【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习增分练：(四)函数与导数(2)(含答案解析)

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2016·课标全国乙改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是__________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.2．(2016·天津改编)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为____________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b 2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2016·课标全国甲改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________．答案2解析 如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以MF 1＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以MF 1MF 2＝13，即MF 2＝3MF 1.由双曲线的定义得2a＝MF 2－MF 1＝2MF 1＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝ca＝ 2.4．(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线为x ＝－1.由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)； (2)双曲线：|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)；(3)抛物线：PF ＝PM ，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为____________．(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝________.答案 (1)x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴AB ＝8，BC ＋AC ＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知BA ＋BC ＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC ＝108＝54.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．(2)抛物线y 2＝4x 上任一点到定直线l ：x ＝－1的距离与它到定点F 的距离相等，则该定点F 的坐标为____________． 答案 (1)y 29－x 227＝1 (2)(1,0)解析 (1)由抛物线x 2＝24y 得焦点坐标为(0,6)， ∵双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点相同，∴c ＝6，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴a b ＝33，即b ＝3a ，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝9，b 2＝27，∴双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.(2)因为2p ＝4，所以p ＝2，可得p2＝1，故焦点坐标为(1,0)， 即定点的坐标为(1,0)．热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且BC ＝CF 2，则双曲线的渐近线方程为__________． 答案 (1)5－12(2)y ＝±(3＋1)x 解析 (1)依题意可知点F (－c,0)，直线AB 的斜率为b －00－a ＝－ba ，直线BF 的斜率为0－b －c －0＝bc. ∵∠FBA ＝90°，∴(－b a )·b c ＝－b 2ac ＝－a 2－c 2ac ＝－1，整理得c 2＋ac －a 2＝0，即(c a )2＋ca －1＝0，从而e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5＋12.∵0<e <1，∴e ＝5－12. (2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc，又由双曲线的定义及BC ＝CF 2可得 CF 1－CF 2＝BF 1＝2a ， BF 2－BF 1＝2a ⇒BF 2＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1和右焦点F 2，上顶点为A ，AF 2的中垂线交椭圆于点B ，若左焦点F 1在线段AB 上，则椭圆的离心率为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为____________． 答案 (1)33 (2)y ＝±24x 解析 (1)由题意知AB ＝BF 2，AF 1＝AF 2＝a ，设BF 1＝x ，则x ＋x ＋a ＝2a ，所以x ＝a 2，故AF 1→＝2F 1B →，(－c ，－b )＝2(x B ＋c ，y B )，易求得B (－3c 2，－b 2)，代入椭圆方程得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，解得c 2a 2＝13，所以e ＝33. (2)由题意得a 2＋1＝9⇒a ＝22，而双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±1a x ，即y ＝±24x .热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2，从而PC ＝k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2.因为PC ＝2AB ， 所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为__________．(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)[－1,1] (2)[38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即[4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围为[－1,1]．(2)由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称，设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则有x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1，即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34·x 0－x 1y 0－y 1＝－34·11PA k. 因为直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1，所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34.1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________． 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 2 5解析 由直线垂直的条件，求出渐近线的斜率ba，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的距离等于半径，求得b ，进而求出焦距2c . 由已知，得b a ·(－36)＝－1，所以b a ＝63，由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c 632＋－2＝2，可得c ＝5，2c ＝2 5.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝36t 2＋3t 22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2，所以S △AOB ＝12·F 1O ·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)， 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．双曲线x 24－y 25＝1的离心率为______．答案 32解析 由题意得a 2＝4，b 2＝5⇒c 2＝9⇒e ＝c a ＝32.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________． 答案 92解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，又因为过点P (1,3)，则p ＝92.即为焦点到准线的距离．3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为________． 答案1633解析 因为双曲线C ：x 23－y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2， 故F 1(－2,0)，F 2(2,0)．由于点P 的横坐标为2，则PQ ⊥x 轴．令x ＝2，则有y 2＝43－1＝13，即y ＝±33.故QF 2＝PF 2＝33，PQ ＝233， QF 1＝PF 1＝PF 2＋2a ＝733.则△PF 1Q 的周长为PF 1＋QF 1＋PQ ＝733＋733＋233＝1633.4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，MF 的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则P A ＋PF 的最小值为________． 答案 7解析 由题意，MF 的最小值为3，得p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)； 设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知PF ＝PD ，∴要求P A ＋PF 取得最小值，即求P A ＋PD 取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时P A ＋PD 最小，为4－(－3)＝7.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若PF ＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为________． 答案3解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且PF ＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24. ∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.② 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1， 解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．答案 x 2－y 23＝1 解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，∴16＝4p ，解得p ＝4.∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝c a＝2， ∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．答案 x 225＋y 216＝1 解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件，可得MO 1＝R ＋1，O 2M ＝9－R .∴MO 1＋MO 2＝10>O 1O 2＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．答案 53解析 由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12×1×103＝53. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围． 解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)， ∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －4，x 24＋y 23＝1消去y ， 得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3， ∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3. ∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874， ∴OA →·OB →∈[－4，134)． 故OA →·OB →的取值范围为[－4，134)． 10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点F (1,0)，点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)求PM ·PF 的取值范围；(3)若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，c ＝1，∴c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1(0<x 0<2)． PM ＝x 20＋y 20－3 ＝x 20＋3－34x 20－3＝12x 0， PF ＝2－12x 0. ∴PM ·PF ＝14x 0(4－x 0)＝－14(x 0－2)2＋1， ∵0<x 0<2，∴PM ·PF 的取值范围是(0,1)．(3)方法一 ①当PM ⊥x 轴时，P (3，32)，Q (3，t )或(－3，t )， 由OP →·OQ →＝0，解得t ＝±2 3.②当PM 不垂直于x 轴时，设P (x 0，y 0)，PQ 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.∵PQ 与圆O 相切，∴|kx 0－y 0|k 2＋1＝3， ∴(kx 0－y 0)2＝3k 2＋3，∴2kx 0y 0＝k 2x 20＋y 20－3k 2－3.又Q (t －y 0＋kx 0k，t )， ∴由OP →·OQ →＝0得t ＝x 0y 0－kx 0x 0＋ky 0. ∴t 2＝x 20y 0－kx 02x 0＋ky 02＝x 20kx 0－y 02x 20＋k 2y 20＋2kx 0y 0＝x 20k 2＋x 20＋k 2y 20＋k 2x 20＋y 20－3k 2－3＝x 20k 2＋＋k 2x 20＋＋k 2－34x 20－3k 2－3＝12， ∴t ＝±2 3.方法二 设P (x 0，y 0)，则直线OQ ：y ＝－x 0y 0x ， ∴Q (－y 0x 0t ，t )，∵OP ⊥OQ ，∴OP ·OQ ＝OM ·PQ ， ∴x 20＋y 20·y 20x 20t 2＋t 2 ＝3·x 0＋y 0x 0t 2＋y 0－t 2∴x 20＋y 20·t 2x 20x 20＋y 20＝3·x 20＋y 20x 20t 2＋y 20＋t 2＝3·x 20＋y 20x 20x 20＋t 2∴(x 20＋y 20)t 2＝3(x 20＋t 2)，∴t 2＝3x 20x 20＋y 20－3， ∵x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3－3x 204， ∴t 2＝3x 2014x 20＝12，∴t ＝±2 3.B 组 能力提高 11．