《高数总复习》第二讲
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《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
2021/4/24
13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
专升本 高数第二讲 连续 (详细)
在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在， 又y=f（u）在对应的 处连续，则极限符号可以与 函数符号交换。即
定理1.14 （反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连 续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1 （y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
1 , x 0, 例 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. x x , x 0, y
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
（三） 闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质， 这些性质以后都要用到。
定理1.15 （有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间 [a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理1.16 （最大值和最小值定理）如果函数f（x）在 闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最 小值。 定理1.17 （介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上 连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和 M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C
例1.[9405]设 f（x） ，则f（x）在 A. x=0,x=1处都间断 B. x=0,x=1处都连续 C. x=0处间断，x=1处连续
D. x=0处连续，x=1处间断
解：在x=0处，f（0）=0 ∵f（0-0）≠f（0+0） x=0为f（x）的间断点 在x=1处，f（1）=1 f（1-0）=f（1+0）=f（1） ∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C
高等数学2知识点总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 ,
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
高等数学总复 习
知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；
a
b
|
a
||
b
|
cos
(其中
为a
与b
的夹角)
(1)
a
a
|
a
|2
.
(2)
ab 0
ab.
a b axbx a yby azbz
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
c a b ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
| c | 102 52 5 5,
c0 c
|c |
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k , 2
知识点2：平面及其方程（三种形式）
平面旳点法式方程: A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
a
b
；
解
(1) a b 1 1 1 (2) (4) 2 9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
1 , 2
3 .
4
例2
求与a
3i
2
j
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
高等数学总复 习
知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；
a
b
|
a
||
b
|
cos
(其中
为a
与b
的夹角)
(1)
a
a
|
a
|2
.
(2)
ab 0
ab.
a b axbx a yby azbz
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
c a b ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
| c | 102 52 5 5,
c0 c
|c |
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k , 2
知识点2：平面及其方程（三种形式）
平面旳点法式方程: A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
a
b
；
解
(1) a b 1 1 1 (2) (4) 2 9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
1 , 2
3 .
4
例2
求与a
3i
2
j
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
大学数学(高数微积分)专题七第2讲(课堂讲义)
力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．
5
思想方法概述
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一
本 种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数
讲 栏
式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于
目 开
作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.
栏
目 开
由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是
关 (－1,0)∪(0,1)．
13
热点分类突破
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，
本 讲
根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利
栏 用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问
