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绝密★启用前2020届江西省九江市高三二模数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{|1}A x Z x =∈≥-，{}2|2B x x =<，则A B =I （ ）．A ．{|12}x x -≤<B ．{|1x x -≤<C ．{1,0,1}-D ．{0,1} 答案：C对集合A 和集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.解：集合{}2|2B x x =<{|x x =<，集合{|1}A x Z x =∈≥-，∴{|1{1,0,1}A B x Z x =∈-≤≤=-I ， 故选：C ．点评：本题考查解一元二次不等式和集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数z 满足(3)10z i -=，则z =（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +答案：D等式两边同时除以3i -，表示复数z ，然后利用复数的乘除运算法则计算则可求出复数z . 解： 解：1010(3)33(3)(3)i z i i i i +===+--+. 故选：D.点评：本题考查复数的除法运算，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，4152S =，则1a =（ ）． 1答案：A根据题意得到24a a +，从而求出公比q ，再将1352a a +=化成基本量进行计算，从而得到答案.解： 因为4152S =，1352a a += 所以24155522a a +=-=， 因为{}n a 为等比数列， 所以24132a a q a a +==+， 由1352a a +=，可得()21512a q +=， 所以1251212a q ==+，故选：A ．点评：本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题.4．已知(2,2)P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，抛物线C 的焦点为F ，则||PF =（ ）．A ．2B ．52C ．3D ．72答案：B将P 代入抛物线得到p 的值，根据抛物线的定义，得到PF 的值.解：将(2,2)P 代入抛物线C 的方程，得422p =⨯所以1p =， 所以抛物线的准线方程为12x =-，015||2222p PF x =+=+=， 故选：B ．点评： 本题考查求抛物线的方程，抛物线的定义，属于简单题.5．将函数2cos(2)6y x π=+的图像向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图像大致为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：D根据条件可知原函数的图像向左平移6π个单位得到函数()2sin 2f x x =-，再化简()4cos sin f x x y x x x-==，根据函数的奇偶性可排除B ，C ，再对比图像取特殊值的范围则可得到选项.解： 解：依题意得()2cos 22cos 22sin 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()2sin 24cos sin sin f x x x y x x x x x--===，x k π≠，k Z ∈，显然该函数为奇函数，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y <，所以D 正确. 故选：D.点评：本题考查三角函数的图像，考查三角函数的平移变换，涉及利用函数的性质和特殊值的范围判断图像，属于中档题.6．已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．log 2log 2a b <B ．log log a b b a >C ．b a a b <D ．a b a b <答案：C利用对数的换底公式，指数函数和幂函数的单调性，以及函数()ln f x x x =的单调性，分别对四个选项进行研究，从而得到答案.解：对于选项A ：因为01a b <<<，所以22log log 0a b <<， 所以得到2211log log b a<，再换底公式可得log 2log 2b a <，所以错误； 对于选项B ：01a b <<<，log log a a a b >，log log b b a b >，从而得到log 1log a b b a<<所以错误；对于选项C ：∵01a <<，∴xy a =在(0,)+∞上单调递减，由a b <得，b a a a <；∵0a >，∴a y x =在(0,)+∞上单调递增，∴b a a b <，正确；对于选项D ：设函数()ln f x x x =，求导得()1ln f x x '=+，所以10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减；1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 单调递增； 因为01a b <<<，所以存在101a b e<<<<时，()()f a f b =， 即ln ln a a b b =，此时a b a b =，所以错误故选：C ．点评：本题考查对数的换底公式，指数函数、幂函数的单调性，以及构造函数比较大小，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7．若254()a a R +∈能被9整除，则||a 的最小值为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B将25254(31)a a +=++利用二项式定理展开，根据题意得到242531253176C a a a ++=⨯++=+能被9整除，从而得到满足题意的||a 的最小值. 解：由二项式定理可得25254(31)a a +=++251242322425252533331C C C a =++++++…，其中251242322525333C C +++…能被9整除， 所以要使254()a a R +∈能被9整除，则242531253176C a a a ++=⨯++=+能被9整除，则当4a =-时，||a 最小，且能被9整除.故选：B ．点评：本题考查二项式定理解决整除问题，属于中档题.的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒答案：C 根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.解：依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米，如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<，故选：C ．