初高中衔接典津——初稿

初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。

目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2乘法公式1.1.3 二次根式1.1. ４分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法2.3.2一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2几种特殊的三角形3．3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2圆幂定理及其应用1.1 数与式的运算1.１ .1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a ,a0,| a |0,a0,a , a0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．例 1 解不等式：x 1 x3＞4．解法一：由 x 10 ，得 x 1 ；由 x30 ，得 x 3 ；①若 x 1 ，不等式可变为( x1) ( x3) 4 ，即 2 x 4 ＞4，解得x＜0，又x＜ 1，∴ x＜0；②若 1 x 2 ，不等式可变为( x 1) ( x 3) 4 ，即1＞4，∴不存在满足条件的 x；③若 x 3 ，不等式可变为( x 1) ( x 3) 4 ，即2 x 4 ＞4，解得x＞4．又x≥3，∴ x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜ 0，或 x＞4．解法二：如图 1.1－1，x 1 表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离 |PA|，即|PA|＝ |x－ 1|；|x－3|表示x 轴上点 P 到坐标为 3 的点 B 之间的距离|x－ 3||PB|，即 |PB|＝|x－ 3|．P C A B D所以，不等式 x 1 x 3x0134x ＞4 的几何意义即为|x－ 1|图 1.1－ 1|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝ 2，可知点P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧．x＜ 0，或 x＞4．练习1．填空：（ 1）若x 5 ，则x=_________；若 x 4 ，则x=_________．（ 2）如果a b 5 ，且 a 1 ，则b＝________；若 1 c 2 ，则c＝________．2．选择题：下列叙述正确的是（A）若a b ，则 a b （C）若a b ，则a b （B）若（D）若（）a b ，则 a ba b ，则 a b3．化简： |x－5|－ |2x－13|（x＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式( a b)( a b ) a 2 b 2；（2）完全平方公式( a222 b )a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（2）立方差公式（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式( a2a b233b ) (a b)a；b( a2a b233b ) ( a b)a；b2222；( a b c)a b c 2 ( a b b c ) a c ( a b )3a3 3 a2 b 3 a 2b ；b( a3322．bb )a 3 a b 3 a b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：( x1)( x1)( x2x1)( x21) ．x解法一：原式 = ( x21)( x 21) 2x 2= ( x24x21)1)( x= x6 1 ．解法二：原式 = ( x1)( x22x1)x1)( x 1)( x= ( x331)1)( x= x6 1 ．例 2 已知a b c4， ab bc ac 4 ，求a2b2c2的值．解： a 2 b 2 c 2(a b c )22( ab bc ac ) 8 ．练习1．填空：（1）1a2 1 b2(1b1a ) （）；9423（2）(4 m) 216 m 2 4 m () ；2222() ．(3 ) ( a 2 b c)a4b c2．选择题：（ 1）若x21mx k 是一个完全平方式，则k等于（）2（A）m2（B）1m2（C）1m2（D）1m2 4316（ 2）不论a，b为何实数，a2 b 2 2 a4b8的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如 a ( a 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式 . 例如3a a2b 2b ， a2b2 等是无理式，而 2 x 22x 1 ， x2 2 xy y 2， a 2等是有理式．21．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2 与2 ，3 a 与 a ，3 6 与3 6 ， 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等．一般地， a x 与x ，a x b y 与 a x b y ，a x b 与 a x b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 a b ab (a0, b0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式 a 2的意义2a, a 0,a aa , a 0.例1将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）2；（）60)．a b ( a 0) 4 x y ( x12 b3解：（1）（2）12 b 2 3b ；2a b a b a b ( a0) ；（3）63y3y ( x 0) ．4 x y 2 x 2 x例 2计算：3(3 3 ) ．解法一：3( 33)3＝33＝3(3 3 )(3 3 )(3 3 )333＝39＝ 3(31)6＝3 1．2解法二： 3 ( 3 3 )3＝3 33＝3( 31)1＝3 1＝3 1( 3 1)( 31)＝3 1．2例3 试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110 ；（2）2和2 2－ 6.64解：（ 1）∵12111211( 1211)(1211)1，1121112111 1 1 0 1 1 1 0( 1 1 1 0)( 11 1 0)，1111 1 0 1 1 1 0又12111110，∴1211＜1110．（2）∵22－622－6(22－ 6 )(2 2 + 6 )2,1 2 + 2 +2626又 4＞22，∴ 6＋4＞ 6＋22，∴2＜ 22－ 6 .64例 4化简：( 3 2 )2004(3 2 )2005．解： (3 2 )2004(3 2 ) 2005＝ (3 2 )2004(3 2 ) 2004(3 2 )＝ ( 320042)(3 2 )( 3 2 )＝12004(3 2 )＝ 3 2 ．例 5化简：（1）94 5 ；（2）x21 2 (0x1) ．x 2解：（1）原式5454222522( 5 )(22 5 )255 2 ．（2）原式 =( x1)2x1，x x∵ 0 x 1 ，1∴ 1 x ，1所以，原式＝x ．x例 6 已知x32, y32，求 3 x 2 5 xy 3 y 2的值．3232解：∵ x3232(32)22，y( 32)103232xy 3232，1 3232∴ 3 x223( x211 xy3102．5 xy 3 y y )11 289练习1．填空：（1）13＝ _____；13（ 2）若(5x )( x3) 2( x3)5x ，则x的取值范围是_ ____；（3）424 6 54 3 962150_____；（ 4）若x5x1x1x1x1__．，则______2x1x1x1x12．选择题：等式x x成立的条件是（）x2x2（ A）x 2（B）x0（ C）x 2（ D）0 x 23．若b a 211 a 2，求 a b 的值．a14．比较大小： 2－ 35－ 4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４分式1．分式的意义形如A的式子，若 B 中含有字母，且B0 ，则称AB B为分式．当 M≠0时，分式A具有下列性质：BA A MB BMAA MB B M；．上述性质被称为 分式的基本性质 ．2．繁分式a像 b，mn p这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．cd2 mnp例 1 若 5 x4 A B ，求常数 A , B 的值．x ( x2) xx2解：∵AB A ( x 2) Bx( A B ) x 2 A5 x 4 ，x x2 x ( x 2) x( x 2)x ( x 2)∴ A B 5,2 A 4,解得A2 ,B．3例 2 （ 1）试证：（2）计算：11 1（其中 n 是正整数）；n (n1)n n 1111 122 39；10（3）证明：对任意大于 1 的正整数 n ，有11 11 ．2 33 4n ( n 1)2（1）证明： ∵ 11 ( n 1) n 1，nn 1 n (n 1)n( n 1)∴11 1 n( n 1)nn 1（其中 n 是正整数）成立．（2）解：由（ 1）可知1 1 112 2 391 0 ( 11 )1 1 1 12( )( )2391 011 ＝ 9 ．10 1 0（3）证明： ∵11 12 33 4n ( n 1)＝ (1 1 11 1 12 )( ) ( )33 4nn 1＝11，2 n1又 n ≥2，且 n 是正整数，1∴n ＋1 一定为正数，1 1 11∴2334n ( n 1)＜ 2 ．例 3 设 ec，且 ＞ ，2c 2－ 5ac ＋ 2a 2＝0，求 e 的值．e 1a222解：在 2c －5ac ＋2a ＝0 两边同除以 a ，得∴ (2e － 1)(e －2)＝0，1∴ e ＝ 2 ＜1，舍去；或 e ＝ 2．∴ e ＝ 2．练 习1．填空题：对任意的正整数 n ，11 1n (n2)()；nn 22．选择题：若 2 xy 2 ，则 x ＝（）xy3y（A ）１（B ）5（C ）4（D ）645 53．正数 x , y 满足 x 2y22 xy ，求xy的值．xy4．计算12 13 1 ...99 1 ．1 23 4100习题 1.1 A 组1．解不等式：(1)(3)x 1 3 ； (2) x 3 x 2 7 ；x1x 16 ．2．已知 x y1 ，求 x 3y 3 3 xy 的值．3．填空：(1) (23 )18(23 ) 19＝________；(2)若 (1a )2(1 a )22 ，则 a 的取值范围是 ________；11111 (3)________．1 2 2 3 3 4 4 556B 组1．选择题：（ 1）若a b 2 abba ， 则（）（ A ） a b（B ） ab（ C ） a b0（ D ） b a 0（ 2）计算 a1 等于（）a（A ）a（B ） a（ C ）a（D ）a2．填空：112ab3 a________；（ 1） a， b，则25 ab 2233 a 2b（ 2） 若 x2xy2 y20 ，则x23 xyy2____；x 22y3．已知： x11求yy 的值．, y，23 x yxy4．解方程5．计算：213( x12( x2))10．xx 11 1 1．1 32 43 59 111.2 分解因式因式分解的主要方法有： 十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1 分解因式：（ 1） x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x － 12；（3） x 2(a b ) xyaby 2；（4） xy 1 x y ．