重点突破6：换元法求函数值域

四类换元法1、一般换元；2、双换元；2、三角换元； 4、整体换元。

一、一般换元例1、求函数1--=x x y 的值域。

二、三角换元两个重要公式 1cos sin 22=+x xx x 22cos 1tan 1=+（常出现在竞赛中） 例2、求函数22x x y -+=例3、（2011高中联赛）函数11)(2-+=x x x f 的值域为_____________三、双换元例4、求函数31++-=x x y 的值域例5、求函数x x y -+-=363的值域。

四、整体换元例6、求函数5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y 的值域。

判别式法/万能K 法原理：方程有解：一、分式型的值域形如fex dx c bx ax y ++++=22（d a ,不同时为零）的二次分式函数，可转化成如0)()()(2=++y c x y B x y A 的形式，视为关于x 的一元二次方程，对y 使用判别式0≥∆，可得y 的取值范围。

例1、求函数12222++-=x x x y 的值域。

例2、求函数122+++=x x xx y 的值域例3、求函数xx x x y ++-=2222在)2,2(-上的值域/最大、最小值。

例4、若函数18log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值。

二、可化为分式型的值域 形如2222fyexy dx cy bxy ax M ++++=（d a ,不同时为零）的式子，分子分母同除2y 齐次化后得到f yx e y x d c y x b y x a M ++++=)()()()(22，令t y x =，则化为一元的二次型分式f et dt c bt at M ++++=22。

例5、设+∈R y x ,，则代数式y x y y x x 222+++的最大值为______________.例6、若对任意非零实数y x ,不等式xy x y x a 4)5(222+≤+恒成立，则a 的最大值为___________（两种方法）例7、若R y x ∈,，求561045),(22++-+-=y x y xy x y x f 最小值。