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有________个．答案 2解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16， ∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得MF 1＋MF 2＝2a ＝10，且F 1F 2＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长MF 1＋MF 2＋F 1F 2＝10＋6＝16.设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ，由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32. 设M (x 0，y 0)，则S △MF 1F 2＝12(MF 1＋MF 2＋F 1F 2)·r ＝12F 1F 2·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4.∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．12．已知P (1,1)为椭圆x 22＋y 24＝1内一定点，过点P 引一弦，使此弦被点P (1,1)平分，则此弦所在直线的方程是__________．答案 2x ＋y －3＝0解析 由已知条件，可知此弦所在直线的斜率存在，所以设直线的斜率为k ，且设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 212＋y 214＝1，x 222＋y 224＝1.上述两式左右分别相减得x 1＋x 2x 1－x 22＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 2＋y 1－y 22＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2，∴此弦所在直线的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.13．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________.答案 －5解析 由椭圆x 24＋y 23＝1知右焦点为(1,0)，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4，∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1. 由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5.14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点D (1，32)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A .过点F 的弦为BC .直线BA ，直线CA 分别交直线l ：x ＝m (m ＞2)于P 、Q 两点．(1)求椭圆方程；(2)若FP ⊥FQ ，求m 的值．解 (1)1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1， 解之得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0x 0－1(x －1)， 与椭圆E ：x 24＋y 23＝1联立得方程组 ⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝y 0x 0－1x －，解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0， 所以C (8－5x 05－2x 0，－3y 05－2x 0)， k AB k AC ＝y 0x 0－2·－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2 ＝y 0x 0－2·3y 0x 0＋2＝3y 20x 20－4＝－x 204x 20－4＝－94. 显然k AB ＝k AP ，k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94. 设Q (m ，y 1)，k FQ ＝y 1m －1＝m －2m －1k AQ ， 同理k FP ＝m －2m －1k AP. 所以k FP ·k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ＝－94(m －2m －1)2＝－1， 又m >2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4.。

2.函数与导数要点1. 求函数的定义域，关键是依据含自变量X 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解， 如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式屮的真数是正数；列不等式时，应列出所有 的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.［问题1］函数,/W=TZ7+lg(l +x)的定义域是 ______________________ •1 X2. 用换元法求解析式吋，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.［问题 2］已知 /(cosx)=sin 2x,则/(x)=____________ .3. 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是 一个函数，而不是几个函数.3x, xWO,［问题3］己知函数•斫丄1)，兀＞0, 4. 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但 必须注意使定义域不受影响.［问题4］用)=豊若是 ------------ 5. 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.［问题5］函数./(x)=Z 的减区间为 __________________________________________6. 弄清函数奇偶性的性质(1) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对 称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若./(X)为偶函数，则 A -X )=A X )=/(M) •⑶若奇函数/(x)的定义域中含有0,则必有./(0) = 0.“/(0)=0”是“/⑴为奇函数”的既不充分也不必要条件.［问题6］设.心)=览6±+»是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数为()那么人舟)的值为函数(填“奇” “偶”或“非奇非偶”).A.(—8, +8)上的减函数B.(—8, +8)上的增函数C.(一1,1)上的减函数D.(—1,1)上的增函数7•求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.(2)图彖法：适合于己知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.(4)导数法：适合于可导函数.(5)换元法(特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式.2X［问题7］函数y=#y(xMO)的值域为___________ ・8.函数图象的儿种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.(2)翻折变换：/⑴一I/WI；.心)一/(闪)・(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称小心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y=f(x)与的图象关于原点成中心对称；③函数y=j{x)与尹=/(—x)的图象关于直线x=0 (y轴)对称；函数y=J{x)与函数y= —f{x)的图象关于直线y=O(x轴)对称.［问题8］2x+\函数/^)=仝匸的图象的对称中心是9.有关函数周期的几种情况必须熟记：(\)fix)=f(x+a)(a>O)f则.心)的周期T=a； (2)f(x+a)(/(x)HO)或^x+a)=-f{x),则./(x)的周期T=2a.［问题9］对于函数.心)定义域内任意的兀，都有./(x+2)=—计亍若当2W3时，/(x)=x,则7(2016.5)= __________10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.__1_(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.［问题10］若关于x的方程姒2—x+l= 0至少有一个正根，则a的取值范围为 ___________ •11.(1)对数运算性质已知Q0 且dHl, b>0 且bHl, M>0, N>0.则= \og a M+ log a N,Mlo 師=lo 助M— logaN,对数换底公式:呃N=器.推论：lo鬲N"=^lo创M吨0=盘.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y=a的图象恒过定点(0,1),对数函数y=\og(l x的图象恒过定点(1,0). ［问题11］函数j=|log2|x-l||的递增区间是 ________________________________ .12.幕函数y=x a(a^R)⑴①若a=l，贝l»=x,图象是直线.②当«=0时，p=x°=l(xH0)图象是除点(0,1)外的直线.③当05<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内是上凸的.④当a>l时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当a>0时，在区间(0, +<-)上，函数尹=寸是增函数；②当°<0时，在区间(0,+ 8)上，函数y=X a是减函数.［问题12］函数^x)=x2一(*)'的零点个数为_________ ・13.函数与方程(1)对于函数y=f(x),使./(x) = 0的实数x叫做函数尹=心)的零点.事实上，函数丿=心)的零点就是方程./(x) = 0的实数根.(2)如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是一条连续曲线，且有/(a)/(b)<0,那么函数y=f(x)在区间［a,切内有零点，即存在cW(a, b),使得./(c) = 0,此时这个c就是方程./(x) = ()的根.反Z 不成立.［问题13］己知定义在R 上的函^.Ax)=(x 2-3x+2) g(x) + 3x-4,其中函数y=g(x)的图象是 一条连续曲线，则方程/(x)=0在下面哪个区间内必有实数根()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)14. 求导数的方法(1)基本导数公式：c =0 (c 为常数)；(#")' =mx m ~x (加WQ)； (sinx)' =cosx ； (cosx)1 =—(2) 导数的四则运算：(T =d ；(uv) =u v+uv ；剧= ------------ ^2 --- (eHO).(3) 复合函数的导数:球=y 「uj •如求J(ax+b)的导数,令u=ax+b,则(Adx+b))，=f (")4［问题 14］ f(x)=e~1\ 则 f (x)= ________ .15. 利用导数判断函数的单调性：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果.广«>0,那么./W 在该区间内为增函数；如果/ (x)<0,那么./(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有 f (x)=0,那么/(x)在该区间内为常函数.注意：如果己知./(X)为减幣数求字母取值范圉，那么不等式/ (x)W0恒成立，但耍验证f (x) 是否恒等于0.增函数亦如此.［问题15］函数Xx)=ax 3~2X 2+X —\在R 上是增函数，则a 的取值范围是 _____________ •16. 导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数/(x)=x 3,有/ (0) = 0,但x=0不是极值 点. ［问题16］函数/(x)=|x 4—pr 3的极值点是 __________ •17.定积分运用微积分基本定理求定积分咋(x)dx 值的关键是用求导公式逆向求出/(x)的原函数，应熟练 掌握以下几个公式:Jjsinxdv= —cosx|^J ：cosxdx=sinx|7,sinx ； (c Y ) =c v ； (a)9 =a\x\a\ (lnx)z (10&刃=看»>0 且 aHl).f^dx= /2 + 1加dx=$[问题17]计算定积分J-i(x2 + siar)dr= _____________ .易错警示易错点1 忽视函数定义域例1函数y=log ] (X2-5X+6)的单调递增区间为__________________ .2错因分析忽视对函数定义域的要求，漏掉条件?-5x+6>0.解析由X2—5x+6>0 知{x|x>3 或x<2}・令w=x2—5x+6,则u=x2—5x+6在(一8, 2)上是减函数,.\>y=log1(X2—5x+6)的单调增区间为(一8, 2).2答案(一8, 2)易错点2 分段函数意义理解不准确[log2(l —x), xWO,例2定义在R上的函数心)满足心)=仁 -“ 补 c 则/(2016)的值为()l/(x—l)—/(x—2), x>0,A. -IB. OC. ID. 2错因分析不理解分段函数的意义，误认为应将x=2016,代入log2(l-x),或者认为得不到,/(2016)的值. 解析/(2016) =/(2015)-/(2014) =/(2014)-/(2013)-/(2014) = -/(2013)=/(2010)=/(0)=0.答案Bax2 +1, xMO,例3 函数fix) = ]/ 2，、祇A在(一 8 , + oo)上单调，贝lj a的取值范围是\Ci 1 )e , x>0错因分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求.Q VO,解析若函数在R上单调递减，则有1>0, 解之得泾一迄;若函数在R上单调、(/_i)e°21,a>O t递增，则有解得1<G W迈，、(/—i)c《l,故G的取值范围是(一8, —迈]U(l,血.答案(一8, 一迈]U(l, y[2]易错点3 函数零点求解讨论不全面例4函数./(x) = /n?-2x+1有且仅有一个正实数零点，则实数加的取值范围是()A. (—8, 1]B. (—8, O]U{1}C.(一出，0)U {1}D. (一8, 1)错因分析解本题易出现的緒误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对加=0 的讨论，就会错选C.解析当加=0时，兀=*为函数的零点；当〃7工0时，若J = 0,即加=1时，兀=1是函数唯一的零点，若/H0,显然x=0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程/(X)=mx1 ~2x+\= 0有一个正根一个负根，即祕0)<0,即/7Z<0.故选B.答案B易错点4 混淆“过点”和“切点”例5求过曲线y=3x-»上的点(2, —2)的切线方程.错因分析混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2, —2)—定是切点.解设切点为P(x°,为)，则点P处的切线方程是y _刃)=(3 — 3xo)(x—x0).•・•点力在切线上，— 2 —yo=(3—3xo)(2 —兀°).①又•・•点P在曲线C上，・・卩0=3兀0_£・②由①、②，解得x()=2或x()= — 1.当x°=2时，卩点的坐标为(2, -2),切线方程是9x~\~y— 16=0.当丸=一1时，P点的坐标为(一1, -2),切线方程是尹+2 = 0.综上，过点/的曲线C的切线方程是：9x+y~i6=0或尹+2 = 0.易错点5 极值点条件不清例6已知J(x)=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值为10,则a+h= ____________________ .错因分析把/ (x°)=0作为xo为极值点的充要条件，没有对a, b值进行验证，字致增解. 解析f (x)=3x2+2ax+b i由兀=1时，函数取得极值10,得f (l) = 3+2a+b=0, ①Xl)=l+a + b+/=io, @a=49(a=~39联立①②得| 或V“=一11, [b=3.当a=4, b= — \\时，f (x)=3, + 8x—ll=(3x+ll)(x—l)・在两侧的符号相反，符合题意.当a=—3, b = 3时，f (x)=3(x-l)2在x=l两侧的符号相同，所以a=—3, b = 3不符合题意，舍去.综上可知Q=4, b= —11, .\a+b=—7.答案一7易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确例7函数f(x)=ax3—x2+x—5在R上是增函数，则a的取值范围是____________ .错因分析误认为/ (x)>0恒成立是./(X)在R上是增函数的必要条件，漏掉f (x) = 0的情况.解析f{x)=ax —x2+x— 5 的导数f (x)=3ax2~2x+ 1,a>0, 1由八円，得仁4_际°,解得怕答案送易错点7 计算定积分忽视细节例8 等于()A. -21n2B. 21n2C. -ln2D. In2错题分析本题易出现的问题主要有两个方面：一是混淆求原函数和求导数的运算，误认为原函数为y=（^Y而找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒导致计算失误，而错选C.解析因为（lnx），=扌，所以尹=+的_个原函数是y=\nx,故J2~d.r=lnx|2 = ln4-ln2 = ln2,故选 D.答案D查缺补漏1・（2014-北京）下列函数中，在区间（0, +8）上为增函数的是（）A. y=y]x+[D.尹=logo.5(x+l)4-。

