2021年菱形的性质和判定练习题

2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（三）1．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，CD＝，求菱形的面积．2．在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF＝BC．（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．3．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接AF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．6．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，AB＝2，求：（1）∠BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．7．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：△ADG≌△CDG；（2）若＝，EG＝4，求AG的长．8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．9．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．10．如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于E，EF∥AC交AB于F．（1）求证：BE＝AF；（2）连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形BEDF是菱形，并说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OCEB是平行四边形，∴四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝，由（1）知，AC⊥BD，OC：OB＝1：2，∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，∴CO＝1，OB＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝4；2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，∵E点是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线，∴OE∥BC且OE＝BC，∵CF＝BC，∴OE＝CF，∵OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形；（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，∴EF＝，∵CE＝，CF＝＝CD，∴△ECF为等边三角形；∵四边形OCFE是平行四边形，∴OC＝EF＝CE＝CF＝OE，∴△OCE为等边三角形；∵△ECF为等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴∠ABC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴△ABC为等边三角形；同理得△ADC为等边三角形；∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠BAD＝×60°＝30°，∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，∴OD＝AD＝×2＝1，∴AO＝＝＝，∴AE＝CF＝×＝，∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，∴高EF＝2×＝，在Rt△CEF中，CE＝＝＝．4．（1）证明：∵DE＝OC，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，∴在△ACE中，AE＝＝2．5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE；（2）菱形ABCD的内角∠B＝60°时，则四边形AECF为矩形，理由如下：连接AC，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵AE＝BE，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF为矩形．6．解：（1）∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，∴△ABC等腰三角形，∴AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAD＝2∠BAC＝120°；（2）∵AB＝2，AB＝AC∴AC＝AB＝2，菱形ABCD的周长＝4AB＝8．7．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∴AG＝CG；（2）∵＝，AD∥BC，∴BC＝3AE，∴ED：BC＝2：3，∴EG：CG＝2：3，∵EG＝4，∴CG＝6，∵△ADG≌△CDG，∴AG＝6．8．证明：四边形MDPE为菱形，理由：连接AM．∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF，∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，∴四边形MDPE是平行四边形；∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．9．（1）解：∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．10．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE，∵EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE，∴AF＝BE；（2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵EF∥AC，∴∠A＝∠BFE，∠C＝∠BFE，∴∠BFE＝∠BFE，∴BF＝BE，∵DE＝BE，∴BF＝DE，∵DE∥AB，∴四边形BEDF是菱形．。

《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；(2)对角线AC 的长;（3）菱形ABCD 的面积．例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．求证:.AF AE =例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ,F 分别是BC ，CD 上的一点,︒=∠=∠60EAF D ,︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证:GH 垂直平分CF ．例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=,E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==．求证：AF BE ⊥．例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点,四边形BCDE 是平行四边形． 求证：AC 与DE 互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥,可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =,且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出．(2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 (1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形,∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形． ∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅=说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =,AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-, ∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===. ∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形。

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等2．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．32 C．40 D．483．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB ＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A．2 B．C．D．4．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么sinα的值为（）A．B．C．D．6．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB 于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10 B．12 C．13 D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．188．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．369．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF 的面积为（）A．1 B．2C．2D．410．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若CF＝6，AC＝AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A．9.5 B．10 C．12.5 D．20二．填空题11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC ＝4，则BD的长为．12．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是（只需填写正确结论的序号）．13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是．16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．19．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积．21．已知，四边形ABCD是菱形，（1）若AB＝5，则菱形ABCD的周长＝；（2）如图①，AC、BD是对角线，则AC与BD的位置关系是．（3）如图②，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：四边形AMEN是菱形．22．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．参考答案一．选择题1．解：A．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；B．四边相等的四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．2．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF＝8，∴四边形AEDF的周长＝4AF＝4×8＝32．故选：B．3．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，即图中重叠（阴影）部分的面积为；故选：C．4．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝，∴AD＝CD＝，∴sinα＝＝，故选：B．6．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，∵OC＝OD＝DE＝CE，∴四边形ODEC是菱形．如图，连接CD交OE于点F，∵四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，∴CF＝DF＝6，∴CD＝12．故选：B．7．解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．8．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝6，＝4AF＝4×6＝24．∴C菱形AEDF故选：A．9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积是：AE•BC＝2．故选：C．10．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，设AF＝x，则AC＝x+2，FC＝6，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即x2+62＝（2+x）2，解得：x＝8，故AC＝10，故四边形BDFG的周长＝4BD＝2×10＝20．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∴OB＝＝＝．∴BD＝2．故答案为：2．12．解：①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣∠C＝60°，故①正确；②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；③若AE＝AF，则BC•AE＝CD•AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC•AE＝CD•AF，∴AE＝AF，故④正确；故答案为：①③④．13．解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．14．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG＝GF＝DF＝BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得：AC＝13，∵BD为△ACB的中线，∴BD＝AC＝，∴BG＝GF＝DF＝BD＝，故四边形BDFG的周长＝4GF＝26．故答案为：26．15．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD＝2，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；故答案为：8．16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2＝BC2，∵AC＝2OC，BF＝2OB，∴AC2+BF2＝（2OC）2+（2OB）2＝4OC2+4OB2＝4BC2，又∵BC＝CD，∴AC2+BF2＝4CD2．故答案为：AC2+BF2＝4CD2．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．20．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD ＝BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：∵D 是BC 的中点，∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝S △ABC ＝AB •AC ＝．21．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∴菱形ABCD 的周长＝20；故答案为：20；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是对角线， ∴AC ⊥BD ，∴AC 与BD 的位置关系是垂直，故答案为：垂直；（3）证明：∵MG ∥AD ，NF ∥AB ，∴四边形AMEN 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵BM ＝DN ，∴AB ﹣BM ＝AD ﹣DN ，∴AM ＝AN ，∴四边形AMEN 是菱形．22．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．。