专题06 函数求值域常见8种方法全归纳方法一、分离常数法例1、求函数312+=-x y x 的值域 先分离常数法： ∵313(2)773222+-+===+---x x y x x x ，∵702≠-x ，∴7332+≠-x ， ∴312+=-x y x 的值域为{|∈y y R 且3}≠y . 方法二、判别式法例2.求函数221-=-+x x y x x 的值域 【解析】注意到，这个函数定义域为R ，这类函数在求值域时使用判别式法比较方便； 整理函数得()2221,(1)(1)0-+=----+=y x x x x y x y x y当1=y 时，方程无解当1≠y 时，所求函数的值域需要使得，方程有解，要求2(1)4(1)0∆=---≥y y y ，23210-++≥y y ，(1)(31)0-+≤y y ，113-≤≤y . 注意：当1=y 时，函数不再是关于x 的二次方程，且方程无解，所以1=y 不是函数的值域.所以在1≠y 的情况下研究函数值域，所以函数值域为1,13⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭y 方法三、配方法例3、求函数()44222--=+-+x x x x y 的值域【解析】可以将其换元转化为二次函数，令22-=+x x t ，2≥t ，则22222222--=+⋅⋅+x x x x t 即2442-+=-x x t 所以函数可整理为：()2222(1)3=--=--y t t t此时，发现函数在[1,)+∞单调递增，而t 的取值范围是2≥t (这里一定要看清，用的是t 的取值范围，而不是x 的取值范围)，所以当2=t 时，函数取到最小值2-，所以函数值域为[2,)∈-+∞y .方法四、代数换元法例4、求函数2=+y x【解析】令0=t ，21=-x t ，∴222422(1)44=-++=--+≤y t t t通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在1=t 时取到最大值.∴函数的值域为(,4]-∞.方法五、三角换元法例5、求函数=y x【解析】可以设cos θ=x ，[0,]θ∈π，注意取值范围cos sin 4πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭y ，根据[0,]θ∈π，5444θπππ≤+≤，1cos 4θπ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭[∈y . 方法六、均值不等式法例6、求函数23(0)1=≥++x y x x x 的值域 【解析】 当0=x 时，0=y 当0≠x 时，3(0)11=>++y x x x，因为12+≥=x x ，所以3311211=≤=+++y x x，[0,1]∈y 方法七、数形结合法例7(1)、求函数sin cos 2=-x y x 的值域 【解析】函数可看为两点连线的斜率，即1(cos ,sin )P x x ，2(2,0)P ，则sin 0cos 2-=-x k x ，即所求函数，问题转化为求k 的取值范围，借助图形，我们可以看到，当直线与单位圆相切时，k分别取到最大值和最小值1tan30=︒=l k，2tan150=︒=l k所以，原函数值域⎡∈⎢⎢⎥⎣⎦y .例7(2)、求函数y【解析】整理函数得，y ，这时观察函数，用一般方法不是很好继续进行，但我们发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以我们可以改造一下函数：=y (,0),(2,2),(2,1)--P x A B ，即||||=+y PA PB通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，当P 处于AB 连线时，||||=+y PA PB 取到最小值：||5==y AB ，所以||||5+≥PA PB ，即函数值域为[5,)∈+∞y .方法八、特殊函数有界性法例8、求函数e 1e 1-=+x x y 的值域 【解析】 注意到函数定义域为R ，可以进行如下转化，用y 表示x ，()e 11+=-x x y e ，e (1)1-=--x y y . 注意1=y 时方程不成立，所以1≠y ，可将1-y 除到等式右边得：1e 1+=-x y y ，因为e 0>x ，即101+>-y y，解得：()1,1∈-y【巩固】1.求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域． 【分析】可将原函数整理成关于x 的方程的形式：(1－y )x 2＋6x ＋1－y ＝0，并且该方程有解，容易判断y ＝1时满足方程有解，而y ≠1时方程为关于x 的一元二次方程，根据方程有解从而得到△≥0，这样可解出y 的范围，从而便可得出原函数的值域．【解答】解：将y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1整理成关于x 的方程,(1－y )x 2＋6x ＋1－y ＝0，该方程有解； （1）若y ＝1，显然上面方程有解；（2）若y ≠1，上面方程为关于x 的一元二次方程，方程有解；∴△＝36－4(1－y )2≥0;解得－2≤y ≤4且y ≠1；综上所述，原函数的值域为[]2(1,4－，1)．法二：当x ＝0时，y ＝1当x ≠0时，2226166=1+=1111x x x y x x x x++=++++ ∵(][)1,22,x x +∈-∞-+∞ ∴[)(]63,00,31x x ∈-+ ∴[)(]612,11,41y x x =+∈-+ 综上，函数的值域为[]2(1,4－，1).2．求函数y ＝e x ＋ 1e x＋2值域． 【分析】由题意化简y ＝e x ＋ 1e x ＋2＝2＋e x ＋ 1e x ＋2－2,从而求函数的值域． 【解答】解：y ＝e x ＋ 1e x ＋2＝2＋e x ＋ 1e x ＋2－2 ∵2＋e x ＞2,且y ＝x ＋ 1x－2在(2，＋∞)上是增函数， 故y ＝2＋e x＋ 1e x ＋2－2＞2＋ 12－2＞ 12; 故函数y ＝e x ＋ 1e x ＋2的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12,＋∞．3．求下列函数的值域(1)y ＝1－x 21＋x 2; (2)y ＝x － 1－2x ; (3)y ＝x ＋ 4x． 【分析】（1）把已知函数解析式变形，利用分离常数法求解；（2）直接利用函数的单调性求得函数值域；（3）分类利用基本不等式求解．【解答】解：(1)y ＝1－x 21＋x 2－ x 2＋1－2x 2＋1＝2x 2＋1－1, ∵x 2＋1≥1,∴0＜1x 2＋1≤1,则－1＜ 2x 2＋1－1≤1, ∴y ＝1－x 21＋x 2的值域为（－1，1]； （2）由1－2x ≥0，得x ≤ 12． ∵函数y ＝x － 1－2x 为增函数，∴其最大值为12,即函数y ＝x － 1－2x 的值域为（－∞， (1)/(2)]； （3）函数y ＝x ＋ 4x的定义域为{x |x ≠0}， 当x ＞0时，y ＝x ＋ 4x ≥2 x ﹒ 4x＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”， 当x ＜0时，y ＝x ＋ 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋ 4－x ≤－2 (－x )﹒ 4－x ＝－4，当且仅当x ＝－2时取“＝”． ∴y ＝x ＋ 4x的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．。