目
开 题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
由图知10<c<12，∴abc∈(10,12)．
答案 (1)(－1,0)
(2)C
16
热点分类突破
类型三 利用数形结合思想求最值
例3 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
则|a＋b－c|的最大值为
()
A． 2－1 B．1
C． 2
D．2
本
讲 解析 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
目 开
速度．
关 5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公
式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直
线的距离公式等．
22
名师押题我来做
1．已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为
A．1
B．2
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
《高数总复习》课件
导数与微分
总结词
理解导数和微分的概念、性质和计算方法， 掌握导数的几何意义和物理意义。
详细描述
导数是研究函数变化率的重要工具，微分则 是导数的近似值。学生需要理解导数和微分 的概念、性质和计算方法，如导数的定义、 求导法则、微分的定义和计算方法等，同时 掌握导数的几何意义和物理意义，如切线斜
率、速度和加速度等。
感谢您的观看
THANKS
分析法
从问题的结论出发，逆向思维，逐步推 导到已知条件或已知定理，从而解决问
题。
类比法
根据两个或多个对象的某些相似性质 ，推断它们在其他性质上也可能相似
的方法。
综合法
从已知条件出发，利用已知定理或性 质逐步推导出结论，从而解决问题。
反证法
通过否定结论，然后利用已知条件和 已知定理推导出矛盾，从而证明结论 成立的方法。
高数模拟试题三
总结词：难题
详细描述：试题三难度较大，主要针 对学有余力的学生，考察学生对高数 知识的深度理解和创新应用，包括一 些数学史上的经典问题和开放性问题 。
模拟试题解析
总结词：详细解析
VS
详细描述：针对每套模拟试题，提供 详细的解析过程，帮助学生理解题目 思路，掌握解题方法，提高解题能力 。
积分
总结词
理解积分的概念、性质和计算方法，掌握定积分和不定积分的联系和区别。
详细描述
积分是研究面积、体积等问题的基本工具。学生需要理解积分的概念、性质和计算方法 ，如定积分和不定积分的定义、性质和计算方法等，同时掌握定积分和不定积分的联系
和区别，如牛顿-莱布尼茨公式等。
微分方程
要点一
总结词
理解微分方程的概念、分类和求解方法，掌握一阶常系数 线性微分方程的解法。
专升本高数二总复习参考题笫2章
笫二章 一元函数微分学一. 求导数、微分与二阶导数1. 基本求导表重点记住 11()'0,()',()',(ln )',x x C x x e e x xααα-====21(sin )'cos ,(cos )'sin ,(arcsin )'(arctan )'1x x x x x x x ==-==+ 11-3. 设函数21()f x x =, 则'y = A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x [ ] 【11-3、B 】10-2. 设函数()f x e =, 则'(1)f =A. 2e +B. 1e +C.12 D. 12- [ ] 【10-2、C 】 09-2. 设2sin ln 2y x x =++, 则'y =A. 2sin x x +B. 2cos x x +C. 12cos 2x x ++D. 2x 【09-2、B 】 08-22. 设函数3sin 3y x x =++, 求'y . 【08-22. 32'()'(sin )'3'3cos y x x x x =++=+】 08-3. 设函数ln y x =, 则'y = A.1x B. 1x- C. ln x D. xe [ ] 【08-3. A 】 07-3. 设函数y x =, 则'y =A. 1B. xC. 22x D. 2x [ ] 【07-3. 1】06-3. 巳知()3xf x x e =+,则'(0)f =A.1B. 2C. 3D. 4 [ ] 【06-3. D 】 05-2. 设33y x-=+,则'y 等于A.43x -- B. 23x -- C. 43x - D. 433x --+ [ ]【05-2. A 】04-9. 设函数21y x π=-,则'y = ____________ . 【04-9. 32x 】 03-9. 设函数2arcsin e x y +=,则'y = ____________ . 【03-9.211x-】00-8.设函数xx y 22sin 2++=,则dx dy=______________ . 【00-8. 2ln 22x x +】2.乘除求导法则：2''()''',()'u u v uv uv u v uv vv-=+= 11-22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 【11-22.2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=】 09-3. 设函数()ln xf x e x =, 则'(1)f =A. 0B. 1C. eD. 2e 【09-3、C 】 08-13. 设函数cos y x x = 则'_______y =. 【08-13. cos sin x x x -】07-13. 设函数ln x y x = 则'_______y = 【07-13. 2ln 1ln x x-】 04-19. 设函数ln y x x =,求'y . 【04-19. 1'ln ln 1y x x x x=+⋅=+】03-10. 设函数x exy =,则)0('f = ____________ . 【03-10. 1】02-10. 设函数x y cos 11+=,则'y =_____________. 【02-10. 2)cos 1(sin x x +】 02-3. 设函数)(),(x v x u 可导,若)()(x v x u y ⋅=,则'y 等于 A. )(')()()('x v x u x v x u + B. )(')()()('x v x u x v x u -C. )()()(')('x v x u x v x u +D. )(')('x v x u [ ] 【02-3. A 】 01-22. 设函数1cos 2-=x xy ,求'y . 【01-22. 2222222)1(cos 2sin )1()1(cos 2)1(sin )'1cos ('----=---⋅-=-=x xx x x x x x x x x x y 】 00-18. 设函数x xxx f ln sin 1)(--=, 求)('πf .【00-18. x x x x x x x x x x x f 1)sin 1(cos sin 11)sin 1()cos (sin 1)(22'--+-=-----=ππππππππ111)sin 1()cos (sin 1)(2'--=-----=f 】3. 