解：（1）如图 － ，将二次项x 2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 21.2 1分解成－ 1 与－ 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－ 3x ，就是 x2－ 3x ＋2 中的一次项，所以，有x 2－ 3x ＋ 2＝(x －1)(x － 2)．x－ 1 1 － 1 1 － 2x － ay x－ 21－ 216x－ by图 1.2－ 1 图 1.2－ 2 图 1.2－ 3图 1.2－ 4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2－1 中的两个 x 用 1 来表示（如图 1.2－2 所示）．（2）由图 1.2－3，得x 2＋ 4x －12＝ (x －2)(x ＋ 6)．（3）由图 1.2－4，得22＝ ( x ay )( x by )x－ 1x (a b ) xy abyy1（4） xy1 xy ＝ xy ＋(x －y)－ 1图 1.2－ 5＝ (x －1) (y+1) （如图 1.2－5 所示）．2．提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1） x 39 3 x 23 x ； （2） 2 x 2xy y24 x5 y6 ．解： （1） x 39 3 x 23 x = ( x 33x 2) (3 x 9) = x 2( x 3) 3( x 3)= ( x23) ．3)( x或x 39 3 x2 3 x ＝ ( x 3 3 x 2 3 x 1) 8 ＝ ( x 1) 383 3＝( x 1)2＝ [( x1)2][( x 1) 2( x1)2 2 2 ]＝ ( x3)(x 23) ．2xy 24 x5 y 6=2( y 4) x y2（2）2 x y 2 x 5 y 62( y4) x( y2)( y3) = (2 x y2)( x y 3) ．=2 x或2 x 2xy y 2 4 x 5 y 6 = (2 x 2xy y 2 ) (4 x 5 y ) 6=(2 x y)( x y )(4 x 5 y )6=(2 x y 2)( x y 3) ．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于 x 的方程ax2c0( a 0)的两个实数根是 x1、 x2，则二次三项式bx2c( a 0) 就可分解为 a ( x x1 )( x x2 ) ．axbx例 3把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）x2 2 x 1 ；（ 2）x2 4 xy 4 y 2．解：（1）令x2 2 x 1=0，则解得x11 2 ， x21 2 ，∴ x 2 2 x 1 = x ( 1 2 )x ( 1 2 )= ( x 1 2 )( x 1 2 ) ．（ 2）令x2 4 xy 4 y 2=0，则解得x1(2 2 2 ) y ， x1( 2 2 2 ) y ，∴ x2 4 xy 4 y2 = [ x2(1 2 ) y ][x2(1 2 ) y] ．练习1．选择题：多项式 2 x2xy15 y 2 的一个因式为（）（A ）2 x 5 y（B）x 3 y（C）x 3 y（D）x 5 y2．分解因式：（ 1） x 2 ＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（ 3） x 2－2x －1；（4） 4( xy 1) y ( y2 x ) ．习题 1.21．分解因式：（1） a 3 1 ； （2） 4 x 4 13 x29 ；（3） b 2c22 ab 2 ac 2bc ；（ 4） 3 x 25 xy 2 y2x 9 y 4 ．2．在实数范围内因式分解：（1）（3）x 2 5 x 3 ；（2） x 2 2 2 x3 ；3 x 24 xyy 2；（4） ( x 22 x )27( x22 x ) 12 ．3． ABC 三边 a , b , c 满足 a 2b 2c2ab bcca ，试判定 ABC 的形状．4．分解因式： x 2 ＋x －(a 2－a)．2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋ c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为) 2b 2( xb 4 ac ． ①2 a4 a 2因为 a ≠0，所以， 4a 2＞0．于是（1）当 b 2－4ac ＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1,2＝bb 24 ac ；2 a（2）当 b 2－4ac ＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝ x 2＝－ b；2 a（3）当 b 2－ 4ac ＜ 0 时，方程①的右端是一个负数， 而方程①的左边 ( xb) 22 a一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由 b 2－ 4ac 来判定，我们把 b 2－4ac 叫做一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式 ，通常用符号 “Δ”来表示．2综上所述， 对于一元二次方程 ax ＋bx ＋ c ＝ 0（ a ≠0），有x 1,2＝b2b 4 ac ；2 a（2）当 ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根x 1 ＝x 2＝－b；2 a（3）当 ＜ 0 时，方程没有实数根．例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中数根，写出方程的实数根．a 为常数），如果方程有实（1）x 2－ 3x ＋3＝0；2（3） x －ax ＋ (a －1)＝ 0；（2）x 2－ ax －1＝0；（4）x 2－ 2x ＋a ＝0．解：（1）∵ ＝ 32－4×1×3＝－ 3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式＝ a 2－4×1×(－ 1)＝a 2＋ 4＞ 0，所以方程一定有两个不等的实数根aa 24 aa24x 12，x 22．（3）由于该方程的根的判别式为＝ a 2－4×1×(a －1)＝ a 2－4a ＋ 4＝ (a －2)2，所以，①当 a ＝ 2 时， ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝ x 2＝1；②当 a ≠2时， ＞ 0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1 ＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为＝22－ ××＝ － ＝－ a) ，4 1 a 4 4a4(1所以①当－＞0，即 4(1 a) ＞ 0，即 a ＜1 时，方程有两个不相等的实数根x 1 1 1 a ， x 2 1 1 a ；②当 ＝0，即 a ＝ 1 时，方程有两个相等的实数根1＝x 2＝1；x③当＜0，即 a ＞1 时，方程没有实数根．说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类 讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法， 在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2若一元二次方程 ax ＋ bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根22x 1bb 4 ac， x 2bb 4 ac ，2a2 a则有x 1bb24 acbb24 ac2b b ；x 22a2 a2 aax 1 x 2bb 24acbb 24 ac b 2( b 24 ac )4 acc ．2 a2a 4a 2 4 a 2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax 2＋ bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1， x 2，那么 x 1＋x 2＝ b，x 1·x 2a＝ c．这一关系也被称为 韦达定理 ．a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0，若 x 1，x 2 是其两根，由韦达定理可知x 1 ＋x 2＝－ p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－ (x 1＋x 2)， q ＝ x 1·x 2，所以，方程 x 2＋px ＋ q ＝0 可化为 x 2－ (x 1＋x 2)x ＋ x 1 ·x 2＝0，由于 x 1， x 2 是一元二次方程 x 2＋ px ＋q ＝0 的两根，所以， x 1，x 2 也是一元二次方程 x 2－(x 1＋ x 2)x＋ x 1 ·x 2＝0．因此有以两个数 x 1， x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋ x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例 2 已知方程 5 x 2 kx 60 的一个根是 ，求它的另一个根及 k 的值．2分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项， 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值．解法一： ∵ 2 是方程的一个根，∴ 5×22＋ k ×2－ 6＝ 0，∴ k ＝－ 7．所以，方程就为 5x 2－7x －6＝0，解得 x 1 ＝2，x 2＝－ 3．5所以，方程的另一个根为－3，k 的值为－ 7．5解法二： 设方程的另一个根为 x 1，则2x 1＝－ 6，∴ x 13 ．55由（－3）＋ 2＝－ k，得 k ＝－ 7．553 所以，方程的另一个根为－5，k 的值为－ 7．例 3 已知关于 x 的方程 x 2＋ 2(m －2)x ＋m 2＋ 4＝ 0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设 x 1， x 2 是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋ x 2＝－ 2(m － 2)，x 1 ·x 2＝ m 2＋4．2 2∵ x 1 ＋x 2 －x 1·x 2＝ 21，∴ (x 1＋ x 2 )2－3 x 1·x 2＝ 21，即 [ －2(m －2)] 2－ 3(m 2＋4)＝ 21，化简，得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－ 1，或 m ＝17．当 m ＝－ 1 时，方程为 x 2＋6x ＋5＝0， ＞0，满足题意；当 m ＝ 17 时，方程为 x 2＋ 30x ＋293＝0， ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上， m ＝－ 1．说明：（1）在本题的解题过程中， 也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可．（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例 4 已知两个数的和为 4，积为－ 12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为 x ，y ，利用二元方程求解出这两个数． 也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一： 设这两个数分别是 x ，y ，则 x ＋y ＝4，①xy ＝－ 12．②由①，得y ＝4－x ，代入②，得x(4－x)＝－ 12，2即x －4x －12＝0，x 12, x 26, ∴或y 1 6,y 22.因此，这两个数是－ 2 和 6．解法二： 由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－ 4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1 ＝－ 2，x 2＝ 6．