第2课时 三角形三边的垂直平分线及尺规作图
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2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件(新版)北师大版
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm.
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__ __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在___斜__边__ __上___;钝角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__形__ __外___.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离____相__等___.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= 1(180°-2×20°-2×30°)
2
……………………三角形内角和等于180°
2
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 ( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用.
八年级数学三角形三边的垂直平分线及作图
A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则 ∠CBE等于（ C ）
A．80° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三
角形. aA
c
b P
B
C
2．作线段AB的垂直平分线PC．
C
直线PC就是所求 l 的垂线．
P A
l B
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它 经过点P.
作法：
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂 直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. C
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长 P ●
为半径作圆，相交于C、D两点.
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，
你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角
形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
A
h
Ba
C
D
尺规作图(画线段的垂直平分线)课件
如桥梁、建筑等。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
三角形三边的垂直平分线及作图(课堂PPT)
A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D
15
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连0° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
16
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
GF
∴EG＝EC.
B
D
EC
19
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形.
9
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三 角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个.根 据线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等，只要作底边的垂直平分 线，取它上面除底边的中点外的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以 得到一个等腰三角形．
发现：三角形三边的垂直平 分线交于一点．这一点到三 角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这 个结论呢?
4
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中
两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
l
嘉定区五中八年级数学下册 第一章 三角形的证明 4角平分线第2课时 三角形三个内角的平分线课件新版北
求证 : P 点在∠BAC 的角平分线 B 上.
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的
八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件
2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
沪科版八上数学 第2课时 角平分线的性质及判定
角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分
别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
A
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF，
BD = CD，
E
F
B
D
∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为__4___； (2) 求 △APB 的面积.
B D
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
P
故
S△APB
1 2
AB
·PD
=
28.
A
C
温馨提示：存在一条垂线段 — — 构造应用
知识与方法
1. 应用角平分线的性质：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
试说明：PD = PE.
D C
解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
P
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
O
在 △PDO 和 △PEO 中，
E
B
∠PDO = ∠PEO， ∠POD = ∠POE，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
OP = OP，
∴ PD = PE.
B
∴△AED 的周长为AE + ED + DA＝2 + 6＝8. 8
C
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离. 解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
1.3.2 线段的垂直平分线(2)
3.如下图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于
C
A
B
AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
3. 如图（ 1）， P 是线段 AB 垂直平分线上一点， M 为线段 AB 上 异 于 A ， B 的 点 ， 则 PA ， PB ， PM 的 大 小 关 系 是 PA__________PB__________PM. 4.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平 分∠ABC交BC于D，则点D在__________上. 5.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底， 则直线AD必是__________的垂直平分线.
第11题图
第10题图
三、解答题(共40分) 12．(8分)在新农村建设中，公路实现“村村通”是一项很受 欢迎的民生工程．如图所示，已知直线l是一条笔直的公路， 现有一个村庄P要修一条公路与l相通，要使其造价最低， 请在图中画出要修的公路位置．
解：如图所示，过点P作直线PM垂直
直线l，交直线l于点Q，则线段PQ就是所 要修的公路的位置
北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章 3 第2课时三角形三边中垂线的性质
A．AO 平分∠EAF
B．AO 垂直平分 EF
C．GH 垂直平分 EF
D．GH 平分 AF
12
▪ 9．△ABC中，∠A＝62°，O是边AB和边BC的垂直平分线 的交点，28那° 么∠BCO＝__________.
13
10．【内蒙古通辽中考】如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点；②作直线
B．50° D．70°
6
3．已知 D 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 BD＝8，∠B＝15°，则点 A 到 BD 的距离是______4____.
4．在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂 a
直平分线交于点 O，则点 O 到点 A 的距离为___2_______.
3
知识点 2 线段垂直平分线的尺规作图法 (1)分别以已知线段 AB 两端点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于 C、 D 两点． (2)作直线 CD，则直线 CD 为线段 AB 的垂直平分线．
4
基础过关
▪ 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个D 三角形的
()
▪ A．三条高的交点
2
▪ 分析：延长CP交AB于点E，易证CE⊥AB，从而可得∠BCP 的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠DPC的度 数解．答：延长 CP 交 AB 于点 E.由△ABC 为等边三角形，可知 CA＝CB．∵PA＝
PB，∴CE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠BCE＝12∠ACB＝30°.∵PC＝PB，∴∠PBC＝∠ BCE＝30°.∵BP＝BD，∴∠BDP＝12×(180°－30°)＝75°.又∵∠BDP 为△PDC 的外 角，∴∠DPC＝∠BDP－∠DCP＝75°－30°＝45°.
第2课时三角形三边的垂直平分线及作图课件
作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交
DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a,
在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
A
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
B
GF
D
EC
随堂即练
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
DE
B
C
随堂即练
2.下列说法错误的是 (D) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等， 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称， 等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是 轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l
相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
C
直线PC就是所求 l 的垂线．
P A
l B
新课讲授
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它
经过点P.
DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a,
在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
A
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
B
GF
D
EC
随堂即练
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
DE
B
C
随堂即练
2.下列说法错误的是 (D) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等， 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称， 等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是 轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l
相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
C
直线PC就是所求 l 的垂线．
P A
l B
新课讲授
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它
经过点P.
三角形中的垂直平分线
第一章三角形的证明3 第2课时三角形三边的垂直平分线导学案郑州市惠济区第五初级中学侯颖学习目标：1.通过作图，发现并证明三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；2.能够利用尺规作符合条件的等腰三角形及过一点作已知直线的垂线.知识准备：1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.性质：线段垂直平分线上的点 .判定：到一条线段两个端点距离相等的点， .2.线段的垂直平分线的作法.学习过程:一、温故知新1.同学A与同学B玩抢凳子游戏，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由.2.同学A与同学B玩抢凳子游戏，同学C也要加入，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由.二、新知探究探究1 三角形三边的垂直平分线的性质求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边 BC的垂直平分线相交于点P．求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点点P 分别在什么位置？当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________. 归纳小结：三角形三边的垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 几何语言：对应练习1：探究2 尺规作图独立思考后，在小组内讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论．PCBA1.已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?2.已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?3.已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?三、例题精讲例．已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：如图，线段a ，h ．求作：△ABC ，使AB=AC ，BC=a ，高AD=h ．四、素养提升 做一做：已知直线l 和l 上一点P ，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.ha议一议：已知直线l和直线外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P.五、课堂小结说一说本节课你收获了些什么？你还有哪些困惑？六、当堂检测1.如图，边长为3的等边△ABC内一点O到三个顶点的距离都相等，则OA=2.利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（）3.如图，已知ΔABC，（1）求作AC边上的高；（2）求作AB边上的高.自我反思：胜不骄，败不馁，课后练习加以巩固哦！七、作业布置：习题1.8第1、3题（必做题）第4题（选做题）学习数学要多做习题，边做边思索。
利辛县第六中学八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线及尺规
先确定最简公分母
系数的最小公倍数12 字母x , y的最高次幂 的指数是1 , 2
例3 通分 :
（2）4a ，3c ，5b 5b2c 4a2b 2ac2
（2）最简公分母是20a 2b 2c 2
4a = 4a 4a2c = 16a3c 5b2c 5b2c 4a2c 20a2b2c2 3c = 3c 5bc2 = 15bc3 4a2b 4a2b 5bc2 20a2b2c2 5b = 5b 10ab2 = 50ab3 2ac2 2ac2 10ab2 20a2b2c2
解 : (3)连接OA , 那么OA＝OB＝OC ,
• ∴∠OAB＝∠OBA , ∠OAC＝∠OCA , • ∵∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝n° , ∴∠ABO＋∠ACO＝n° , ∴∠OBC＋∠OCB
＝180°－∠BAC－∠ABO－∠ACO＝180°－2n° , ∴∠BOC＝180°－∠OBC －∠OCB＝2n°.
计算 :
1
1
=
32=5 ____6___6___6_____
23
2
1
=
65=1 ___1_5___1_5___1_5___
53
异分母的分数相加减 , 要先通分 , 化成同分母
的分数 , 再加减.
类似地 , 异分母的分式进行加、减运算时 , 也要先化成同分母的分式 , 然后再加减.
分式的通分
动 脑
先确定最简公分母
系数的最小公倍数20 字母a , b , c的最高次 幂的指数是2,2,2
例3 通分 :
（1）1 x
， x
2
1
x
（x x 1）
解：（1）最简公分母是（x x 1）
1 = x1 x （x x 1）
八年级数学北师大版下册1.3.2线段的垂直平分线(三角形三边的垂直平分线与作图)2
A,B两点
2.做线段AB的垂直平分 线
检测（8分钟） 1.下列说法错误的是 (D)
(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点 (B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离
相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 (C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距
离相等 (D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
4.已知一条直线和直线上（外）一点，如何 用尺规作图作该直线的垂线，能作几条？
过直线上一点作已知直线的垂线
m
作法：1.在直线l上截取 PA=PB
2.做线段AB的垂直平分 线，则直线m⊥l，且过
点P
过直线外一点作已知直线的垂线
作法：1.以P为圆心，以 大于点P到直线l的距离 为半径画弧，交直线l于
三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？
A能D证为明∠B三AC角(的3形角)三若平条分边∠线的，垂MA直E=F平AF分N，请＝判断7线0段°，求∠MCN的度数．
下列说法错误的是 ( ) 三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？ 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 已知底边及其边上的高，能用尺 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
上，那么这个三角形一定是( D )A．锐角三角形
B．钝角三角形C．等边三角形
D．直角三角形
5．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D )
．只有一个
B．有两个 C．有三个或
三个以上
D．有一个或没有
6．如图，已知直线 MN 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线．若 AB， AC 两边的垂直平分线相交于点 O，当顶点 A 的位置移动时，点 O 始