19.3 菱形第一课时一、自主学习1、理解菱形的定义；2、探究菱形的性质，并能使用性质解决实际问题。

●自学生疑1、叫菱形2、菱形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性二、合作学习●合作探究1、看书理解什么叫菱形？。

2、通过量一量，折一折，看看菱形的边、角、对角线存有哪些性质？如何证明？归纳：用几何语言表达：3、探究菱形的面积计算方法：练一练：1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75° B.60° C.45° D.30°3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（）A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.23 cm精讲精练例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD 的高DH.变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。

（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=︒,试问：P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14？为什么？例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=︒,P 点在BD 上，求PE+PC 的最小值。

三、用中学习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为_______. 3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm 2. 4.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 25.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）A.43B.83C.103D.1236.以下语句中，错误的选项是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边能够通过平移而相互得到C.菱形的两组对边能够通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边能够通过旋转而相互得到7.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠局部是一个菱形，则菱形周长的最小值是 ，最大值是 。

2021 2021年八年级数学下册菱形的性质与判定练习题及答案3.302021-2021年八年级数学下册菱形的性质与判定练习题及答案3.30一选择题：1.以下四边形中不一定为菱形的就是（）a.对角线相等的平行四边形b.每条对角线平分一组对角的四边形c.对角线互相横向的平行四边形d.用两个全等的等边三角形拆成的四边形2.以下观点中恰当的就是（）a.四边相等的四边形是菱形b.一组对边成正比，另一组对边平行的四边形就是菱形c.对角线互相横向的四边形就是菱形d.对角线互相平分的四边形就是菱形3.若顺次连接四边形abcd各边的中点所得四边形是菱形,则四边形abcd一定是（）a.菱形b.对角线互相横向的四边形c.矩形d.对角线成正比的四边形4.菱形的周长为8cm，低为1cm，则菱形两邻角度数比为（）a．4：1b．5：1c．6：1d．7：15.四个点a，b，c，d在同一平面内，从①ab∥cd；②ab=cd；③ac⊥bd；④ad=?bc；⑤ad∥bc．这5个条件中任选三个,能使四边形abcd是菱形的选法有（）．a.1种b.2种c.3种d.4种6.如图，在菱形abcd中，ab的垂直平分线ef交对角线ac于点f，垂足为点e，连接df，若∠cdf=24°，则∠dab等同于（）a．100°b．104°c．105°d．110°7.例如图,在长方形abcd中,ab=12,ad=14,e为ab的中点,点f,g分别在cd,ad上,若cf=4,且△efg为全等直角三角形,则ef的短为（）a.10b.10c.12d.128.用一条直线将一个菱形划分成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为m和n,则m+n值不可能将就是（）a.360°b.540°c.630°d.720°9.如图,在周长为12的菱形abcd中,ae=1,af=2,若p 为对角线bd上一动点,则ep+fp的最小值为（）a.1b.2c.3d.410.如图,点p是矩形abcd的边ad上的一动点,矩形的两条边ab、bc的长分别是6和8,则点p到矩形的两条对角线ac和bd的距离之和是（）a.4.8b.5c.6d.7.211.如图,把长方形纸片abcd折叠,使其对角顶点c与a重合.若长方形的长bc为8,宽ab为4,则折痕ef的长度为（）a.5b.3c.2d.312.如图,四边形abcd,ad与bc不平行,ab=cd.ac,bd为四边形abcd的对角线,e,f,g,h 分别是bd,bc,ac,ad的中点.下列结论：①eg⊥fh；②四边形efgh是矩形；③hf平分∠ehg；④eg=（bcad）；⑤四边形efgh是菱形.其中正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个二填空题：d.4个13.例如图,在菱形abcd中，∠bad=80°,ab的垂直平分线交对角线ac于点f,e为像距,相连接df,则∠cdf的度数=度．14.如图,正△aef的边长与菱形abcd的边长相等,点e、f分别在bc、cd上,则∠b的度数是．15.把一张矩形纸片abcd按例如图方式卷曲，并使顶点b和顶点d重合，折痕为ef．若bf=4，fc=2，则∠def的度数就是．16.如图,在?abcd中,对角线ac、bd相交于点o.如果ac=8,bd=14,ab=x,那么x取值范围是．17.在菱形abcd中，ae为bc边上的高，若ab=5，ae=4，则线段ce的短为．18.例如图，?abcd中，ab=2，bc=4，∠b=60°，点p就是四边形上的一个动点，则当△pbc为直角三角形时，bp的短为．三解答题：19.例如图,未知△abc中,d就是bc边的中点,ae平分∠bac,be⊥ae于e点,若ab＝5,ac＝7,谋ed．20.如图,在平行四边形abcd中,用直尺和圆规作∠bad平分线交bc于点e(尺规作图的痕迹保留在图中了),连ef．（1）澄清：四边形abef为菱形；（2）ae，bf平行于点o，若bf=6，ab=5，谋ae的长．21.如图，在△abc中，d、e分别是ab、ac的中点，be=2de，过点c作cf∥be交de的延长线于f，连接cd．（1）澄清：四边形bcfe就是菱形；（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△bec面积相等的所有三角形（不包括△bec）．22.例如图,未知在菱形abcd中,f为边bc的中点,df与对角线ac处设m,过m作me⊥cd于e,∠1=∠2．（1）若ce=1，求bc的长；（2）求证：am=df+me．23.例如图，未知全等rt△abc和△cde，ac=bc,cd=ce，相连接be、ad，p为bd中点，m为ab中点、n为de中点，相连接pm、pn、mn.（1）试判断△pmn的形状，并证明你的结论；（2）若cd=5，ac=12，求△pmn的周长.1.a2.a3.d4.b5.d6.b7.b8.c9.c．10.a11.c12.c13.答案为：60．14.案为：80°．15.答案为：60．16.答案为：3＜x＜11．17.【答疑】求解：当点e在cb的延长线上时，例如图1右图．。