所以，这两个数是－ 2 和 6．说明：从上面的两种解法我们不难发现， 解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例 5 若 x 1 和 x 2 分别是一元二次方程 2x 2＋5x － 3＝ 0 的两根．（1）求 | x 1－x 2|的值；（2）求121 2的值；x x21（3）x 13＋x 23． 1 和 x 2 分别是一元二次方程2x 2＋ 5x －3＝0 的两根，解： ∵ x∴ x 1 x 25， x 1 x 23 ．22（ ）∵1－x 2 2 22 2 －2 x 1 2＝ (x 1＋ x 2 2523＝x 1) － 4 x 1 2＝1| x|+ xxx(2 )4 ()2＝25＋6＝49 ，44∴ | x 1－ x 2 |＝ 7．2（2）1 1 x 12x 22( x 1x 2 )22 x 1 x 2( 5 ) 2 2 ( 3 ) 25 3 37． 222222 3 2 2 49x 1x 2x 1x 2( x 1 x 2 )( 9) 42（ ） 13＋ x 23＝(x 1＋x 2 12－x 1 2＋ x 22＝ 1＋x 2 1 ＋x 2 )2－3x 1 23 x)( x x ) (x )[ ( x x ]＝ － 5 × － 5 )2－3×( 3 ＝－ 215 ．( 2 ) [( 2 )] 82说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x 1 和 x 2 分别是一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则bb24ac bb24acx 12 a ， x 22 a，∴| x 1－ x 2 ＝bb 24acbb 24 ac2 b24ac|2 a2 a2 ab24 a c ．| a |a||于是有下面的结论：若 x 1 和 x 2 分别是一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－ x 2 ＝（其| | a |中 ＝b 2－ 4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论．例 6 若关于 x 的一元二次方程 x 2－ x ＋a －4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围．解：设 x 1， x 2 是方程的两根，则x 1 x 2 ＝a －4＜0，①且 ＝(－ 1)2－ 4(a － 4)＞0．②由①得a ＜4，17由②得a ＜ 4 ．∴ a 的取值范围是 a ＜ 4．练 习1．选择题：（ 1）方程 x 22 3kx 3k 2的根的情况是（）（A ）有一个实数根（ B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根（ D ）没有实数根（ 2）若关于 x 的方程 mx 2＋(2m ＋ 1)x ＋ m ＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是（）（A ） m ＜1（B ）m ＞－ 4（C ）m ＜ 1，且 m ≠0（D ）m ＞－41 41 4 ，且 m ≠02．填空 :（1）若方程x2－ 3x －1＝0 的两根分别是x 1 和 x 2，则11＝． x 1x 2（2）方程 mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是（3）以－ 3 和 1 为根的一元二次方程是．．3．已知a 2 8 a 16| b1 |0 ，当k 取何值时，方程kx 2＋ ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x － 1＝ 0 的两根为x 1 和 x 2，求 (x 1－ 3)( x 2－ 3)的值．习题 2.1 A 组1．选择题 :（ 1）已知关于 x 的方程 x 2＋ kx －2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A ）－ 3（B ）3（C ）－ 2（D ）2（ 2）下列四个说法：①方程 x 2＋2x －7＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为－ 7； ②方程 x 2－2x ＋7＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为 7； ③方程 3 x 2－7＝0 的两根之和为 0，两根之积为7 ；3④方程 3 x 2＋2x ＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为 0．其中正确说法的个数是（ ）（A ）1 个（B ）2 个（C ）3 个 （D ）4 个（ 3）关于 x 的一元二次方程 ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0 的一个根是 0，则 a 的值是（）（A ）0（B ）1（C ）－ 1（D ）0，或－ 12．填空 :（ 1）方程 kx 2＋4x －1＝0 的两根之和为－ 2，则 k ＝．222．（ 2）方程 2x － x －4＝0 的两根为 α，β，则 α＋β＝（ 3）已知关于 x 的方程 x 2－ ax －3a ＝ 0 的一个根是－ 2，则它的另一个根是．（ 4）方程 2x 2＋ 2x －1＝0 的两根为 x 1 和 x 2，则 | x 1－x 2＝ ．|3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m 2 x 2－(2m ＋1) x ＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x 2－7x － 1＝ 0 各根的相反数．B组1．选择题 :（ 1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x 2－ 8x ＋7＝0 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A ） 3（B ）3（C ）6（D ）9（ 2）若 x 1，x 2 是方程 2x2x 1x 2的值为（）－4x ＋1＝0的两个根，则x 2 x 1（A ）6（B ）4（ C ）3（D ）32（ 3）如果关于 x 的方程 x 2－2(1－ m)x ＋m 2＝ 0 有两实数根 α，β，则 α＋ β的取值范围为（ ）1 1（C ）α＋β≥ 1 （ D ）α＋β≤ 1（ A ） α＋ β≥（B ）α＋β≤22（ 4）已知 a ，b ，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx 2＋(a ＋b)x ＋ c＝0 的根的情4况是（）（ A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根 （ C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根（ 5）若关于 x 的方程 x 2＋ (k 2－ 1) x ＋k ＋1＝ 0 的两根互为相反数，则 k 的值为（）（A ）1，或－ 12．填空 :（ 1）若 m ，n 是方程（B ）1（C ）－ 1 （D ）0222x ＋2005x － 1＝ 0 的两个实数根，则 m n ＋ mn －mn 的值等于．（ 2）如果a ， b是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋ b 3 的值是．3．已知关于x 的方程 x 2－kx － 2＝ 0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x 1 和 x 2，如果 2(x 1＋x 2)＞ x 1x 2，求实数 k 的取值范围．4．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1和 x2．求：（1）| x1－ x2和x1x2 ；|2（2）x13＋ x23．．关于x 的方程 x 2＋4x＋m＝0 的两根为 x1，x2满足 | x1－ x2＝，求实数m的值．5| 26．已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程4kx2－ 4kx＋ k＋ 1＝ 0 的两个实数根．（ 1）是否存在实数 k，使 (2x1－x2)( x 1－2 x2 ＝－3成立？若存在，求出 k 的)2值；若不存在，说明理由；（2）求使x1x2－2 的值为整数的实数 k 的整数值；x2x1（3）若 k＝－ 2，x1，试求的值．x 27．若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、另一根小于 1，求实数 a 的取值范围．2．2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题 1函数 y＝ax 2与 y＝ x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝ 2x 2，y＝1x2，y＝－ 2x2的图象，通2过这些函数图象与函数y＝ x 2的图象之间的关系，推导出函数y＝ ax2与 y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数 y＝x2， y＝ 2x2的图象．先列表：x⋯－3－2－10123⋯x2⋯9410149⋯2x2⋯188202818从表中不难看出， 要得到 2x 2的值，只要把相应y22的 x 2的值扩大两倍就可以了．y ＝ 2xy ＝ x再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1 所示），从图 2－1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝ 2x 2的图象可以由函数 y ＝ x 2的图象各点的纵坐标变为原来 O x的两倍得到．图 2.2-1y同学们也可以用类似于上面的方法画出函数1 2 22的图象之间的关 ＝ x ，y ＝－ 2x 的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x2系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y ＝ax 2≠ 的图象可以由 ＝ 2 的图(a 0) y xy象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数y ＝ 2(x ＋ 1)2＋ 1y ＝ ax 2(a ≠ 0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方 y ＝ 2(x ＋ 1)2向和在同一个坐标系中的开口的大小．y ＝2x2问题 2 函数 y ＝a(x ＋h)2＋k 与 y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出 －1O x函数 y ＝2(x ＋1)2＋1 与 y ＝2x 2的图象（如图 2－2 所图 2.2-2示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2y ＝ 2(x ＋2x 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有 “形状相同，位置不同 ”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－ 3x 2，y ＝－ 3(x －1)2＋1 的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移， h 负右移 ”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且 “k 正上移， k 负下移 ”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c(a ≠0)的图象的方法：由于 y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋ bx )＋c ＝a(x 2＋b2 2x ＋b2)＋c －baa4 a4 ab 2 4 ac b2= a( x )4a2 a所以， y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象可以看作是将函数 y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ ax 2＋ bx ＋c(a ≠0)具有下列性质：（ 1）当 a ＞ 0 时，函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 图象开口向上；顶点坐标为b 4 ac b2b(,) ，对称轴为直线 x ＝－2 a4a2 a；当 x ＜b 时， y 随着 x 的增大而减2 a小；当 x ＞4ac b 2．