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第二十九章投影与视图29.1 投影第1课时【教学目标】知识技能目标:了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念了解平行投影和中心投影的区别、学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识.过程性目标:经历探索投影、投影面、平行投影和中心投影的过程,自主探究平行投影和中心投影的区别.情感态度目标:使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识.【重点难点】重点:理解平行投影和中心投影的特征难点:在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影【教学过程】一、创设情境日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.(教师出示图片,引入新课.学生观察思考,初步感知.)设计意图:通过介绍日晷引入新课,让学生初步感知投影,为本节课学习做好铺垫.二、探索归纳1.影子随处可见,请问你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例吗?投影定义:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面或墙壁)上得到的影子,叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.2.观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征?太阳离我们非常遥远,太阳光线可以看成平行光线,像这样的由平行光线形成的投影是平行投影.3.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.(教师引导学生大胆举出身边的例子.小组内合作交流,师生共同归纳得出投影及相关的概念.教师投影,引导学生观察、分析,归纳平行投影的概念.教师结合实例引导学生识记中心投影.学生观察,理解记忆中心投影.)设计意图:让学生亲自观察、分析、探究出结论.激发学生学习数学的兴趣,培养学生的观察能力、实践能力.三、新知应用例1 如图所示,图(1),图(2)表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线,它们是平行投影还是中心投影?并说明理由.解:分别连接标杆的顶端与投影上的对应点(如图).很明显,图(1)的投影线互相平行,是平行投影.图(2)的投影线能相交于一点,是中心投影.例2 如图是一棵小树在路灯下的影子.请画出形成树影的光线,确定光源的位置.解:如图,连接CB,并延长相交路灯杆于点O,则OC就是形成树影的光线,点O就是光源所在的位置.(教师出示问题,引导学生分析解决,师生共同点评.学生尝试分析,小组内交流后,解决例题.教师投影例2,学生作图解决.)设计意图:通过设置例题,达到巩固平行投影、中心投影的目的,同时也提高了学生的应用意识和能力.四、检测反馈1.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图,试按其一天中发生的先后顺序排列,正确的是( B )A.①②③④B.④①③②C.④②③①D.④③②①2.皮影戏中的皮影是由中心投影得到的.3.当你走向路灯时,你的影子在你的后边,并且影子越来越短.4.星期六王明和他的哥哥到公园散步,哥哥的身高是170cm,在阳光下的影长为68cm,王明的身高是160cm,则此时王明的影长为64cm.5.当一个圆平行于投影面时,它的正投影的形状是圆;当一个圆倾斜于投影面时,它的正投影的形状是椭圆;当一个圆垂直于投影面时,它的正投影的形状是线段,其长度等于圆的直径长.五、课堂小结平行投影与中心投影的区别与联系区别联系光线物体与投影面平行时的投影平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子.(即都是投影)中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)六、板书设计课题:29.1 投影第1课时投影中心投影平行投影联系与区别例题。
第二十九章投影与视图29.1 投影1．投影的定义一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面．【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化．2．平行投影（2）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间．（2）平行投影的特征等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长．等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度．同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长．在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．【注意】确定平行投影中物体或影子的方法：平行投影中的物体，光线、影子构成一个三角形，在平行投影中光线是平行的，因此由一条光线就可以作出其他平行光线，进而可以作出相应的物体或影子．3．中心投影（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．（2）中心投影的特征：了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳光下的K—重点一、平行投影平行投影的特点：（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；（2）平行投影的物高与影长对应成比例．【例1】下列光线所形成投影是平行投影的是A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线【名师点睛】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．【例2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③【名师点睛】本题考查平行投影，解题的关键是熟练掌握太阳光是平行光线，本题属于基础题型．二、中心投影中心投影的特点：（１）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源的物体影子长；（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．【例3】小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是A．小红比小花高B．小红比小花矮C．小红和小花一样高D．不确定【名师点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．三、利用投影解决实际问题两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．【例4】如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【名师点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．1．下列说法错误的是A．太阳光所形成的投影是平行投影B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子长度不可能一样C．在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还与事物本身的长度有关2．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是A．线段B．一个点C．等边三角形D．等腰三角形3．在阳光下摆弄一个矩形，它的影子不可能是A．线段B．矩形C．等腰梯形D．平行四边形4．下面四幅图是小刚一天之中在学校观察到的旗杆的影子，请将它们按时间先后顺序进行排列A．(1)(2)(3)(4)B．(2)(3)(1)(4)C．(2)(1)(3)(4)D．(4)(1)(3)(2)5．下面说法正确的有①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能是平行的；④如果一个三角形的平行投影是三角形，那么它的中位线平行投影一定是这个三角形平行投影对应的中位线.A．①②B．④C．②③D．①④6．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为A．8cm B．20cmC．3.2cm D．10cm7．下列说法正确的是A．皮影戏是在灯光下形成的中心投影B．甲物体比乙物体高，则甲的投影比乙的投影长C．物体的正投影与物体的大小相等D．物体的正投影与物体的形状相同8．如图中是两根直立的标杆同一时刻在太阳光线下形成的影子的是A．B．C．D．9．在____________的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．10．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．11．人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会________；当人远离灯光时，其影子的长度就会________．12．如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒，请分别画出这两根木棒的影子．13．画图：如图是小明与妈妈（线段AB）、爸爸（线段CD）在同一路灯下的情景，其中粗线分别表示三人的影子．请根据要求进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）（1）画出图中灯泡P所在的位置．（2）在图中画出小明的身高（线段EF）．。