3. 已知在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于点D， 求证：CD=AB+BD
2.做线段AB的垂直平分 线
检测（8分钟） 1.下列说法错误的是 (D)
(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点 (B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离
相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 (C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距
离相等 (D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
4.已知一条直线和直线上（外）一点，如何 用尺规作图作该直线的垂线，能作几条？
过直线上一点作已知直线的垂线
m
作法：1.在直线l上截取 PA=PB
2.做线段AB的垂直平分 线，则直线m⊥l，且过
点P
过直线外一点作已知直线的垂线
作法：1.以P为圆心，以 大于点P到直线l的距离 为半径画弧，交直线l于
三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？
A能D证为明∠B三AC角(的3形角)三若平条分边∠线的，垂MA直E=F平AF分N，请＝判断7线0段°，求∠MCN的度数．
下列说法错误的是 ( ) 三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？ 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 已知底边及其边上的高，能用尺 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
上，那么这个三角形一定是( D )A．锐角三角形
B．钝角三角形C．等边三角形
D．直角三角形
5．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D )
．只有一个
B．有两个 C．有三个或
三个以上
D．有一个或没有
6．如图，已知直线 MN 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线．若 AB， AC 两边的垂直平分线相交于点 O，当顶点 A 的位置移动时，点 O 始
3. 已知在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于点D， 求证：CD=AB+BD
八年级数学下册三角形三边的垂直平分线及尺规作图作业课件新版北师大版
7．如图，△ABC中，AB＋AC＝6 cm，BC的垂直平分线l与AC相 交于点D，则△ABD的周长为____6cm.
知识点 2：用尺规作已知直线的垂线
8．在同一平面内，过直线上一点作已知直线的垂线，能作( A )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．无数条
9．画线段 AB 的垂直平分线时，分两步：
A．100° B．110° C．120° D．130°
,第 5 题图)
,第 6 题图)
6．如图所示，MN 为△ABC 的边 BC 上的垂直平分线，若 AB，AC 两
边的垂直平分线相交于点 O，当顶点 A 的位置移动时，点 O 应在( A )
A．MN 上 B．MN 的左侧
C．MN 的右侧 D．MN 的左侧或右侧
解：∵点E在BD的垂直平分线EG上，∴BE＝DE，∴∠B＝ ∠1，∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝90°， ∵∠B＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴AE＝EF，∴E在AF的
垂直平分线上
17．如图，已知∠α，线段 m.求作：等腰三角形△ABC，使其顶角∠BAC ＝∠α，∠BAC 的平分线为 m.
解：已知A村、B村、C村．求作：一个医疗 点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委 会所在地的距离都相等，作图略
16．如图，△ABC 中，∠ACB来自90°，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直平分线 EG 上，DE 交 AC 于点 F.求证：E 在 AF 的垂 直平分线上．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个 顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在最适当的位置 是在△ABC的( D )
1-3-2线段的垂直平分线(第2课时)课件 2022—2023学年北师大版数学八年级下册
A ·
·
·
B
C
猜想：三角形三边垂直平 分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相 等线
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的
距离相等.
已知：如图,在△ABC中，边AB的垂
直平分线与边BC的垂直平分线
A
与边BC相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线 经过点P，且PA＝PB＝PC.
C
求作：直线 m⊥l ，且经过点P
要求保留作图痕迹
A
B
P
l
m
二、探究新知
做一做
2.已知：直线 l 及 l 外一点P 求作：直线 n⊥l ，且经过点P
要求保留作图痕迹
n C
A
Bl
P
三、 知识运用
1.三角形三边的垂直平分线的交点( B )
A.到三角形三边的距离相等 B.到三角形三个顶点的距离相等 C.到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D.不能确定
已知：如图，线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形.
a h
M A
B DC N
二、探究新知
做一做
1.已知：直线 l 及 l 上一点P
六、布置作业
书本和基础训练对应1.3（第2课时）习题
谢谢聆听
三、 知识运用
2.在三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平
分线交AB于点E,交BC于点D,且CD=6cm,则点D到AB的
距离是（ 1.5cm ）
最新人教版八年级数学上册《13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第2课时)》优质教学课件
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。
于
1 2
AB的长为半径作弧，两弧交于
C，D两点.
A
（2）作直线CD. CD即为所求.
C B
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的
D
尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
探究新知
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一
个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？
人教版 数学 八年级 上册
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第2课时
导入新知
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共 汽车站应建在什么地方？
B A
公路
素养目标
3. 能够运用尺规作图的方法解决简单的作 图问题．
2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语 言，理解作图的依据．
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图之一，必须熟熟练掌握.
线段的垂直 平分线的 有关作图
作对称轴的 常见方法
(1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的 中点，然后作垂线.
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
小 结 与 思 考
这节课的学习你有 什么收获？
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什 么? 还有什么疑问吗?
M A
O N
B