复合函数求导法则（简单型）(由外到里逐层处理) 10-3. 设函数()cos 2f x x =, 则'()f x =A. 2sin 2xB. 2sin 2x -C. sin 2xD. sin 2x - [ ]【10-3、B 】06-2. 设函数25xy e=+, 则'y =A. 2xe B. 22xe C. 225xe+ D. 25x e + [ ] 【06-2. B 】05-3. 设()cos 2f x x =, 则'(0)f 等于A. 2-B. 1-C. 0D. 2 [ ] 【05-3. 0】 04-18. 设函数()1sin 2f x x =+,求'(0)f .【04-18. '()0cos 2(2)'2cos 2,f x x x x =+⋅= '(0)2f =】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________.【02-10. 11,1cos ,,1cos y x u y x u=+==+令则''2211sin '()(1cos )(sin )(1cos )u x xy x x u u x =⋅+=--=+】 00-10.设函数x y arcsin ln =,则'y =________________________.【00-10.xx x arcsin )1(21-】00-2. 下列函数中,在点0=x 处导数等于零的是A. )1(x x y -=B. xex y 2sin 2-+=C. x x y arctan cos -=D. )1ln(x y += [ ] 【00-2. B 】 样题-12. 设函数cos()xy e -=,则'(0)y = ____________ .【样题-12. 00'sin (1)sin ,'(0)sin sin1xx x x y ee e e y e e ------=-⋅⋅-===】样题-23. 设函数(sin 2)f x y e=，其中()f u 可导，求'y .【样题-23. (sin 2)(sin 2)''(sin 2)cos 222cos 2'(sin 2)f x f x y ef x x x e f x =⋅⋅⋅=⋅⋅】(与复合函数记号有关的题型)要点：巳知x x f sin )(=，怎样求出()f x ？（见01-9）t =，解出2x t =，原式为2()sin f t t =，把t 更名为x ，得2()sin f x x =，04-20. 设函数3(cos )1cos f x x =+,求'()f x .【04-20. 33cos ,1cos 1,x t x t =+=+设则332()1,()1,'()3f t t f x x f x x =+=+=所以故则】02-23. 设函数x x g e x f xsin )(,)(==,且)]('[x g f y =,求dxdy. 【02-23. 因为x x g cos )('=,所以xex f y cos )(cos ==,则x e dxdyx sin cos -=】02-11. 设函数x x f ln )2(=,则)('x f =___________. 【02-11. x1】01-9. 设函数x x f sin )(=,则)('x f = ________________ . 【01-9. )cos(22x x 】 样题-13. 设函数211()1f x xx=++,则)('x f = ____________ . 【样题-13. 22311112,,()1,()1,'()1t x f t t f x x f x x t t x x-===++=++=+令得于是】4. 复合函数与四则运算混合型(由外到里逐层处理) 07-22.设函数ln(y x =, 求'y 【07-22. 'y x =+=+】03-18. 设函数x x y +=,求'y .【03-18. xx x x xx xxx x x y ++=++=++=242122112)'('】02-17. 设函数21xx y +=,求'y . 【02-17. 2322222)1(111221'x xx x x y +=++-+=】5. 二阶导数(连续求二次导数)11-14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 【11-14. cos x -】 10-15. 设函数ln(1)y x =+ 则''_______y =. 【10-15.21(1)x -+ 】 09-15. 函数sin y x x = 则''_______y =. 【09-15.2cos sin x x x - 】 08-14. 设函数5y x = 则''_______y =. 【08-14. 320x 】 07-14. 设函数x y e -= 则'''_______y =. 【07-14. xe -】 06-15. 设函数sin 2y x = 则'''_______y =. 【06-15. 4sin 2x -】 05-14. 设函数2x y e = 则''(0)_______y =. 【05-14. 4】 04-21. 设函数11y x=+,求''y . 【04-21. 2332'(1)(1),''(1)(2)(1)(1)y x y x x --=-+=--+=+】03-11. 设函数xex y 22+=,则y 的50阶导数)50(y=___________. 【03-11. xe 2502】02-12. 设函数xxe y =,则)0(''y =___________. 【02-12. 2】 01-8. 设函数x x x f ln )(3=,则)1("f =_____________________ . 【01-8. 5】 00-20. 若 x x y arctan )1(2+=, 求"y . 98-10. 设 a a x n a x a y++=-)2( (其中 )1,0≠>a a , 则 )(n y = ______________ .【98-10. ()(2)[]"()''n n x a a yy a x a -==++=22)1(ln --+a x x a a a a 】【00-20. 1arctan 2)1(1)1(arctan 222'+=+++=x x x x x x y ，2"12arctan 2xx x y ++=】样题-15. 设函数y 的2n -阶导数(2)n x yxe -=, 则()(0)_______n y =【样题-15. ()(2)()[]''()''()'n n x x x yx y xe e xe -===+()2,x x x x x e e xe e xe =++=+()(0)2n y =】6. 变限积分求导（参见第三章相应条款）7. 微分计算(先求导,然后乘上dx ：'dy y dx =)11-5. 设函数cos 1y x =+, 则dy = [ ] A. (sin 1)x dx + B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx【11-5、C 】10-22. 设函数3cos x y x=, 求dy .【10-22. 