4 ab2a时， y 随着 x 的增大而增大；当 x ＝b时，函数取最小值 y ＝2 a（ 2）当 a ＜ 0 时，函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 图象开口向下；顶点坐标为b 4 ac b 2b(,) ，对称轴为直线 x ＝－2 a 4a2 a；当 x ＜b 时， y 随着 x 的增大而增2 a大；当 x ＞b时， y 随着 x 的增大而减小；当 x ＝b时，函数取最大值 y ＝2a2 a24ac b ．4 a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2－ 3 和图 2.2－ 4 直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时， 可以借助于函数图像、 利用数形结合的思想方法来解决问题．yyb 24 ac bbA (,)x ＝－2 a4 a2aOxOxA (b 4 ac b 2b ,)x ＝－2 a4 a2 a图 2.2-3图 2.2-4例 1 求二次函数 y ＝ － 3x 2－ 6x ＋1 图象的开口方A(－ 1,4)y向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．D (0,1)解： ∵ y ＝－ 3x 2－ 6x ＋1＝－ 3(x ＋ 1)2＋4，B x∴函数图象的开口向下；CO对称轴是直线 x ＝－ 1； x ＝－ 1顶点坐标为 (－1，4)；图 2.2－ 5当 x ＝－ 1 时，函数 y 取最大值 y ＝ 4；当 x ＜－ 1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞－ 1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A( － 1， 4)) ，与 x 轴交于点 B (2 3 3 ,0) 和32 3 3 ，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 2.2－5 所C (3 , 0)示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例 2 把二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y ＝ x 2的图像，求 b ， c 的值．2b22＋bx ＋ c ＝(x+ )b，把它的图像向上平移 2 个单位，再解法一： y ＝ x 2 c4向左平移 4 个单位，得到 y ( xb 4) 2 cb 22 的图像，也就是函数 y ＝x 2的图24像，所以，b 4 0,2解得 b ＝－ 8，c ＝14．cb 2 02,4解法二： 把二次函数 y ＝ x 2＋bx ＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y ＝ x 2＋bx ＋ c 的图像．由于把二次函数 y ＝x 2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y ＝(x － 4)2＋ 2 的图像，即为 y ＝ x 2－8x ＋ 14 的图像，∴函数 y ＝ x 2－8x ＋14 与函数 y ＝x 2＋bx ＋ c 表示同一个函数，∴ b ＝－ 8，c ＝ 14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解， 具有计算量小的优点． 今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例 3 已知函数 y ＝x 2，－ 2≤x ≤a ，其中 a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（ 1）当 a ＝－ 2 时，函数 y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点 (－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x ＝－ 2；（2）当－ 2＜a ＜0 时，由图 2．2－ 6①可知，当 x ＝－ 2 时，函数取最大值 y＝ 4；当 x ＝a 时，函数取最小值 y ＝ a 2；（3）当 0≤a ＜2 时，由图 2．2－6②可知，当 x ＝－ 2 时，函数取最大值 y＝ 4；当 x ＝0 时，函数取最小值 y ＝ 0；（4）当 a ≥2时，由图 2．2－6③可知，当 x ＝a 时，函数取最大值 y ＝a 2；当 x ＝0 时，函数取最小值y ＝ 0．yyy442aa24a2－2aOx－2O a 2 x－2 O ax①②③图 2.2－ 6说明：在本例中，利用了分类讨论的方法， 对 a 的所有可能情形进行讨论． 此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练 习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（ A ） y ＝ 2x2（B ） y ＝2x 2－4x ＋ 2（ C ） y ＝ 2x 2－ 1（D ）y ＝2x 2－4x（2）函数 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 是将函数 y ＝2x2（ ）（ A ）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （ B ）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （ C ）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的（ D ）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2．填空题（1）二次函数 y ＝ 2x 2－ mx ＋n 图象的顶点坐标为 (1，－ 2)，则 m ＝ ，n＝ ．（ 2）已知二次函数 y ＝ x 2－ 2)x － ，当 ＝时，函数图象的顶点在+(m 2m my 轴上；当 m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当 m ＝时，函数图象经过原点．（ 3）函数 y ＝－ 3(x ＋2)2＋5 的图象的开口向，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x ＝时，函数取最值 y＝；当 x时， y 随着 x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随 x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝ x 2－2x － 3；（2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数 y ＝－ x 2－ 2x ＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－ 2；（2）x ≤2；（3）－ 2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式： y ＝ ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；2．顶点式： y ＝ a(x ＋ h)2＋ k (a ≠0)，其中顶点坐标是 (－h ，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c(a ≠0)的图象与 x 轴交点个数．当抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋ c(a ≠0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax 2＋bx ＋c ＝0．①并且方程①的解就是抛物线y ＝ ax 2＋ bx ＋c(a ≠0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式＝ b 2 －4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ ax 2＋ bx ＋c(a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式＝ b 2－ 4ac 存在下列关系：（1）当 ＞ 0 时，抛物线 y ＝ax 2＋ bx ＋c(a ≠0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)与 x 轴有两个交点，则 ＞ 0 也成立． 22顶点）；反过来，若抛物线 y ＝ax ＋bx ＋ c(a ≠0)与 x 轴有一个交点，则 ＝0 也成立．（3）当＜ 0 时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)与x 轴没有交点，则＜0 也成立．于是，若抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与 x 轴有两个交点 A(x 1，0)， B(x 2，0)，则 x 1，x 2 是方程 ax 2＋ bx ＋c ＝0 的两根，所以x 1＋x 2＝b ， 1 2＝ c， ax x a即b ＝－ (x 1＋ x 2 ) ， c＝ x 1 2． a ax所以， y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a( x 2b xc )a a= a[x 2－(x 1＋ x 2)x ＋x 1x 2]＝ a (x － x 1) (x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋ c(a ≠0)与 x 轴交于 A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 y ＝a(x －x 1) (x － x 2) (a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式： y ＝a(x － x 1) (x － x 2) (a ≠ 0)，其中 x 1，x 2 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y ＝ x ＋1 上，并且图象经过点（ 3，－ 1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 —— 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为 2．又顶点在直线 y ＝x ＋1 上，所以， 2＝x ＋1，∴ x ＝1．∴顶点坐标是（ 1，2）．设该二次函数的解析式为 y a( x 2) 2 1( a 0) ，∵二次函数的图像经过点（ 3，－ 1），∴2，解得 a ＝－ 2．1 a (3 2)1 ∴二次函数的解析式为 y2( x 2)21 ，即 y ＝－ 2x2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例 2 已知二次函数的图象过点 (－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一： ∵二次函数的图象过点 (－ 3， 0)，(1，0)，∴可设二次函数为 y ＝ a(x ＋ 3) (x －1) (a ≠0)，。