高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

（解析式中含有分式和根式。

）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。

【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。

换元法求二次型函数的值域作者：刘亚丽来源：《新校园·学习版》2009年第09期一元二次函数的值域非常重要,但在实际学习中,直接求二次函数的值域的情况并不是很多,相反,以其他函数为载体,需要转化成二次函数后再求值域的二次型问题却非常多,本文对如何使用换元法求常见的几种二次型函数的值域作一简单介绍.1.含有二次根式的二次型[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.2.含有指数式的二次型例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x·2 1 = 2·2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.解:∵ y =(2 x)2 + 2·2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).∵t >0,∴y>(0+1)2+2=3.∴函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).3.含有对数式的二次型例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.解:∵y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).∴函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为[1,+∞).4.含有特殊三角函数式的二次型例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.解:∵cos2x=1-2sin2x ,∴y=1-2sin2x+4sinx.令sinx= t,则-1≤ t ≤1,并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.∵-1≤t≤1,∴-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.∴函数 y = cos 2 x + 4 sin x 的值域为 [-5,3].说明:如果在一个关于三角函数的解析式中同时出现了 sinx ± cosx 和 sin x cos x 这样两种结构,并且除来确定.。

综合理论课程教育研究292 学法教法研究换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。

一、一般换元法【例1】求函数的值域. 解：令，则且，函数的值域为【变式.重要公式： 有着本质的联系！【例2】(2005福建)已知实数满足，求.● 反思: 角的范围为什么这么取？【变式1】 求函数的最大值.答案：.【例4】(2009辽宁竞赛) 函数解：，令所以答案是.三、双换元【例5】求函数的值域.解：方法1：平方 当时，；当或1时，.函数的值域为. 方法2：双换元 令，则，其中，则解函数值域之换元法谢金辉（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02综合理论课程教育研究学法教法研究 293五、结论换元当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。

【例8】已知，且，求的取值范围. 解：设，令，六、小结通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.解：设，则而《溶液中的离子反应》为化学反应原理三大“支柱”之一。

因其涵盖内容广，涉及化学反应原理的核心，成为高考化学的重要热点，该部分内容常以“溶液中离子浓度大小比较”形式呈现，其题型多为选择题，这种题型考查的知识点多、灵活性、综合性较强，有较好的区分度，它能很有效地考查学生对强、弱电解质、电离平衡、电离度、水的电离、pH 值、离子反应、盐类水解等基本概念的掌握。

函数值域的求法目录解题知识必备................................................................................ 错误!未定义书签。

压轴题型讲练................................................................................................................ 3 题型一、直接法............................................................................................................ 3 题型二、配方法............................................................................................................ 3 题型三、换元法............................................................................................................ 4 题型四、分离常数法.................................................................................................... 4 题型五、基本不等式法................................................................................................ 4 题型六、单调性法........................................................................................................ 5 题型七、判别式法........................................................................................................ 5 压轴能力测评（6题）. (6)一、定义域优先函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

例说求函数值域的基本方法值域是全体函数值所构成的集合，值域也是构成函数的三要素之一。

由于求函数值域所涉及到的知识面较宽，所用到的数学思想与数学方法也相应较多，因此、求函数的值域往往是数学考察的基本内容之一，本文将举例说明求函数值域常用的一些基本方法，仅供参考。

一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

例：求函数1y 的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、常数分离法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数125x y x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025x ≠+，∴12y ≠-， ∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

三、配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例．求函数562---=x x y 的值域解：由562---=x x y 44)3(2≤---=x ]4,(-∞∈∴y四、换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且。

例1．求函数x x y -+=12 的值域解：（换元法）设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y [)(]4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下，对称轴y t t例2：求函数21x x y -+=的值域解：（三角代换法） 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x[][]2,12,1)4s i n (2s i n c o s s i n c o s -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设 （2）若题目中含有122=+b a ，则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤ （3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0（4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中22πθπ<<- （5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ五、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

