第三章 受弯构件分析
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第三章 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
第三章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算受弯构件（bendingmember）是指截面上通常有弯矩和剪力共同作用而轴力可以忽视不计的构件。
钢筋混凝土受弯构件的主要形式是板（Slab）和梁（beam）,它们是组成工程结构的基本构件，在桥梁工程中应用很广。
在荷载作用下，受弯构件的截面将承受弯矩M和V的作用。
因此设计受弯构件时，一般应满意下列两方面的要求：（1）由于弯矩M的作用，构件可能沿弯矩最大的截面发生破坏，当受弯构件沿弯矩最大的截面发生破坏时，破坏截面与构件轴线垂直，称为正截面破坏。
故需进行正截面承载力计算。
（2）由于弯矩M和剪力V的共同作用，构件可能沿剪力最大或弯矩和努力都较大的截面破坏，破坏截面与构件的轴线斜交，称为沿斜截面破坏，故需进行斜截面承载力计算。
为了保证梁正截面具有足够的承载力，在设计时除了适当的选用材料和截面尺寸外，必需在梁的受拉区配置足够数量的纵向钢筋，以承受因弯矩作用而产生的拉力；为了防止梁的斜截面破坏，必需在梁中设置肯定数量的箍筋和弯起钢筋，以承受由于剪力作用而产生的拉力。
第一节受弯构件的截面形式与构造一、钢筋混凝土板的构造板是在两个方向上（长、宽）尺度很大，而在另一方向上（厚度）尺寸相对较小的构件。
钢筋混凝土板可分为整体现浇板和预制板。
在施工场地现场搭支架、立模板、配置钢筋，然后就地浇筑混凝土的板称为整体现浇板。
通常这种板的截面宽度较大，在计算中常取单位宽度的矩形截面进行计算。
预制板是在预制厂和施工场地现场预先制好的板，板宽度一般掌握在Inl左右，由于施工条件好，预制板不仅能采纳矩形实心板，还能采纳矩形空心板，以减轻板的自重。
板的厚度h由截面上的最大弯矩和板的刚度要求打算，但是为了保证施工质量及耐久性的要求，《大路桥规》规定了各种板的最小厚度；行车道板厚度不小于IOOmm人行道板厚度，就地浇注的混凝土板不宜小于80mm,预制不宜小于60mm。
空心板桥的顶板和底板厚度，均不宜小于80mm。
混凝土部分第三章受弯构件
保护层厚度与钢筋直径、构件种类、环境类别和混凝 土强度等级等因素有关。且保护层厚度不应小于钢筋公称 直径d。设计使用年限为50年的混凝土结构按表3.7选用，
当有充分依据并采取可靠措施时，可适当减小混凝土保护层 厚度。规范8.2.2。
②梁、板截面的有效高度h0： 受拉钢筋截面形心至梁的受压区边缘的距离
b
图3-8
3.2.1适筋梁
受弯构件在加载至破坏的过程中，随着荷载的增加及混凝土 塑性变形的发展，对正常配筋的梁，其正截面上的应力和应变发 展过程可分以下三个阶段 ：
◆第I阶段（弹性工作阶段）
当荷载构增件大开时始，承受受拉边荷缘载混时凝弯土矩的很应小力，接近正其截抗面拉强 M
度中时和，轴应以力上和的应混变凝关系土表处现于出受塑压性状特态征，，应中变和较轴应力
分布钢筋可按构造配置。单位长度上分布钢筋的截面面积 不宜小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15%，且不宜小于该 方向板截面面积的0.15%；分布钢筋的间距不宜大于250mm， 直径不宜小于6mm；对于集中荷载较大的情况，分布钢筋的截 面面积应适当加大，其间距不宜大于200mm。
3.1.2.3 板的计算跨度l0
增以加下快的，混应凝力土分处布于呈曲受线拉形状。态随，着同荷时载，继续配增置大在，最
大达受拉到拉应混区力凝的达土纵到受向混弯受凝时拉土极抗限钢拉应筋强变也度。承，截担面受一处拉部于边分缘将纤裂拉维未力的裂，应的变极
限这状时态由。于受混压凝区土塑的性变压形应发力展及不拉明应显力，都其应很力小图，形仍
接应近力三和角应形变，几这种乎应成力直状线态关称系为，抗混裂极凝限土状应态力，分图3-9 （布a图）形Ⅰa接所近示。三角形，此时相当于材料的弹性
M作用下的正截面破坏和弯矩M、
当有充分依据并采取可靠措施时，可适当减小混凝土保护层 厚度。规范8.2.2。
②梁、板截面的有效高度h0： 受拉钢筋截面形心至梁的受压区边缘的距离
b
图3-8
3.2.1适筋梁
受弯构件在加载至破坏的过程中，随着荷载的增加及混凝土 塑性变形的发展，对正常配筋的梁，其正截面上的应力和应变发 展过程可分以下三个阶段 ：
◆第I阶段（弹性工作阶段）
当荷载构增件大开时始，承受受拉边荷缘载混时凝弯土矩的很应小力，接近正其截抗面拉强 M
度中时和，轴应以力上和的应混变凝关系土表处现于出受塑压性状特态征，，应中变和较轴应力
分布钢筋可按构造配置。单位长度上分布钢筋的截面面积 不宜小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15%，且不宜小于该 方向板截面面积的0.15%；分布钢筋的间距不宜大于250mm， 直径不宜小于6mm；对于集中荷载较大的情况，分布钢筋的截 面面积应适当加大，其间距不宜大于200mm。
3.1.2.3 板的计算跨度l0
增以加下快的，混应凝力土分处布于呈曲受线拉形状。态随，着同荷时载，继续配增置大在，最
大达受拉到拉应混区力凝的达土纵到受向混弯受凝时拉土极抗限钢拉应筋强变也度。承，截担面受一处拉部于边分缘将纤裂拉维未力的裂，应的变极
限这状时态由。于受混压凝区土塑的性变压形应发力展及不拉明应显力，都其应很力小图，形仍
接应近力三和角应形变，几这种乎应成力直状线态关称系为，抗混裂极凝限土状应态力，分图3-9 （布a图）形Ⅰa接所近示。三角形，此时相当于材料的弹性
M作用下的正截面破坏和弯矩M、
第3章受弯构件正截面承载力计算
第三章 受弯构件正截面承载力计算
Flexure Strength of RC Beams
基本概念
• １. 受弯构件：主要是指各种类型的梁与板， 土木工程中应用最为广泛。
• ２. 正截面：与构件计算轴线相垂直的截面为 正截面。
• ３. 承载力计算公式：
•
M ≤Mu ，
• M 受弯构件正截面弯矩设计值，