332()'cos (cos )''(cos )x x x x y x -=2323cos sin (cos )x x x xx += 则2323cos sin '(cos )x x x xdy y dx dx x +===】09-22. 设函数sin xy e=, 求dy .【09-22. s i n'(s i n )'x y ex =s i nc o s x e x =则s i n c o s xd y ex d x =】 08-5. 设函数2xy e =+, 则dy = [ ] A. (2)xe dx + B. (2)x e x dx + C. (1)x e dx + D. xe dx 【08-5. D 】07-5. 设函数2s i n (1)y x =-,则dy = [ ] A. 2c o s (1)xd x - B. 2c o s (1)x d x -- C. 22c o s (1)x xd x - D. 22c o s (1)x x d x--【07-5. C 】 06-22. 设函数4s i n y x x =, 求dy =【06-22. 34'4sin cos y x x x x =+, 34(4sin cos )dy x x x x dx =+】 05-22. 设函数3c o s y x x =, 求dy .【05-22. 3323'()'c o s(c o s )'3c o s s i ny x x x x x x x x =+=-, 23(3cos sin )dy x x x x dx =-.】03-19. 设函数2arctan x y =,求dy .【03-19. dx x x dy x x x x y 442412,12)'(11'+=+=+=】01-7. 设函数21x y +=,则dy =____________ . 【01-7. dx xx 21+】00-9.设函数)(cos 2x y -=,则dy = ____________________ .【00-9. 2sin cos x xdx -， 也可写成sin 2xdx -. 注意cos()cos x x -=】8.** 幂指函数求导（对数求导法或e-ln 法） **01-23. 设函数xxx y +=sin ,求'y .【01-23. sin y x =+'(sin )'(cos ((*)y x x =+=+笫2项那个导数属幂指函数求导问题，采用对数求导法，先记2y =,两边取对数2ln ln y x ==，然后对x 求导，得2211'y x x y x ==+22'y y x x =+=即(x =+，代回（*）式，得'cos y x x =++. 】二. 隐函数求导数与微分 (做法分两步：（1）原式两边对x 求导，注意把y 视为x 的抽象函数；（2）解出y')注：一元隐函数求导数与微分的题目在2000-2011年中皆没有出现，这里只找了94-99年的3个题目作参考. 学员务必把精力集中到第四章二元隐函数求偏导数和全微分上，因为连续多年都有一个这样的大题目。
高数二下学期复习课
(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
两个基本问题 :
F(x,y,z)0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
2019/10/30
13
二次曲面
三元二次方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
设消空去间z 得曲投线影C柱的面一H 般(方x,程y)为0 GF,((xx,,
y,z) y,z)
0 0
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
y
2019/10/30
x
19
C
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
2019/10/30
2019/10/30
32
定义1 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lim f(x0
x 0
x, y0)f(x x
0
, y0)
存在, 则称此极限为函数 z f(x ,y )在 点 (x 0 ,y 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0
,
y0
);
f x
(x0,
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2019/10/30
考研高数总复习专题五第2讲椭圆双曲线(讲义)
热点分类突破
解析
(1)在△ABF中，由余弦定理得
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|· |BF|cos∠ABF， ∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6， 从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF. 本 1 讲 栏 ∴c＝|OF|＝2|AB|＝5，
目 开 关
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考点三
本 讲 栏 目 开 关
直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例3 已知椭圆C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b 2 离心率e＝ ，点F为椭圆的右焦点, 2 点A、B分别为椭圆的左、右顶点， → → 点M为椭圆的上顶点，且满足MF· FB＝ 2－1. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F 恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存 在，请说明理由．
本 讲 栏 目 开 关
2xB＝xA－2， ∴ 2yB＝yA
2 yA＝8xA， 与 2 yB＝8xB，
联立可得A(4,4 2)，B(1,2 2)． 4 2－2 2 2 2 ∴kAB＝ ＝ 3 . 4－1
答案 (1)3
2 2 (2) 3
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(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理
2 2m2－2 4m2 m －2 2 ＝ － ＋m ＝ . 3 3 3
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， → → ∴PF· MQ＝0，
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→ ＝(1－x ，－y )，MQ → ＝(x ，y －1)， 又PF 1 1 2 2
→ → ∴PF· MQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
本 讲 栏 目 开 关
考研高数总复习第一章多项式第二节(讲义)
由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就 等于因子首项系数的乘积.