高中数学 求函数值域的常用方法 学法指导祁正红求函数的值域是高一教材的重点内容，也是高考必考内容，下面总结出求函数值域的十种方法。

一、图像法画出函数的大致图像，找出最高点及最低点，即可得函数的值域。

例1. 求函数1x 4x )x (f 2+--=，]3,3[x -∈的值域。

分析：5)2x ()1x 4x (1x 4x )x (f 222++-=-+-=+--=根据图像得：当3x =时，5y ,2x ;20y max min =-=-=时当；所以]5,20[)x (f -∈。

二、配方法对于形如)0a (c bx ax y 2≠++=或)0a (c )x (bf )x (af )x (F 2≠++=类型的函数值域问题，均可用配方法求解。

例2. 求函数)4x 0(x x 42y 2≤≤--=的值域。

分析：4)2x (2x x 42y 22+---=--=。

当40x ;0y ,2x min 或当时===时，2y max =；所以原函数的值域是[0，2]。

三、反函数法利用反函数的定义域是原函数的值域的关系求解，形如)0a (b ax d cx y ≠++=函数的值域可用此方法，也可用分离常数法。

例3. 求函数4x 3x )x (f -+=的值域。

分析：4x 3x )x (f -+=的反函数是1x 3x 4)x (f 1-+=-； 1x 3x 4)x (f 1-+=-的定义域是1x ≠；函数4x 3x )x (f -+=的值域是1y ≠。

另解：用分离常数法：就是通过分式恒等变形，将分式分子中的变量消去，化为常数。

4x 71)4x (7)4x (4x 3x )x (f -+=-+-=-+=。

因为04x 7≠-，因为14x 71≠-+即1y ≠。

四、换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数，形如)x (f 1y =的函数，令t )x (f =；形如)d ,c ,b ,a (d cx b ax y 为常数+±+=，令t d cx =+；形如22x a y -=的结构函数，令]2,2[-,asin x ][0,,acos x ππ∈θθ=π∈θθ=或令。