菱形检测题二1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D. 菱形的对角线相等7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在9、下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．A．2 B．4 C．6 D．814.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )A.1B.3C.2D.2315.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.516.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1417.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.18.如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD=6，则菱形ABCD 的面积是( )A.6B.12C.24D.4819、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）．A ．15B ．3215C ．7.5D ．315 20、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）．A ．8cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm21、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）．A ．3：1B ．4：1C ．5：122.如图，已知AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍23.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A.40°B.50°C.80°D.100°24.已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm2 25.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A.4B.125C.245D.526.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是__________.27.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.28.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.29.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点.求证：AE=CF.30、如图，菱形ABCD中，E是AB中点，DE⊥AB，AB=4.求（1）∠ABC的度数；（2）AC的长；（3）菱形ABCD的面积．31.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.32、如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形33、如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC的中点，AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．34.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，连接OE.求证：OE ＝BC.35.如图所示，等边三角形CEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等.(1)求证：∠AEF=∠AFE ；(2)求∠B 的度数.A B C D EG H最新文件仅供参考已改成word文本。

菱形的性质与判定专项训练卷（基础）一．选择题（共10小题）1．下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线相等的平行四边形是菱形2．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD ＝10，则DE的长为（）A．2√10B．4√2C．√38D．4√33．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．94．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm5．如图，已知菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝14，则该菱形的面积等于（）A ．8B ．14C ．24D ．286．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝12，BD ＝16，AH ⊥BC 于H ，则AH 等于（ ）A ．245B ．485C ．4D ．57．如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（ ）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB ＝ADB ．AO 2+BO 2＝AB 2C ．AC ＝BD D ．∠BAC ＝∠ACB9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是（3，4），则点B 的坐标为（ ）A ．（5，4）B ．（8，4）C ．（5，3）D ．（8，3）10．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为（ ）A ．3B ．√5C ．2√3D ．√192二．填空题（共2小题）11．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，E ，F 两点分别从A ，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点B ，C 移动，连接EF ，在移动的过程中，EF 的最小值为 ．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为 ．三．解答题（共3小题）13．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4√5，BD＝8，求四边形ABEO的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）1．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，AE＝2BE，DE＝5，则菱形的边长为（）A．3B．2C．5D．2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD相交于F，下列结论不正确的是（）A．∠EBF＝30°B．BE＝BF C．F A＞EF D．OE⊥BC3．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16B．12C．12或16D．无法确定4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠BAD＝120°，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．5．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96B．48C．24D．66．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF 的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（6，3）8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．69．如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）A．S B．S C．S D．S10．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC 的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE 所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1B．C．2D．2﹣212．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点BD是对角线，AG ∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG＝．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．①③D．①②④13．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以AC、BD的交点，O为圆心，OC为半径作弧交BC于点E，再分别以点E、C为圆心，大于EC的长为半径作弧交于点F（作图痕迹如图所示），作射线OF交BC于点M，若OM＝3，则AC的长是．15．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是．16．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．17．如图，E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，且AB＝5，BD＝6．（1）求线段EF的长；（2）探究四边形DEOF是什么特殊四边形？并对结论给予证明．18．如图，已知平行四边形ABCD．过A作AM⊥BC于点M．交BD于点E，过C作CN∥AM交AD于点N，交BD于点F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当四边形AECF为菱形，M点为BC的中点，且BC＝3时，求CF的长．19．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．（1）求证：四边形AOBF是矩形；（2）若AD＝5，sin∠AFO＝，求AC的长．21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．22．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．（1）如果BC＝8cm，那么EF＝cm；（2）当AB和AC满足时，四边形AFDE是菱形，并证明．23．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB＝∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．24．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AD 平分∠BAC，求证：四边形AEDF为菱形．25．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起得到四边形ABCD．（1）试判断四边形ABCD是什么图形，并证明你的结论；（2）若∠ABC＝60°，求四边形ABCD的面积．26．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；⑤连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．27．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．28．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）30．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC 的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求的值．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，设BE＝x，则AE＝2x，∴AD＝AB＝AE+BE＝3x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝x，∵DE＝5，∴x＝5，∴x＝，∴AB＝3，即菱形的边长为3，故选：A．