显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项 式的情形. 下面来讨论多项式的运算所满足的规律.
三、多项式的运算规律
1. 加法交换律
f (x ) + g (x ) = g (x ) + f (x ) .
2. 加法结合律
( f (x ) + g (x ) ) + h (x ) = f (x ) + ( g (x ) + h (x ) ) .
系数
在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P
上的一元多项式.
在多项式
i 次项的 中，aixi 称为
i 次项，a 称为
i
系数.
以后我们用 f (x) , g(x) , … 或 f , g ,
… 等来代表多项式.
注意
的形式表达式.
我们这儿定义的多项式是符号或文字
当这符号是未知数时，它是中学所
看应用需要，这个符号还可以 为了能统一研究未知数和其他
相等，记为
f (x) = g(x) .
系数全为零的多项式称为
零多项式，记为 0 .
在
式 (1) 的 (1) 的
中，如果 an 0，那么 anxn 称为多项
称为
首项，a
n
首项系数，n 称为多项式
次数.
零多项式是唯一不定义次数的多项式.
多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x ) ) .
二、多项式的运算
第二节
一元多项式
主要内容
定义
多项式的运算 多项式的运算规律
一、定义
在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给 定的数域 P 作为基础. 我们有 设 x 是一个符号(或称文字)
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2
x→0
故 f (x)在点 x=0可导.
高等数学
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三、思考与练习
1. y = f (ln x)e
f ( x)
dy ,求 dx
解： dy = e f ( x) 1 f ' (ln x) + f ' (x) f (ln x) x dx
dy 2. y = x sin 1− e , 求 . dx 1 1 解： ln y = [ln x + ln sin x + ln 1− ex ] 2 2#43; + ⋅ ln 1− e ] −x y 2 x sin x 2 1− e
1 f (1− x) − f (1) 1 = lim = f ′(1) = −1 2 x→0 (1− x) −1 2
所以
f ′(1) = −2
1 y − = −2( x −1) 2
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切线方程为
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y = y(x) 由方程 exy − y2 =1 所确定，求 y′′. 5. 设
2 y4
所以
xsin x y′ = − yey
2
xsin x2 dy = − dx y ye
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1 x 7. 设 g(x) 连续，f (x) = ∫ (x − t)2 g(t)dt, 2 0 求 f ′(x), f ′′(x).
x 1 2 x 1 x 2 解： f (x) = x ∫ g(t)dt − x∫ tg(t)dt + ∫ t g(t)dt, 0 2 0 2 0
《高数总复习》第二讲导数与微分 高数总复习》
一、基本知识点 1.导数的定义
f (x0 + h) − f (x0 ) f ′(x0 ) = lim . h→0 h
1 = limt[ f (x0 + ) − f (x0 )]. t →∞ t
f (ux0 ) − f (x0 ) = lim (x0 ≠ 0). 1 u→ (u −1)x0
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e −1 , x≠0 2 求 f ′(x). x 6. 已知 f (x) = 1 , x =0
x2
解：当x ≠ 0时 ，
(2x − 2)e + 2 f ′(x) = 3 x 当x = 0时 ， 2 ex −1 −1 f (x) − f (0) x2 =0 = lim f ′(x) = lim x→0 x→0 x x
解: 方程两边同时对 x 求导,得
e ( y + xy′) − 2yy′ = 0 yexy 所以 y′ = xy 2y − xe
xy
上式再对 x 求导，得
′exy + yexy ( y + xy′)](2y − xexy ) [y y′′ = (2y − xexy )2 xy ′ − exy − xexy ( y + xy′)] ye [2y − (2y − xexy )2
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2.求导方法 (1)导数的定义 (2)基本的导数公式表 (3)导数的四则运算 (4)复合函数求导法则 (5)参数方程求导 (6)隐函数的求导 (7)积分变限函数的求导 (8)利用对数求导法求导 3.微分的概念
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二、例题分析 1. y = tan x ⋅ arcsin 1− x2 , 求 y′.