点评：本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（ ）．A 31B 3C 2D 21答案：A 根据2AOBF 为菱形，得到22||AF OA OF c ===，再由勾股定理得到13AF c =，由双曲线的定义把a 用c 表示，从而得到离心率.解：如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c ===，又∵12F F 是圆O 的直径， ∴1290F AF ∠=︒，∴()22123AF c c c =-=，∴由双曲线的定义可得：122(31)AF AF a c -==-，∴3131e ==+-， 故选：A ．点评：本题考查菱形的性质，双曲线的定义，由几何关系求双曲线的离心率，属于简单题.10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）．A ．38B ．12C ．23D ．34答案：D根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.解：依题意得所拨数字共有124424C C =种可能．要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有122412C C =种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有11236C C =种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选D ． 点评：本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.11．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（ ）A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<答案：B 由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知122r =，r 1＜r 2＜1，r 3＝r 4＝1，再利用弧长公式即可得到l 1＜l 2＜l 3＝l 4．解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长， 设半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1， 对于正方形，如图所示：，∵∠AOB ＝90°，∴12r =； 对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB ＝72°＜90°，∠OAB ＝∠OBA ＝54°＜72°，∴r 1＜r 2＜1；对于正六边形，如图所示：，∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴r 3＝OA ＝1；而 r 4＝1，又因为l 1＝2π•r 1，l 2＝2π•r 2，l 3＝2π•r 3，l 4＝2π•r 4，所以l 1＜l 2＜l 3＝l 4，故选：B ．点评：本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题．12．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln ||g x x =，()[()]F x f g x =，()[()]G x g f x =，给出以下四个命题：①()y F x =为偶函数；②()y G x =为偶函数；③()y F x =的最小值为0；④()y G x =有两个零点．其中真命题的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①③④D ．①④ 答案：C分别表示出()F x 和()G x ，判断其奇偶性，利用导数研究其单调性和最值以及零点，从而做出判断，得到答案.函数()ln 1f x x x =--，()ln ||g x x =∵()[()]ln ||ln(ln ||)1F x f g x x x ==--，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，关于原点对称()ln ||ln(ln ||)1()F x x x F x -=----=，∴()F x 为偶函数，①正确；∵()[()]ln |ln 1|G x g f x x x ==--的定义域不关于原点对称，∴()y G x =为非奇非偶函数，②错误； ∵11()1x f x x x'-=-=， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0f x f ≥=． 考查函数()y F x =，令ln ||t x =，()y f t =，则1x <-或1x >，当(1,e)x ∈时，ln ||t x =单调递增，()y f t =单调递减，∴()y F x =单调递减； 当(,)x e ∈+∞时，ln ||t x =单调递增，()y f t =单调递增，∴()y F x =单调递增， ∴1x >时，∴min ()F x ()0F e ==，又()F x 为偶函数，∴(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时，∴min ()0F x =，③正确．考查函数()y G x =，令()0G x =得ln 11x x --=±，∵()0f x ≥，∴ln 11x x --=，又221111f e e⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()223f e e =-1>， ∴直线1y =与函数()y f x =恰有两个交点，故()y G x =有两个零点，④正确． 故选：C ．点评：本题考查判断复合函数的奇偶性和单调性，零点存在定理研究函数的零点个数，属于中档题.二、填空题 r r r r r r r r r答案：60︒由()a a b ⊥-r r r 得到()0⋅-=r r r a a b ，代入1a =r ，2b =r ，得到cos ,a b r r ，从而得到答案.解：∵()a a b ⊥-r r r ，∴2()0a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r， ∵1a =r ，2b =r ∴112cos ,0a b -⨯=r r ∴1cos ,2a b =r r ， ∴a r 与b r 的夹角为60︒．故答案为：60︒.点评：本题考查向量的数量积运算，根据向量的模长求夹角，属于简单题.14．设x ，y 满足约束条件220220x y x y y x +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最大值是________. 