第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。

题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。

变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。

模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。

初三直升班初高中衔接教材化学前言（初高中衔接）初三化学担负着承上启下的至关重要的作用，一方面是普及基本化学知识，提高学生的科学素养，另外一方面是做好基础教学工作，为高中化学教学工作做好铺垫工作。

由于初高中化学教学内容上、教学形式上存在较大差异，学生进入高中之后纷纷表示化学一下子变得好难。

因此，我们觉得有必要在初中进入高中之前，对学生进行化学衔接教育，巩固化学基础知识，改进化学学习方法，能更快更好地适应高中的教学。

一．做好初中和高中化学的衔接教学的必要性在初中化学主要是普及化学基本知识，培养化学基本素养，教师引导学生主要能掌握物质“是什么”，教学方法主要是识记，以记忆为主，而高中的化学教学工作，开始探索“为什么”，能从现象发现问题，自己想办法解决问题，教学方法是引导探索，学生要能自己发现问题。

新的初三化学第九册（上下册）尽管已修改，强调了与社会实践的紧密关联，同时也兼顾了知识的体系，突出了化学是实验学科的地位，然而与高中化学第一册在内容上，授课方法上均有差距。

因此，现在摆在我们面前的是如何在高一年级把学生业已激发出来的学习热情持续下去，如何更好地把学生动手能力，探究思维能力强的优势，将化学的基础知识、基本技能抓好，更好地做好初高中化学的衔接工作。

二．初中和高中化学衔接教学的教学目的（一）在思想上和心理上摆脱依赖，迎接挑战1．掌握自学的金钥匙初中升入高中是个转折点，也是学生重新认识自己的过程。

从某种角度来说，初中的学习还是一个以记忆为主的熟能生巧的过程，而进入高中学生无论在思想、行为还是学习、思维以及理解力上都将实现一个飞跃，也即从初中的记忆为主向高中的归纳、理解为主的飞跃。