一、板的一板构造要求
1.板的厚度：与的板的跨度及荷载有关，应满足截面最 大弯矩及刚度要求，《公路桥规》规定最小厚度：行人 板不宜小于80mm（现浇整体）和60mm（预制），空 心板的顶板和底板不宜小于80mm. 2.板的宽度：由实际情况决定。 3.钢筋配置：
板内钢筋有两种：受力钢筋和分布钢筋。 受力钢筋：承担弯矩，通过强度计算确定。
2.正常使用极限状态计算 变形验算（挠度验算），抗裂验算（裂缝宽度计算）
3.1.2 受弯构件的钢筋构造
1.受弯按配筋形式不同分为单筋受弯构件和双筋 受弯构件 单筋受弯构件：只在受拉区配受力钢筋。 双筋受弯构件：受拉区和受压区均配置受力钢筋。
2.配筋率 As %.......( 4 2)
bh0
4.板的受力筋保护层厚度：受力筋外边缘至混凝
土外表面的厚度,用c表示(cover) 。 作用：保护钢筋不生锈；保证钢筋与混凝土之间
的粘结力。 保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，
查附表1-7。
二、梁的一般构造
1.截面尺寸：为方便施工截面尺寸应统一规格。 现浇矩形截面宽b（mm），120、150、180、200、220、 250、+50（h ≤ 800）或+100（h ＞ 800）.截面宽度：
应变ecu ，构件达到极限
承载力，此时截面上的弯 矩即为抗弯承载力Mu， 也称为第三阶段末“Ⅲa”。 第三阶段末为抗弯承载力 计算的依据。
Flexure Strength of RC Beams
基本概念
• １. 受弯构件：主要是指各种类型的梁与板， 土木工程中应用最为广泛。
• ２. 正截面：与构件计算轴线相垂直的截面为 正截面。
• ３. 承载力计算公式：
•
M ≤Mu ，
• M 受弯构件正截面弯矩设计值，
一、板的一板构造要求
1.板的厚度：与的板的跨度及荷载有关，应满足截面最 大弯矩及刚度要求，《公路桥规》规定最小厚度：行人 板不宜小于80mm（现浇整体）和60mm（预制），空 心板的顶板和底板不宜小于80mm. 2.板的宽度：由实际情况决定。 3.钢筋配置：
板内钢筋有两种：受力钢筋和分布钢筋。 受力钢筋：承担弯矩，通过强度计算确定。
2.正常使用极限状态计算 变形验算（挠度验算），抗裂验算（裂缝宽度计算）
3.1.2 受弯构件的钢筋构造
1.受弯按配筋形式不同分为单筋受弯构件和双筋 受弯构件 单筋受弯构件：只在受拉区配受力钢筋。 双筋受弯构件：受拉区和受压区均配置受力钢筋。
2.配筋率 As %.......( 4 2)
bh0
4.板的受力筋保护层厚度：受力筋外边缘至混凝
土外表面的厚度,用c表示(cover) 。 作用：保护钢筋不生锈；保证钢筋与混凝土之间
的粘结力。 保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，
查附表1-7。
二、梁的一般构造
1.截面尺寸：为方便施工截面尺寸应统一规格。 现浇矩形截面宽b（mm），120、150、180、200、220、 250、+50（h ≤ 800）或+100（h ＞ 800）.截面宽度：
应变ecu ，构件达到极限
承载力，此时截面上的弯 矩即为抗弯承载力Mu， 也称为第三阶段末“Ⅲa”。 第三阶段末为抗弯承载力 计算的依据。
第三章 受弯构件
20
板的分类
单向板
双向板 Two-way Slab
悬臂板
基础筏板 Raft Foundation Slab
两边支撑的板应按单向板计算；四边支撑的板，当长边 与短边之比大于3，按单向板计算，否则按双向板计算
21
板的构造要求：
25
受弯构件的破坏形式：在荷载或其它因素的作用下，受 弯构件可能发生两种形式的破坏： ①沿正截面破坏（构件沿弯矩最大的截面发生破坏) ②沿斜截面破坏（构件沿剪力最大或弯矩和剪力都较 大的截面发生破坏)
17
≥30mm
1.5d
c≥cmin
d
◆ 梁 高 h≥300mm ， 直 径 d 不 应 小 于
10mm；h≥10mm，直径d不应小于
h0
≥25mm
8mm。直径种类不宜多，差别大于
2mm。 ◆为保证混凝土浇注的密实性，梁底
d c≥cmin d
≥25mm c≥cmin
as
部钢筋的净距不小于25mm及钢筋
钢筋砼简支板
受弯构件的截面形式不同，其承载力的大小就可能 不同，但各种截面形式的受弯构件其承载力的计算 方法和原理是相同的。 建筑工程中受弯构件常见的截面形状如下图所示。
8
• 梁的配筋 • 钢筋砼梁中通常配置有纵向受力钢筋、弯起钢筋、 箍筋及架立筋构成的钢筋骨架。当梁的截面高度较 大时，还应在梁侧设置构造钢筋及相应的拉筋。
u
cr
cr
y
u
f
●在该阶段，随着荷载增加，
由于裂缝不断开展地向上延伸， 受压区砼的压应变不断增大， 其塑性性质越来越明显,在该阶段 受压区砼的应力分布图形为曲线分布
M
σsAs
esey
第Ⅱ阶段截面应力应变分布
板的分类
单向板
双向板 Two-way Slab
悬臂板
基础筏板 Raft Foundation Slab
两边支撑的板应按单向板计算；四边支撑的板，当长边 与短边之比大于3，按单向板计算，否则按双向板计算
21
板的构造要求：
25
受弯构件的破坏形式：在荷载或其它因素的作用下，受 弯构件可能发生两种形式的破坏： ①沿正截面破坏（构件沿弯矩最大的截面发生破坏) ②沿斜截面破坏（构件沿剪力最大或弯矩和剪力都较 大的截面发生破坏)
17
≥30mm
1.5d
c≥cmin
d
◆ 梁 高 h≥300mm ， 直 径 d 不 应 小 于
10mm；h≥10mm，直径d不应小于
h0
≥25mm
8mm。直径种类不宜多，差别大于
2mm。 ◆为保证混凝土浇注的密实性，梁底
d c≥cmin d
≥25mm c≥cmin
as
部钢筋的净距不小于25mm及钢筋
钢筋砼简支板
受弯构件的截面形式不同，其承载力的大小就可能 不同，但各种截面形式的受弯构件其承载力的计算 方法和原理是相同的。 建筑工程中受弯构件常见的截面形状如下图所示。
8
• 梁的配筋 • 钢筋砼梁中通常配置有纵向受力钢筋、弯起钢筋、 箍筋及架立筋构成的钢筋骨架。当梁的截面高度较 大时，还应在梁侧设置构造钢筋及相应的拉筋。
u
cr
cr
y
u
f
●在该阶段，随着荷载增加，
