定点线与抛物线相交问题引发的探究与思考

高三一轮复习之直线与抛物线（第一课时）——直线与抛物线相交问题的研究说课稿各位专家，各位老师：大家好！我说课的课题是高三一轮复习课《直线与抛物线》第一课时，我想通过这节课同时表达一种教学理念——关注学生发展，构建有效课堂。

1、说教材解析几何是中学数学的核心内容之一，根据《2011年浙江省普通高考考试说明（文科）》所列数学考试内容的要求，能解决直线与抛物线的位置关系等问题。

鉴于它的重要地位，直线与抛物线这块内容的复习我分成三个课时来完成：第一课时研究直线与抛物线相交问题时是用设直线方程，求交点坐标或者是用韦达定理的方法来解决；第二课时研究直线与抛物线相交问题时用先设点的坐标（不设直线方程），然后利用三点共线斜率相等，代换的方法来解决；第三课时主要研究直线与抛物线问题中所产生的最值问题。

本节课内容是《直线与抛物线》第一课时,着重是教会学生用坐标法研究直线与抛物线位置关系中的直线与抛物线相交问题，应用方程联立，代换，韦达定理的方法，最终能够自主解决重庆的关于直线与抛物线的高考题。

在教学过程中，让学生体会方程思想、等价转化、数形结合等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。

2、说目标学情分析：在此之前,学生已复习了直线的基本知识，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质及直线与圆的位置关系,对直线和抛物线的位置关系有了一定的了解，但缺乏综合性问题的“实战”经验。

根据以上探讨，确定本节课的目标及达重难点如下：知识与技能目标：①会用焦点弦公式求过抛物线焦点的弦长。

②会用弦长公式解有关弦长的简单问题。

③能够归纳直线与抛物线的一般解题步骤，通过练习，提高运算能力。

过程与方法目标：①经历从三个熟悉的题型到高考题的蜕变，体会具体方程与一般方程在解法上的区别与联系，从具体到一般的数学本质。

②通过求解的过程，体会转化与化归，分类讨论，数形结合的数学思想方法。

情感态度价值观目标：通过对斜率是否存在的分类讨论，培养学生形成扎实严谨的科学作风 重点：通过例题及练习，归纳出直线与抛物线的一般解题步骤难点：体会解析几何中设而不求，整体代换的解题方法关键：从变式到高考题的转化3、 说教法本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法。

抛物线中的直线过定点问题The problem of a straight line passing through a fixed point in a parabola is a classic problem in geometry and algebra. This problem has intrigued mathematicians for centuries and continues to be a challenging question for students and researchers alike. The intersection of a straight line with a parabola is a fundamental concept in analytic geometry, and understanding the relationship between the two shapes is essential for solving this problem.抛物线中的直线过定点问题是几何和代数中的一个经典问题。

这个问题几个世纪以来一直让数学家们感到困惑，也一直是学生和研究人员的一个具有挑战性的问题。

直线与抛物线的相交是解析几何中的一个基本概念，理解这两种形状之间的关系对于解决这个问题至关重要。

One way to approach this problem is to use the standard equation of a parabola and the equation of a straight line to find the points of intersection between the two. By substituting the equation of the straight line into the equation of the parabola, we can solve for the values of x and y where the line intersects the parabola. This approach utilizes the fundamental principles of algebra andgeometry to analyze the relationship between the parabola and the straight line.解决这个问题的一种方法是使用抛物线的标准方程和直线的方程来找到两者之间的交点。