第 4 讲 导数的热门问题(2016 ·标全国乙课 )已知函数f(x)＝ (x － 2)e x ＋ a(x －1) 2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x 1， x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x 1＋ x 2<2.(1) 解 f ′(x)＝ (x － 1)e x ＋ 2a(x － 1)＝ (x －1)(e x ＋ 2a)．①设 a ＝ 0，则 f(x)＝ (x － 2)e x ， f(x)只有一个零点．②设 a>0，则当 x ∈(－ ∞， 1) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (－∞，1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加．又 f(1) ＝－ e ， f(2)＝ a ，取 b 知足 b<0 且 b<ln a，2a223则 f(b)>2(b － 2)＋ a( b － 1) ＝a b － 2b >0， 故 f(x)存在两个零点． ③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝ ln(－ 2a)．若 a ≥－e2，则 ln(－ 2a) ≤1，故当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．若 a<－ e2，则 ln( － 2a)>1，故当 x ∈ (1，ln(－ 2a))时，f ′(x)<0 ；当 x ∈ (ln(－ 2a)，＋ ∞)时，f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (1，ln( － 2a)) 上单一递减，在 (ln( － 2a)，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞)．(2) 证明 不如设 x 1<x 2，由 (1) 知， x 1∈ (－ ∞， 1)， x 2∈(1 ，＋ ∞)，2－ x 2∈ (－ ∞，1)，f(x)在 (－∞， 1)上单一递减，所以 x 1＋ x 2<2 等价于 f(x 1)>f(2－ x 2)，即 f(2 －x 2)<0.2x2因为 f(2－ x 2) ＝x 2 e 2 ＋ a(x 2－ 1) ，而 f(x 2)＝ (x 2－ 2) e x 2 ＋ a(x 2－ 1)2＝ 0， 所以 f(2－ x 2) ＝ x 2e 2 x 2( x 2 2)e x 2 .设 g(x) ＝－ xe 2－ x － (x － 2)e x ，则 g ′(x)＝ (x － 1)(e 2－x － e x )，所以当 x>1 时， g ′(x)<0 ，而 g(1)＝ 0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x 2)＝ f(2－ x 2)<0，故 x 1＋ x 2<2.利用导数探究函数的极值、 最值是函数的基本问题， 高考取常与函数零点、 方程根及不等式相联合，难度较大．热门一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一， 能够间接考察用导数判断函数的单一性或求函数的最值，以及结构函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝ e x － x 2＋ a ， x ∈R ，曲线 y ＝ f(x) 的图象在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y＝ bx.(1) 求函数 y ＝ f(x) 的分析式；(2) 2＋ x ；当 x ∈R 时，求证： f(x) ≥－ x(3) 若 f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立，务实数 k 的取值范围．(1) 解 依据题意，得 f ′(x)＝ e x －2x ，则 f ′(0)＝1＝ b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入 y ＝ f(x)，得 a ＝－ 1，故 f(x)＝ e x － x 2－ 1.(2) 证明 令 g(x)＝ f(x)＋ x 2－x ＝ e x － x － 1.由 g ′(x)＝ e x － 1＝ 0，得 x ＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， g ′(x)<0， g(x)单一递减；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′(x)>0， g(x)单一递加． ∴ g(x)min ＝ g(0) ＝ 0，∴ f(x) ≥－ x 2 ＋x.f(x)(3) 解f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立等价于 x >k 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立．令 φ(x)＝ f(x)， x>0，得 φ′(x)＝ xf ′(x)－ f(x) x 2xx(e x － 2x) － (e x － x 2－1) (x － 1)(e x － x － 1) .＝x 2 ＝ x 2x由 (2) 可知，当 x ∈(0，＋ ∞)时， e － x － 1>0 恒成立，∴ y ＝ φ(x)的单一增区间为 (1，＋ ∞)，单一减区间为 (0,1)，φ(x)min ＝φ(1) ＝ e －2，∴ k<φ(x)min ＝ e － 2，∴实数 k 的取值范围为 (－ ∞， e － 2)．思想升华 用导数证明不等式的方法(1) 利用单一性：若 f( x)在 [a ，b] 上是增函数，则① ? x ∈ [a ， b] ，则 f(a) ≤f(x) ≤f(b)，②对 ? x 1， x 2∈[ a ，b]，且 x 1<x 2，则 f(x 1)< f(x 2) ．对于减函数有近似结论．(2) 利用最值：若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m)，则对 ? x ∈ D ，则 f(x) ≤M(或f(x) ≥m) ．(3) 证明 f(x)<g(x)，可结构函数 F(x)＝ f(x)－g(x)，证明 F(x)<0. 追踪操练 1 已知函数 f(x)＝ aln x ＋1(a>0) ．(1) 当 x>0 时，求证： f( x)－ 1≥a 1－ 1；x (2) 在区间 (1， e)上 f(x)> x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(1) 证明设 φ(x)＝ f(x)－1－ a 1－1x1＝ aln x － a 1－ x (x>0) ，a ax x 2.令 φ′(x)＝ 0，则 x ＝ 1，当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ，所以 φ(x)在 (0,1)上单一递减；当 x>1 时， φ′(x)>0，则φ′(x)＝－所以 φ(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加， 故 φ(x)在 x ＝ 1 处取到极小值也是最小值，故 φ(x) ≥φ(1)＝ 0，即 f(x)－ 1≥a 1－1x .x － 1(2) 解 由 f(x)>x 得 aln x ＋ 1>x ，即 a> ln x .x － 1 x － 1ln x － x 令 g(x) ＝ ln x (1< x<e)，则 g ′(x)＝ (ln x)2 .令 h(x) ＝ln x － x － 1 (1<x<e)，则 h ′(x)＝ 1 － 1>0，x x 2x 故 h(x) 在区间 (1， e)上单一递加，所以 h(x)>h(1)＝ 0.因为 h(x)>0 ，所以 g ′(x)>0 ，即 g(x)在区间 (1， e)上单一递加，x －1则 g(x)<g(e)＝ e － 1，即 ln x <e － 1， 所以 a 的取值范围为 [e － 1，＋ ∞)．热门二利用导数议论方程根的个数方程的根、函数的零点、 函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的观点，解决这种问题能够经过函数的单一性、极值与最值，画出函数图象的走势，经过数形联合思想直观求解．例 2 已知函数 f(x)＝ (ax 2＋x － 1)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R.(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 若 a＝－ 1，函数 y＝ f(x)的图象与函数g(x)＝1x 3＋1x2＋ m 的图象有3 个不一样的交点，务实32数 m 的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x，所以 f′(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x＋ (2x＋1)e x＝ (x2＋ 3x)e x，所以曲线y＝ f( x)在点 (1，f(1)) 处的切线斜率为k＝ f′ (1)＝ 4e.又因为 f(1) ＝ e，所以所求切线的方程为y－ e＝4e(x－ 1)，即 4ex－ y－3e＝ 0.(2)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ (－ x2＋ x－ 1)e x，f ′(x)＝( －x2－ x)e x，所以 y＝ f(x)在 ( －∞，－ 1)上单一递减，在 (－1,0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，故 f(x)在x＝－ 1 处获得极小值－3，在ex＝0 处获得极大值－ 1.而 g′(x)＝ x2＋ x，所以 y＝g(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，在 (－ 1,0)上单一递减，在 (0，＋∞)上单一递加．故 g(x) 在 x＝－ 1 处获得极大值1＋ m，在 x＝ 0 处获得极小值 m. 6因为函数y＝ f( x)与 y＝g(x)的图象有 3 个不一样的交点，所以 f( －1)<g(－ 1)且 f(0)> g(0) ，所以－3－1<m<－ 1，即 m 的取值范围为 (－3－1，－ 1)．e 6e6思想升华(1) 函数 y＝ f(x)－k 的零点问题，可转变为函数y＝ f( x)和直线 y＝ k 的交点问题．(2) 研究函数y＝ f(x)的值域，不单要看最值，并且要察看随x 值的变化 y 值的变化趋向．追踪操练 2已知函数 f(x)＝ 2ln x－x2＋ ax(a∈ R)．(1)当 a＝ 2 时，求 f(x)的图象在 x＝ 1 处的切线方程；1， e上有两个零点，务实数m 的取值范围．(2) 若函数 g(x)＝ f(x)－ ax＋m 在e解 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x2＋ 2x，2f ′(x)＝x－ 2x＋ 2，切点坐标为 (1,1)，切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，则切线方程为y－ 1＝2(x－ 1)，即 2x－y－ 1＝ 0.(2) g(x)＝ 2ln x－ x2＋ m，2－ 2(x＋ 1)(x－ 1)则 g′(x)＝x－2x＝x.1因为 x ∈， e ，所以当 g ′(x)＝ 0 时， x ＝ 1.1当 e <x<1 时， g ′(x)>0；当 1<x<e 时， g ′(x)<0. 故 g(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g(1) ＝ m － 1.又 g1e ＝ m － 2－e12 ，g(e) ＝m ＋2－ e2，g(e)－ g1 21e ＝ 4－ e ＋ 2<0，e则 g(e)<g 1e ，1所以 g(x)在 e ，e 上的最小值是g(e)．1g(x)在 ， e 上有两个零点的条件是g(1) ＝ m －1>0 ，1＝ m － 2－ 1g e e 2 ≤0，1解得 1<m ≤2＋ e 2，1所以实数 m 的取值范围是1， 2＋e 2 .热门三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实质问题受某些主要变量的限制，解决生活中的优化问题就是把限制问题的主要变量找出来， 成立目标问题即对于这个变量的函数，而后经过研究这个函数的性质，进而找到变量在什么状况下能够达到目标最优．例 3某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为100 元 / 平方米， 底面的建筑成本为 160 元 /平方米， 该蓄水池的总建筑成本为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2) 议论函数 V( r)的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝ 200πrh(元 )，底面的总成本为 160πr 2 元．所以蓄水池的总成本为(200 πrh ＋ 160πr 2 )元．又依据题意得 200πrh ＋ 160πr 2＝ 12 000 π，12所以 h ＝ 5r (300－ 4r )，π进而 V(r)＝ πr 2h ＝(300r － 4r 3)．5因为 r>0 ，又由 h>0 可得 r<53，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3)．π(2) 因为 V(r )＝ 5(300r － 4r 3)，π 2)，故 V ′(r)＝ (300－ 12r 5令 V ′(r)＝ 0，解得 r 1＝ 5， r 2 ＝－ 5( 因为 r 2＝－ 5 不在定义域内，舍去 )．当 r ∈ (0,5)时， V ′(r)>0，故 V( r)在 (0,5)上为增函数；当 r ∈ (5,5 3)时， V ′(r)<0 ，故 V(r )在 (5,5 3)上为减函数．由此可知， V(r )在 r ＝ 5 处获得最大值，此时h ＝ 8.即当 r ＝ 5，h ＝ 8 时，该蓄水池的体积最大．思想升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 建模：剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f(x)．(2) 求导：求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0.