由于裂缝不断开展地向上延伸， 受压区砼的压应变不断增大， 其塑性性质越来越明显,在该阶段 受压区砼的应力分布图形为曲线分布
M
σsAs
esey
第Ⅱ阶段截面应力应变分布
第三章 受弯构件(5)
3.6.2 斜截面破坏的主要形态
3.6.2.1 斜拉破坏（图3.37(a)）
当剪跨比λ较大（一般λ＞3），且箍筋配
置得太少时，斜裂缝一旦出现，便迅速向集中
荷载作用点延伸，并很快形成一条主裂缝，梁
随即破坏。整个破坏过程很突然，破坏荷载很
小，破坏前梁的变形很小，箍筋被拉断，破坏
时往往只有一条斜裂缝，设计时一定要避免斜 拉破坏。
图3.33 钢筋混凝土受弯构件主应力迹线示意图
1)斜裂缝梁中受力状态图：
在梁开裂前可将梁视为匀质弹性体，按材力公式分析。
现将梁沿斜裂缝AAB切开，取出斜裂缝顶点左边部分
脱离体。
P
D
C
B
P
D
C VA
B Va T B Vd s C a MB
A Vc D c
A A
A
(a)
MA
2)应力状态变化分析：
3.6 受弯构件斜截面承载力计算
3.6.1 概述
一般而言，在荷载作用下，受弯构件不仅在各个
截面上引起弯矩 Ｍ ，同时还产生剪力 V 。在弯曲正应力和
剪应力共同作用下，受弯构件将产生与轴线斜交的主拉应
力和主压应力。由于混凝土抗压强度较高，受弯构件一般 不会因主压应力而引起破坏。但当主拉应力超过混凝土的 抗拉强度时，混凝土便沿垂直于主拉应，并沿其垂直方向 出现斜裂缝，进而可能发生斜截面破坏。斜截面破坏通常
斜裂缝的形成有两种方式：一种是因受
弯正应力较大，先在梁底出现垂直裂缝，然
后向上沿主压应力迹线发展形成斜裂缝，这
种斜裂缝称为弯剪斜裂缝（如图3.34(a)）；另 一种是梁腹部剪应力较大时，会因梁腹部主 拉应力达到抗拉强度而先开裂，然后分别向 上、向下沿主压应力迹线发展形成斜裂缝， 这种斜裂缝称为腹剪斜裂缝（如图3.34(b)）。
第三章 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
第三章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算第三章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算第三章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算第一节钢筋砼受弯构件的构造一、钢筋砼板的构造二、钢筋砼梁的构造一、钢筋砼板(reinforced concreteslabs)的构造1、钢筋砼板的分类：整体现浇板、预制装配式板。
2、截面形式小跨径一般为实心矩形截面。
跨径较大时常做成空心板。
如图所示。
3、板的厚度：根据跨径(span)内最大弯矩和构造要求确定，其最小厚度应有所限制：行车道板一般不小于100mm；人行道板不宜小于60mm(预制板)和80mm(现浇筑整体板)。
4、板的钢筋由主钢筋(即受力钢筋)和分布钢筋组成如图。
钢筋混凝土板桥构造图（1）主筋布置：布置在板的受拉区。
直径：行车道板：不小于10mm；人行道板：不小于8mm。
间距：间距不应大于200mm。
主钢筋间横向净距和层与层之间的竖向净距，当钢筋为三层及以下时，不应小于30mm，并不小于钢筋直径；当钢筋为三层以上时，不应小于40mm，并不小于钢筋直径的1.25倍。
净保护层：保护层厚度应符合下表规定。
序号构件类别环境条件ⅠⅡⅢ、Ⅳ1 基础、桩基承台⑴基坑底面有垫层或侧面有模板（受力钢筋）⑵基坑底面无垫层或侧面无模板465756852 墩台身、挡土结构、涵洞、梁、板、拱圈、拱上建筑（受力主筋）34453 人行道构件、栏杆（受力主筋）22534 箍筋22535 缘石、中央分隔带、护栏等行车道构件34456 收缩、温度、分布、防裂等表层钢筋15225梁构件，在不同环境条件下，保护层厚度值注：请点击<按扭Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ&Ⅳ>，以查看不同保护层厚度值（2）分布钢筋(distribution steel bars)：垂直于板内主钢筋方向上布置的构造钢筋称为分布钢筋作用：A、将板面上荷载更均匀地传递给主钢筋B、固定主钢筋的位置C、抵抗温度应力和混凝土收缩应力(shrinkage stress)布置：A、在所有主钢筋的弯折处，均应设置分布钢筋B、与主筋垂直C、设在主筋的内侧数量：截面面积不小于板截面面积的0.1%。
第3章受弯构件
1. 截面形状
说明：目前应用较多的是现浇钢筋混凝土结构。 空心板、槽型板等一般为预制板，考虑到施工方便和结构整体性要求, 工程中也有采用预制和现第浇3章结受合弯构的件方法，形成叠合梁和叠合板
2.常用截面尺寸
(1). 梁的宽度和高度
出于平面外稳定（ lateral stability）的考虑， 梁截面高宽比作出一定要求：
钢筋，并便于在施工中固定受力钢筋的位置，同时也可抵抗温度和收 缩等产生的应力。
第3章受弯构件
（3）.纵向受拉钢筋的配筋率 As (%)
bh0
3.保护层厚度（c） 最外层钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离 附表（4-3）
第3章受弯构件
3.2 梁的受弯性能试验研究
Flexural Behavior of RC Beam
3.2.2破坏形式 （Failure modes）
第3章受弯构件
1.适筋梁：（拉压破坏） min b 破坏特点：破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终于受压区混凝 土被压碎。称为“延性破坏Ductile Failure ”
2.超筋梁Over reinforced：(受压破坏） > b 破坏特点：受拉钢筋未达到屈服强度，受压混凝土达到极限压 应变而被压碎。此时，裂缝宽度小且延伸不高构件的挠度小。承
1.相对受压区高度 x h0
fy As fy fc bh0 fc
Reinforcement Ratio
As
bh0
相对受压区高度 不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ），也反映钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种