函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。

（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。

如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。

（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。

（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。

如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。

（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。

（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。

例如：12--+=x x y 。

（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。

如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。

x - 1 2 五大换元法求值域——利哥数学（利是美丽的利，哥是唱歌的哥）五大：①一般换元法；②三角换元法；③万能公式法；④双换元法；⑤换元成“Nike ”法；法一：一般换元法形如： y = ax + b ±本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令 t= t = ，用t 表示 x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可.例 1：求函数 f (x ) = x - 的值域分析：本题 x ∈[1，+ ∞) ，在取值区间内， x 单调增， 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元.解：另t = （ t ≥ 0 ），则 x = t 2 +1， 代入 f (x ) 得 y = t 2- t + 1（ t ≥ 0 ），本题实求二次函数值域问 题，因为t ≥ 0 ，故最小值在对称轴处取得， f ( 1 ) = 3 ，所以 f (x ) ∈[ 3，+ ∞) .24 4注意：求函数 f (x ) = x + 的值域分析：本题 x ∈[1，+ ∞) ，在取值区间内， x 单调增， 单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以 f (x ) ≥ f (1) 即可， f (x ) ∈[1，+ ∞) .现学现卖：求 f (x ) = x - x +1 + 3 的值域解：另t x + 1 t ≥ 0)，则x = t 2 -1，代入 f (x ) 得 y = t 2 - t + 2，对称轴 f ⎛ 1 ⎫ = 7， f (x ) ∈[ 7 ，+ ∞) .⎪ ⎝ ⎭ cx + dcx + d x -1 x -1 x -1 x -1 442 2， ]， ]， ]⎫ 类型二：三角换元一个大原则：若 x 有界，换成sin θ，cos θ，若 x 无界，换成 tan θ.两个常用公式：①遇到 x 2，且前面系数为-1，常用sin2θ+ cos 2 θ= 1.②遇到 x 2 ，且前面系数为 1，常用三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围.1 cos 2θ= 1+ tan 2θ.例 2：求 f (x ) = x +的值域分析：本题若使用一般换元法，则只能得到 x 2 与t 2之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就 是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为 x 2前面的系数是-1，所以使用公式①换元.解：令 x = sin θ， 1- x 2≥ 0 ，∴ x ∈[-1，1] ，∴sin θ∈[-1，1]，令θ∈[-π π（原因：方便后面化 2 2出来的cos θ，不用讨论正负性了），代入 f (x ) ，得 f (x ) = sin θ+ 1- sin 2θ= sin θ+ | cos θ|，θ∈[-π π，∴ f (x ) = sin θ+ cos θ，辅助角公式，变形得： f (x ) = 2 2 2 sin(θ+ π 4 ，由θ∈[- π π2 2得 π [- π 3π ， sin(θ+ π⎡ ⎤ ，∴ f (x ) ∈[-1， 2] .θ+ ∈ ， ]4 4 4 ) ∈ ⎢- 2 ，1⎥ 4 ⎣ ⎦现学现卖：求 f (x ) = x +的值域 解：另 x = 2 sin θ即可 ，2 - x 2 ≥ 0 ，∴ x ∈ ⎡- ， 2 ⎤ ，∴sin θ∈[-1，]1 ，令θ∈[- π π，代入 f (x ) ，⎣ ⎦2 2得易得 f (x ) = 2 sin θ+2 cos θ= 2 sin⎛ ππ π ，由θ∈[-得π[- π 3π ，4 +θ⎪ ， ] θ+ ∈ ， ]∴ sin(θ+ π⎡ 2⎤，∴ f (x )∈[- ⎝ ⎭2 ，2].2 2 4 4 44 ) ∈ ⎢- 2 ，1⎥⎣ ⎦， ] 1- x 22 - x 2)tan 2 θ+ 1 x例 3：求 f (x ) = x -1的值域分析：本题 x 2前面的系数是 1，所以考虑使用公式②解： x 2+1 ≥ 0 ，x -1 ≠ 0 ，∴ x ≠ 1 ，令 x = tan θ，θ∈ (-π π ⋃ π π，， )( ， ) 2 44 21 1 π π π π 则 f (x ) = tan θ-1 = cos θ = sin θ- cos θ =2 sin(θ- π 4， θ∈（- ， ）⋃ ( 2 4 ， ) ， 4 2∴θ- π∈ (- π，0) ⋃ (0 π ， 2 sin ⎛θ- π⎫∈ (-1，0 )⋃ ⎛0 ， 2 ⎫ ∴ f (x ) ∈ (-∞ ，- 2 ⎫⋃ (1，+ ∞) .4 2， ) 4 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 4 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭类型三：三角换常值换元法2 tan θ1- tan 2 θ2 巧用万能公式：sin θ= 2 ，cos θ= 2 ；即sin 2θ=2 tan θ ，cos 2θ= 1 - tan θ ；1+ tan 2 θ21+ tan 2 θ21+ tan 2θ 1+ tan 2 θ可令t = tan 2θ，则sin θ，cos θ就转化成了关于t 的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解.