2．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BD＝BD（公共边）∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；∴∠EBF＝30°．∴A正确；∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°，∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°，∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF．∴B正确；∵AB＝BC＞BE，∴F A＞EF，∴C正确；假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°，∵∠BEF＝75°，∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE，∴OE＝OA＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝60°，∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾，∴假设不成立，∴OE⊥BC错误，∴D不正确．故选：D．3．解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4，当x1＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；当x2＝4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，∴菱形的周长为4×4＝16．故选：A．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，∵∠BAD＝120°，∴∠BAO＝60°，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝1，BO＝＝，∴BD＝2．故选：C．5．解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝＝24．故选：C．6．解：连接AC，如图：∵AE，AF分别垂直平分BC，CD，∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠BCD＝120°，∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD∵AB的中点是坐标原点，∴AO＝BO＝3，∴DO＝＝3∴点C坐标（6，3）故选：D．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝S；故选：B．10．解：根据菱形的对角相等得∠ADC＝∠B＝70°．∵AD＝AB＝AE，∴∠AED＝∠ADE．根据折叠得∠AEB＝∠B＝70°．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝70°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）÷2＝55°．∴∠EDC＝70°﹣55°＝15°．故选：B．11．解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S△ABB′＝BA•AB′＝2，S△ABE＝1，∴CB′＝2BE﹣BC＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2﹣．故选：C．12．解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF故①正确②由①知四边形DEBF为平行四边形∵AD⊥BD E为边AB的中点∴DE＝BE＝AE∴四边形BEDF是菱形故②正确③∵AG∥DB AD∥BGAD⊥BD∴AGBD为矩形∴AD＝BG＝BC要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG不能证明BF＝BC，即FG⊥AB不恒成立故③不正确④由③知BC＝BG∴S△BFG＝∵F为CD中点∴S△FCG＝S平行四边形ABCD∴S△BFG＝故④正确．故选：D．13．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EF A中，，∴△ABC≌△EF A（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴BD＝4FH，故④正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠F AE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠FEA，在△DBF和△EF A中，，∴△DBF≌△EF A（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AB＞AC，∴AD＞AE，∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；∵AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③正确，故选：C．14．解：由题意可得OM⊥BC，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ABC＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，∴BO＝2OM＝6，BO＝CO，∴CO＝2，∴AC＝2OC＝4，故答案为4．15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD＝90°，∴OB＝1，∴BD＝2．故答案为2．16．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝10，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝10﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝OD＝BD＝3，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD＝4，（2）四边形DEOF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴O是AC，BD的中点，∵E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，∴DE＝DA，DF＝DC，OE，OF分别是△ACD和△CDA的中位线，∴DE＝DF，OE∥FD，OF∥DE，∴四边形DEOF平行四边形，∵DE＝DF，∴四边形DEOF是菱形．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBD，又∵AM⊥BC，∴AM⊥AD；∵CN⊥AD，∵AM∥CN，∴AE∥CF；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）如图，连接AC交BF于点O，当四边形AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，∵BO＝OD，∴AC与BD互相垂直平分，∴▱ABCD是菱形，∴AB＝BC；∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°，∴BC＝CF＝3，∴CF＝．19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF＝BD，∴▱EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，∴S菱形＝BC•BE＝10×8＝80．答：菱形ABCD的面积为80．（3）∵EF⊥AB，垂足为G，∵四边形ABCD是菱形，∴OA⊥OB∴∠AOG+∠BOG＝90°，∵OG⊥AB，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠BOG＝∠OAG，∠AGO＝∠BGO＝90°，∵在Rt△GOB中，根据勾股定理，得OG2＝OB2﹣BG2∴OB2﹣BG2＝AG•BG，∵OB＝3AG，∴BG2+AG•BG﹣90AG2＝0∴（BG﹣9AG）（BG+10AG）＝0BG＝9AG，BG＝﹣10AG（不符合题意，舍去），AB＝BG+AG＝10AG，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OA2＝AB2﹣OB2＝100AG2﹣90AG2＝10AG2∴OA＝AG∴＝答：的值为．20．解：（1）证明：∵点E为AB的中点，EF＝EO，∴四边形AOBF是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴四边形AOBF是矩形；（2）∵四边形AOBF是矩形，∴AB＝OF，∠F AO＝90°，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝5，∴OF＝5，在Rt△AFO中，OF＝5，∵sin∠AFO＝，∴OA＝3，∴AC＝6．21．解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EO＝AB，OF＝AD，∴EO＝FO，∴△OEF是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，∴AO＝5，∠AOB＝90°，∴BO＝＝＝12，∴BD＝24，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EF BD，∴EF＝12．22．解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC＝4（cm），故答案为：4；（2）当AB＝AC时，四边形AFDE是菱形，证明如下：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，∴DE、DF分别是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，由（1）EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴AD⊥EF，∴平行四边形AFDE是菱形，故答案为：AB＝AC．23．证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC＝BD，∴四边形CEDB是菱形．24．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠ADE＝∠F AD，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形．25．解：（1）四边形ABCD是菱形，证明如下：由题意得：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，BE＝AE＝，∴AB＝2，∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．26．证明：（1）由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝4，∴PH＝2，∴．27．（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．28．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．29．（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝3．30．（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE＝BD，又∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AD，∴CE＝DA，又∵CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形；（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC＝DE，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，AB＝＝x．∵AB•CF＝AC•BC，∴CF＝＝x．∵CD＝AB＝x，＝．。