材料配比的本质参数。
第3章受弯构件
cu
2.界限相对受压区高度
b
未知解数决：思受路压：区高度x 、 As
说明：目前应用较多的是现浇钢筋混凝土结构。 空心板、槽型板等一般为预制板，考虑到施工方便和结构整体性要求, 工程中也有采用预制和现第浇3章结受合弯构的件方法，形成叠合梁和叠合板
2.常用截面尺寸
(1). 梁的宽度和高度
出于平面外稳定（ lateral stability）的考虑， 梁截面高宽比作出一定要求：
钢筋，并便于在施工中固定受力钢筋的位置，同时也可抵抗温度和收 缩等产生的应力。
第3章受弯构件
（3）.纵向受拉钢筋的配筋率 As (%)
bh0
3.保护层厚度（c） 最外层钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离 附表（4-3）
第3章受弯构件
3.2 梁的受弯性能试验研究
Flexural Behavior of RC Beam
3.2.2破坏形式 （Failure modes）
第3章受弯构件
1.适筋梁：（拉压破坏） min b 破坏特点：破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终于受压区混凝 土被压碎。称为“延性破坏Ductile Failure ”
2.超筋梁Over reinforced：(受压破坏） > b 破坏特点：受拉钢筋未达到屈服强度，受压混凝土达到极限压 应变而被压碎。此时，裂缝宽度小且延伸不高构件的挠度小。承
1.相对受压区高度 x h0
fy As fy fc bh0 fc
Reinforcement Ratio
As
bh0
相对受压区高度 不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ），也反映钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种
材料配比的本质参数。
第3章受弯构件
cu
2.界限相对受压区高度
b
未知解数决：思受路压：区高度x 、 As
第三章-钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
截面抗裂验算是建立在第Ⅰa阶段的基础之上，构 件使用阶段的变形和裂缝宽度的验算是建立在第 Ⅱ阶段的基础之上，而截面的承载力计算则是建 立在第Ⅲa阶段的基础之上的。
§3.3 建筑工程中受弯构件正截面承载力计算方法
3.3.1 基本假定 建筑工程中在进行受弯构件正截面承载力计 算时，引人了如下几个基本假定； 1.截面应变保持平面； 2.不考虑混凝土的抗拉强度； 3.混凝土受压的应力一应变关系曲线按下列 规定取用(图3-9)。
εcu——正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变 ，当计算的εcu值大于0.0033时，应取为0.0033；
fcu,k——混凝土立方体抗压强度标准值；
ｎ——系数，当计算的ｎ大于2.0时，应取为2.0。
n，ε0,εcu的取值见表3—1。
由表3-1可见，当混凝土的强度等级小于和等于C50时，
ｎ，ε0和εcu均为定值。当混凝土的强度等级大于C50时，随 着混凝土强度等级的提高，ε0的值不断增大，而εcu值却逐渐
M
f y As (h0
x) 2
（3-9b）
式中M——荷载在该截面上产生的弯矩设计值； h0——截面的有效高度，按下式计算
h0=h-as
ｈ为截面高度，as为受拉区边缘到受拉钢筋合力作用点的距离。
对于处于室内正常使用环境(一类环境）的梁和板，
当混凝土强度等级＞ C20，保护层最小厚度(指从构件 边缘至钢筋边缘的距离)不得小于25mm，板内钢筋的混凝 士保护层厚度不得小于15mm
当εc≤ ε0时 σc=fc[1-(1- εc/ ε 0)n]
当ε0≤ εc ≤ εcu时 σc=fc
(3-2) (3-3)
(3-4)
(3-5)
(3-6)
式中 σc——对应于混凝土应变εc时的混凝土压应力；
§3.3 建筑工程中受弯构件正截面承载力计算方法
3.3.1 基本假定 建筑工程中在进行受弯构件正截面承载力计 算时，引人了如下几个基本假定； 1.截面应变保持平面； 2.不考虑混凝土的抗拉强度； 3.混凝土受压的应力一应变关系曲线按下列 规定取用(图3-9)。
εcu——正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变 ，当计算的εcu值大于0.0033时，应取为0.0033；
fcu,k——混凝土立方体抗压强度标准值；
ｎ——系数，当计算的ｎ大于2.0时，应取为2.0。
n，ε0,εcu的取值见表3—1。
由表3-1可见，当混凝土的强度等级小于和等于C50时，
ｎ，ε0和εcu均为定值。当混凝土的强度等级大于C50时，随 着混凝土强度等级的提高，ε0的值不断增大，而εcu值却逐渐
M
f y As (h0
x) 2
（3-9b）
式中M——荷载在该截面上产生的弯矩设计值； h0——截面的有效高度，按下式计算
h0=h-as
ｈ为截面高度，as为受拉区边缘到受拉钢筋合力作用点的距离。
对于处于室内正常使用环境(一类环境）的梁和板，
当混凝土强度等级＞ C20，保护层最小厚度(指从构件 边缘至钢筋边缘的距离)不得小于25mm，板内钢筋的混凝 士保护层厚度不得小于15mm
当εc≤ ε0时 σc=fc[1-(1- εc/ ε 0)n]
当ε0≤ εc ≤ εcu时 σc=fc
(3-2) (3-3)
(3-4)
(3-5)
(3-6)
式中 σc——对应于混凝土应变εc时的混凝土压应力；
第3章受弯构件的正
（4）钢筋的应力－应变关系采用理想弹塑性应力－应变关系， 钢筋应 力的绝对值不应大于其相应的强度设计值，受拉钢筋的极限拉应 变取0.01。
§3.3 正截面受弯承载力计算原理
第3章 受弯构件的正截面受弯承载力
2 受压区等效矩形应力图形
等效矩形应力图 等效原则： 1）混凝土压应力的合力合力C大小相等； 2）两图形中受压区合力C的作用点不变.