例 5：求 f (x ) = sin x2 - cos x的值域分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法，利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于t 的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解.2 tan x 2 1+ tan 2 x2 tan x 解一、万能公式法 f (x ) = sin x = 2 - cos x 2 1- tan 2 x = 2 1+3 tan 2 x，令 tan = t ， 2 - cos x ≠ 0 ，∴ x ∈ R ， 2tan x ∈ R ，∴t ∈ R ， f (x ) =2 -2 2 1+ tan 2 x 22t ，当t = 0时， f (0) = 0，当t ≠ 0时， f (x ) = 22 1+ 3t 21 + 3t t分 母 是 对 勾 函 数 ， 应 用 对 勾 函 数 的 相 关 性 质 ， 1+ 3t ∈ (-∞ ，- 2 3 ⎤ ⋃ ⎡2 3 ，+ ∞ )可 得 值 域f (x ) ∈[- t⎦ ⎣ 3 ， 3] . 方法二：斜率法（数形结合法再讲） 3 3x 2 +1 1cos 2θ sin θ- cos θ )| 2cos θ+ 2 3 sin θ+ 11|7 77 7 y 2 1 2， ⎨ ⎩2 2 利哥在这里提一下 2019 全国 1 卷参数方程题第一问⎧ 1 - t 2x = ，⎪ 1 + t 2 （2019•全国Ⅰ卷文理第 22 题）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1 + t 2 (t 为参数）．以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．⎧ 1 - t 2⎧ 1 - t 2x = ，⎪ 1 + t 2 ⎪x = 1 + t2 y 2解：平方消元法：由 ⎨ ⎪ y = 4t (t 为参数），得 ⎨ ⎪ = 2t ，两式平方相加，得 x 2 + = 1，41- t 2 ⎪⎩ 1 + t 2 2 ⎪⎩ 2 1 + t 2y 2 注意 x = = -1+ ∈ (-1，1]，∴ C 的直角坐标方程为 x 2+ = 1(-1 < x ≤ 1) ，1+ t 2 1+ t 24 由 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ，得 2x + 3y + 11 = 0 ，即直线l 的直角坐标方程为得 2x + 3y + 11 = 0 ；常规法平方消元很多同学考试的时候花了一定时间才想到，甚至很多想不到的因此丢分了， 本题考哭了一堆考生，其实这里我们用万能公式就很好的解决.我们一起来看： ⎧ 1 - tan 2 α万能公式法： x = 1- t 2 = - + x = = cos 2α ∈ (-1，1] 令t = tan α，则 ⎪ 1 + tan α （α为参数），化 2y 21+ t 1+ t ⎪ y = ⎩ 4 tan α 1 + tan 2 α= 2sin 2α 简得 x += 1(-1 < x ≤ 1) .4（2）法一、设C 上的点 P (cos θ， 2sin θ)(θ≠ π) ，则 P 到直线得 2x + 3y + 11 = 0 的距离为：d == | 4sin(θ+ϕ) + 11|，∴当sin(θ+ϕ) = -1时， d 有最小值为．法二、设与直线 2x + 3y + 11 = 0 平行的直线方程为 2x +3y + m = 0 ，联立⎧⎪2x + 3y + m = 0，得16x 2 + 4mx + m 2 -12 = 0 ．由△ = 16m 2 - 64(m 2 -12) = 0 ，得 m = ±4 ． ⎨⎪4x 2 + y 2- 4 = 0 ∴当 m = 4 时，直线 2x +3y + 4 = 0 与曲线C 的切点到直线 2x +3y + 11 = 0 的距离最小，为 | 11 - 4 |= ． 22+ 3⎪1- x - x 2- 2x + 3 2 1+ x 2⎥4 2 ⎦类型四：双换元法例 6：求 f (x ) = + 的值域分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉.有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分 子分母有理化.本题介绍两种解法.解一平方法： f 2(x ) = 1- x + x + 3 + 2 = 4 + 21- x ≥ 0, x + 3 ≥ 0 ⇒ -3 ≤ x ≤ 1，本题实求二次函数求范围， 0 ≤ - x 2 - 2x + 3 ≤ 4 ，∴ f 2 (x ) ∈[4 ，8] ，∴ f (x ) ∈[2 ，2 2].解二双换元法：令 m = 1- x ，n = x + 3 ， -3 ≤ x ≤ 1 ，∴0 ≤ m ≤ 2 ，0 ≤ n ≤ 2 ，则 m 2 + n 2= 1- x + x + 3 = 4，本题等价于：已知 m 2 + n 2= 4 ，求 f (x ) = m + n⎛ m ⎫2 ⎛ n ⎫2m ⎡ θ⎤ 接下来进行三角换元， m 2 + n 2 = 4 ⇔ ⎪ + ⎪ = 1 ，令 = sin θ，θ∈ ⎢0 ， ⎥ ，⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 2 ⎣ 2 ⎦令 n = cos θ，θ∈ ⎡0 θ⎤ ，则 f (x ) = m + n = 2 (sin θ+ cos θ)= 2 2 sin ⎛π ⎫2⎢⎣ ， +θ⎪ ⎝ ⎭θ∈ ⎡0 θ⎤π ⎡π3π⎤，∴sin⎛ π+θ⎫ ∈ ⎡1⎤ ，∴ 2 2 sin ⎛π+θ⎫∈ ⎡2 ，2 2 ⎤⎢ ， ⎥ ，∴θ+ ∈ ⎢ ， ⎥⎪ ⎢ ，⎥ ⎪ ⎣ ⎦ .