答案：23画出满足约束条件的可行域，利用z 的几何意义，利用直线平移法即可求出最大值. 解： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭时取得最大值，即max 22232333z =⨯-⨯=. 故答案为：23点评：本题考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题.15．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为________.答案：224设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为2R =和2r =，从而求出小球2O 的体积. 解：解：设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=，如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，11422PO PO OO R =+==，∴22R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴224R r ==，故小球2O 的体积342324V r ππ==. 故答案为：2π点评：本题考查球的体积公式，考查两圆相切的性质，考查正四棱锥的性质，考查学生数形结合方法的应用，属于中档题.16．已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S S n n ++=+，则首项1a 的取值范围是________．答案：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当2 n ≥时，退位作差得到12n n a a n ++=，当3n ≥时，得112n n a a +--=，从而得到数列{}n a 从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列，所以数列{}n a 单调递增，得到12322a a a a <<<+，从而得到1a 的范围. 解：当1n =时，122S S +=，∴2122a a =-，当2 n ≥时21n n S S n n ++=+， 21(1)(1)n n S S n n -+=-+-，两式相减得12n n a a n ++=①．234+=a a ，3122a a =+，当3n ≥时，12(1)n n a a n -+=-②，-①②得112n n a a +--=，∴数列{}n a 从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列∴数列{}n a 单调递增，则满足12322a a a a <<<+，∴1111222242a a a a <-<+<-，解得1102a <<． 点评： 本题考查根据n S 求数列的通项，根据数列的单调性求范围参数的范围，属于中档题.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a b c >>．已知sin cos cos sin A B C B -sin2sin B A =-．（Ⅰ）求证：a ，b ，c 成等差数列；（Ⅱ）若5b =，sin B =a ，c 的值． 答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）7a =，3c =（Ⅰ）根据题意sin cos cos sin sin2A B C B B -=sin()B C -+，利用两角和的正弦公式展开化简得到2sin sin sin B A C =+，再由正弦定理得到2b a c =+，从而证明. （Ⅱ）根据sin B 的值，求出cos B 的值，然后利用余弦定理得到a 、c 的方程，结合（Ⅰ）中所得的结论，求出a 、c 的值.解：（Ⅰ）证明在ABC V 中，()A B C π=-+，∴()()sin sin sin A A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦∵sin cos cos sin sin2sin A B C B B A -=-，∴sin cos cos sin sin2A B C B B -=sin()B C -+∴sin cos cos sin sin2sin cos cos sin A B C B B B C B C -=--∴sin cos 2sin cos cos sin A B B B B C =-∵a b c >>，∴cos 0B ≠∴sin 2sin sin A B C =-，即2sin sin sin B A C =+ 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得2b a c =+， 即a ，b ，c 成等差数列（Ⅱ）∵53 sin14B=，B为锐角，∴211cos1sin14B B=-=由（Ⅰ）得∵5b=，∴10a c+=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-得22()2(1cos)b ac ac B=+-+，即22115102114ac⎛⎫=-+⎪⎝⎭∴21ac=由1021a caca c+=⎧⎪=⎨⎪>⎩得7a=，3c=.点评：本题考查两角和的正弦公式，正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，属于简单题. 18．如图所示的几何体111ABC A B C-中，四边形11ABB A是正方形，四边形11BCC B是梯形，11B C P BC，且1112B C BC=，AB AC=，平面11ABB A⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面11A CC⊥平面11BCC B；（Ⅱ）若120CAB︒∠=，二面角111C AC B--为120︒，求1AAAB的值．答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）132AAAB=（Ⅰ）取BC的中点E，可得，由AE BC⊥平面11ABB A⊥平面ABC得1BB⊥平面ABC，所以1AE BB⊥，从而得AE⊥平面11BCC B，可得11BB C E、11AAC E为平行四边形，所以11AE AC∥，所以11A C⊥平面11BCC B，再得到平面11A CC⊥平面11BCC B；（Ⅱ）以E为原点，建立空间直角坐标系，设1AA a=，求出平面111A B C和平面11CAC 的法向量，再利用向量的夹角公式，得到关于a的方程，求出a的值，从而得到1AAAB的值.