适筋梁正截面受力的三个阶段
第Ⅲ阶段的受力特点 （1）纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受
拉区大部分混凝土已退出工作，受压区混凝土压应力曲线 图形比较丰满，有上升段曲线，也有下降段曲线； （2）弯矩还略有增加；
（3）受压区边缘混凝土压应变达到其极限压应变实验值 时c0u ，
混凝土被压碎，截面破坏； （4）弯矩—曲率关系为接近水平的曲线。
混凝土保护层的三个作用： （1）防止纵向钢筋锈蚀 （2）在火灾等情况下，使钢筋的温度上升缓慢 （3）使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结 梁、板、柱的混凝土保护层厚度与环境类别和混凝土强 度等级有关，见附表3-4 注意：我们通常所说的保护层厚度都是指构件的最小保 护层厚度
§3.1 梁、板的一般构造
第3章 受弯构件的正截面受弯承载力
《混凝土结构设计规范》规定：
对于受弯的梁类构件
m inb A hs 0.45ffy t ,0.2% 取 大 值
对于地基上的混凝土板 ，最小配筋率可适当降低，但不应小于
0.15％。
§3.3 正截面受弯承载力计算原理
第3章 受弯构件的正截面受弯承载力
§3.4 单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算 1 基本计算公式 适用条件
或 s smax
防止发生少筋破坏
As mibn h
第三章 受弯构件的受力分析(3、4)
适筋 ( max ) 界限 ( max ) 配筋 c b d s y s y s y
超筋 ( max )
x xb
b
x ——相对受压区高度，即 h 0
——界限相对受压区高度， b
b
见表4-1
xb h0
（2）防少筋
M 0
or
1 fc bx f y As
x M M u 1 fc bx h0 2
x M M u f y As h0 2
M —— 外荷载所产生的弯矩设计值
M u —— 截面自身的抗弯承载力
T
—— 钢筋所受拉力
f y —— 钢筋抗拉强度设计值（屈服源自度）(老规范为 fcm )
1
—— 系数．
当砼强度等级不超过C50时， 1 1.0 ．
四、基本公式的建立
1 fc
C 1 fc bx
中和轴以下的受拉区 T f y As 正截面受力分析 中和轴以上的受压区 C 1 fc bx
由平衡方程可得承载力计算的基本公式
X 0
y
s
s
4、采用理想化的钢筋
s ~ s 曲线
0
0
C
三、应力图形的简化
0
1 fc
C
C 1 fc bx
简化原则 等效 压应力合力的大小相等
作用位置完全相同
结论：
（１）矩形应力图形的砼受压区高度 x 0.8 x0
x0
—— 砼实际受压区高度．
（２）矩形应力图形的应力值为
1 fc
求：试校核该梁是否安全？（Mu）
步骤：
1、由已知的 b h ，M，As ， fc
超筋 ( max )
x xb
b
x ——相对受压区高度，即 h 0
——界限相对受压区高度， b
b
见表4-1
xb h0
（2）防少筋
M 0
or
1 fc bx f y As
x M M u 1 fc bx h0 2
x M M u f y As h0 2
M —— 外荷载所产生的弯矩设计值
M u —— 截面自身的抗弯承载力
T
—— 钢筋所受拉力
f y —— 钢筋抗拉强度设计值（屈服源自度）(老规范为 fcm )
1
—— 系数．
当砼强度等级不超过C50时， 1 1.0 ．
四、基本公式的建立
1 fc
C 1 fc bx
中和轴以下的受拉区 T f y As 正截面受力分析 中和轴以上的受压区 C 1 fc bx
由平衡方程可得承载力计算的基本公式
X 0
y
s
s
4、采用理想化的钢筋
s ~ s 曲线
0
0
C
三、应力图形的简化
0
1 fc
C
C 1 fc bx
简化原则 等效 压应力合力的大小相等
作用位置完全相同
结论：
（１）矩形应力图形的砼受压区高度 x 0.8 x0
x0
—— 砼实际受压区高度．
（２）矩形应力图形的应力值为
1 fc
求：试校核该梁是否安全？（Mu）
步骤：
1、由已知的 b h ，M，As ， fc
03-受弯构件的正截面受弯承载力解析
min
As bh
as
h
h0=h-as
b
17
3.保护层厚度
最外层钢筋（箍筋、构造筋、分布筋等） 的外表面到截面边缘的垂直距离。
保护层的作用：
1）不锈蚀，2）防火，3）粘结
梁、板混凝土保护层厚度与环境类别和 混凝土强度等级有关，最小厚度见附表43
一类环境，梁C=20mm；板C=15mm
18
3.2 受弯构件正截面受弯性能
中和轴继续上升，受压区高度进一步减小， 受压区混凝土应变增大迅速，塑性特征更充 分，压应力图形更丰满。Ⅲa——截面破坏。
注意：此阶段受拉钢筋应力大致不变
ec
xn f
M
ec
xn f Mu
es
fy
es
fy 24
三阶段应变特点：
随荷载增加，应变不断增加，但平均量 仍保持直线，符合平截面假定。
三阶段与设计计算的联系
eu
0.0033
0.0032
0.0031
0.003 32
3.3.2－3.3.3 合力作用点与等效矩形应 力图
基于假定1与假定3可得到理想应力图
基于受压区合力C作用点与大小不变可得 到计算矩形应力图
x=β1xc; ≤C50时， β1＝0.8
ξ=x/h0
xc
C
xc
fc
Cx
α1fc
C
Mu
Asfy
实际应力图
净距25mm 钢筋直径d
c
c
h h0
c2
钢筋直径d
h h0
b
9
分布钢筋
h0
h
受力钢筋
受力筋常用HRB400级和HRB500级，常 用直径为8、10、12mm
_第三章 受弯构件的正截面承载力计算(
二.截面尺寸
为统一模板尺寸、便于施工，通常采用梁
宽度b=120、150、180、200、220、 250mm， 250mm以上者以50mm为模数递增。 梁高度h=250、300、350、 400 、…800mm ，800mm以上者以100mm为 模数递增。