(3) 求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝ 0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值．(4) 作答：回归实质问题作答．追踪操练3经市场检查，某商品每吨的价钱为x(1< x<14) 百元时，该商品的月供应量为y 1万吨，y 1＝ ax ＋7a 2－ a(a>0) ；月需求量为2y 2万吨， y 2＝－1 x 2－2241112x ＋ 1.当该商品的需求量大于供应量时，销售量等于供应量； 当该商品的需求量不大于供应量时， 销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价钱的乘积．(1) 若 a ＝17，问商品的价钱为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供应量相等时的价钱为平衡价钱，若该商品的平衡价钱不低于每吨 6 百元，务实数 a 的取值范围．1解(1) 若 a ＝7，由 y 2>y 1，得－ 2241x 2－ 1121x ＋1>17x ＋ 72(17)2－ 17.解得－ 40<x<6.因为 1<x<14，所以 1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，y 1·x ， 1<x<6， 则 g(x) ＝y 2·x ， 6≤x<14.1 133 当 1<x<6 时， g(x)＝(x － )x<g(6)＝ . 727当 6≤x<14 时， g(x)＝ (－ 1 x 2－ 1 x ＋1)x ，224 112则 g ′(x)＝－ 1(3x 2＋ 4x － 224)2241＝－ 224( x － 8)(3x ＋28)，由 g ′(x)>0 ，得 x<8，所以 g(x)在 [6,8) 上是增函数，在 (8,14)上是减函数，当 x ＝ 8 时， g(x)有最大值 g(8) ＝367.(2) 设 f(x)＝ y 1－ y 2＝1 217 2－1－ a ，224x ＋ (＋ a)x ＋ a1122因为 a>0，所以 f(x)在区间 (1,14) 上是增函数，若该商品的平衡价钱不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间 [6,14) 上有零点，f(6) ≤0， 所以f(14)>0 ，7a 2＋10a －11≤0，17解得即0<a ≤ .7a 2＋13a>0，721 2已知函数 f(x)＝ 2x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋1)ln x.(1) 当 a ＝ 0 时，求曲线 y ＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 求 f(x)的单一区间；(3) 对随意的 a ∈ 3， 5，x 1， x 2∈[1,2] ，恒有 |f(x 1)－ f(x 2)| ≤λ|1 － 1 |，求正实数 λ的取值范围．2 2x 1 x 2押题依照相关导数的综合应用试题多考察导数的几何意义、 导数与函数的单一性、 导数与不等式等基础知识和基本方法，考察分类整合思想、 转变与化归思想等数学思想方法．此题的命制正是依据这个要求进行的，全面考察了考生综合求解问题的能力．解 (1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝12x 2－ 2x ＋ ln x ，f ′(x)＝x － 2＋ 1，且 f(1)＝－ 3， f ′(1)＝ 0，x 2故曲线 y ＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为3y ＝－ .2(2) f ′(x)＝ x － (2a ＋2)＋ 2a ＋ 1＝[x －(2a ＋1)]( x －1)，x>0.xx①当 2a ＋1≤0，即 a ≤－1时，函数 f(x)在 (0,1)上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加；21f(x)在 (2a ＋1,1)上单一递减，在 (0,2a ＋ 1)， (1，＋ ∞)②当 0<2a ＋ 1<1，即－ <a<0 时，函数2上单一递加；③当 2a ＋1＝ 1，即 a ＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞) 上单一递加；④当 2a ＋ 1>1，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a ＋ 1)上单一递减，在 (0,1)， (2a ＋ 1，＋ ∞)上单一递加．3， 5(3) 依据 (2) 知，当 a ∈ 2 2 时，函数 f( x)在 [1,2] 上单一递减．若 x 1＝ x 2，则不等式 |f(x 1 2)| ≤λ|1－ 1)－ f(x x 1 x 2|对随意正实数 λ恒成立，此时 λ∈ (0，＋∞)． 若 x 1≠x 2，不如设 1≤x 1<x 2≤2， 则 f(x 1)>f(x 2)， 1> 1 ，x 1 x 2原不等式即 f(x 1)－ f(x 2) ≤λ 1－1，x 1 x 2即 f(x λλ a ∈3 5， x ， x ∈ [1,2] 恒成立，1)－对随意的 ， 2xxλ3 5设 g(x) ＝f(x)－ x ，则对随意的 a ∈ [ 2，2]， x 1， x 2∈ [1,2] ，不等式 g(x 1) ≤g(x 2)恒成立， 即函数 g(x)在 [1,2] 上为增函数，故 g ′(x)≥0对随意的a ∈32，52 ， x ∈ [1,2] 恒成立．2a ＋ 1 λg ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋ x ＋x 2≥0， 即 x 3－ (2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋ λ≥0对随意的 a ∈ 3， 5恒成立．2 2 因为 x ∈ [1,2] ， 2x －2x 2≤0，253 － 2x 2故只需 (2x － 2x) ×＋ x ＋x ＋ λ≥0，2即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0对随意的 x ∈ [1,2] 恒成立．令 h(x) ＝x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ，x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒成立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，所以 h(x)min＝ h(2)＝λ－ 8，只需λ－ 8≥0即可，即λ≥8，故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组专题通关1．函数 f(x)的定义域为R，f(－ 1)＝ 3，对随意 x∈R，f′(x)<3 ，则 f(x)>3x＋ 6 的解集为 __________ ．答案(－∞，－ 1)分析设 g(x)＝ f(x)－ (3x＋ 6)，则g′(x)＝ f′(x)－ 3<0 ，所以g(x)为减函数，又g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 3＝ 0，所以依据单一性可知g(x)>0 的解集是{ x|x<－ 1} ．2．设 a>0，b>0 ，e 是自然对数的底数，若e a＋2a＝e b＋3b，则a与b的大小关系为________．答案a>b分析由 e a＋2a＝ e b＋ 3b，有 e a＋ 3a>e b＋ 3b，令函数 f(x)＝ e x＋ 3x，则 f(x)在 (0，＋∞)上单一递加，因为 f( a)> f(b)，所以 a>b.3．若不等式 2xln x≥－ x2＋ax－ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 (－∞， 4]分析条件可转变为 a≤2lnx＋ x＋3(x>0)恒成立．x设 f(x)＝ 2ln x＋ x＋3 x，则 f′(x)＝(x＋ 3)(x－ 1)(x>0)．x2当 x∈ (0,1) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单一递加，所以 f( x)min＝ f(1)＝ 4.所以 a≤4.4．假如函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ cln x(a，b，c 为常数， a>0)在区间 (0,1) 和 (2，＋∞)上均单一递加，在 (1,2) 上单一递减，则函数 f(x)的零点个数为 ________．答案 1分析由题意可得 f′(x)＝2ax＋ b＋c ，xf′(1)＝ 2a＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 6a，所以 f(x)＝ a(x2－ 6x＋ 4ln x)，则极大值 f(1)＝－则c＝ 0，解得c＝4a，f′(2)＝ 4a＋ b＋25a<0 ，极小值 f(2) ＝a(4ln2－ 8)<0 ，又 f(10)＝ a(40＋4ln 10)>0 ，联合函数图象 (图略 )可得该函数只有一个零点．5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________ dm.答案3227分析设圆柱的底面半径为 R dm，母线长为l dm，则 V＝πR l ＝27π，所以 l ＝R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表2227表54π表表＝πR＋ 2πRl＝πR ＋ 2π·，所以S′＝ 2πR－2 .令 S′＝ 0，得 R＝ 3，则当 R＝ 3 时， SR R最小．6．对于 x 的方程 x 3－ 3x2－ a＝0 有三个不一样的实数解，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案(－ 4,0)分析由题意知使函数f( x)＝ x3－ 3x2－ a 的极大值大于0 且极小值小于 0 即可，又 f′(x)＝ 3x2－6x＝ 3x(x－ 2)，令 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 0，x2＝2，当 x<0 时， f′(x)>0；当 0<x<2 时， f′(x)<0 ；当x>2 时， f′(x)>0 ，所以当x＝ 0 时， f(x)获得极大值，即f(x)极大值＝ f(0) ＝－a；当 x＝ 2 时， f(x)获得极小值，即f(x)极小值＝ f(2) ＝－ 4－ a，－a>0，所以解得－ 4<a<0.－4－ a<0，7．假如对定义在 R 上的函数 f(x)，对随意两个不相等的实数x1，x2，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”．给出以下函数：① y＝－ x3＋ x＋1；② y＝ 3x－ 2(sin x－ cos x) ；③ y＝ e x＋1；④ f( x)＝ln|x|， x≠0，以上函数是0， x＝ 0.“H 函数”的全部序号为 ________．答案②③分析因为 x1f(x1)＋ x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，即 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]>0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是增函数．由 y′＝－ 3x2＋ 1>0 得－33，即函数在区间－3， 33 <x< 333π上是增函数，故①不是“H 函数”；由 y′＝ 3－2(cos x＋ sin x)＝3－ 2 2sin x＋4≥3－22>0 恒x“H 函数”；因为④为偶函数，所以成立，所以②为“H 函数”；由 y′＝ e >0 恒成立，所以③为不行能在 R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③ .1324，直线 l： 9x＋ 2y＋ c＝0，若当 x∈ [ － 2,2] 时，函数 y＝f(x) 8．已知函数 f(x)＝ x － x － 3x＋33的图象恒在直线l 下方，则 c 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 6)分析依据题意知13249c在 x∈ [－ 2,2]上恒成立，则－3x－x－3x＋<－ x－3221323423，设 g(x) ＝ x － x ＋x＋，则 g′(x)＝ x － 2x＋3232则 g′(x)>0 恒成立，所以 g(x)在 [ － 2,2] 上单一递加，所以 g(x)max＝ g(2)＝ 3，则 c<－ 6.9.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某景色区的一段界限为曲线C，为方便旅客参观，制定在曲线C 上某点P 处罚别修筑与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM ， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米， 40 万元 /百米，成立以下图的平面直c 1 32342>3x － x ＋2x＋3，42角坐标系xOy，则曲线 C 切合函数y＝ x＋x2 (1 ≤x≤ 9)模型，设 PM ＝x，修筑两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元，题中所波及长度单位均为百米．(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在以下图的平面直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为y＝ x＋422(1 ≤x≤ 9)，PM＝ x，x所以点 P 的坐标为(x， x＋422)，直线 OB 的方程为 x－y＝ 0. x则点 P 到直线 x－y＝ 0 的距离为x－ (x＋4242x 2 )24＝x＝22x2.又 PM 的造价为 5 万元 /百米， PN 的造价为 40万元 /百米，则两条道路总造价为f(x)＝ 5x＋432≤x≤ 9)．40·＝ 5(x＋2)(12x x(2) 因为 f(x)＝ 5(x＋32 2 )，x645(x3－ 64)所以 f′(x)＝ 5(1－x3 )＝x3.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 4，列表以下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当 x＝4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为32f(4) ＝5×(4＋2 )＝ 30.4B 组 能力提升10．定义在0， π上的函数 f(x) ，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，给出以下2四个关系式，此中正确的选项是________．πππ① 3f 4>2f 3 ； ② f(1)<2f 6 sin 1；π ππ π ③ 2f 6 >f 4 ； ④ 3f 6 <f 3 .答案 ④分析∵ f(x)<f ′(x)tan x ，即 f ′(x)sin x －f(x)cos x>0，∴f(x)′＝f ′(x)sin x － f(x)cos xsin x 2>0，sin xf(x) π∴函数 sin x 在 0，2 上单一递加，π πf 6 f 3 π<fπ .进而 < ，即 3f 6 3π πsin6 sin 311．设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ′(x)，对随意 x ∈ R ，都有 f(x)＋ f(－ x)＝x 2，且 x ∈(0 ，＋∞)时， f ′(x)>x ，若 f(2－ a)－ f(a) ≥2－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (－ ∞， 1]分析1 21 22令 g(x)＝ f(x)－ x ，则 g(－ x)＝ f(－ x)－2x ，则 g(x)＋ g(－ x)＝ f(x) ＋f(－ x)－ x ＝ 0，得2g(x)为 R 上的奇函数．当 x>0 时， g ′(x)＝ f ′(x)－ x>0，故 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加，再联合2g(0) ＝0 及 g(x)为奇函数， 知 g(x)在 R 上为增函数． 又 g(2－ a)－ g(a)＝ f(2－ a)－(2－a)－ [f(a)22－ a2 ] ＝f(2－ a)－f(a)－ 2＋ 2a ≥ (2－ 2a)－ 2＋2a ＝ 0，则 g(2－ a) ≥g(a)? 