菱形的性质与判定练习题菱形是一种常见的几何图形，它有一些独特的性质和判定方法。

在本篇文章中，我们将探讨菱形的性质，并提供一些练习题来帮助读者加深对菱形的理解。

一、菱形的定义和基本性质菱形是一种四边形，它有以下几个基本性质：1. 所有边相等：菱形的四条边的长度相等，即AB = BC = CD = DA。

2. 对角线相互垂直：菱形的两条对角线互相垂直，并且相互平分。

3. 对角线相等：菱形的两条对角线的长度相等，即AC = BD。

4. 内角和为360度：菱形的内角和等于360度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

二、菱形的判定方法判定一个四边形是否是菱形有以下几种方法：1. 边长相等判定：如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么它是一个菱形。

2. 对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线的长度相等，那么它是一个菱形。

3. 对角线垂直判定：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，并且相互平分，那么它是一个菱形。

练习题：1. 判断下列四边形是否是菱形，并给出理由：a) AB = BC = CD = AD，AC = BDb) AB = BC = CD = DA，并且AC ⊥ BDc) AB = BC = CD = DA，AC ≠ BD2. 在平面上画出一个菱形ABCD，使得AB = 5cm，AC = 7cm，BD = 8cm。

解答：1. a) 是一个菱形。

根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等，符合给定的条件。

b) 是一个菱形。

根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等且垂直，符合给定的条件。

c) 不是一个菱形。

尽管四条边相等，但对角线不相等，不符合给定的条件。

2. 请参考下图所示的菱形。

（在这里插入一张带有标签的菱形图，其中AB = 5cm，AC =7cm，BD = 8cm）通过以上的练习题，我们可以进一步巩固对菱形性质和判定方法的理解。

菱形作为一种常见的几何形状，在解决实际问题中有着广泛的应用。

菱形的性质与判定综合练习题一、填空题1、如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则（1）AB=AD=____=____，即菱形的_______________相等.（2）图中的等腰三角形有________________________，直角三角形有____________________，△AOD≌______≌_______≌______，由此可以得出菱形的对角线_______________，每一条对角线_______________.（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_______________.2、菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是________二、选择题1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.每条对角线平分一组对角2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形3.菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm,则它的面积为( )A.6 cm2B.12 cm2C.24 cm2D.48 cm24.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形三、解答题1、如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°，AC=4，求BD的长2、如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.3、如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。