f ′(x) = x∫ g(t)dt − ∫ tg(t)dt
0 0
x
x
f ′′(x) = ∫ g(t)dt
0
x
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8. 解:
x = ln(1+ t 2)
y = t − arctant
d y d2 y 求 , d x d x2
1 1− 2 dy dt dy 1+ t = t = = 2t 2 dx dt dx 1+ t 2 1 dy 2 d( dx ) dt 1+ t 2 d y = 2 = = 2t 4t d x2 dx dt 2 1+ t
确定a, b,c ，使 f (x) 在 x = 0 处可导.
a 解: 由 f (0 + 0) = f (0 − 0) = f (0) ⇒ = 2b =1 2 2( 1+ x −1) x −1 1 ′ f− (0) = lim− =− x→0 x 4 1 −1 1+ e x + c ln(1+ x) −1 2 ′ f+ (0) = lim+ =c x→0 x 1 ′ ′ 由 f− (0) = f+ (0) ⇒c = − 4 高等数学
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9. 解:
0 y = [ f (t 2 )]2
x = ∫ f (u2 )du
t
d y d2 y 求 , 2 d x dx
2 f (t 2 ) ⋅ f ′(t 2 ) ⋅ 2t
dy = = d x dx dt
d y = 2 dx
2
dy dt
f (t 2 ) (t
2
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x , y2 = lnx x
L L
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5. 设 y =1+ xexy , 求 y′(0), y′′(0). 解：
y =1+ xe
xy
① ②
①两边对x求导，得
y′ = exy + xexy ( y + xy′)
② 两边对x求导，得
′′ = exy ( y + xy′) + exy ( y + xy′) y xy ′)2 + xexy (2y′ + xy′′) ③ + xe ( y + xy
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1 x sin , x ≠ 0 x 在点 x=0的可导性. 12. 讨论 f (x) = 0 , x =0 1 1 1 2 解： 在 x ≠ 0时， f ′(x) =2x sin + x cos ⋅ (− ) 2 x x x ′(x) 无意义 2 sin 1 (1) 在 x = 0时， f x , 故不可导 f (x) − f (0) x =0 = lim f ′(0) = lim x→f x→0 不存在， 故不可导 (2) lim 0 ′(x)x − 0 x
ln y1 = tan x ln sin x y1' 1 2 = sec x ⋅ ln sin x + tan x ⋅ ⋅ cos x y1 sin x
1 3 ln y2 = ln x − (ln x) + ln( 2 − x) − ln( 2 + x) 2 2 y2 ' 1 1 1 1 3 1 = − 2ln x ⋅ + ⋅ ⋅ (−1) − y2 x x 2 2− x 2 2+ x
1 (n) (−1) n! 1 (n) (−1) n! ( ) = , ( ) = n+1 x −1 (x −1) x +1 (x +1)n+1
n n
y
(n)
3 1 1 n = (−1) n![ − ] n+1 n+1 2 (x −1) (x +1)
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11.
a( 1+ x −1) x x<0 1 x =0 f (x) = x b(2 + e−1 ) + c ln(1+ x) x > 0
x
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L L L L
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(x −1)(x − 2)L(x − n) 3. 设 f (x) = , 求 f ′(1) (x +1)(x + 2)L(x + n)
解:
f (x) − f (1) f ′(1) = lim x→0 x −1
(x − 2)L(x − n) = lim x→0 (x +1 x + 2)L x + n) )( (
(−1) = n(n +1)
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n−1
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1− 2 f (1− x) 1 = −1 4. 设 f (1) = , f ′(1) 存在, lim x→0 4x 2 求曲线 y = f ( x ) 在点（1，1/2）处的切线方程。 1 f (1− x) − 解: 1 1− 2 f (1− x) 2 lim = − lim x→0 2 x→0 x 4x
=
= 4t f ′(t 2 )
d[4t f ′(t 2 )] dt
dx dt
4[ f ′(t 2 ) + 2t 2 f ′′(t 2 )]
f (t 2 )
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10.