第二十九章投影与视图1投影的定义及分类第1关1．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）A．B．C．D．答案：A．【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．第2关2．一个长方形的正投影不可能是（）A．正方形B．矩形C．线段D．点答案：D．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故长方形的正投影不可能是点，3．一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．梯形答案：D．【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，第3关4．如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A．B．C．D．答案：B．【解答】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D、影子的方向不相同，故本选项错误；第4关5．圆形的纸片在平行投影下的正投影是（）A．圆形B．椭圆形C．线段D．以上都可能答案：D．【解答】解：圆形的纸片在平行投影下的正投影可能是圆形、椭圆形、线段，2由实物到三视图第1关1．下列几何体中，俯视图是矩形的是（）A．B．C．D．答案：B．【解答】解：A、圆锥俯视图是圆（带圆心），故此选项错误；B、长方体俯视图是矩形，故此选项正确；C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；2．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．答案：C．【解答】解：A、正方体主视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱主视图是矩形，故此选项错误；C、圆锥主视图是三角形，故此选项正确；D、三棱柱主视图是矩形（中间有一条虚线），故此选项错误；第2关3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．答案：A．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．4．下图是由多个相同小立方体搭成的几何体，则它的左视图为（）A．B．C．D．答案：C．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形．第3关5．如图所示的正六棱柱的左视图是（）A．B．C．D．答案：C．【解答】解：从左面看可得到正六棱柱的左视图是：6．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．答案：B．【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：第4关7．如图，是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．答案：D．【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图左边一层有2个，另一层2个，所以主视图是：．3由三视图到实物第关1．某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．长方体D．圆锥答案：B．【解答】解：∵几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱第2关2．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．B．C．D．答案：A．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．第3关3．如图是一个立体图形的三视图，则原立体图形是（）A．B．C．D．答案：A．【解答】解：由图可得这个立体图形是三棱柱，第4关4．如图所示的三视图是下列哪个几何体的三视图（）A．B．C．D．答案：C．【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是一个圆台，分析四个答案可得C满足条件要求4由三视图进行相关的计算第1关1．如图，是一个长方体的主视图与左视图，由图示数据（单位：cm）可得出该长方体的体积是（）A．18cm3B．8cm3C．6cm3D．9cm3答案：A．【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3cm，宽为2cm，高为3cm，故其体积为：3×3×2＝18cm3，第2关2．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．12 cm2答案：D．【解答】解：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是4cm，宽是3cm，面积＝4×3＝12（cm2），3．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面面积是（）A．12πB．6πC．12+πD．6+π答案：B．【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2＝1cm，高是3cm．所以该几何体的侧面积为2π×1×3＝6π（cm2）．第3关4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm2【解答】解：依题意知母线l＝4cm，底面半径r＝2÷2＝1，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×1×4＝4πcm2．故选：B．第4关5．如图，是由一些棱长为1cm的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么这个立体图形的表面积是（）A．12 cm2B．14cm2C．16cm2D．18 cm2答案：B．【解答】解：易得第一层有2个小正方体，第二层有1个小正方体，一共有3个，表面积为：2×（2+2+3）＝14cm2．6．如图，某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图（图中尺寸单位：m）．根据三视图可以得出每顶帐篷的表面积为（）A．6πm2B．9πm2C．12πm2D．18πm2答案：B．【解答】解：根据三视图得圆锥的母线长为2m，底面圆的半径为3÷2＝1.5m，所以圆锥的侧面积＝×2π×1.5×2＝3π，圆柱的侧面积＝2π×1.5×2＝6π，所以每顶帐篷的表面积＝3π+6π＝9π（m2）．5由三视图确定小正方形的个数第1关1．下面两幅图是由几个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个答案：C．【解答】解：由俯视图可得最底层有4个小正方体，根据主视图可得第二层只有右辺一列有1个小正方体，则搭成这个几何体的小正方体有4+1＝5（个）；第2关2．如图，是由几个相同的小正方体组合而成的立体图形的三视图，则这个几何体的小正方体的个数是（）A．5B．6C．7D．8答案：A．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个．第3关3．几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图和左视图如图所示，则小正方体的个数最多是（）A．5个B．7个C．8个D．9个答案：B．【解答】解：由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下：第4关4．一个几何体是由一些大小相同的小正方体搭成的，其俯视图与左视图如图所示，则搭成该几何体的方式有（）种．A．2B．3C．5D．6答案：C．【解答】解：俯视图如图所示，其中正方形内的数字表示该位置上的正方形的个数，共5种情形．11。