解：（Ⅰ）取BC 的中点E ，连接AE ，1C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A I 平面ABC AB =，AB Ì平面ABC ， ∴1BB ⊥平面ABC又∵AE ⊂平面ABC ，∴1AE BB ⊥又1,BB BC ⊂平面11BCC B ，1BB BC B =I ，∴AE ⊥平面11BCC B∵11B C BC ∥，且1112B C BC =， ∴11B C BE P ，11B C BE =∴四边形11BB C E 为平行四边形，∴111C E B B A A P P ，111C E B B A A ==∴四边形11AAC E 为平行四边形，∴11AE AC ∥∴11A C ⊥平面11BCC B ，又11A C ⊂平面11A CC ，∴平面11A CC ⊥平面11BCC B（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以E 为原点，EC ，AE ，1EC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA a =，∵120CAB ︒∠=，∴1AE =，3CE =则(3,0,0)C ，1(0,1,)A a -，1(0,0,)C a ，1,)AC a =-u u u r ，11(0,1,0)AC =u u u u r 易知平面111A B C 的一个法向量为(0,0,1)m =u r设(,,)n x y z =r 为平面11CAC 的法向量，由11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v得00y az y +-==⎪⎩， 令x a =，得(a n =r∴||1cos ,2||||n m n m n m ⋅===⋅r u r r u r r u r ，解得3a =， ∴132AA AB = 点评：本题考查面面垂直的性质和判定，线面垂直的性质和判定，已知二面角求线段的长度，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1AF ，1BF 的中点分别为E ，F ，OEF V的周长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设2ABF V 的重心为G，若||6OG =，求直线l 的方程． 答案：（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）10x ++=或10x += （Ⅰ）根据题意可得1112EF AF =，1112FF BF =，21||2OF BF =，根据OEF V 的周长求出a ，根据离心率得到c ，再求出b ，从而得到椭圆的方程； （Ⅱ）设l 的方程为1x my =-，与椭圆联立得到12y y +，12y y ⋅，从而得到重心G 的坐标，根据||6OG =，得到关于m 的方程，解得m 的值，得到直线l 的方程. 解：（Ⅰ）∵2c e a ==，∵a = 连接2AF ，2BF ，∵E ，O 分别为1AF ，12F F 的中点，∴1112EF AF =，21||2OE AF =，同理1112FF BF =，21||2OF BF = ∴OEF V 的周长为()1122122AF BF AF BF a +++==a =1c = 又222b ac =-，∴1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y += （Ⅱ）∵l 过点1(1,0)F -且斜率不为0，∴可设l 的方程为1x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--= ∴12222m y y m +=+，12212y y m ⋅=-+ ∴()12122422x x m y y m +=+-=-+， 又∵2(1,0)F ，∴12121,33x x y y G +++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()()22222,3232m m G m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭∴||32OG m ==+632m =+，解得m = ∴直线l 的方程为10x ++=或10x +=.点评：本题考查椭圆的定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的交点，两点间距离公式，属于中档题.20．已知函数2()ln ()f x x x x ax a R =+-∈． （Ⅰ）若3a =，求()f x 的单调性和极值；（Ⅱ）若函数1()x y f x e=+至少有1个零点，求a 的取值范围． 答案：（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，极小值为-2，无极大值 （Ⅱ）[1,)+∞（Ⅰ）求导得到()f x '，分别得到当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，判断出()f x 单调性，从而得到其极值； （Ⅱ）根据题意得到1ln x a x x xe =++，令1()ln x g x x x xe=++，求导得到()g x '，由()0g x '=得1x xe =，令()e x h x x =，由零点存在定理得到存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00e 1x x =，由()g x '得到()g x 的最小值，再对1()xy f x e =+的零点进行分类讨论，得到答案.解：（Ⅰ）当3a =时，2()ln 3f x x x x x =+-，∴()ln 22f x x x '=+-当01x <<时，ln 0x <，220x -<，∴()ln 220f x x x '=+-<，当1x >时，ln 0x >，220x ->，∴()ln 220f x x x '=+->∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 ()f x 在1x =处取得极小值，极小值为(1)2f =-，无极大值 （Ⅱ）∵211()ln x xf x x x x ax e e +=+-+， 由21ln 0x x x x ax e +-+=得1ln x a x x xe=++ 令1()ln x g x x x xe =++， 则()22221(1)111()1x x x x x x xe x x xe x e x g x x x e x e x e-+++--'=+-== 由()0g x '=得1x xe =．令()e xh x x =，当0x >时，()(1)0x h x x e '=+>， ∴()e xh x x =在(0,)+∞单调递增，∵1122h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)1h e =>， ∴存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得00e 1x x =且当()00,x x ∈时，()1h x <，即10x xe -<，当()0,x x ∈+∞时，()1h x >，即10x xe ->∵10x +>，20x x e >，∴当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增∴()g x 在0x x =处取得最小值()000001ln x g x x x x e =++∵00e 1x x =，∴()00ln ln10x x e ==，即00ln 0x x +=， ∴000011ln 011x x x x e ++=+=，即()01g x = ∴当1a <时，函数1()x y f x e=+无零点， 当1a ≥时，∵1()ln a g a a a a ae=++>， ∴函数1()x y f x e=+至少有1个零点， 故a 的取值范围是[1,)+∞. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，根据函数零点个数求参数的范围，属于中档题.21．羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现20:20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29:29，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p ；乙发球时，甲得分的概率为q ． （Ⅰ）若23p q ==，记“甲以21:(19,)i i i N ≤∈赢一局”的概率为()i P A ，试比较()9P A 与()10P A 的大小；（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下22⨯列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p ，q 的值．①完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成27:27，且轮到乙发球，记双方再战X 回合此局比赛结束，求X 的分布列与期望． 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 临界值表供参考：答案：（Ⅰ）()()910P A P A =（Ⅱ）①列联表见解析，有；②分布列见解析，18554（Ⅰ）根据题意可得前20i +个回合里，甲赢下20个回合，输掉i 个回合，且最后一个回合必需获胜，从而得到()i P A ，计算出()9P A 和()10P A ，做商比较，得到答案； （Ⅱ）①根据题意，填写好列联表，计算出2K ，做出判断；②由列联表得到p 和q 的值，得到X 可取的值，分别计算其概率，写出分布列，计算出期望.解：（Ⅰ）∵甲以21:(19,)i i i N ≤∈获胜，则在这21i +个回合的争夺中，前20i +个回合里，甲赢下20个回合，输掉i 个回合，且最后一个回合必需获胜∴()2021202022221133333i ii i i i i P A C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()21999292133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21101010302133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵()()219929921101010302129!10!20!33319!20!30!2133C P A P A C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭==⨯⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()910P A P A =（Ⅱ）①由甲发球的总计和乙得分，得到甲得分的数值为1005050-=， 由乙发球的总计和甲得分，得到乙得分的数值为906030-=，从而得到甲得分总计为5060110+=，乙得分的总计为503080+=，所以22⨯列联表如下：22190(50306050) 5.401009011080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ∵5.40 3.841>，∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” ②由22⨯列联表知12p =，23q =， 此局比赛结束，比分可能是29:27，30:28，30:29，∴2,4,5X =若比分为29:27，则甲获胜概率为211323⨯=，乙获胜概率为131139⨯=， ∴114(2)399P X ==+=， 若比分为30:28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率212112111323233226⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率2111121123233332327⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ∴1213(4)62754P X ==+=， 若比分为30:29，则41317(5)1(2)(4)195454P X P X P X ==-=-==--=， ∴X 的分布列为∴413171852459545454EX =⨯+⨯+⨯= 点评： 本题考查完善列联表，相关性判断，随机变量的分布列和期望，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，00((0,))2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（1）求曲线E 的普通方程及极坐标方程；（2）求22||||BC AD +的值.答案：（1）22(1)4x y -+=；22cos 30ρρθ--=（2）16（1）由同角的平方关系可得曲线E 的普通方程；由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，代入化简可得曲线E 的极坐标方程；（2）分别讨论直线l 1的斜率不存在，求得A ，B ，C ，D 的坐标，计算可得所求和；若斜率存在且不为0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，结合两点的距离公式可得所求和．