h
b
简支梁的高跨比h/l0一般为1/8 ~ 1/16。 矩形截面梁高宽比h/b=2.0~ 3.5，T形截面
B F 5 0 0 ， H P B 3 0 0 、 B 4 0 0
H
R
H
R
截面尺寸确定
● 截面应有一定刚度，使正常使用阶段的验算能满足 挠度变形的要求。 ● 根据工程经验，常按高跨比h/l0 来估计截面高度： ● 简支梁可取h=(1/8 ~ 1/16)l 2~1/ 3. 5)h ； 0 ，b=(1/ ● 简支板可取h = (1/25 ~ 1/40) l0 。
（
）
2种破坏情况—超筋破坏
..\..\混凝土结构设计原理录像\超筋梁的破坏.wmv
配筋量过多： 受拉钢筋未达到屈服，受压砼先达到极限压应
变而被压坏。 承载力控制于砼压区，钢筋未能充分发挥作 用。 裂缝根数多、宽度细，挠度也比较小，砼压坏 前无明显预兆，属脆性破坏。
（三）第3种破坏情况——少筋破坏 ..\..\混凝土结构设计原理录像\少筋梁的破坏.wmv
M u 2 f bh 1 c 0 b
(1 0.5 b )
⒊承载力复核 如果 如果
M ≤ Mu M > Mu
安全 不安全
方法二、查表法 ⒈验算配筋率： 如果 ≥ min 则按步骤2. 进行。
< min 则按素混凝土梁计算Mu。
⒉由①式计算
第3章1 受弯构件正截面承载力
3.1 受弯构件的截面形状与尺寸
(2) 材料选择与一般构造 梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级或RRB400级和 HRB335级，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、 20mm、22mm和25mm，根数不得少于2根。梁内受力钢筋的 直径宜尽可能相同，当采用两种不同的直径时，它们之间相 差至少应为2 mm，以便在施工时容易为肉眼识别，但相差 也不宜超过6 mm。对于绑扎的钢筋骨架，其纵向受力钢筋 的直径：当梁高为300mm及以上时，不应小于10mm；当梁 高小于300mm时，不应小于8mm。 为了固定箍筋并与钢筋连成骨架，在梁的受压区内应设 置架立钢筋。架立钢筋的直径与梁的跨度l有关。当l>6m时， 架立钢筋的直径不宜小于12mm；当l=4～6 m时，不宜小于 10 mm；当l<4 m时，不宜小于8 mm。
3.1 受弯构件的截面形状与尺寸
(2) 材料选择与一般构造 梁下部钢筋水平方向的净距不小于钢筋直径，也不 小于25mm；上部钢筋水平方向的净距则不应小于1.5倍钢 筋直径，也不应小于30mm。竖向净距不小于钢筋直径也 不应小于25mm。见图3-4。
净距30mm 钢筋直径d c25 mm d h h0=h-60 c 净距25mm 钢筋直径d h h0=h-35
3.1 受弯构件的截面形状与尺寸
(2) 材料选择与一般构造 当梁扣除翼缘厚度后的截面高度大于或等于450mm时，在 梁的两个侧面应沿高度配置纵向构造钢筋，每侧纵向构造钢筋 (不包括受力钢筋及架立钢筋)的截面面积不应小于扣除翼缘厚 度后的截面面积的0.1％，且其间距不宜大于200mm。 梁的箍筋宜采用HPB235级(Ⅰ级)和HRB335(Ⅱ级) 的钢筋， 常用直径是6mm、8mm和10mm。 板的受力钢筋常用HPB235级(Ⅰ级)和HRB335级(Ⅱ级) 钢 筋，直径通常采用6mm，8mm，10mm。采用绑扎配筋时，受 力钢筋的间距一般不小于70mm；当板厚h≤150mm时，不应大 于200m；当板厚h>150mm时，不应大于1.5h，且板的每米宽度 内不应少于3根。
第3章-受弯构件正截面承载力计算详解优选全文
三、混凝土保护层厚度c和截面有效高度 1．混凝土保护层厚度c 1）作用
防止钢筋锈蚀；保证混凝土对受力筋的锚固。 2）定义
构件最外层钢筋（包括箍筋、分布筋等构造筋）的 外缘至混凝土表面的最小距离c。
14
第三章 受弯构件正截面承载力计算
3）规定
①c不应小于钢筋的公称直径d或并筋的等效直径de； ②设计使用年限为50年的混凝土结构，c还应符合表3-2的规定； ③设计使用年限为100年的混凝土结构，c不应小于表3-2中数
12
第三章 受弯构件正截面承载力计算
（2）架立钢筋
1）作用
①形成钢筋骨架；
②承受混凝土收缩及温度变化产生的拉力。
2）要求
当梁上部无受压钢筋时，需配置2根；
当梁的跨度l0＜4m时，直径不宜小于8mm；
当l0＝4m～6m时，直径不应小于10mm；
当l0＞6m时，直径不宜小于12mm。
13
第三章 受弯构件正截面承载力计算
纵向受力钢筋的最小间距
间距类型 钢筋类型 最小间距
水平净距
上部钢筋
下部钢筋
30mm和1.5d
25mm和d
垂直净距（层距） 25mm和d
注 1.当梁的下部钢筋配置多于二层时，两层以上钢筋水平方向的中距应比下面两层的 中距增大一倍；
2.d为钢筋的最大直径。
10
第三章 受弯构件正截面承载力计算
③梁的配筋密集区域，当受力钢筋单根配置导致混 凝土难以浇筑密实时，可采用两根或三根一起配置 的并筋形式。
值的1.5倍。 ④当有充分依据并采取一定的有效措施时，可适当减小混凝土
保护层的厚度。
表3-2 混凝土保护层厚度的最小厚度
环境类别
一 二a 二b 三a 三b
防止钢筋锈蚀；保证混凝土对受力筋的锚固。 2）定义
构件最外层钢筋（包括箍筋、分布筋等构造筋）的 外缘至混凝土表面的最小距离c。
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第三章 受弯构件正截面承载力计算
3）规定
①c不应小于钢筋的公称直径d或并筋的等效直径de； ②设计使用年限为50年的混凝土结构，c还应符合表3-2的规定； ③设计使用年限为100年的混凝土结构，c不应小于表3-2中数
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第三章 受弯构件正截面承载力计算