4x2 −1 求 y(n) y= 2 ， x −1
4x2 −1 4x2 − 4 + 3 3 1 1 解: y = 2 = = 4+ ( − ) 2 x −1 x −1 2 x −1 x +1
′ = sec2 x ⋅arcsin 1− x2 解： y
+ tan x ⋅
2
1 1− ( 1− x )
2 2
⋅
− 2x
2 1− x2
1 2 2. y = f (sin ) + ln f (x), 求 y′. x 1 1 1 解： ′ 2 1 y = f ′(sin ) ⋅ 2sin ⋅ cos ⋅ (− 2 ) x x x x
x→0
故 f (x)在点 x=0可导.
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三、思考与练习
1. y = f (ln x)e
f ( x)
dy ,求 dx
解： dy = e f ( x) 1 f ' (ln x) + f ' (x) f (ln x) x dx
dy 2. y = x sin 1− e , 求 . dx 1 1 解： ln y = [ln x + ln sin x + ln 1− ex ] 2 2#43; + ⋅ ln 1− e ] −x y 2 x sin x 2 1− e
1 f (1− x) − f (1) 1 = lim = f ′(1) = −1 2 x→0 (1− x) −1 2
所以
f ′(1) = −2
1 y − = −2( x −1) 2
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切线方程为
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y = y(x) 由方程 exy − y2 =1 所确定，求 y′′. 5. 设
2 y4
所以
xsin x y′ = − yey
2
xsin x2 dy = − dx y ye
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1 x 7. 设 g(x) 连续，f (x) = ∫ (x − t)2 g(t)dt, 2 0 求 f ′(x), f ′′(x).
x 1 2 x 1 x 2 解： f (x) = x ∫ g(t)dt − x∫ tg(t)dt + ∫ t g(t)dt, 0 2 0 2 0
《高数总复习》第二讲导数与微分 高数总复习》
一、基本知识点 1.导数的定义
f (x0 + h) − f (x0 ) f ′(x0 ) = lim . h→0 h
1 = limt[ f (x0 + ) − f (x0 )]. t →∞ t
f (ux0 ) − f (x0 ) = lim (x0 ≠ 0). 1 u→ (u −1)x0
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e −1 , x≠0 2 求 f ′(x). x 6. 已知 f (x) = 1 , x =0
x2
解：当x ≠ 0时 ，
(2x − 2)e + 2 f ′(x) = 3 x 当x = 0时 ， 2 ex −1 −1 f (x) − f (0) x2 =0 = lim f ′(x) = lim x→0 x→0 x x
解: 方程两边同时对 x 求导,得
e ( y + xy′) − 2yy′ = 0 yexy 所以 y′ = xy 2y − xe
xy
上式再对 x 求导，得
′exy + yexy ( y + xy′)](2y − xexy ) [y y′′ = (2y − xexy )2 xy ′ − exy − xexy ( y + xy′)] ye [2y − (2y − xexy )2
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2.求导方法 (1)导数的定义 (2)基本的导数公式表 (3)导数的四则运算 (4)复合函数求导法则 (5)参数方程求导 (6)隐函数的求导 (7)积分变限函数的求导 (8)利用对数求导法求导 3.微分的概念
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二、例题分析 1. y = tan x ⋅ arcsin 1− x2 , 求 y′.
f ′(x) = x∫ g(t)dt − ∫ tg(t)dt
0 0
x
x
f ′′(x) = ∫ g(t)dt
0
x
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8. 解:
x = ln(1+ t 2)
y = t − arctant
d y d2 y 求 , d x d x2
1 1− 2 dy dt dy 1+ t = t = = 2t 2 dx dt dx 1+ t 2 1 dy 2 d( dx ) dt 1+ t 2 d y = 2 = = 2t 4t d x2 dx dt 2 1+ t
确定a, b,c ，使 f (x) 在 x = 0 处可导.
