目标：1．掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况2．能够根据条件熟练地求出直线的方程教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围教学难点：根据条件熟练地求出直线的方程教学过程：1．问题情境问题：在几何中我们知道不同的两点确定一条直线，那如果知道直线上不同的两点坐标，如何求这条直线的方程呢？2．两点式方程已知直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，求直线l 的方程． 解：直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，∴斜率2121y y k x x -=-，代入点斜式得：211121()y y y y x x x x --=--， 当12y y ≠时，方程可写成112121y y x x y y x x --=--． 说明：(1)以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线的两点式方程；(2)两点式方程适用范围是12x x ≠，12y y ≠，即当直线与x 轴或y 轴垂直时，直线不能用两点式方程表示． 思考：由112121y y x x y y x x --=--得()()()()121121y y x x x x y y --=--，此方程表示什么？它能表示所有的直线吗？3．截距式方程例1．已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程． 解：l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 说明：(1)以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线的截距式方程；(2)截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．即当直线与x 轴，y 轴垂直或过原点时，直线不能用截距式方程表示．4．例题讲解例2．三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程。

第2直线方程的两点式和一般式学习目标1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？梳理两点式方程 名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．梳理截距式方程名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0xa＋yb＝1斜率存在且不为0，直线不过原点知识点三直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？梳理(1)一般式方程形式条件A，B________________(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线的两点式和截距式方程命题角度1直线的两点式方程例1已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x 轴交于点F，求直线EF的方程．反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 命题角度2直线的截距式方程例2(1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是() A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有() A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．无数条反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋y b＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 跟踪训练2过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 类型二直线的一般式方程例3设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 反思与感悟直线方程的几种形式的转化跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．类型三直线方程的综合应用例4已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．反思与感悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键． 跟踪训练4设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为() A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝02．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过() A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是() A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°4．直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是()5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ； (2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B.3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．答案精析问题导学 知识点一 思考1y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二思考1能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋y b＝1. 知识点三 思考1能． 思考2一定．梳理(1)Ax ＋By ＋C ＝0不同时为0 题型探究例1解直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E (0，－158)．直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点，由两点式得y －－32－－3＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F (65，0)．由截距式方程得x 65＋y－158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0. 跟踪训练1－2例2(1)A[设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.] (2)B[设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0； ②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1， 即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.] 跟踪训练2B 例3(1)－53(2)－2解析(1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程，得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.跟踪训练3解(1)由点斜式方程， 得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0. (3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －－2－4－－2＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.例4(1)证明方法一将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限． 方法二直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限，∴直线l 必经过第一象限．(2)解如图，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3， 即a 的取值范围为{a |a ≥3}．跟踪训练4解(1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0， 可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为 3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0， ∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 当堂训练 1．C2.C3.C 4．C5．解设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a ＝2或a ＝3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限； 当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.。