（2）架立钢筋
1）作用
①形成钢筋骨架；
②承受混凝土收缩及温度变化产生的拉力。
2）要求
当梁上部无受压钢筋时，需配置2根；
当梁的跨度l0＜4m时，直径不宜小于8mm；
当l0＝4m～6m时，直径不应小于10mm；
当l0＞6m时，直径不宜小于12mm。
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第三章 受弯构件正截面承载力计算
纵向受力钢筋的最小间距
间距类型 钢筋类型 最小间距
水平净距
上部钢筋
下部钢筋
30mm和1.5d
25mm和d
垂直净距（层距） 25mm和d
注 1.当梁的下部钢筋配置多于二层时，两层以上钢筋水平方向的中距应比下面两层的 中距增大一倍；
2.d为钢筋的最大直径。
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第三章 受弯构件正截面承载力计算
③梁的配筋密集区域，当受力钢筋单根配置导致混 凝土难以浇筑密实时，可采用两根或三根一起配置 的并筋形式。
值的1.5倍。 ④当有充分依据并采取一定的有效措施时，可适当减小混凝土
保护层的厚度。
表3-2 混凝土保护层厚度的最小厚度
环境类别
一 二a 二b 三a 三b
第三章 受弯构件(1)
受弯构件是指仅承受弯矩和剪力的构件。 梁和板的区别在于：梁的截面高度一般都远大 于其宽度，而板的截面高度则远小于其宽度。 梁、板的制作工艺有现浇和预制两种，相应的 梁、板叫现浇梁、现浇板和预制梁、预制板。 常见梁板的截面形式见图3.1、图3.2、图3.3所 示。 受弯构件在荷载的作用下，截面上将承受弯矩 和剪力的作用。
图3.5 板的配筋
3.1.2 梁的构造规定
3.1.2.1 梁的截面尺寸
1.模数要求
为了统一模板尺寸和便于施工，梁的截 面尺寸应符合模数要求。当梁高h≤800mm时， h为50mm的倍数，当h＞800mm时，为100mm 的倍数。当梁宽b≥250mm时，b为50mm的倍数； 当梁宽b＜250mm时，梁宽可取b=120mm、 150mm、180mm、200mm、220mm。
达到其实际的抗拉强度ft和抗拉极限应变值εt。截面处 在要开裂而又未开裂的临界状态（图3.11(b)），这种 受力状态称为第Ⅰa阶段。
3.2.2.2 第Ⅱ阶段——从截面开裂到受拉区纵 向受力钢筋开始屈服的阶段
截面受力超过Ⅰa阶段后,受拉区混凝土开裂,截 面上应力发生重分布，裂缝处混凝土不再承担拉应 力，退出工作，钢筋的拉应力突然增大，受压区混 凝土出现明显的塑性变形，应力图形呈曲线（图 3.11(c))，这种受力阶段称为第Ⅱ阶段。 荷载继续增加，裂缝进一步开展上移，钢筋和 混凝土的应力不断增大。当荷载增加到某一特定数 值时，受拉区纵向受拉钢筋开始屈服，钢筋应力达 到其屈服强度（图3.11(d)），这种特定的受力状态称 为第Ⅱa阶段。
混凝土强度等级、受力钢筋直径等因素的影响。
按表3.3采用，但同时也不应小于受力钢筋的直径，如
图3.8所示。
钢筋混凝土受弯构件实例分析加原理解释
第三章钢筋混凝土受弯构件问答题1.适筋梁正截面受弯全过程可划分为几个阶段？各阶段的主要特点是什么？与计算有何联系?1.答：适筋梁正截面受弯全过程可划分为三个阶段—混凝土开裂前的未裂阶段、混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段和钢筋开始屈服前至截面破坏的破坏阶段。
第Ⅰ阶段的特点是：1）混凝土没有开裂；2）受压区混凝土的应力图形是直线，受拉区混凝土的应力图形在第Ⅰ阶段前期是直线，后期是曲线；3）弯矩与截面曲率基本上是直线关系。
I阶段可作为受弯构件抗裂度的计算依据。
a第Ⅱ阶段的特点是：1）在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土推出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋没有屈服；2）受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；3）弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快了。
阶段Ⅱ相当于梁使用时的受力状态，可作为使用阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据。
第Ⅲ阶段的特点是：1）纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区混凝土压应力曲线图形比较丰满，有上升曲线，也有下降段曲线；2）由于受压区混凝土合压力作用点外移使内力臂增大，故弯矩还略有增加；3）受压区边缘时，混凝土被压碎，截面破坏；4）弯矩—曲率关混凝土压应变达到其极限压应变实验值0cu系为接近水平的曲线。
第Ⅲ阶段末可作为正截面受弯承载力计算的依据。
2.钢筋混凝土梁正截面受力全过程与匀质弹性材料梁有何区别？2．答：钢筋混凝土梁正截面受力全过程与匀质弹性材料梁的区别有：钢筋混凝土梁从加载到破坏的全过程分为三个阶段；从第Ⅱ阶段开始，受拉区混凝土就进入塑性阶段，梁就开始带裂缝工作，受拉区拉力都由钢筋来承担，直到第Ⅲ阶段末整个梁破坏，而匀质弹性材料梁没有这两个阶段,始终是在弹性阶段内工作的。
3.钢筋混凝土梁正截面有哪几种破坏形态?各有何特点？3. 答：钢筋混凝土梁正截面有适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏三种。
第3章 受弯构件
85(kN m) 80(kN m) 故安全
第三节 正截面承载力计算
例3-6： 某简支梁，受力情况如下图所示。试对该梁进 行截面设计。
gk=12.3kN/m qk=7.8kN/m
第3章 受弯构件
第二节 受弯构件的一般构造要求
例3-2：某雨篷板，悬挑长度 l = 1200mm，求板厚h = ?