⎣ 2 ⎦ 4 ⎣ 4 4 ⎦⎝ 4⎭ ⎣ 2 ⎦⎝ 4⎭ 注意：若本题改为 f (x ) = + 则用单调性即可解决. f (x ) ≥ f (-1) = .现学现卖：求 f (x ) = 3 + x + 5 - x 的值域.解一平方法： f 2(x ) = x + 3 + 5 - x + 2(x + 3 )(5 - x ) = 8 + 23 + x ≥ 0, 5 - x ≥ 0 ⇒ -3 ≤ x ≤ 5 ，本题实求二次函数求范围，0 ≤ - x 2+2x +15 ≤ 16 ，∴ f 2 (x ) ∈[8 ，16] ，∴ f (x ) ∈[2 2 ，4].解二双换元法：令 m = 3 + x ，n = ， -3 ≤ x ≤ 5 ，∴0 ≤ m ≤ 2 2 ，0 ≤ n ≤ 2 ，则 m 2 + n 2 = 3 + x + 5 - x = 8 ，本题等价于：已知 m 2 + n 2= 8 ，求 f (x ) = m + nx + 3 - x 2- 2x + 3x + 3 -x 2 + 2x +155 - x 2 ，2 2 b - x x - a 1- x3 + x ⎥4 ) ⎛ m ⎫2 ⎛ n ⎫2m ⎡ θ⎤ 接下来进行三角换元， m 2 + n 2 = 8 ⇔ ⎪ +⎪ = 1，令 = sin θ，θ∈ ⎢0 ， ⎥ ， ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭令 n = cos θ，θ∈ ⎡0 θ⎤ ，则 f (x ) = m + n = 2 2 (sin θ+ cos θ)= 4 sin ⎛π⎣ 2 ⎦ ⎫ ，⎣2 ⎦ +θ⎪ ⎝ ⎭θ∈ ⎡0 θ⎤π ⎡π3π⎤ ，∴sin ⎛ π+θ⎫ ∈ ⎡1⎤ ， 4 sin ⎛π+θ⎫ ∈ ⎡2，4⎤ ⎢ ， ⎥ ，∴θ+ ∈ ⎢ ， ⎥⎪ ⎢ ，⎥⎪ ⎣ ⎦ . ⎣ 2 ⎦ 4 ⎣ 4 4 ⎦⎝ 4⎭ ⎣ 2 ⎦ ⎝ 4 ⎭此类题型秒杀秘籍（第三本秒杀书籍正在创作）：求函数 f (x ) = + （ x ∈[a ,b ] ，a <b ）的值域.解：首先，当 x ∈[a ,b ] 时， f (x ) ≥ 0 ；其次， f (x ) 是函数 f 1 (x ) = 与 f 2 (x ) = 的和；最后，f 2(x ) = b - a + b - a + 2 可见，函数 f (x ) 满足了采用“平方开方法”的 三 个 特 征 . 于 是 ， 对 f (x ) 平 方 、 开 方 得 f (x ) （ x ∈[a ,b ] ） 这 里 ，g (x ) = 2 x ∈[a ,b ] ）.对 g (x ) 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得 g (x ) 的值域为[0, b - a ] .于是， f (x ) 的值域为[ b - a , 2(b - a )] .此题可以考虑三角换元，利用平方和为常数，由于(b - x )2 + (x - a )2= b - a ，故令= b - a cos α，= b - a sin α (0 ≤ α≤ π 2， f (x ) = 2(b - a ) sin(α+ π∈[ 4b - a , 2(b - a ) ] .现在，我们再来看例题 6 和现学现卖，是不是觉得 so easy ！例 6：求 f (x ) = + 的值域解： -3 ≤ x ≤ 1，x ∈[a ,b ] ，∴ a = -3，b = 1，由 f (x ) 的值域为[ b - a , 2(b - a )] 直接得 f (x ) ∈[2 ，2 2] .现学现卖：求 f (x ) = + 的值域.解： -3 ≤ x ≤ 5 ，x ∈[a ,b ] ，∴ a = -3，b = 5 ，由 f (x ) 的值域为[ b - a , 2(b - a )] 直接得 f (x ) ∈[2 2 ，4] .2 2 2 2b - x x - a (b - x )(x - a ) -x 2 + (a + b )x - ab b - a + 2 -x 2 + (a + b )x - ab -x 2 + (a + b )x - ab b - x x - ax + 3 5 - x ， ) ⎢1 ， ⎥ 类型五：换元成对勾函数例 1：求 f (x ) = 12x + 2- x的值域解： f (x ) = 1 2x + 2- x = 1 2x + 1 2x，t = 2x ，t > 0 ，原式变为 1 t + 1 t，因为t + ≥ 2 ，所以 t 1 [2 ，+∞) ∈ ⎛ 0 ⎝ 1 ⎤ . 2 ⎦ 现学现卖：求 f (x ) = 4e x + e - x + 2的值域解： f (x ) =14 = e x + e - x + 2 4 e x + 1 e x 4 ， 令 t = e x ，t > 0 ， 原式变为 4 + 2 t + 1 + 2t ， 因为 t + 1 ≥ 2 ， 所以 t t + + 2 ∈ [4 ，+ ∞ )，则 t [4 ，+∞) ∈ (0 ，1].例 2：求 f (x ) =(1- x )22 + x(x > 0)的值域(1- x )2 (x + 2 )2 - 6 (x + 2 )+ 99解： f (x ) === (x + 2)+ - 6≥ 0x + 2 x + 2x + 2注意：若定义域改为 x ∈ (0 ，1)，则需用对勾函数，令t = x + 2 (t ∈ (2 ，3))， t + 9- 6 在(2 ，3)递减，所t以 f (x )∈ ⎛ 0 ⎝1 ⎫， ⎪ .2 ⎭现学现卖：求 f (x ) = 2x 2x +1的值域2x 22 (x +1)2- 4 (x +1)+ 2 2解：定义域 x ≠ -1， f (x ) = = = 2 (x + 1)+ - 4 ，令t = x + 1(t ≠ 0)，x +1 x +1 x +1原式变为 2 ⎛ t + 1⎫ - 4 ，由于t + 1 ∈ (-∞ ，- 2]⋃ [2 ，+∞ )，故 2 ⎛ t + 1⎫- 4 ∈ (-∞ ，- 8]⋃ [0，+∞ ).t ⎪ t t ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭现学现卖：求 f (x )= x 2x -1的值域x2(x-1)2+2(x-1)+1 1解：定义域x ≠1，f (x )===(x - 1)+ + 2 ，令x -1 =t (t ≠ 0)，x -1 x -1 x -1原式变为t+1+2，由于t+1∈(-∞，-2]⋃[2，+∞)，故t+1+2∈(-∞，0]⋃[4，+∞). t t t。