2－a ≥a? a ≤1，即 a ∈ (－∞， 1]．12．直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2(x ＋ 1)，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ，B ，则 AB 的最小值为 ______．3 答案2分析解方程 2(x ＋ 1)＝ a ，得 x ＝a2－ 1.设方程 x ＋ ln x ＝a 的根为 t(t>0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ，则 AB ＝ t － a ＋ 1 ＝ t － t ＋ ln t ＋ 1 ＝ t － ln t ＋ 1 .2 2 2 2设 g(t)＝ t －ln t＋ 1(t>0) ，2 211 t － 1则 g ′(t)＝ 2－ 2t ＝ 2t (t>0) ，令 g ′(t)＝ 0，得 t ＝ 1.当 t ∈ (0,1)时， g ′(t)<0 ；当 t ∈(1 ，＋ ∞)时， g ′(t)>0 ，所以 g(t) min ＝ g(1) ＝ 3 2，3的最小值为 3所以 AB ≥ ，所以 AB2.21 3 1 2＋ k( k ∈R) ．13．已知函数 f(x)＝x ＋ kx32(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线的斜率为 12，求函数 f(x)的极值；(2) 设 k<0， g(x)＝ f ′(x)，求 F(x)＝ g(x 2)在区间 (0，2]上的最小值．1 312 2解 (1)函数 f(x)＝x ＋ kx＋ k 的导数为 f ′(x)＝ x ＋ kx.32由题意可得 f ′(2)＝ 4＋ 2k ＝12，解得 k ＝ 4，即 f(x)＝ 1x 3＋ 2x 2＋ 4， f ′(x)＝ x 2＋4x. 3当 x>0 或 x<－ 4 时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加；当－ 4<x<0 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减．可得 f( x)的极小值为 f(0)＝ 4，44f(x)的极大值为f( －4)＝ 3 .2(2) 由题意得 g(x)＝ x ＋kx.2设 t ＝ x 2∈(0,2] ，可得 F(x)＝h(t)＝ t 2 ＋kt ＝ (t ＋ k )2－ k， k<0，－ k>0.242①当－ 4<k<0 时，－ k ∈ (0,2)， h(t)min ＝ h(－ k)＝－ k 2 ；2 2 4k②当 k ≤－ 4 时，－ ∈ [2，＋ ∞)， h(t)在 (0,2) 上单一递减， h(t)min ＝ h(2) ＝ 4＋ 2k.2－ k，－ 4<k<0，综上可得， h(t)min ＝44＋ 2k ， k ≤－ 4.。

高考小题分项练4函数与导数1．已知函数答案－ 1f( x)的导函数为f′(x)，且知足f(x)＝ 2xf′ (1)＋ln x，则f′ (1)＝ ________.分析∵ f′(x)＝2f ′(1)＋ 1，x∴f ′(1)＝ 2f′(1)＋ 1，∴ f′(1)＝－ 1.2．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＋ f′(x)>1，f(0) ＝ 4，则不等式 e x f(x)>e x＋ 3(此中 e 为自然对数的底数 )的解集为 __________ ．答案(0，＋∞)分析x x，令 g(x)＝ e f(x)－ e∴g′(x)＝ e x f(x)＋ e x f′(x)－ e x＝e x[f(x)＋ f′ (x)－ 1]，∵f(x)＋ f′(x)>1，∴ g′(x)>0 ，∴ y＝ g(x)在定义域上单一递加，∵e x f(x)>e x＋ 3，∴ g(x)>3，∵g(0)＝ 3，∴ g(x)>g(0) ，∴ x>0.3．若函数 f(x)的定义域为R，f′(x)>2 恒建立， f(－ 1)＝ 2，则 f(x)>2x＋ 4 的解集为 __________ ．答案(－ 1，＋∞)分析设 F(x)＝ f(x)－ (2x＋ 4)，则 F(－ 1)＝ f(－ 1)－ (－ 2＋4) ＝2－ 2＝ 0，又∵对随意 x∈ R， f′(x)>2 ，∴ F ′(x)＝f′(x)－ 2>0 ，即 F(x)在 R 上单一递加．∴ F(x)>0 的解集为 (－ 1，＋∞)，即 f(x)>2 x＋ 4 的解集为 (－1，＋∞)．4．若函数 f(x)＝－1(x－2) 2＋ bln x 在 (1，＋∞)上是减函数，则 b 的取值范围是 ____________．2答案(－∞，－ 1]分析由题意可知 f′(x)＝－ x＋ 2＋b≤0在 (1，＋∞)上恒建立，即b≤x(x－ 2)在 x∈ (1，＋∞)上x恒建立，因为φ(x)＝ x(x－ 2)＝ x2－ 2x (x∈ (1，＋∞))的值域是 (－ 1，＋∞)，故只需 b≤－ 1 即可．5．已知函数 f(x)＝ x|x2－ a|，若存在 x∈ [1,2] ，使得 f(x)<2 ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案(－ 1,5)分析当 a≤0时， f(x)＝ x(x2－ a)， f′(x)＝ 3x2－ a≥0，所以 f(x)min＝ f(1)<2,1 － a<2， a>－ 1，即－1< a≤0；当 a>0 时，若a∈ [1,2] ，则 f( a)＝ 0<2 ，知足条件，即 1≤a≤4；若a?[1,2] ，则 f(x)min＝ min{ f(1)，f(2)}<2 ，即 |a－ 1|<2 或 2|a－ 4|<2，解得－ 1<a<5，所以 0<a<1 或 4< a<5，综上实数 a 的取值范围是 (－ 1,5)．f(e)，6．已知定义域为 R 的奇函数 y＝ f(x)的导函数为 y＝ f′(x)，当 x≠0时，xf′(x)－ f(x)<0 ，若 a＝e f(ln 2)f(－ 3)b＝ln 2， c＝－3，则 a， b， c的大小关系是 ________． (用“<”连结 )答案c<a<b分析因为 xf′(x)－ f( x)<0 ，所以 [f( x)xf′(x)－ f(x)f(x)在 (0，＋∞)上递减，又因为 y＝ f( x)是奇函数，所以 c＝f(－ 3) x ] ＝′x2<0 ，函数x－ 3＝f(3)，由 3>e>ln 2知 f(3) f(e) f(ln 2) ，即c<a<b.3 3<e<ln 27．已知函数f(x) 的导函数为f′(x)，且知足关系式 f(x)＝ x2＋ 3xf′(2)＋ ln x，则 f′(2)的值等于________ ．9答案－4分析∵ f(x)＝ x2＋ 3xf′(2)＋ ln x，∴f ′(x)＝ 2x＋ 3f′(2)＋1，x∴ f ′(2)＝ 4＋ 3f′(2)＋1，∴ f′(2)＝－9. 248．已知定义在 R 上的可导函数f(x) 的导函数 f′(x)知足 f′(x)<f(x)，且 f(x＋ 2)为偶函数， f(4)＝ 1，则不等式 f(x)<e x的解集为 ________．答案(0，＋∞)分析f(x)，设 g(x)＝xe则 g′(x)＝e x f′(x)－ e x f(x)f′(x)－ f(x)x2＝x，(e )e∵f ′(x)<f(x)，∴ g′(x)<0，∴函数 g(x)是 R 上的减函数．∵函数 f(x＋ 2)是偶函数，∴函数f(－ x＋ 2)＝ f(x＋ 2)，∴函数 f(x)的图象对于直线 x＝ 2 对称，∴f(0)＝ f(4)＝ 1.∵原不等式等价于g( x)<1，∴不等式f(x)<e x等价于 g(x)<g(0) ．∵g(x)是 R 上的减函数，∴ x>0.∴不等式f(x)<e x的解集为 (0，＋∞)．9．已知常数a， b， c 都是实数， f( x)＝ ax3＋bx2＋ cx－ 34 的导函数为f′(x)， f′(x)≤0的解集为{ x|－ 2≤x≤ 3}，若 f( x)的极小值等于－ 115，则 a 的值是 ________．答案 2分析依题意得 f′(x)＝ 3ax 2＋2bx＋ c≤0的解集是 [ －2，3]，于是有 3a>0，－ 2＋ 3＝－2b，－3a2×3＝c，b＝－3a，c＝－ 18a，函数 f( x)在 x＝ 3 处获得极小值，于是有f(3) ＝27a＋ 9b＋ 3c 3a281－ 34＝－ 115，－2 a＝－ 81， a＝2.10．函数 f(x)＝x3－3x－ 1，若对于区间 [－ 3,2] 上的随意 x1，x2，都有 |f(x1)－ f(x2)| ≤t，则实数 t 的最小值是 ________．答案20分析因为f′(x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1 为函数的极值点．又 f(－ 3)＝－ 19， f(－ 1)＝ 1，f(1)＝－ 3，f(2)＝ 1，所以在区间 [－ 3,2]上 f(x)max＝1， f(x)min＝－ 19.由题设知在区间[ － 3,2] 上 f(x)max－ f(x) min≤t，进而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.11．已知函数 f(x)＝ x2－ ax＋ 3 在 (0,1) 上为减函数，函数g(x)＝ x2－ aln x 在 (1,2)上为增函数，则 a 的值等于 ________．答案2分析∵函数 f(x)＝ x2－ ax＋ 3在 (0,1) 上为减函数，a a∴2≥1，得 a≥ 2又.∵ g′(x)＝2x－x，依题意 g′(x)≥0在 x∈(1,2)上恒建立，得 2x2≥a 在 x∈ (1,2)上恒建立，有 a≤ 2∴. a＝ 2.12．已知函数 f(x)＝－12t 的取值范围是 __________．2x ＋ 4x－ 3ln x 在 [t， t＋ 1]上不但一，则答案0<t<1 或 2<t<33－ x2＋4x－ 3分析f′(x)＝－ x＋ 4－x＝x＝－ (x－ 1)(x－ 3)，x由 f′(x)＝ 0 得函数的两个极值点1,3，则只需这两个极值点在区间(t，t＋ 1)内，函数在区间 [t，t ＋ 1]上就不但一，由 t<1< t＋ 1或 t<3< t＋ 1，解得 0<t<1 或 2< t<3.1－ x＋ ln x 对随意 x ∈ [1， 2]恒建立，则 a 的最大值为 ________．13．已知 a ≤ x 2答案 0分析令 f(x)＝1－ x x － 1，＋ln x ，则 f ′(x)＝ x 2x当 x ∈ [12， 1)时， f ′(x)<0 ，当 x ∈ (1,2] 时， f ′(x)>0 ，∴ f(x)在 [ 1， 1]上单一递减，在 [1,2] 上单一递加，2∴ f(x)min ＝ f(1) ＝ 0，∴ a 的最大值为 0.14．已知函数 f(x)＝ax 3 －3x 2＋ 1，若 f(x)存在独一的零点 x 0，且 x 0>0，则 a 的取值范围是________ ． 答案(－ ∞，－ 2)分析由已知 a ≠0， f ′(x)＝ 3ax 2－ 6x ＝ 3x(ax － 2)．2令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝ a .若 a>0 ，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， f ′(x)>0 ；2当 x ∈ (0， a )时， f ′(x)<0 ；2当 x ∈ ( ，＋ ∞)时， f ′(x)>0.因为 f(0) ＝1>0，易知此时有小于零的零点，不切合题意．若 a<0 ，当 x ∈ (－ ∞， 2a )时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (2， 0)时，f ′(x)>0 ； a当 x ∈ (0，＋ ∞)时， f ′(x)<0.因为 f(0) ＝1>0，所以要使 f(x)有独一的零点x 0，且 x 0>0,2 2，a<－ 2.则只需 f( )>0 ，即 a >4a。

第2讲填空题的解法技巧【题型概述】填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”.方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方 法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题.直接法是求解填空 题的基木方法•13445556678 1若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在 区间［139J51］上的运动员人数是 _______ .sin2/4（2）（2015-北京）在厶ABC 中，a=4, b = 5, c = 6,则不石= __________ •解析（1）由题意知，将1〜35号分成7组，每组5名运动员，落在区间［139,151］上的运动员 共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名. (2)白余弦定理：b 2-\~c 2—a 225 + 36—16 3. 羽cosA=—页—=2X5X6・：皿=4 '—a 2~\~b 2—c 216+25 — 361 .小 3^/7cosC=~2^ —= 2X4X5 =0 ・：smC= 8 52/_2><钗¥ ••sinC_ ■匸例1（1）（2015-湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所14 15答案(1)4 (2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.跟踪演练1 (1)(2015-韶关联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为鬥、尺，点P在椭圆上，则|"1|・『局|的最大值是 ________ .(2)己知方程x2 + 3ax + 3a + 1 = 0(a>2)的两根tana, tan0,且a f 0W (—号，号)，贝!] a+p=方法二特例法当填空题己知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选収一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD +，APLBD,垂足为P,且4- ------------------------------------(2)已知定义在R上的奇函数./(X)满足./(x—4)=—/(x),且在区间[0,2]上是增函数，若方程./(X)=加(加>0)在区间[―8,8]±有四个不同的根X], X2，兀3，X4，则X\+x2+x3+x4 = ___________ .解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点尸为对角线的交点，AC=6f则APAC= 18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.根据函数特点取./(x)=sin¥x,再由图象可得(X| +^2)+(%3 + JV4)=(—6 X 2) + (2 X 2) = — &答案(1)18 (2)-8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.跟踪演练2 (2015•课标全国I )若函数./(Q=xlnC卄寸忑？)为偶函数，贝山= _____________ .方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析儿何中两点间距离等，求解的关键是明确儿何含义，准确规范地作出相应的图形.兀—2y+120,例3 (1)已知点P(x,尹)的坐标x, y满足，，一则x2+y2~6x+9的取值范围是⑵已知函数fix)=x\x~2\f则不等式/(迈一x)W/(l)的解集为______________解析⑴画出可行域如图，所求的x2+y2-6x+9 = (x-3)2+y2是点0(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为0到射线x-y -1 =0(x^0)的距离〃的平方，晶in == (-V2)2 = 2.最大值为点0到点/的距离的平方，•：d爲x=16.・•・取值范围是[2,16].(2)函数y=j{x)的图象如图，由不等式./(迈一x)W/⑴知，y[2-x^y[2+ 1,从而得到不等式/(、问一QW/(1)的解集为[一1, +°°)・答案(1)[2,16] (2)[-1, +oo)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数.数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系.