根部： h l0 1200 100mm 12 12
自由端：60 mm
第3章 受弯构件
第二节 受弯构件的一般构造要求
3.板的支承长度
支承长度a h（板厚）及 120 mm
第3章 受弯构件
4.钢筋
第二节 受弯构件的一般构造要求
第3章 受弯构件
第二节 受弯构件的一般构造要求
板中纵向受力钢筋：
直径d: d＝6～12mm
间距S: 当板厚h≤150mm时，70mm≤S≤200mm 当板厚h>150mm时，S≤1.5h，且S≤250mm
板中分布钢筋：
面积:分布筋截面面积/m 受力筋截面面积的15％/m 间距S: S≤250mm
(2)截面尺寸
第二节 受弯构件的一般构造要求
必须满足承载力，刚度，抗裂度三方面要求
1)梁的截面高度h —— 一般根据刚度条件确定
不需作挠度计算的截面最小高度
项次 结构种类
简支 两端连续 悬臂
整 体 次梁 l0/20
l0/25
l0/8
1 肋形梁 主梁
l0/12
l0/15
l0/6
2
独立梁
l0/12
l0/15
—纵向受拉钢筋的截面面积
—截面的宽度
梁
—截面的高度
板
as
as as
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M A coskl M B
M
2 A
2M
AM
B
coskl
M
2 B
coskx
M A sin kl
M
2 A
2M
AM
B
cosk
l
M
2 B
kl P 故０ kx
PE s in kx 0，coskx 0
M max M x EIyx
M B
(M A / M B )2 2(M A / M B ) coskl 1 sin2 kl
A
ql 2EIk 3
，B
ql 2 EIk 3tg
kl
，C
ql 2EIk 2
，D
ql 2 EIk 3tg
kl
2
2
ql
cos kx
1 kx2
y
2EIk 3
sin kx
tg
kl 2
kx tg kl 2
l
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7
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
M max
EI
y x0
EI
y xl
2)
secu 1 1 u2 5 u4 61 u6 2 24 720
考虑到：u2 2 P 2.4674 P
4 PE
PE
2020/10/19
3
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
ym a x
0(1 1.0034
P PE
1.0038( P PE
)2
)
0(1
P Pcr
0.610
P Pcr
0.608
P Pcr
1
0.6
P Pcr
1.097
1.030
P Pcr
1.017
P Pcr
2
1.013
P Pcr
3
2020/10/19
8
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
1
0.6
P Pcr
1
P Pcr
P Pcr
2
P Pcr
3
2 e( u2 5 u4 61 u6 277 u8 )
2 24 720 8064
e1.234
P PE
1.268( P )2 P4
1.273( P )3 P4
1.273( P )4 P4
e 1.234 P PE
1
1.028
P PE
1.032( P )2 P4
1.032( P )3 P4
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3.1弹性压弯构件的基本微分方程
1.234P e PE
Pel2 8EI
Ml2 8EI
0
0
1
1.028
P PE
(1 1.004
P PE
1.004
P2 PE2
)
0
1
1.028
P PE
1
1
P PE
1
0.028
P
0
PE 1 P
PE
１
０
１
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EIyIV Py 0
y Asin kx B coskx Cx D
x 0 y 0 y M A EI
x
l yl
0 yl
MB EI
可求得A
M A coskl M B EIk2 sin kl
，B
MA EIk2
C
MA MB EIk2l
，D
MA EIk2
10
10
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
ql2 12
3(tgu u)
u2tgu
2EI
式中：u kl
22
P
PE 2
P Pcr
PE Pcr 2
P Pcr
( l )2 2EI
l2
P , 0.5, u2 9.8696 P
2 Pcr
Pcr
2
3
4
3(tgu u) u2tgu
1
0.658
P Pcr
0.618
P PE
( P PE
)2
)
0
1
1
P
PE
M max
ql2 8
P
ql2 8
1
5Pl2 48EI(1
P
)
M
0
1
1.028 P PE
1 P
PE
PE
M
0
( 1
1
P
) 考虑轴力的P
效应
PE
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4
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例2
e(sec kl 1) e(secu 1)
1 0.4 P
1
0.6
P Pcr
1
1 P/
Pcr
Pcr 1 P
Pcr
M
max
1
1
0.4 P Pcr
P
M
0
Pcr
1 P
弯矩放大系数Am
1
Pcr P
m
1 P
Pcr
Pcr
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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
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12
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
受同向曲率弯矩作用时M B M A
Mmax M B
(M A / M B )2 2(M A / M B ) coskl 1 sin2 kl
1
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例1
解：此时f (x) q x2 qx2
2EIk 2
2P
利用边界条件： x 0时y0 0，y0 0 x l时yl 0，yl 0
可求得： B
D
q k2P
A
C
qlk
q 2P
1 cos kl sin kl
2P
y
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
第三章 压弯构件的弯曲屈曲
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
2020/10/19
由剪力平衡：dQx dx
qx
由弯矩平衡：dM x dx
Qx
P
dy dx
0
EIyIV Py qx
k 2
P EI
，y IV
k 2 y
qx
/
EI
非齐次四阶微分方程：
y Asin kx B coskx Cx D f (x) 其中f (x)为满足微分方程的特解
P
1 0.234 P
M max P(e ) M secu M (
PE 1 P
)
PE
PE
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6
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例3均匀横向荷载的固端构 件
该情况的特解为 f (x)
qx2
qx2
2EIk 2 2P
边界条件y0 0，y 0，yl 0，yl 0
y
1 EIk2
c osk l sin kl
sin kx
coskx
x l
1M A
1 EIk2
1 sin kl
sin
kx
x l
M
B
取 dM 0，y 0得tgkx M A coskl M B
dx
M A sin kl
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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
由上图知sin kx
q k2P
tg
kl 2
sin
kx
cos kx
1
k2x 2
(l
x)
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2
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
ymax
ql4 16u 4 E I
1
cosu cosu
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u2 2
式中u kl l P P
2 2 EI 2 PE
5ql 4 384EI
12(2 secu u2 5u4