要实现这一飞跃，尽早掌握自学的钥匙是关键。

2．正确认识自己。

进入高一后将有一个不适应期，这时成绩不再是如初中总是在八九十分，一些同学的成绩可能会急剧下降，有些成绩很好的同学也会出现不及格现象。

在适应期这些都是正常的，关键是如何以最短的时间度过适应期，使学习成绩尽快稳步上升。

●初中、高中语文教学内容的衔接已经被越来越多的人关注，现在将本文转贴在此，望能引起我市同行的重视。

（三）高中对现代汉语语法、文言词法、文言句法要求较高1．“（现代文）根据语境揣摩语句含义，运用所学的语文知识，帮助理解结构复杂、含义丰富的语句。

2．“阅读浅易文言文，能借助注释和工具书，理解词句含义，读懂文章内容。

了解并梳理常见的文言实词、文言虚词、文言句式的意义或用法，注重在阅读实践中举一反三。

”3．高中《语文》教材共有课文80篇（课），其中古诗文有32篇（课），占40%，且难度较大。

差异断层1．语言学、文章学、文艺学等基础知识标准的断层语言学知识的断层。

初中要求了解“基本的语法知识”、“常用的修辞方法”，高中要求“了解并梳理常见的文言实词、文言虚词、文言句式的意义和用法”。

文章学、文艺学知识的断层。

初中阶段的“表达方式”“作品知识与文化常识”“写实与虚构”，高中阶段的“文学体裁”“背景材料”“领悟内涵”“表现手法”“艺术表现力”等这些问题是分别属于文章学或文艺学的知识。

高中课标的“表现手法”与初中课标的“表达技巧”就是一组容易混淆的概念。

而且“表现手法”的下级概念还可以分解为象征烘托、以小见大、动静结合、虚实相生、情景结合以及一些修辞手法等等。

2．阅读、鉴赏等能力标准的断层从文章学的角度来看，初中标准中的“内容”可以包含高中课标中的“思想、观点和情感”等因素，两者之间是平级关系。

语言分析能力的断层。

初中要求“体味推敲语言的意义和作用”，高中要求“理解语言的结构”和“揣摩体会语言的含义和表现力”。

这两个阶段的标准之间缺乏层次感，而且两个阶段的标准都没有具体化。

首先“意义”和“含义”是两个近义概念，它们之间的区分度极小；其次到底是语言的（原始的、引申的、比喻的）含义，是语言的（结构的、句式的）作用，还是（修辞的、句式的）表现力？这些标准都没有具体化。

文言文阅读能力的断层。

初中课标“理解基本内容、背诵优秀诗文80篇”，高中课标要求“理解词句含义，读懂文章内容。

《初高中衔接点津》第二讲音标复习——辅音音标【语言知识概要】I. 基本概念辅音音素分为清辅音和浊辅音，发音时声带不震动的为清辅音，声带震动的为浊辅音。

辅音音素发音特点是：气流通过口腔时受到发音器官中舌、唇、齿或咽喉等的阻碍。

II. 辅音音标（28个）为方便记忆，现把辅音音标分三组进行归纳：1．按字母顺序（17个）：[b d f g h j k l m n p r s t v w z]；2．按形似（8个）：[ ʃʧʒʤ]；[t r dr ts dz]；3．其他（3个）：[θðŋ]两个元音字母之间有一个或多个辅音字母的音节划分：两个元音字母之间有一个或多个辅音字母，那么这些辅音字母是给前面的音节当尾呢，还是给后面的音节当头呢？下面的又一组音节划分口诀英语解决了这个难题：一靠后，二分手，多个中间偏左右，组合字母算一个，常见组合要遵守。

词尾看e加音节，发不发音分两种，双字相连不连手，听音验证最后头，解释意外不发愁。

以上口诀是什么意思呢？一靠后：当两个元音字母之间有一个辅音字母时，一般把这辅音字母划分给后面的音节当头。

双音节单词的音节划分方法可归纳为“两分手。

一归前或一归后”。

“一归前或一归后”是指：当两个元音之间只有一个辅音字母时，有时将这个辅音字母划分在前面的音节里，有时划分在后面的音节里。

1. 先说“一归后”的情况。

在有些单词中是对的。

如：open → o.pen able → a.bleeven →e.ven nation → na.tionfever →fe.ver unit → u.nittiny → ti.ny student → stu.dent显然，第一个音节的元音按照“开音节”读。

2. 带有以元音结尾的前缀的单词，自然是属于“一归后”的。

如：begin → be .gin repeat → re.peatdecide →de.cide return → re .turnprepare →pre.pare repair →re.pair重读音节在第二个音节，其元音按诸多规则读音。

初高中知识衔接教材——大连开发区一中高一语文组第一章中学语文语法基础知识一、汉字知识文字是记录语言的书面符号系统，是扩大语言交际作用的最重要的辅助辅助工具，是音、形、义的统一体。

（一）根据字体的构形及书写风格，汉字的字体演变，主要经历了甲骨文、金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书几个发展阶段。

商代主要用甲骨文；周代用金文；秦代主要用小篆，而以隶书为日常使用的文体；汉代主要字体为隶书，但是那时草书、行书也已日渐流行；自魏晋以来，人们主要使用楷书，而辅助字体是行书；现行汉字经常运用的是楷书、行书。

（二）汉字的造字法（六书）东汉许慎在《说文解字》中，对六书作出了明确的解释。

一般认为六书指的是：指事、象形、形声、会意、转注、假借。

其中，前四种是造字法，后两种是用字法。

象形就是描绘事物形状的造字法。

象形字是独体字，不能再拆开分析。

它在汉字中占的数量不多，但却是构成汉字的基础。

如：月、雨、口、牛、羊、车、舟、泉、瓜等。

指事就是用象征性符号或在象形字上加提示符号来表示某个词的造字法。

指事字同象形字一样，也是独体字。

如：上、下、本、朱、刃、甘等。

会意是用两个或几个偏旁合成一个字，把这些偏旁的意义合成新字的意义。

会意字是合体字，至少要两个字组成。

如：休、明、从、众、林、森、泪等。

形声是由表示字义类属的偏旁和表示字音的偏旁组成新字的造字法。

现行汉字大部分是形声字。

形声字中形旁和声旁的部分有一定的规律，大致说来，有6种类型：左形右声：河、悟、逃、境等。

右形左声：都、战、功、期等。

上形下声：芳、爸、露、宇等。

下形上声：型、资、警、壁等。

外形内声：裹、褒、匣、阁等。

内形外声：问、闻、辩、瓣等。

二、词汇知识词是句中最小的能够独立运用的语言单位。

词汇又称语汇，是一种语言里所有的词和固定短语的总和。

（一）、双音节合成词的结构1.复合式：至少由两个不相同的词根结合在一起。

（1）并列式美丽、碧绿、天地等；开关、黑白、是非等。

（2）偏正式（修饰与被修饰）定语＋中心语（名词）：黑板、粉笔、高楼、布鞋等状语＋中心语（动词、形容词）：快跑、幻想、前进、飞快等（3）动宾式（动词＋名词或代词）讲课、说话、跑步、买菜、出席等（4）后补式（动词＋补语）阐明、打倒、扩大、丢失、扔掉、充满等（5）主谓式月亮、月食、月蚀、天空、夏至、秋分等2.附加式：由一个表示具体词汇意义的词根和一个表示某种附加意义的词缀构成。