抛物线中的直线过定点问题首先，我们需要了解抛物线和直线的基本性质。

抛物线是平面上一种特殊的曲线，其定义是所有到定点的距离与焦点到直线的距离相等。

直线是平面上的一条直线，其定义是由两个点所决定的，在平面上是长度最短的路径。

抛物线一般表示为一元二次方程：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数且$a\neq0$。

直线一般表示为一般方程：$y=mx+n$，其中$m$、$n$为常数且$m\neq0$。

我们要求的是抛物线和直线的交点问题，即找到一个直线，使其通过指定的定点，并且与抛物线相交。

首先我们假设直线过定点$(x_0,y_0)$，则直线方程可表示为$y-y_0=m(x-x_0)$。

将直线方程代入抛物线方程，可得方程组：$$\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\y-y_0=m(x-x_0)\end{cases}$$将上述两个方程进行合并整理，我们可以得到一个一元二次方程：$$ax^2+bx+c-mx+my_0=0$$令上式为0，我们可以得到一个关于$x$的二次方程。

解这个二次方程，我们可以得到两组解$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，这两组解就是直线与抛物线的交点。

通过这种方法，我们可以找到一个直线，使其通过指定的定点，并且与抛物线相交。

这个问题在数学中有很多的应用，例如在建筑工程、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

总结一下，抛物线中的直线过定点问题是一个经典的数学问题，通过数学原理和推导我们可以解决这个问题。

通过了解抛物线和直线的基本性质，我们可以建立方程组求解交点，从而找到直线与抛物线的交点。

这个问题涉及到高等数学的知识，需要一定的数学基础和推理能力来解决。

希望通过这篇文章的讲解，读者能够更加深入地理解抛物线和直线的关系，提高数学解题能力。

【写至此，字数达到要求，可以继续扩充内容或者进行总结】。

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小组讨论提纲：（1）本题的关键词；直线如何画？会两个问题的区别如果不画图容易丢解，再
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个向上平移6??kxyn单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象的取有公共点时，Gn 值范围．课题探究直线与抛物线的交点问题例题中对函数图象的分析示意图1.形数方程组的解的问题函数图象的
板书交点问题设计解题策略：明确动直线与抛物线；1. 动手操作，确定临界时刻——形；用数解形，求出临界时刻——数
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抛物线中的定值、定点问题抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A .由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得：变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。

抛物线中的一类定点问题探究及其应用抛物线中的一类定点问题探究及其应用抛物线是数学中最常见的曲线，也是一般的几何图形所不可缺少的成分。

抛物线表示的是定义域中的每个点，都能找到与之相关的参数值，可以用来模拟许多实际形象。

在数学中，抛物线是一类定点问题，指的是在抛物线上确定一个或多个点，以求解特定的物理结果。

研究者总会开展以定点问题来研究抛物线并分析其特性，以期了解其在物理和工程中的应用。

因此，本文将探讨抛物线中一类定点问题的内容以及该问题的应用。

一、抛物线中的一类定点问题定点问题是指在抛物线上存在一点或多点，设定抛物线的参数和变量，求解出该点或这些点满足的特定条件。

这类问题的本质是确定抛物线的单个或多个特殊点，或找出可以求出特定点的某些方程。

定点问题与一般函数方程之间的区别在于，它们是专门设计用来确定抛物线特殊点的。

二、特殊定点问题定点问题中的特殊点可以是最低点、最高点、拐点等，也可以是抛物线对称轴的关于点。

其中最常见的方程是追求最高点的四次抛物线，即求出抛物线顶点所处的坐标x和y，以及a值(a是抛物曲线占整条曲线比例)。

这是一个特殊定点问题，它通常用于物理学和工程学中的力学模型，或计算机图形学中的视角变换算法。

三、定点问题的应用1. 非线性力学由于定点问题能够使抛物线上特殊点定位，非线性力学研究者可以利用定点问题来计算复杂的力学运动，例如求解例子中的抛物线的最高点，从而推算物体作特定轨迹运动的能量及力学保守量。

2. 成像设计另外，定点问题也应用于成像技术和图像传输设计中，使它能够根据抛物线对称原理模拟物体的位置和视角，从而在图像转换算法中实现恒定视角和不变焦比率的传输。