a 解: 由 f (0 + 0) = f (0 − 0) = f (0) ⇒ = 2b =1 2 2( 1+ x −1) x −1 1 ′ f− (0) = lim− =− x→0 x 4 1 −1 1+ e x + c ln(1+ x) −1 2 ′ f+ (0) = lim+ =c x→0 x 1 ′ ′ 由 f− (0) = f+ (0) ⇒c = − 4 高等数学
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9. 解:
0 y = [ f (t 2 )]2
x = ∫ f (u2 )du
t
d y d2 y 求 , 2 d x dx
2 f (t 2 ) ⋅ f ′(t 2 ) ⋅ 2t
dy = = d x dx dt
d y = 2 dx
2
dy dt
f (t 2 ) (t
2
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x , y2 = lnx x
L L
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5. 设 y =1+ xexy , 求 y′(0), y′′(0). 解：
y =1+ xe
xy
① ②
①两边对x求导，得
y′ = exy + xexy ( y + xy′)
② 两边对x求导，得
′′ = exy ( y + xy′) + exy ( y + xy′) y xy ′)2 + xexy (2y′ + xy′′) ③ + xe ( y + xy
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1 x sin , x ≠ 0 x 在点 x=0的可导性. 12. 讨论 f (x) = 0 , x =0 1 1 1 2 解： 在 x ≠ 0时， f ′(x) =2x sin + x cos ⋅ (− ) 2 x x x ′(x) 无意义 2 sin 1 (1) 在 x = 0时， f x , 故不可导 f (x) − f (0) x =0 = lim f ′(0) = lim x→f x→0 不存在， 故不可导 (2) lim 0 ′(x)x − 0 x
ln y1 = tan x ln sin x y1' 1 2 = sec x ⋅ ln sin x + tan x ⋅ ⋅ cos x y1 sin x
1 3 ln y2 = ln x − (ln x) + ln( 2 − x) − ln( 2 + x) 2 2 y2 ' 1 1 1 1 3 1 = − 2ln x ⋅ + ⋅ ⋅ (−1) − y2 x x 2 2− x 2 2+ x
1 (n) (−1) n! 1 (n) (−1) n! ( ) = , ( ) = n+1 x −1 (x −1) x +1 (x +1)n+1
n n
y
(n)
3 1 1 n = (−1) n![ − ] n+1 n+1 2 (x −1) (x +1)
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11.
a( 1+ x −1) x x<0 1 x =0 f (x) = x b(2 + e−1 ) + c ln(1+ x) x > 0
x
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L L L L
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(x −1)(x − 2)L(x − n) 3. 设 f (x) = , 求 f ′(1) (x +1)(x + 2)L(x + n)
解:
f (x) − f (1) f ′(1) = lim x→0 x −1
(x − 2)L(x − n) = lim x→0 (x +1 x + 2)L x + n) )( (
(−1) = n(n +1)
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n−1
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1− 2 f (1− x) 1 = −1 4. 设 f (1) = , f ′(1) 存在, lim x→0 4x 2 求曲线 y = f ( x ) 在点（1，1/2）处的切线方程。 1 f (1− x) − 解: 1 1− 2 f (1− x) 2 lim = − lim x→0 2 x→0 x 4x
=
= 4t f ′(t 2 )
d[4t f ′(t 2 )] dt
dx dt
4[ f ′(t 2 ) + 2t 2 f ′′(t 2 )]
f (t 2 )
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10.
4x2 −1 求 y(n) y= 2 ， x −1
4x2 −1 4x2 − 4 + 3 3 1 1 解: y = 2 = = 4+ ( − ) 2 x −1 x −1 2 x −1 x +1
′ = sec2 x ⋅arcsin 1− x2 解： y
+ tan x ⋅
2
1 1− ( 1− x )
2 2
⋅
− 2x
2 1− x2
1 2 2. y = f (sin ) + ln f (x), 求 y′. x 1 1 1 解： ′ 2 1 y = f ′(sin ) ⋅ 2sin ⋅ cos ⋅ (− 2 ) x x x x