四周的花儿，紫的，黄的，白的，红的，竞相开放。

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．若菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为（）A．13B．26C．120D．2402．菱形的周长为8cm，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是（）A．2cm2B．2cm2C．4cm2D．4cm23．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（）A．6B．C．D．54．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB 交CD于点F，则EF的长为（）A．4.8B．2C．5D．65．如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠F AE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°6．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（）A．4B．3C．D．28．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．9．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．填空题（共10小题，满分40分）11．菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为．12．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是．13．如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，DH⊥AB于点H，连接OH，OH的长度为．14．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA 的大小为．15．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC ＝6，BD＝8，则OE＝．17．如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，点F分别在边AB和边AD上，BE＝AF，则∠AEC+∠AFC的度数为．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上一动点，则AP的最小值为．20．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是cm2．三．解答题（共4小题，满分40分）21．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．22．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，连接OE．求证：四边形ABCD是菱形．24．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，并连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵菱形的两条对角线长分别为10和24，∴菱形的面积为×10×24＝120，故选：C．2．解：∵菱形的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°∵两相邻角的度数之比为1：2，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝2cm．∴OA＝1（cm）．在Rt△AOB中，根据勾股定理可得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2（cm2），故选：A．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，则AD＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•5＝×6×8，∴DH＝．故选：B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即×6×8＝5EF，∴EF＝4.8．故选：A．5．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝108°，∵四边形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，∴∠F AE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．6．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．7．解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，BO＝OD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴BO＝BD＝2，故选：D．8．解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴BC＝BF，∴∠C＝∠BFC，设∠ABE＝∠CBF＝α，∵∠EBF＝60°，∴∠ABC＝2α+60°，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠C＝80°，故选：B．10．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EF A中，，∴△ABC≌△EF A（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴BD＝4FH，故④正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠F AE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠FEA，在△DBF和△EF A中，，∴△DBF≌△EF A（AAS），∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AB＞AC，∴AD＞AE，∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；∵AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：设AC与BD交于点E，如图所示：∵菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，∴∠ABE＝60°，AC⊥BD，AB＝AD＝4，AE＝BE，DE＝BE，∴△ADB是等边三角形，∠AEB＝90°，∴AB＝BD＝AD＝4，∴BE＝DE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AC＝2AE＝4，故答案为：4．12．解：∵A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A，C在y轴上，C，D在x轴上，∴▱ABCD是菱形．故答案为：菱形．13．解：∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×BD＝30，∴BD＝6，∵DH⊥AB，在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝BD＝×6＝3．故答案为：3．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，∵△CBE是等边三角形，∴BC＝BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴AB＝BE，CD＝CE，∠DCE＝140°，∠ABE＝160°，∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝20°，∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣160°）＝10°，∴∠DEA＝∠BEC﹣∠DEC﹣∠BEA＝30°，故答案为：30°．15．解：连接AC、BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝＝＝8，∴AC＝2OA＝16，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×96＝48；故答案为：48．16．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，∴BC＝＝＝5，∵OE⊥BC，∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，∴OE＝＝＝，故答案为：．17．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝1，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝α＝30°，∠AFD＝90°，∴CD＝AD＝2AF＝2，∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝2×1＝2，故答案为：2．18．解：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝CD，∠BAC＝60°＝∠D，∵BE＝AF，∴AE＝DF，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠AEC＝∠DFC，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠AEC+∠AFC＝180°，故答案为：180°．19．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，∴AC＝2，BD＝4，AB＝＝，∵P为BC上一动点，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝，∴AP的最小值为，故答案为：．20．解：如图，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E，∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2），∴BD∥FH，∴△BDH的面积＝△BDF的面积，∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2），故答案为8.5．三．解答题（共4小题，满分40分）21．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，在△DCE和△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF．22．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE．23．证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形．24．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵EF＝BE，∴平行四边形BCFE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形BCFE是菱形，∴BC＝CF＝BE＝EF，∵∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴BC＝BE＝CE＝6，∴菱形BCFE的周长＝4BC＝24．。