跟踪演练3 (1)(2015-山西大学附中月考)若方程x3~3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_______________________________________________________________________ .J+bx+c,兀W0,⑵(2015•兰州一中期中)设函数心)=仁°若/(—4)=/(0), /(—2)=—2,贝IJ函2,x>0.方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推 理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积 累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.456上单调递增，因此有_/(4)</(5)</(6),即芳沅.456答案(1从兀(2)y^<25<36 思维升华 构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型.在立体几何中，补形构 造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用. 跟踪演练4已知三个互不重合的平面a 、卩、丫, G Q“=〃2，且直线n 不重合，由下 列三个条件：①〃?〃？，刃U0； n//p ； @wCy, n//p.能推得m//n 的条件是 __________方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出儿个结论(或直接给出了儿个 结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解 决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想. 例5 (1)(2014-陕西)观察分析下表中的数据：例4 (1)如图，已知球0的球面上有四点4, B, C, D, D4丄平面ABC,丄BC, DA=AB=BC=^2,则球O 的体积等于 __________________ .456(2)怎，士, 士(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是解析⑴如图，以加，AB, BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为凡 则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD| =7(何+(廊 +(何=2R,所以R 書,故球O 的体积7=警=4 4(2)由于討知 x 425 —雪=&，故可构造函数金)=?,于是.")=花，雁)=石，夬6)=36,e' ・ 丫厶—c"・ 2x e' (x? — 2 工)= - = 丿令・f (x)>0得x<0或x>2,即函数几丫)在(2, +oo) e 5 e 5 e 6 e 6 e 6e 5多面体面数(F)顶点数(耳棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, r, E所满足的等式是______________________________________按照上面的规律，笫〃个“金鱼”图需要火柴棒的根数为解析(1)观察F, V, E的变化得F+V~E=2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8,公差为6的等差数列，所以，第”个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6/7 + 2.答案(1)F+/—E=2 (2)6〃+ 2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系. 跟踪演练5观察下列各个等式：13=1;2—3 + 5；3‘ = 7 + 9+11；¥=13 + 15 + 17+19；若某数/按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则加= ___________________ .方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，耍求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题耍求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之I'可互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.例6已知/(x)为定义在R上的偶函数，当时，有/(x+l)=—/(x),且当xW[0,l)日寸，./(X) = log2(x+l),给岀下列命题：©A2013)+/(-2014)的值为0；②函数/(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线与函数.心)的图象有1个交点；④两数.心)的值域为(一1,1).其中(2)用火柴棒摆“金鱼”正确的命题序号有 _________ .解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线尹=兀和函数人力的图象如下:y/_丄__ _____ 丄」丄______ 丄____p\ n n >\-5：-4 审-2 -y >O \1 2 4 ：5 x__ i^So，.•・•L__\ 1 < -111 11根据图象可知©A2013）+A-2014）=0正确，②函数./（x）在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数.几丫）的值域是（-1,1）,正确.答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推结合可以快速解决这类问題.跟踪演练6给出以下命题：2①双曲线号一x?=l的渐近线方程为y=±y[2x；②命题p：u R+»是真命题；m LAA③已知线性冋归方程为y=3+2x,当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量F服从正态分布N（O,1）,若尸（。

(二 )直线与圆锥曲线(2)1． (2015 课·标全国Ⅰ )已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：( x－2)2＋(y－3) 2＝ 1 交于M，N 两点．(1)求 k 的取值范围；→→(2)若 OM ·ON＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 MN .解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y＝ kx＋ 1，由于 l 与 C 交于两点，所以|2k－ 3＋ 1|1＋ k2<1，解得4－7<k<4＋7.33所以 k 的取值范围为4－7， 4＋7.33(2) 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)．将 y＝ kx＋ 1 代入方程 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1，整理得(1＋ k2)x2－ 4(1＋ k)x＋ 7＝ 0.4(1＋ k)7所以 x1＋ x2＝1＋k2， x1x2＝1＋ k2.→ →OM ·ON＝ x1x2＋ y1y2＝ (1＋ k2) x1x2＋ k(x1＋ x2)＋1＝4k(1＋ k)＋ 8.21＋ k4k(1＋ k)由题设可得1＋k2 ＋8＝12，解得 k＝ 1，所以 l 的方程为 y＝ x＋ 1.故圆心 C 在 l 上，所以 MN ＝2.x 2y22，点 (2，222)在 C 上．2． (2015 课·标全国Ⅱ )已知椭圆 C：a＋b＝ 1(a＞ b＞ 0)的离心率为2(1)求 C 的方程；(2)直线 l 可是原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．a2－ b2242(1) 解由题意得a＝2，a2＋b2＝1，22x2y2解得 a＝ 8，b＝4.所以 C 的方程为8 ＋4＝1.(2) 证明设直线 l ： y ＝ kx ＋ b(k ≠0， b ≠ 0)， A(x 1， y 1)，2 2xyB(x 2，y 2)， M(x M ， y M )．将 y ＝ kx ＋b 代入＋ ＝ 1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋ 2b 2－ 8＝ 0.x 1 ＋ x 2 － 2kbb .故 x M ＝＝ 2 ， y M ＝ k ·x M ＋b ＝ 22 2k ＋ 12k ＋ 1 于是直线 OM 的斜率 k OM ＝y M＝－ 1 ，x M 2k1即 k OM ·k ＝－ .2所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．3．(2016 江·苏省南京市高三第三次模拟 )如图，在平面直角坐标系x 2xOy 中，已知椭圆 C ： 2＋a22，点 (2,1) 在椭圆 C 上．y 2b ＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为 2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 l 与圆 O ： x 2＋ y 2＝ 2 相切，与椭圆 C 订交于 P ，Q 两点 .①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F ，求 △ OPQ 的面积；②求证： OP ⊥ OQ .c ＝ 2 4 1(1)2 ， 22解 由题意，得 a a ＋ b ＝ 1，又 a 2＝ b 2＋ c 2，解得 a 2＝ 6， b 2＝ 3.x 2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 6 ＋3＝1.(2) ①解椭圆 C 的右焦点 F( 3， 0)．设切线方程为 y ＝ k(x － 3)，即 kx －y －3k ＝ 0，|－3k|所以＝ 2，解得 k ＝± 2，所以切线方程为y ＝ ± 2(x － 3).当切线方程为 y ＝ 2(x － 3)时，2 2x＋ y ＝ 1，由方程组6 3y ＝ 2(x － 3)，x ＝ 4 3＋3 2，x ＝ 4 3－3 2，解得5或5－ 6＋6 － 6－6 y ＝ y ＝ ，，5566所以 PQ ＝.由于 O 到直线 PQ 的距离为2，所以 △ OPQ 的面积为 653.由于椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－ 2(x － 3)时， △ OPQ 的面积也为 6 5 3.6 3 综上所述， △ OPQ 的面积为.5②证明(ⅰ )若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x ＝ 2或 x ＝－ 2.当 x ＝ 2时， P ( 2， 2)， Q( 2，－ 2)．→ →由于 OP ·OQ ＝ 0，所以 OP ⊥OQ.当 x ＝－ 2 时，同理可得 OP ⊥ OQ . ( ⅱ)若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，即 kx － y ＋m ＝0. 由于直线与圆相切，所以|m| ＝2，2k ＋1即 m 2＝ 2k 2 ＋2.将直线 PQ 方程代入椭圆方程，得 (1＋ 2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－ 6＝ 0.设 P(x 1， y 1) ， Q(x 2， y 2)，则有 x 1＋ x 2＝－ 4km 2， x 1x 2＝2m2－ 62 .1＋ 2k 1＋ 2k→ →由于 OP ·OQ ＝ x 1x 2＋ y 1y 2＝ x 1x 2＋ (kx 1＋ m)( kx 2＋ m)＝ (1＋ k 2)x 1x 2＋ km(x 1＋ x 2)＋m 222m 2－ 64km2＝ (1＋ k ) ×2 ＋ km ×(－2)＋ m .1＋ 2k1＋ 2k 22＋2 代入上式可得 → → 将 m ＝ 2k OP ·OQ ＝ 0，所以 OP ⊥ OQ.综上所述， OP ⊥ OQ.4． (2016 ·江浙 )2如图，设椭圆x a 2＋ y 2＝ 1(a ＞ 1)．(1) 求直线 y ＝ kx ＋ 1 被椭圆截得的线段长 (用 a ， k 表示 )；(2) 若随意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解 (1)设直线 y ＝kx ＋ 1 被椭圆截得的线段为 AM ，y ＝ kx ＋ 1，得 (1＋a 2k 2)x 2＋ 2a 2kx ＝ 0， 由 x 22a 2＋ y ＝ 1，2故 x 1＝ 0， x 2＝－2a 2k2，1＋ a k22a 2|k|2所以 AM ＝1＋ k |x 1－ x 2|＝ 1＋ a 2k 2· 1＋k .(2) 假定圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设y 轴左边的椭圆上有两个不一样的点 P ， Q ，知足 AP ＝ AQ.记直线 AP ， AQ 的斜率分别为k 1， k 2，且 k 1， k 2＞ 0， k 1 ≠k 2.2a 2|k 1| 1＋ k 122a 2|k 2| 1＋ k 22 由 (1) 知 AP ＝1＋ a 2k 12 ， AQ ＝1＋ a 2k 22，2222故 2a |k 1| 1＋ k 1＝ 2a |k 2|1＋ k 2，1＋ a 2 k 121＋ a 2k 22所以 (k 12－ k 22)[1 ＋k 12＋k 22＋a 2(2－a 2)k 12k 22]＝ 0.2222 2 2＝ 0，由 k 1≠k 2， k 1， k 2＞ 0 得 1＋ k 1＋ k 2＋ a (2－ a )k 1 k 21 ＋ 11＋ 122所以22＝ 1＋ a(a － 2)，①k 1k 2由于①式对于 k 1， k 2 的方程有解的充要条件是22－2)＞ 1，所以 a ＞ 2.1＋ a (a所以随意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点的充要条件为1＜ a ≤ 2，由 e ＝ c＝aa 2－ 1 ，得 0< e ≤ 2.a22所以离心率的取值范围为(0， 2 ]．。