第2课时 直线方程的两点式和一般式．记住直线方程的两点式、截距式、一般式1．直线方程的两点式、截距式、一般式预习交流1直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？ 提示：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．预习交流2我们已经学习了直线方程的五种形式，在解题时应如何选择方程的形式？提示：一般地，直线方程形式的选择技巧如下： (1)已知一点，通常选择点斜式；(2)已知斜率，通常选择斜截式或点斜式； (3)已知截距，通常选择截距式； (4)已知两点，通常选择两点式． 预习交流3直线方程的几种形式是如何转化的？ 提示：1．直线的两点式和截距式方程已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．思路分析：先利用两点式求出直线AD 的方程，然后利用所给条件求出直线BC 在x 轴、y 轴上的截距，用截距式表示出直线BC 的方程．解：(1)∵线段BC 的中点坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32， △ABC 的顶点坐标A (1，－1)，由两点式得直线AD 的方程y ＋132＋1＝x －13－1，即BC 边上的中线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.(2)设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 由题意得a ＋b ＝9，①直线BC 的截距式方程为x a ＋y b＝1， ∵点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1， ∴6b ＋3a ＝2ab .②由①②可得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6.因此，所求直线BC 在两坐标轴上的截距为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，∴直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0.1．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A (－2，－3)，B (－5，－6)； (2)过点A (－3，－4)，B (－3,10)；(3)在x 轴上的截距为－2，在y 轴上的截距为2； (4)在x 轴，y 轴上的截距都是4.解：(1)y －－－6－－＝x －－－5－－，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0. (4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．求过点A (3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． 解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1. 又l 过点A (3,4)，∴3a ＋4－a＝1，解得 a ＝－1. ∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x 轴、y 轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．直线方程的一般式设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，①②由①得m ≠－1且m ≠3， 由②得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.③④由③得m ≠－1且m ≠12，由④得m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.1．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0，显然B ≠0. 将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝A C x B B --，所以k ＝0A B -<，b ＝0CB>. 所以直线不经过第三象限．答案：C2．(1)若直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，求实数m 的值； (2)求直线ax ＋by ＝1(ab ≠0)与两坐标轴围成的图形的面积． 解：(1)令y ＝0，则(2m 2－m ＋3)x ＝4m ＋1，显然2m 2－m ＋3≠0，故4m ＋12m 2－m ＋3＝1，即2m 2－5m ＋2＝0，解得m ＝2或12.(2)方程可化为x 1a ＋y 1b＝1，它在x 轴、y 轴上的截距分别是1a ，1b，所以它与两坐标轴围成的图形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ，即S ＝12|ab |. 把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．直线方程的综合应用已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．(1)证明：方法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)解：直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.1．若k ∈R ，直线y ＋1＝k (x －2)恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )．A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，－1)． 答案：D2．若直线(3a ＋2)x ＋y ＋8＝0不过第二象限，求a 的取值范围． 解：直线方程化为y ＝－(3a ＋2)x －8， 由于该直线不过第二象限， ∴－(3a ＋2)≥0，∴a ≤－23.含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )． A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1C.y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x答案：A2．在x 轴，y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )． A.x 2＋y 3＝1 B.x 2－y 3＝1 C.y 3－x2＝1D.x 2＋y3＝0 答案：B3．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0过原点和第二、四象限，则( )． A ．C ＝0，B ＞0 B ．C ＝0，A ＞0，B ＞0 C ．C ＝0，AB ＞0 D ．C ＝0，AB ＜0 解析：由直线l 过原点知C ＝0.又直线过第二、四象限，∴－A B＜0，∴AB ＞0.答案：C4．关于x ，y 的方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0是某条直线的方程，求实数a 的取值范围．解：若a 2－a －2与2－a 同时为0，则方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0不表示任何直线， 此时a ＝2，所以当a ≠2时，方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0是某条直线的方程． 5．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． 求：(1)边AC 所在直线方程；(2)AC 边上的中线BD 所在直线方程．解：(1)∵A (0,4)，C (－8,0)，∴由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.∴边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0. (2)设中点D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得x 0＝0－82＝－4，y 0＝4＋02＝2.由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0. ∴AC 边上的中线BD 所在直线的方程为 2x －y ＋10＝0.。

某某省某某育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2直线的方程（2）
导学案 北师大版必修2
【学习目标】
解直线方程的两点式，截距式和一般式特点及适用X 围；
形式；
3.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.
【重点难点】
重点：直线方程的两点式和截距式.
难点：用直线方程的两点式，截距式和一般式求直线方程.
【自主学习】
1.直线方程的两点式：
直线经过两点)y ,x (P ),x ,x (P 222211，其中21x x ≠且21y y ≠，则直线的斜率为，用点斜式表示直线的方程为，
变形得，这个方程称为直线方程的两点式.
2.直线方程的截距式：
特别地，当直线经过点P(a ，0),Q(0,b)(其中0ab ≠)，由两点式可得该直线
方程为.整理得， 通常称它为直线方程的
式.其中a ，b 分别为直线在x 轴和y 轴上的截距.
3.直线方程的一般式：
关于x,y 的二元一次方程（ ， 不同时为）
表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的式.
4.根据下列条件，写出直线的方程，并把它写成一般式：
（1）经过点A （2,5），B （-1,3）；（2）经过点C （2,0），D （0,-3）；
（3）过点P(1,5)，Q （1,4）； （4）经过点E （0,0），F （4,-3）
5.求经过点（3，-1），倾斜角为
30的直线方程，并化为一般式.
，直线03y 3x =+-的倾斜角为.
【课堂检测】
(4,0),(6,7),(0,3)A B C ，求这个三角形三边所在直线的方程.。