完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。

2.较短对角线长为10cm。

3.边长为5cm。

4.各角分别为72°和108°。

5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。

6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。

7.对角线互相垂直。

8.菱形。

9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。

10.周长为40cm。

11.互相垂直且不平分。

12.AB长为8cm。

13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。

18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。

又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。

$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。

设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。

由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。

由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。

又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。

设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。

20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。

1.1 菱形的性质与判定（一）一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠E AF等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°图1 图24．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．25．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1cm C．3.4cm D．2cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”）1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（）2．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（）3．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（）4．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（）三、填空题1．如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =21A D ，则四个内角为________．图3 图4 2．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________．3．菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________．4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，则它的一组对边的距离等于_________cm ，它的面积等于________cm 2．5．菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ，BD =________ cm ．图5 图6四、∠如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足.且BE=CE ，AB=2.求：（1）BAD 的度数；（2）对角线AC 的长及菱形ABCD 的周长.参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．C二、1．× 2．× 3．× 4．√ 三、1．60°，120°，60°，120° 2．分别为a 4a3．60°，120°，60°，120° 4．524 24 5．10 103 四、解：（1）∵AE ⊥BC ，且BE=CE ，∴△ABC 为等边三角形 ，∠B=∠D=60°，∴∠BAD=∠BCD=120°.(2)AC=AB=2，周长为：4×2=8.。

专题5.2 菱形的性质与判定【八大题型】【浙教版】【题型1 由菱形的性质求线段的长度】 (1)【题型2 由菱形的性质求角的度数】 (2)【题型3 由菱形的性质求面积】 (3)【题型4 由菱形的性质求点的坐标】 (4)【题型5 菱形判定的条件】 (5)【题型6 证明四边形是菱形】 (6)【题型7 菱形中多结论问题】 (8)【题型8 菱形的判定与性质综合】 (9)【题型1 由菱形的性质求线段的长度】【例1】（2022•青县二模）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ＝10，点F 为AD 的中点，FE ⊥BD 于E ，则EF 的长为（ ）A ．2√3B ．52C ．5√32D ．5√3【变式1-1】（2022春•北碚区校级期中）如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，连接OE ．若AB ＝3，OE =√2，则DE 的长度为（ ）A ．53B ．32C ．43D ．√142【变式1-2】（2022春•江汉区期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ．BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接CH ，若AB ＝2，AC ＝2√3，则CH 的长是（ ）A ．√5B ．3C ．√7D ．4【变式1-3】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AB 、AO 的中点，连接EF 、BF ．若AF ＝1，AE =√3，则FB 的长为（ ）A ．3√2B ．2√2C ．√7D ．3【题型2 由菱形的性质求角的度数】【例2】（2022春•延津县期中）如图，在菱形ABCD 中，直线MN 分别交AB 、CD 、AC 于点M 、N 和O ，且AM ＝CN ，连接BO ．若∠OBC ＝65°，则∠DAC 为（ ）A ．65°B ．30°C ．25°D ．20°【变式2-1】（2022•道里区二模）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【变式2-2】（2021秋•泰和县期末）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD 于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝度．【变式2-3】（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1﹣∠2＝°．【题型3 由菱形的性质求面积】【例3】（2022•焦作模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EE若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（）A．4B．6C．8D．10【变式3-1】（2022春•禹州市期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，P，F分别是线段OB，CD，OD的中点，连接EP，PF，若AC＝8，PE＝2√10，则菱形ABCD的面积为（）A．64B．48C．24D．16【变式3-2】（2022•阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，菱形A'B'C'D'可以看作是由菱形ABCD沿CA方向平移2√3cm得到，AD交C'D'于点E，则重叠部分的面积为（）cm2．A．8√3B．9√3C．10√3D．11√3【变式3-3】（2022•蓝田县二模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．8√3C．9D．9√3【题型4 由菱形的性质求点的坐标】【例4】（2022•东丽区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（−2√3，2），（﹣1，−√3），对角线相交于点O，则点C的坐标为（）A．（−2√3，−2）B．（2√3，−2）C．（1，−√3）D．（﹣1，√3）【变式4-1】（2022•太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A 点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（4，2√3）B．（2√3，4）C．（2√3，6）D．（6，2√3）【变式4-2】（2022•西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB ＝8cm，∠AOB＝60°．点D从点O出发，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为（）A．(3√3，5)B．(3，3√3)C．(5，3√3)D．(3√3，3)【变式4-3】（2022•巧家县二模）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为(−√3，1)，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点P 的坐标可能是．【题型5 菱形判定的条件】【例5】（2022春•房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．【变式5-1】（2022•海淀区二模）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD 于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【变式5-2】（2022春•无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H 分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【变式5-3】（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB 上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE【题型6 证明四边形是菱形】【例6】（2022春•泗洪县期中）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是（写序号），并证明．【变式6-1】（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．【变式6-2】（2022•盐城二模）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【变式6-3】（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM＝MN＝ND，联结CM、CN．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）如果AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形．【题型7 菱形中多结论问题】【例7】（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD 延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（）①OG=12 AB；②与△EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；A．①③④B．①④C．①②③D．②③④【变式7-1】（2022春•下城区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤【变式7-2】（2022•泰安一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，E，F分别是AB，AD上的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF，DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①DE＝BF；②∠BGE＝60°；③CG⊥BD；④若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④【变式7-3】（2022•天桥区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC=√34；②当点D与点C重合时，FH=12；③AE+CD=√3DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是．【题型8 菱形的判定与性质综合】【例8】（2022•巴彦县二模）如图，AB＝BD，AC＝CD，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若2∠F AO＝∠ACD，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有面积是△ABF面积的整数倍的三角形．【变式8-1】（2022•南岗区模拟）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当∠DEF＝90°，AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．【变式8-2】（2022春•东莞市期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF ∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1＝∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CH＝1，求BC的长；（3）求证：EM＝FG+MH．【变式8-3】（2022春•洪泽区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数．（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．。

菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。

5B 。

7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。

5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。

八年级下册---菱形的判定与性质一、解答题（共25题；共125分）1.（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF是菱形．2.（2020八下·大兴期末）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D ，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE ，AF．求证：四边形AECF是菱形．3.（2020八下·滨州月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F。

求证：四边形BFDE是菱形。

4.（2019八下·红河期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF。

求证；四边形ABCD是菱形。

5.（2019八下·马鞍山期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．6.（2019八下·吴兴期末）如图，O是矩形ABCD的角对线的交点，作ED∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E。

求证：四边形OCED是菱形。

7.（2020七下·津南月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．8.（2020八下·泉州期中）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交于点E，DF∥AC交于AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．9.（2020八下·新昌期末）如图，在中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，AE=AF.求证：四边形AECF是菱形.10.（2020八下·珠海期中）已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点. 求证：四边形AEDF 是菱形.11.（2020八下·北京期中）如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且求证：DE=DF．12.（2020八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．13.（2020八下·横县期末）如图，□ABCD中对角线BD平分∠ABC.求证：□ABCD是菱形.14.（2020八下·武汉月考）如图，，平分，交于点，平分，交于点，连接.求证：四边形是菱形.15.（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.16.（2020八下·南昌期末）如图，在Rt△ABC.∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．17.（2020八下·安阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形.18.（2020八下·阿城期末）如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．19.（2020八下·富县期末）如图，已知菱形的对角线与相交于点，，求菱形的周长.20.（2020八下·皇姑期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长.21.（2020八下·兴城期末）如图，在菱形中，，两条对角线、相交于点，若，求的长.22.（2020八下·鼎城期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．∠E=50°，求∠BAO的大小．23.（2020八下·永春月考）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．24.（2020八下·桐城期中）已知：如图所示，菱形中，于点，且为的中点，已知，求菱形的周长和面积.25.（2020八下·沛县开学考）如图，菱形的周长为cm，对角线、相交于点O，cm，求对角线的长和菱形的面积.答案解析部分一、解答题1.【答案】证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE是平行四边形；∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE是平行四边形，∴四边形BFCE是菱形．【解析】【分析】利用ASA易证得△BDE≌△CDF，推出CF=BE，证得四边形BFCE是平行四边形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．2.【答案】证明：∵D是AC的中点，∴AD=CD，∵CF∥BA，∴，在△ADE和△CDF中，，∴，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵，∴四边形AECF是菱形．【解析】【分析】根据题目条件证明，先证明四边形AECF是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形．3.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∵EF垂直平分BD∴OB＝OD，∴△OED≌△OFB∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可证明△OED≌△OFB，即可得到DE=BF，证明得到四边形BFDE 为平行四边形，由EF⊥BD，即可得到四边形BFDE为菱形。

菱形的性质与判定1．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm．3.己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为.4.在平行四边形ABCD中，请你再添加一个条件，使得ABCD是菱形5.菱形的周长为20cm则它的边长为_____cm.6．下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．平行四边形7.如图，在菱形ABCD中，E、 F是AB、AC的中点，，如果EF=4，那么CD的长为（）．A．2 B．4 C．6 D．88.菱形的对角线将菱形分成等腰三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49.菱形的对角线将菱形分成直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D.410．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。

11.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.12.已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.13.已知：如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，求证：四边形EFGH 是菱形。

14．如图，AE//BF ，AC 平分∠BAD ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形。

15.如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，求证四边形AFCE 是菱形．16.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝2∠B ，试说明△ABC 是等边三角形。

O D C BA AB C D E FG H O FE D C B A17.已知菱形的边长为2cm，，两条对角线AC与BD相交于O 点，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。