解：解：（1）由E 的参数方程12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），知曲线E 是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，∴曲线E 的普通方程为22(1)4x y -+=令cos x ρθ=，sin y ρθ=得222(cos 1)cos 4ρθρθ-+=，即曲线E 极坐标方程为22cos 30ρρθ--=（2）依题意得12l l ⊥，根据勾股定理，222BC OB OC =+，222AD OA OD =+ 将0θθ=，02πθθ=+代入22cos 30ρρθ--=中， 得202cos 30ρρθ--=，202sin 30ρρθ+-=设点A ，B ，C ，D 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，3ρ，4ρ，则1202cos ρρθ+=，123ρρ=-，3402sin ρρθ+=-，123ρρ=-∴22222222221234||||||||||||BC AD OA OB OC OD ρρρρ+=+++=+++()()221212343422ρρρρρρρρ=+-++-22004cos 64sin 616θθ=+++= 点评：本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查直线和圆的方程联立，运用韦达定理和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．23．已知函数12()21x x f x x +--=-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1.bc ac ab a b c++≥ 答案：（1）1m =（2）证明见解析（1）利用绝对值不等式的性质可得||x +1|﹣|2﹣x ||≤|2x ﹣1|，进而得到|21|()1|21|x f x x -=-…，由此求得m 的值； （2）由（1）知，a +b +c ＝1，再利用基本不等式累加即可得证．解：解：（1）()f x 的定义域为12x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭， ∴12(1)(2)21x x x x x +--≤+--=- 当且仅当(1)(2)012x x x +-≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，即112x -≤<或122x <≤时取等号 ∴21()121x f x x -≤=-，∴1m =（2）由（1）知1a b c ++=∵2bc ac c a b +≥=，2bc ab b a c +≥=，2ac ab a b c +≥= 相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时取等号. ∴1bc ac ab a b c++≥ 点评：本题主要考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3页至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，若在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：样本数据()()1122x y x y +++，…，()n n x y +的线性关系数()()ni ix x y y r --=∑ 锥体体积公式V=13Sh 其中 ,n n x x x y y y x y n n 1212++++== 其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12i z i+=，则复数z -= A. 2i -- B. 2i -+ C. 2i - D. 2i +2.若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂= A.{}10x x -≤< B..{}01x x <≤C. {}02x x ≤≤D. {}01x x ≤≤3.若()f x =，则()f x 的定义域为A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞ 4.若()224ln f x x x x =--则()f x ＞0的解集为A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞C. ()2,+∞D. ()1,0-5.已知数列 ∣n a ∣的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( )A.1B.9C.10D.556.变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数 ( )A. 2r < 1r <0B. 0<2r < 1rC. 2r <0<1rD. 2r =1r7、观察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，则52011 的末四位数字为( _A 、3125B 、5625C 、0625D 、81258、已知是三个相互平行的平面，平面之间的距离为，平面之前的距离为，直线与分别相交于.那么“”是“”的( )A 、充分不需要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件9. 若曲线：+—2x=0与曲线:y(y+mx -m)=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （ ）A. (—，）B. （—，0）∪（0，）123,,ααα12,αα1d 23,a α2d l 123,,ααα123,,P P P 123,,P P P 12d d =1C x 2y 2C 233333333C. [—，]D.( －∞, －)∪(,+∞)10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。
高三数学试卷(理科)一､选择题1. 已知集合{}240A x x x =-≤，(){}2log 2B x y x ==-，则AB =（ ）A. {}02x x ≤<B. {}2x x <C. {}04x x ≤≤ D. {}4x x ≤【★答案★】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合A ，求对数型复合函数的定义域得集合B ，然后由交集定义得结论． 【详解】因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}20}2B x x x x =->=<，所以{}02A B x x ⋂=≤<. 故选：A ．【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.难点是求对数型复合函数的定义域． 2. 复数12i1iz +=-，则z =（ ） 10 5 C.105D.102【★答案★】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可.【详解】因为()()()()2121121221311122i i i i i i iz i i i ++++++-+====--+， 所以1322i z =--，则1910442z =+=. 故选：D【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，考查了复数模的计算公式，考查了数学运算能力.3. 