初高中衔接内容
《初高中衔接那些事儿》
从初中迈向高中，这感觉可真是奇妙啊！就像原本在一条小路上慢慢溜达，突然就上了高速公路。

记得中考完那个暑假，我本想着好好放松一下，可一想到马上要进入高中，又有点小紧张。

于是我决定提前预习一下高中知识。

有一天，我坐在书桌前，打开高一的物理课本，那一个个公式和概念就像一群小怪兽向我扑来。

我试着去理解那些什么牛顿定律啊，摩擦力啊，可脑子就像一团浆糊。

我盯着那本书，感觉它在嘲笑我：“嘿，小家伙，高中知识可没那么容易哦！”我不服气，开始在本子上写写画画，力图把这些知识点搞清楚。

可写着写着，我发现自己越搞越糊涂，一会儿觉得这个好像懂了，一会儿又觉得那个好像不对。

就在我焦头烂额的时候，我突然灵机一动，想到可以在网上找一些讲解视频来看。

嘿，还别说，这一招真管用。

看着老师在视频里生动有趣地讲解，
那些原本复杂的知识点好像也没那么难了。

我就像在黑暗中找到了一盏明灯，开始慢慢理清思路。

经过一段时间的努力，我感觉自己对高中知识稍微有了点底。

等真正进入高中后，面对新环境和新同学，我也没那么慌张了。

虽然高中的学习压力确实比初中大了不少，但我知道只要自己努力，肯定能慢慢适应的。

现在回想起初高中衔接的这段经历，还真是难忘啊。

它是我成长路上的一个小挑战，也是我不断进步的动力。

我相信，只要勇敢面对，努力前行，未来的高中生活肯定会更加精彩！这不就是我们成长的意义嘛，在每一个阶段都努力去迎接新的变化和挑战，让自己变得越来越好。

初高中衔接，加油冲呀！。

天津市初中升高中历史衔接教材(最全最
新)
背景介绍
升入高中是初中学生继续教育的重要节点。

为了使初中生在历史学科上实现顺利衔接，天津市教育部门制定了最全最新的历史衔接教材。

教材内容
1. 基础知识回顾：教材会回顾初中阶段研究的历史基础知识，包括中国古代史、近现代史等方面。

2. 深入拓展：教材将深入展开一些历史事件或人物的研究，加深学生对历史知识的理解。

3. 跨学科结合：为了提高学生的综合素养，教材将与其他学科进行有机结合，如与文学、地理等学科相互关联。

4. 练与评估：教材会提供大量练题和评估题，帮助学生巩固知识并进行自我评估。

教材编写准则
1. 无法确认的引用：为了确保教材的准确性，教材编写过程中
不引用无法确认的内容。

2. 简洁明了：教材应使用简洁明了的语言，避免使用复杂的法
律术语或概念，以方便初中生理解。

3. 独立决策：教材编写过程中应独立决策，不寻求用户的协助，以确保教材制定的整体策略不受干扰。

总结
天津市初中升高中历史衔接教材是为了帮助初中生在历史学科
上实现顺利衔接而制定的。

教材内容全面，旨在回顾基础知识、深
化研究、与其他学科结合，同时提供练习和评估。

编写过程中坚持
简洁明了、独立决策的原则，确保教材的准确性和可靠性。

初高中衔接语文知识点整理一、基础知识。

1. 字词积累。

- 字音。

- 字形。

- 初中注重对常用字字形的正确书写，像“斑斓”“取缔”等易错字。

高中则会涉及一些在文言文、文学作品中容易混淆的字形，如“暮霭”的“霭”与“和蔼”的“蔼”的区分，还有古文中通假字的字形记忆，如“说”通“悦”时的用法和意义。

- 词语辨析。

- 初中对近义词辨析有一定基础，如“必须”和“必需”。

高中会加大难度，包括一些成语的辨析，如“不负众望”和“不孚众望”，不仅要理解词语本身的含义，还要结合语境准确使用。

2. 语法知识。

- 词性。

- 初中简单介绍了名词、动词、形容词等基本词性。

高中在此基础上，会深入学习虚词的用法，像“之”字在古文中可以作代词、助词、动词等不同词性，“而”字作连词时表示并列、承接、转折等多种关系。

- 句子成分。

- 初中了解了主语、谓语、宾语等基本句子成分。

高中要掌握更复杂的句子结构分析，如句子的定语、状语、补语的多层修饰关系，例如“在那片茂密的森林里，可爱的小鸟快乐地歌唱”，要能准确分析出各成分的作用。

- 病句类型。

- 初中学习了搭配不当、成分残缺等常见病句类型。

高中除了巩固这些内容外，还会涉及句式杂糅、表意不明等较难辨析的病句类型，像“这部小说的作者是一位蛰居海外二十多年的华裔作者之手”就是句式杂糅的病句。

3. 标点符号。

- 初中学习了句号、逗号、问号、叹号等基本标点符号的用法。

高中会涉及一些特殊标点符号的用法，如破折号的多种作用（解释说明、递进、转折等），例如“这是一年的最后一天——大年夜”中的破折号是解释说明的作用；还有分号的用法，分号用于表示复句内部并列分句之间的停顿，像“做，要靠想来指导；想，要靠做来证明”。

二、文言文知识。

1. 实词虚词。

- 实词。

- 初中学习了一些常见文言实词，如“之”作“的”讲（“水陆草木之花”），“其”表示“他的”（“其乡人曰”）等。

高中则要积累更多实词的不同义项，如“绝”字，有“断绝”（“而绝江河”）、“极”（“绝巘多生怪柏”）等多种义项。

《初高中衔接点津》第十四讲【语言知识概要】II.单词拼写1.熟悉的2.实验3.交流、沟通4.污染5.减少、减小6.必要的7.环境的8.短语、表达方式9.盼望10.祝贺III.短语填空1.pay to集中注意力于2. work 设法弄懂，计算出3.drop 顺便走访4. away扔掉，抛弃（某物）5.do to对……造成伤害6. make a to对……产生重大影响7.be up of组成，构成8. to同……相似9.try 试用，试验，检验10. pick 接，捡起IV.语法扫描时态（二）1．现在进行时（1）现在进行时的构成现在进行时由“主语+am/is/are+ V-ing”构成。

否定形式：主语+ am/is/are+ not+ V-ing.疑问形式：Am/is/are + 主语+ V-ing ?肯定回答：Yes, 主语+ am/is/are 否定回答：No, 主语+ am/is/are + not. （2）现在进行时的用法①表示此时此刻正在进行的动作。