函数值域求法十五种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

当然可以，以下是一个使用换元法求函数值域的例题，用1500字回答：题目：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的值域。

解答：首先，我们观察函数f(x)的形式，发现它具有形式$f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$，其中a为待定参数。

由于$f(x)$中含有一个常数项，我们可以利用换元法将其分离出常数项，从而得到一个更易于求解的值域问题。

步骤如下：1. 将原函数中的常数项分离出来，得到$f(x) = x(x-3)(x-1) + 1$。

2. 令$t = x-3$，则原函数变为$g(t) = t(t+1)(t-1) + 1$。

3. 由于$g(t)$中只含有一次项和二次项，因此可以利用求导的方法求出其极值点，从而得到值域。

具体步骤如下：1. 求导：$g^{\prime}(t) = 0 \Rightarrow t = - 1$或$t = 1$。

2. 当$t < - 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减；当$- 1 < t < 1$时，$g^{\prime}(t) > 0$，函数单调递增；当$t > 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减。

3. 极值点处的函数值为极值点。

在上面的步骤中，我们需要对每个情况进行讨论，找到合适的极值点处的函数值，并将其代入原函数的定义域中，求得最终的值域。

由于上述方法涉及到较复杂的讨论和推导过程，下面我们用具体数值来求解这个例子。

具体数值解法：假设定义域为$x \in [0,4]$，将原函数变形为：$f(x) = (x-3)^3 - (x-3) + 4$。

此时定义域变为[0,4]，可得到值域如下：当x=4时，ymin=7当x=0时，ymax=26所以函数的值域为[7,26]。

方法总结：换元法是一种常用的求函数值域的方法。

通过将原函数中的某个变量看作一个整体，利用另一个变量来替换原函数中的变量，从而将原函数转化为一个更易于求解的形式。