已知1a =，3b =，且()()722a b a b +⋅-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C. 2π3D. 5π6【★答案★】A 【解析】 【分析】由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．【详解】因为()()722a b a b +⋅-=-，所以22722a a b b +⋅-=-. 因为1a =，3b =，所以32a b ⋅=，32cos ,13a b a b a b ⋅<>===⨯a 与b 的夹角为π6. 故选：A ．【点睛】本题考查平面向量数量积的定义与运算律，考查运算求解能力.由数量积的定义有cos ,a b a b a b⋅<>=．4. 已知实数x ，y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+-的最小值为（ ）A. 0B. 2C. 6D. 30【★答案★】B 【解析】 【分析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】由401203x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-= 故选：B【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 5. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ） A. 正三角形 B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【★答案★】C 【解析】 【分析】不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．【详解】如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形．故选：C．【点睛】本题主要考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，掌握正方体以及平面图形的几何特征，难点是借助于反证法，利用面面平行的性质定理判定C错误，属于基础题．6. 在数列{}n a中，23a=，35a=，且212n n na a a++=-，则6a=（）A. 9B. 11C. 13D. 15【★答案★】B【解析】【分析】由已知212n n na a a++=-可得数列为等差数列，从而通过23,a a求出公差和首项后可得数列的第6项．【详解】因为212n n na a a++=-，所以211n n n na a a a+++-=-，所以数列{}n a是等差数列. 因为23a=，35a=，即11325a da d+=⎧⎨+=⎩，解得112ad=⎧⎨=⎩，所以61511a a d=+=.故选：B．【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解题方法是定义法和基本量法，属于基础题．7. 已知()2na b+的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则()21nx-展开式中3x的系数为（）A. 80B. 40C. 40-D. 80-【★答案★】A 【解析】 【分析】由两个二项式系数相等根据组合数的性质求出n ，写出展开式的通项公式，得出3x 所在项数，从而可得其系数．【详解】由题意3722n n C C =，所以372n +=，解得5n =，则()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-⋅，由53r -=得2r ，所以3x 的系数为()23522801C ⋅⋅=-.故选：A ．【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力.掌握二项式展开式通项公式是解题关键．8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（ ）A. 3B. 3-C. 7D. 7-【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到★答案★； 【详解】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D.【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.9. 在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【★答案★】B 【解析】 【分析】把四面体ABCD 补成一个长，宽，高分别为2，2，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出★答案★.【详解】如图，把四面体ABCD 补成一个长，宽，高分别为2，2，1的长方体， 取AB 的中点G ，连接GE ，GF .因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，112GF AC ==， 同理//GE BD ，112GE BD ==. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥， 所以GEF △是等腰直角三角形，则π4EFG ∠=， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4. 故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题. 10. 已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为[],n m ，值域为[]4,2-，则m n -的最大值是（ ） A. πB.2π3C.4π9D.2π9【★答案★】C 【解析】 【分析】解不等式π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，找解集中的最大区间即可． 【详解】因为π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π11sin 362x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 则满足条件的π36x -的最大范围是()7πππ2π32π666k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得()2ππ2ππ3339k k x k -≤≤+∈Z ， 故m n -的最大值是ππ4π939+=.故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.本题实质就是解三角不等式．11. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是（ ） A. 3B. 3C. 5D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。