如：—What are you doing?你在干什么？—I’m reading English.我正在读英语。

②表示现阶段正在进行的动作或持续的状态。

如：We are picking apples on a farm these days.这些天我们一直在农场摘苹果。

③go, leave, arrive, start等动词用现在进行时表示将来。

如：The bus is coming soon.公共汽车马上就要来了。

2．现在完成时（1）表示过去发生的或已经完成的某一动作对现在造成的影响或结果。

如：—Have you had your lunch yet?你吃过午饭了吗？—Yes, I have. I’ve just had it.是的，我刚吃过。

（说明现在饱了）I have lost my pen.我把钢笔弄丢了。

（过去某时候弄丢的，现在还没有找到。

衔接点15名篇名句默写（解析版）初中阶段考查形式：填空题，给了上句填写下句或者根据意思写句子，分值各地不同，北京卷4分，河北6分，山东、浙江等地10分。

高中阶段考查形式：情境式默写填空，给出运用的语言环境填写句子，分值6分。

比较初高中不同的要求和考查形式，高考语文名篇名句默写体现了“情境化”的考查趋势,从专注于考查学生的背诵能力转向对学生背诵能力与理解能力的全面考查。

2021、2022新高考名篇名句默写均在基础型默写之外加入了开放型默写,以给出限定名词的方式扩大考查范围。

2023新课标卷名篇名句默写则在限定关键名词的同时加强对情境的描绘,给学生留出更大的作答空间。

在此种考查趋势下学生更要注意在背诵的同时理解诗文含义,形成有体系的认知。

一、名篇名句默写题型总结与答题技巧（一）熟悉情境式默写的题型，做到心中有数情境式默写在于命题人在题干表述中有一定的限定和提示，需要据此来搜寻、确定所要填写的句子。

命题人在情境中的设题角度主要有：1．语义解释型。

即对要求填写的空缺内容有解释性表述，要求考生依据这些提示信息作答。

例：[2024·新高考Ⅰ卷(河北、山东、江苏等)第17题(2)]《归园田居·其一》“，”表示栽种多种树木受到喜爱。

提示语“栽种多种树木受到喜爱”便是对“榆柳荫后檐，桃李罗堂前”的解释。

2．关系补充型。

即在题目中设置一定的背景，作为所填内容的原因、结果、转折、递进等条件，考生依次推出答案。

例：[2020·全国Ⅱ卷第16题(1)]《荀子·劝学》中举例说，笔直的木材如果“__________”，就会弯曲到符合圆规的标准；即使再经曝晒也不会挺直，因为“__________”。

“以为轮”是合乎圆规的条件，而“再经曝晒也不会挺直”，因为“使之然也”。

3．语境完善型。

即在题目中所填句子前或后提供一定的语境，考生根据语境作答。

例：[2021·新高考Ⅰ卷(广东版)第17题(2)]在《邹忌讽齐王纳谏》中，邹忌见到了徐公，先是仔细观察，感觉自己没有徐公美，然后“________________，________________”，最终认定自己确实不如徐公美。

汤河学校初中部教师校本学习讲稿时间：9月14日地点：大会议室主持人：李恒大题目：小学和初中及高中知识衔接点（一）从小学进入初中，从初中进入高中，学生都将面临知识、方法衔接的问题。

其中，又以初高中衔接难度更大。

如高中数学，仅高一一学年的数学知识量，已可相当于初中三年所学的总和。

高中的知识点内容多、题目难、梯度大。

知识内容上“量”的剧增，使得学生在单位时间内接受得知识信息与初中相比增加了许多，而辅助练习、消化的课时却在相应地减少。

这使很多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适应。

由于高中科目的增加、教材难度的增加以及要求的提高，使得不少学生到了高中阶段难以适应高中的学习，有的学生依然沿用初中的那些学习的模式与方法进行学习，但无论如何用功，总是感觉事倍功半。

1.了解初、高中语文学科的差异性初中语文学习和高中语文学习的本质区别在于，初中是知识型的学习，高中是知识能力型的学习。

比如现代文阅读，初中要求“理清思路，理解主要内容，体味和推敲重要词句在语言环境中的意义和作用。

对课文的内容和表达有自己的心得，能提出自己的看法和疑问”，而高中语文的要求除了需要把握文本内容及思想感情外，还需善于发现问题、提出问题。

根据语境揣摩语句含义，运用所学的语文知识，帮助理解结构复杂、含义丰富的语句，体会精彩语句的表现力。

对理解能力要求更深层次了。

诗歌部分，初中主要是读读背背，了解内容，高中则要求分析形象、意象、意境、表现手法，品味语言，发挥想象，感受感情，鉴赏诗歌。

文言文部分，初中主要要求“记诵积累，凭借注释和工具书理解基本内容”，其篇幅短、词汇少、难度小，而高中要求“用现代观念审视作品，评价其积极意义与历史局限”，其篇幅长、词汇多，难度大。

2.了解初、高中数学学科的差异性初中和高中的数学差异性表现在两个方面：第一，从学习内容方面来说，高中内容更丰富，难度更大，综合性加强，知识面广泛，高中数学主要包括函数、三角函数、数列、不等式、平面解析几何、简易逻辑、立体几何、概率统计、微积分等等。

初高中语文衔接指津初高中语文衔接指津一、高中语文学习的门径（一）阅读是提高语文水平的法宝无论小学、初中还是高中，语文学习总是离不开阅读。

多读书、多做笔记是语文学习的重要法宝之一。

语文教材中所收录的文章都是名家名篇，高中语文教材中的很多作家也是同学以前接触过的，下面给大家举几个例子加以说明。

同学们在初中时学过李白的《渡荆门送别》《行路难》等，高中阶段将要学习他的诗篇《蜀道难》《将进酒》等。

初中时大家学习过韩愈的《马说》，高中会学习他的《师说》。

杜牧的《江南春》《山行》《清明》等诗作是大家非常熟悉的，高中我们会重点学习杜樊川的一篇文章《阿房宫赋》。

苏轼的词篇《念奴娇·赤壁怀古》和散文名篇《赤壁赋》也是高中的重点内容。

高中阶段鲁迅先生的文章主要选了《为了忘却的记念》《记念刘和珍君》《祝福》三篇。

另外同为世界短篇小说巨匠，同学们在初中学习过法国作家莫泊桑的《我的叔叔于勒》，高中阶段将会品读美国作家欧·亨利的《最后的常春藤叶》和《警察和赞美诗》等。

阅读是我们培养语文兴趣、提高语文素养的最有效的途径和手段，而且语文能力的提升、生命个体的体验、社会生活的感悟等等都离不开阅读。

古今中外，关于读书的名言更是不胜枚举，那么在高中紧张忙碌的学习生活中，我们又该读些什么书来提高我们的语文能力呢？在下面的第二节“阅读背诵篇目推荐”中，我们为同学们提供了了一个“关于课外读物的建议”可供大家参考阅读。

还有一个“高中语文推荐阅读篇目”，这个书目是在上海师范大学附属中学“万字时文阅读篇目”的基础上补充的，所列文章在网络上都可以找到，同学们可以主动查找阅读。

另外，阅读后还要涵泳、思考，同学们可以尝试着撰写读书心得、读书报告、读书摘要、读后感，乃至争鸣文字或者时文综述，以提高阅读的层次和水平，训练思维力。

（二）积累是提高语文水平的主要手段语文积累，包括语言积累、文化积累、生活积累、学习方法积累等等。

在语文教学中要培养自己积累的意识、能力和习惯，在积累过程中加强梳理，并在自己的表达与交流中有意识地运用自己积累的材料提高表达效果。