第2讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B 级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级．热点一 函数图象的切线问题例1 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 解得a ≠－12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．跟踪演练1 (1)(2019·苏州调研)已知y ＝kx ＋b 是函数f (x )＝ln x ＋x 的切线，则2k ＋b 的最小值为________． 答案 2＋ln 2解析 根据题意，设直线与函数f (x )的切点为 (m ，ln m ＋m )，m >0，因为f ′(x )＝1x ＋1，所以f ′(m )＝1m ＋1，则f (x )的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1x ＋ln m －1， 故k ＝1m＋1，b ＝ln m －1，则2k ＋b ＝2m ＋2＋ln m －1＝ln m ＋2m＋1，设g (m )＝ln m ＋2m ＋1，则g ′(m )＝1m －2m 2＝m －2m2，在区间(0,2)上，g (m )为减函数，在(2，＋∞)上，g (m )为增函数， 则g (m )min ＝g (2)＝ln 2＋2， 故2k ＋b 的最小值为ln 2＋2.(2)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a 的值为________． 答案 1解析 两曲线的导数分别是y ′＝1e x ，y ′＝ax ，因为在P 处有公切线，所以s e ＝a s 且s 22e ＝a ln s ，解得a ＝1.热点二 利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f (x )＝2ln x ＋bx ，直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )相切于点P . (1)求点P 的坐标及b 的值；(2)若函数g (x )＝x －ax(a >0)，讨论函数h (x )＝g (x )－f (x )的单调区间．解 (1)设P (x 0，y 0)为直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )的切点坐标，则有2ln x 0＋bx 0＝2x 0－2.① 因为f ′(x )＝2x ＋b (x ＞0)，所以2x 0＋b ＝2.②联立①②解得b ＝0，x 0＝1，则切点P (1,0)，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2ln x ，则h (x )＝g (x )－f (x )＝x －ax－2ln x (x >0)．求导得h ′(x )＝1＋a x 2－2x ＝x 2－2x ＋ax 2(x >0)．令y ＝x 2－2x ＋a (x ＞0)．①若Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1时，y ≥0，即h ′(x )≥0，此时函数h (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数；②若Δ＝4－4a >0，即0<a <1时，函数y ＝x 2－2x ＋a 有两个不同零点x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a .因为0<a <1，所以0＜x 1＜x 2. 当0<x <x 1和x >x 2时，y ＞0， 即h ′(x )>0，h (x )为增函数；当x 1<x <x 2时，y ＜0，即h ′(x )<0，h (x )为减函数．综上所述，当a ≥1时，函数h (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当0<a <1时，函数h (x )的单调增区间为(0,1－1－a )，(1＋1－a ，＋∞)，单调减区间为(1－1－a ，1＋1－a )．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝e x －12x 2－ax 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 f ′(x )＝e x －x －a ≥0恒成立， 令g (x )＝f ′(x )＝e x －x －a ，则g ′(x )＝e x －1. 在(－∞，0)上，g ′(x )＜0，f ′(x )单调递减； 在(0，＋∞)上，g ′(x )＞0，f ′(x )单调递增． 由题意得f ′(x )min ＝f ′(0)＝1－a .所以1－a ≥0，即a ≤1.经检验a ＝1时成立， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2)已知f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若2f (x )－f ′(x )<2，f (0)＝2 020，则不等式f (x )>2 019e 2x ＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为____________． 答案 (0，＋∞)解析 构造函数F (x )＝f (x )－1e 2x ，则F ′(x )＝f ′(x )e 2x －[f (x )－1]·2e 2x (e 2x )2＝f ′(x )－2f (x )＋2e 2x >0，故函数F (x )＝f (x )－1e 2x 在R 上单调递增，又因为F (0)＝f (0)－1e 0＝2 020－1＝2 019，所以不等式F (x )>F (0)的解集为(0，＋∞)， 因此不等式f (x )>2 019e 2x ＋1的解集为(0，＋∞)． 热点三 利用导数研究函数的极值与最值 例3 已知函数f (x )＝ln x －2x . (1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝12mx 2＋(m －3)x －1(m ∈R )，是否存在整数m 使f (x )≤g (x )对任意x ∈(0，＋∞)成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)f (x )＝ln x －2x ⇒f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，则x ＝12，分析知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，∴函数f (x )在x ＝12处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＝－ln 2－1，不存在极小值． (2)据题意，得ln x －2x ≤12mx 2＋(m －3)x －1对任意x ∈(0，＋∞)成立，∴ln x －12mx 2＋(1－m )x ＋1≤0对任意x ∈(0，＋∞)成立，设函数h (x )＝ln x －12mx 2＋(1－m )x ＋1，可知h (x )≤0对任意x ∈(0，＋∞)成立，∴h ′(x )＝1x －mx ＋(1－m )＝－mx 2＋(1－m )x ＋1x ＝－mx 2＋(m －1)x －1x ＝－(x ＋1)(mx －1)x ，①当m ≤0时，h ′(x )>0对任意x ∈(0，＋∞)成立，此时h (x )在区间(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝－12m ＋(1－m )×1＋1＝－32m ＋2>0，∴m ≤0不满足题设；②当m >0时，h ′(x )＝－m (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －1m x ，令h ′(x )＝0，则x ＝－1(舍)，x ＝1m，分析知，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上单调递减， ∴h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －12·m ·⎝⎛⎭⎫1m 2＋()1－m ·1m ＋1＝ln 1m ＋12m ＝－ln m ＋12m ，又函数P (m )＝－ln m ＋12m 在(0，＋∞)上单调递减，P (1)＝－ln 1＋11×2＝12>0，P (2)＝－ln 2＋12×2＝－ln 2＋14＝ln4e16<0. ∴所求整数m 的最小值为2.思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (3)解题中对于含有的参数要进行分类讨论，分类应做到不重不漏． 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋2a ln|x －1|(其中a ∈R )． (1)当a ≥0时，求函数f (x )的单调区间； (2)当a <0时，求函数f (x )的极值点．解 (1)因为f (2－x )＝2(1－x )2－2＋2a ln|1－x | ＝f (x )， 又函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 当x >1时，由f (x )＝2x 2－4x ＋2a ln(x －1)， 得f ′(x )＝4(x －1)＋2ax －1.所以当a ≥0且x >1时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，再根据函数f (x )图象的对称性可得函数f (x )在(－∞，1)上单调递减． 即f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)． (2)先考虑x >1时的情况， 当a <0时，则f ′(x )＝4(x －1)2＋2ax －1＝4x －1⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋－a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －1－－a 2； 所以当1<x <1＋－a2时，f ′(x )<0； 当x >1＋－a2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋－a2，＋∞上单调递增． 又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－－a 2，1和⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋－a2，＋∞上单调递增． 所以函数f (x )无极大值点，有2个极小值点，分别为1－－a2和1＋－a 2.1．(2019·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________． 答案 (e,1)解析 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A 的坐标是(e,1)．2．(2017·江苏，11)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.3．已知函数f (x )＝ln xx ＋1，φ(x )＝m (x ＋1)f (x )－x (m ∈R )．(1)求f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)当m >0时，求φ(x )在[1，2]上的最大值； (3)求证：f (x )的极大值小于1.(1)解 ∵f ′(x )＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＝1＋1x－ln x (x ＋1)2， ∴f ′(1)＝12，又f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)解 φ(x )＝m ln x －x (m >0)，令φ′(x )＝mx －1＝0，得x ＝m ，在区间(0，m )上，φ′(x )>0，函数φ(x )是增函数； 在区间(m ，＋∞)上，φ′(x )<0，函数φ(x )是减函数； 故当0<m ≤1时，φ(x )在[1,2]上单调递减，φ(x )max ＝φ(1)＝－1. 当1<m <2时，φ(x )先增后减，故φ(x )max ＝φ(m )＝m ln m －m . 当m ≥2时，φ(x )在[1,2]上单调递增， 此时φ(x )max ＝φ(2)＝m ln 2－2.综上，φ(x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0<m ≤1，m ln m －m ，1<m <2，m ln 2－2，m ≥2.(3)证明 f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2，令g (x )＝1＋1x －ln x ，g ′(x )＝－1x 2－1x <0，则函数g (x )＝1＋1x －ln x 在(0，＋∞)上单调递减，g (1)＝2>0，g (e 2)＝1e 2－1<0，所以存在唯一的x 0∈(1，e 2)，使得g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，x 0)，单调递减区间是(x 0，＋∞)，其中x 0∈(1，e 2)，所以函数f (x )有极大值． 函数f (x )的极大值是f (x 0)＝ln x 0x 0＋1，由f ′(x 0)＝0，得1＋1x 0－ln x 0＝0，所以f (x 0)＝ln x 0x 0＋1＝1＋1x 0x 0＋1＝1x 0，因为x 0∈(1，e 2)，所以1x 0<1，即f (x 0)<1，所以f (x )的极大值小于1.A 组 专题通关1．(2019·东台调研)已知点P 在曲线f (x )＝－13x 3＋x 2－2x 上，θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析 f ′(x )＝－x 2＋2x －2，k ＝tan θ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1≤－1， 所以θ∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4.2．(2019·苏州调研)曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________． 答案 23解析 由函数y ＝x ＋2e x ，可得导数为y ′＝1＋2e x ，当x ＝0时，y ′＝3，所以曲线y ＝x ＋2e x 在点(0,2)处的切线方程为y －2＝3x ， 即3x －y ＋2＝0，令x ＝0，可得y ＝2，令y ＝0，可得x ＝－23，所以曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×23＝23.3．(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝(x ＋m )e x －12x 2－(m ＋1)x 在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为________． 答案 {－1}解析 f ′(x )＝(x ＋m ＋1)(e x －1)≥0恒成立， 如图可得e x －1＝0时，x ＋m ＋1＝0，∴x ＝0，m ＝－1，即实数m 的取值集合为{－1}．4．若方程(2－a )(x －1)－2ln x ＝0在⎝⎛⎭⎫0，12上无解，则实数a 的最小值为________． 答案 2－4ln 2解析 令f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，因为f (x )<0在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，a >2－2ln xx －1恒成立，令l (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，则l ′(x )＝－2x (x －1)－2ln x (x －1)2＝2ln x ＋2x －2(x －1)2，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2(1－x )x 2<0，故m (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2>0，从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数，则l (x )<l ⎝⎛⎭⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)．综上，若方程(2－a )(x －1)－2ln x ＝0在⎝⎛⎭⎫0，12上无解，实数a 的最小值为2－4ln 2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋m 与函数g (x )＝－ln 1x －3x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是________．答案 [2－ln 2,2]解析 由题意知方程f (x )＋g (x )＝x 2＋m －ln 1x －3x ＝0在⎣⎡⎦⎤12，2上有解， 等价于m ＝－x 2＋3x －ln x 在⎣⎡⎦⎤12，2上有解， 令h (x )＝－x 2＋3x －ln x ， 则h ′(x )＝－(2x －1)(x －1)x .由h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1，易知h (x )max ＝2，h (x )min ＝2－ln 2，所以实数m 的取值范围是[2－ln 2,2]．6．(2019·江苏省扬州中学月考)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x 有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 ∵f (x )＝ax 2－2x ＋ln x ，x >0，∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x.∵函数f (x )有两个不同的极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程2ax 2－2x ＋1＝0的两个实数根，且x 1>0，x 2>0， ∵x 1,2＝2±4－8a4a，∴x 1＋x 2＝1a >0，x 1x 2＝12a >0，且Δ＝4－8a >0，解得0<a <12.7．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________． 答案－1＋52解析 因为f ′(x )＝e x (－x 2＋2x ＋a －2x ＋2)＝e x (－x 2＋a ＋2)，且函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，所以a ＋2≥x 2在x ∈[a ，a ＋1]上恒成立．①当a ＋1<0即a <－1时，y ＝x 2在[a ，a ＋1]上单调递减，y ＝x 2的最大值是a 2，故a ＋2≥a 2，解得－1≤a ≤2，不合题意，舍；②当－1≤a ≤0时，y ＝x 2在[a,0)上单调递减，在(0，a ＋1]上单调递增，故y ＝x 2的最大值是a 2或(a ＋1)2；当－1≤a ≤－12时，a ＋2≥a 2，此时－1≤a ≤－12，当－12<a ≤0时，a ＋2≥(a ＋1)2，此时－12<a ≤0，③当a >0时，y ＝x 2在[a ，a ＋1]上单调递增，y ＝x 2的最大值是(a ＋1)2，故a ＋2≥(a ＋1)2，所以0<a ≤－1＋52.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1＋52，所以a 的最大值为－1＋52. 8．(2019·苏北三市质检)已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为________． 答案374解析 x 3＋y 2＋3z ＝x 3＋y 2＋3(6－x －3y )＝x 3－3x ＋⎝⎛⎭⎫y －3322＋454，令f (x )＝x 3－3x ，g (y )＝⎝⎛⎭⎫y －3322＋454，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，x >0，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以，f (x )min ＝f (1)＝－2，当y ＝332时，g (y )有最小值g (y )min ＝454，所以x 3＋y 2＋3z 的最小值为－2＋454＝374(此时x ＋3y <6)．9．设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，试确定实数a 的值，并求出此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，满足在x ＝0处取得极值，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)得f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x ，令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a . 令g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x <x 1时，g (x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞.10．已知函数f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2(a ＞0)．讨论f (x )的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a >0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x ＋2a ⎝⎛⎭⎫x －2a . ①当0<a <2时，2a>1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ②当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a >2时，0<2a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上所述，当0<a <2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增；在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． B 组 能力提高11．(2019·江苏省扬州仪征中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，则满足13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)的实数x 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴x ∈(－∞，0]时，xf ′(x )＋f (x )<0， 故函数F (x )＝xf (x )在(－∞，0]上为减函数． 又函数F (x )为R 上的偶函数，∴函数F (x )＝xf (x )为[0，＋∞)上的增函数， ∵13(2x －1)f (2x －1)<f (3)，∴F (2x －1)<F (3)， ∴|2x －1|<3，解得－1<x <2.12．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0)上的最小值为________． 答案 －32解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x (a ＞0，b ＞0)在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0)上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0)上的最小值为－2＋2－1＝－32.13．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为_______．答案 52解析 由f ′(x )＝－(ln x ＋1)＋a ≥0在(0，e)上恒成立，即a ≥ln x ＋1，得a ≥2.当2≤a ＜3时，g (x )＝⎩⎨⎧a －e x ＋a 22，0≤x <ln a ，e x－a ＋a22，ln a ≤x ≤ln 3，g (x )在[0，ln a ]上单调递减，在[ln a ，ln 3]上单调递增，且g (0)≥g (ln 3)，所以M －m ＝g (0)－g (ln a )＝a －1＝32，解得a ＝52；当a ≥3时，g (x )＝a －e x＋a 22，g (x )在[0，ln 3]上单调递减，所以M －m ＝g (0)－g (ln 3)＝2≠32，舍去．所以a ＝52.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2. (1)试问函数f (x )能否在x ＝－33处取得极值？请说明理由； (2)若a ＝－1，令g (x )＝2x －f (x )，求函数g (x )在(－1,2)上的极大值、极小值； (3)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1， 假设在x ＝－33处f (x )取得极值，则有 f ′⎝⎛⎭⎫－33＝1－233a ＋1＝0，解得a ＝ 3.此时，f ′(x )＝3x 2＋23x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，f (x )为R 上的增函数，无极值． 所以函数f (x )不可能在x ＝－33处取得极值． (2)当a ＝－1时，g (x )＝2x －(x 3－x 2＋x ＋2) ＝－x 3＋x 2＋x －2， 所以g ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1.由g ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x ∈(－1,2)时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数g (x )在x ＝－13处取得极小值－5927；在x ＝1处取得极大值－1.(3)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1的对称轴为x ＝－a3.若－a 3≥－13，即a ≤1时，要使函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为单调增函数，则有Δ＝4a 2－12≤0， 解得－3≤a ≤3，所以－3≤a ≤1；若－a 3<－13，即a >1时，要使函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为单调增函数， 则有f ′⎝⎛⎭⎫－13＝3⎝⎛⎭⎫－132＋2a ⎝⎛⎭⎫－13＋1≥0， 解得a ≤2，所以1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为[－3，2]．。

高考小题分项练 5三角函数与解三角形5π5π1．若点 (sin ， cos6 ) 在角 α的终边上，则 sin α＝________.6答案 －32分析 依据随意角的三角函数的定义，cos 56π3得 sin α＝＝－2.12．若 tan α＝ 1， tan(α－ β)＝－ 1，则 tan(β－2α)＝________.2 3 答案 －17分析tan(β－ 2α)＝ tan(β－ α－ α)11＝tan(β－α)－ tan α3－21＝＝－ .1＋ tan(β－ α)tan α1 1 71＋ ·3 23．函数 f(x)＝ 2sin( ωx＋ φ)( ω>0) 的部分图象如下图，若 AB ＝ 5，则 ω的值为 ________．答案π3分析AB ＝ 5＝2T 2 ，4＋( )2解得 T ＝6＝2π π， ω＝ .ω3πy ＝f(x)的图象， 4．将函数 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0< φ<π)的图象沿 x 轴向左平移 8个单位，获得函数 若函数 y ＝ f(x)的图象过原点，则 φ＝ ________. 答案3π4分析由题设可知πf(x)＝ sin[2( x ＋ ) ＋φ]，8π 由题意 f(0) ＝ 0，即 sin( ＋ φ)＝ 0，4注意到 0<φ<π，所以φ＝3π4.5．假如知足∠ ABC＝60°， AC＝ 12，BC＝k 的锐角△ ABC 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是 __________．答案(4 3， 12]分析当 AC＝ BC·sin∠ ABC，即 ksin 60 ＝°12，k＝ 83时，三角形为直角三角形，不合题意．当AC0<BC≤AC，即 0<k≤ 12时，三角形只有一解，此中要使△ABC 为锐角三角形，应有 BC>tan∠ABC 12＝＝ 4 3，所以实数k 的取值范围是43<k≤12.tan 60°6.函数 y＝Asin( ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如下图，则此函数的分析式为 ________________．ππ答案y＝ 3sin(4x＋4)分析由图象知A＝ 3，T2＝ 5－ 1＝4，所以 T＝ 8.由于 T＝2πππ＝ 8，所以ω＝，所以 f(x)＝ 3sin(x＋φ)．ω44π由于函数 f(x)的图象过点 (1,3) ，所以 3sin(4＋φ)＝ 3，ππππ即 sin( ＋φ)＝ 1.由于＋φ＝ 2kπ＋， k∈ Z ，所以φ＝ 2kπ＋， k∈ Z，又由于 0<φ<π，所以φ4424πππ＝，所以函数 f(x) 的分析式是 f(x)＝ 3sin(x＋ )．444π7．已知函数f( x)＝ 3sin(ωx－6) (ω>0) 和 g(x)＝ 2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完整同样，若πx∈ [0，2]，则 f(x)的取值范围是 __________ ．3答案[－，3]π分析由题意可得ω＝ 2.∵ x∈ [0，2]，πππ 5π∴ ωx－＝ 2x－∈[－，66 6 6]，由三角函数图象知：f(x)的最小值为π3，最大值为π3sin(－ )＝－23sin ＝ 3，62∴f(x)的取值范围是 [－3，3]． 2π38．在△ABC 中，设 a，b， c 分别为角A， B， C 的对边，若a＝ 5， A＝4， cos B＝5，则边 c ＝________.答案 7分析由 cos B ＝ 3，得 sin B ＝ 4，55由 sin aA ＝ sin bB ，得 b ＝ 4 2，由 cos B ＝ a 2＋c 2－ b 22或 c ＝－ 1(舍)．，得 c － 6c － 7＝ 0， c ＝ 72ac9．设 a ， b ， c 为 △ABC 的三边长， a ≠1，b<c ，若 log ( c ＋ b)a ＋ log ( c － b)a ＝ 2log (c ＋ b) ·alog (c －b)a ，则 △ ABC 的形状为 ________三角形．答案 直角分析∵ log (c ＋b)a ＋log (c － b)a ＝ 2log (c ＋ b)a ·log (c －b)a ， ∴1＋1＝ 2，log(c －b) a loga(c ＋b )即 log a (c － b)＋log a (c ＋ b)＝ 2，∴ log a (c 2－ b 2)＝ 2，即 c 2－b 2＝ a 2， 即 c 2＝ a 2＋ b 2，故 △ ABC 的形状为直角三角形．10．已知函数2ωx＋π 2πf(x) ＝sin 3sin ωx sin(ωx＋ )(ω>0)的最小正周期为π，则 f(x)在区间 [0， 3]2上的值域为 __________ ．答案3[0， ]2分析2πf(x)＝ sin ωx＋ 3sin ωx sin(ωx＋)2＝ sin 2ωx＋ 3sin ωx·cos ωx1－ cos 2ωx 3＝ 2＋ 2 sin 2 ωx ＝ 3112 sin 2 ωx－2cos 2ωx＋ 2π 1.＝ sin(2 ωx－ )＋6 22π π由于 T ＝2ω＝ ω＝ π，π 1所以 ω＝ 1，即 f(x)＝ sin(2x － )＋ 2.6当 x ∈ [0，2π π π 7π 3] 时， 2x － ∈ [ － ，6],66π 1所以 sin(2x － )∈ [－，1]，62所以 f( x)的值域为 [0，3 2]．11．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b，c， S 表示△ ABC 的面积，若acos B1222＋ bcos A＝ csin C， S＝ (b ＋ c － a )，则 B＝ ________.4答案45°分析由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝ sin2C，sin(A＋B)＝ sin2 C， sin C＝ sin2C，于是 sin C＝ 1， C＝90°.进而11222122S＝ ab＝4(b ＋ c － a )＝4(b ＋ b )，2解得 a＝ b，所以 B＝ 45°.12．假如若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：① f 1(x)＝ sin x＋ cos x；② f 2(x)＝ 2sin x＋2；③ f3(x)＝ 2(sin x＋ cos x)；④ f4(x)＝ sin x；⑤ f5(x)x x x＝ 2cos2(sin2＋ cos2)，此中“互为生成”函数的有 ________． (请填写序号 )答案①②⑤分析ππf1( x)＝ 2sin(x＋ )， f3(x)＝ 2sin(x＋ )，44πf 5(x)＝ sin x＋cos x＋ 1＝ 2sin(x＋4)＋ 1，此中①②⑤都能够由y＝ 2sin x 平移获得，它们是“互为生成”函数，③④不可以由 y＝ 2sin x平移获得，互相也不可以平移获得，故填①②⑤.ππ13．已知α∈(0 ，2)，且 tan(α＋4)＝3，则 lg(8sinα＋ 6cos α)－ lg(4sin α－cos α)＝ ________.答案1分析ππ∵ α∈ (0 ， )，且 tan(α＋ )＝ 3，24∴tanα＋1＝ 3，∴ tan α＝1，1－ tan α2∴lg(8sin α＋ 6cos α)－ lg(4sin α－ cos α) 8sin α＋ 6cos α8tanα＋ 6＝lg4sin α－ cos α＝lg4tanα－ 1＝lg 10＝ 1.14．函数 y＝ tan ωx(ω>0)与直线 y＝ a 订交于 A，B 两点，且 AB 最小值为π，则函数 f(x)＝ 3 sin ωx－ cos ωx的单一增区间为 ________________ ．π2π答案[2kπ－3， 2kπ＋3 ](k∈ Z)分析由函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f( x)＝2sin(x π－6)．由 2kπ－得 2kπ－πππ2≤x－6≤2kπ＋2(k∈ Z) ，π2π3≤x≤2kπ＋3 (k∈Z) ．。