3. 运动截取此外，定点问题还有助于影视剪辑艺术中的运动截取，因为在它的基础上可以分析出可以分析出摄像机的关键帧等信息。

四、结论以上就是有关抛物线中定点问题的相关内容以及其被应用在物理学、工程学中的结果。

定点问题通过研究抛物线上特殊点或某些方程，可以获得相应的物理图形，为科学研究和工程实践提供解决问题的基础。

中考数学压轴题专题 抛物线与直线交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。

2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。

3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。

教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。

2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。

教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。

讲授方法：讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。

练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。

（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。

2、已知抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1 △抛物线与x 轴相交（2 △抛物线与x 轴相切（3 △抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y =1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y =3有两个交点，求c 的取值范围。

（2） 如果对于任意x ，总有y >3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △抛物线与直线相交（2 △抛物线与直线相切（3 △抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l c bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c =-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x <1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y =2x 交点的横坐标均为整数，且m <2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。

探索抛物线的性质及相关应用抛物线是数学中的一种曲线，其性质和相关应用广泛存在于物理学、工程学和计算机图形学等领域中。

本文将探讨抛物线的性质，并介绍一些与抛物线相关的实际应用。

一、抛物线的定义和基本性质抛物线可以由以下二次方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

抛物线关于y轴对称，并且具有顶点，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

抛物线开口的方向取决于a的正负。

抛物线最常见的性质是其与直线的交点和切线的问题。

给定一条直线L，与抛物线相交时，交点的个数和位置取决于直线与抛物线的位置关系。

当直线与抛物线相切时，两者只有一个交点，并且该交点与抛物线的切线垂直。

二、抛物线的相关应用1. 物理学中的抛物线在物理学中，抛物线的性质广泛应用于描述物体的运动轨迹。

当物体在重力作用下航行时，如果没有其他力的干扰，物体的运动轨迹将近似为一个抛物线。

例如，抛体运动、炮弹发射和篮球运动等都可以用抛物线来描述其运动轨迹。

2. 工程学中的抛物线抛物线的弧度比直线更适合用于设计桥梁、拱门和塔等结构。

因为抛物线能够更好地分散载荷并减小结构所承受的应力。

在建筑设计中，通过合理地运用抛物线的形状，可以使得结构更加稳定和耐久。

3. 计算机图形学中的抛物线在计算机图形学中，通过适当地控制抛物线的参数，可以生成各种各样的曲线和图案。

例如，利用贝塞尔曲线对抛物线进行控制，可以绘制出平滑的曲线和曲面。

抛物线的性质被广泛应用于计算机动画、三维建模和游戏开发等领域。

三、抛物线的实际应用示例1. 抛物线的反射原理抛物线的反射原理被应用于设计太阳能反射器，用于集中太阳光并产生热能。

通过将反射器设计为抛物线形状，可以最大程度地集中太阳能并提高能量转换效率。

2. 抛物线的抛体运动抛物线的抛体运动被广泛应用于体育项目中，如投掷项目、自由落体等。

通过合理地控制力度和角度，可以使物体做出优美的抛物线轨迹，实现最佳的运动效果。

函数定点问题及解析
函数的定点问题是指寻找一个函数的输入和输出相等的点，也
就是函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点。

数学上，我们可以用
方程f(x) = x来表示函数的定点问题，其中f(x)表示函数的输出，x表示函数的输入。

要解定点问题，就是要找到方程f(x) = x的解。

这意味着我们需要找到函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点的坐
标值。

从代数的角度来看，解定点问题就是要找到方程f(x) = x的根，也就是函数f(x)与直线y = x的交点的横坐标值。

这些交点就是函
数的定点。

解定点问题的方法包括代数方法和图像分析方法。

代数
方法通常涉及对方程f(x) = x进行变形和求解，而图像分析方法则
是通过观察函数的图像来找到定点。

另外，从几何的角度来看，函数的定点可以被解释为函数图像
上的特殊点，这些点的横坐标和纵坐标相等，也就是函数图像上的
对角线上的点。

这些点在函数图像上通常具有特殊的性质，比如在
对称性和变化率方面具有特殊的性质。

总之，函数的定点问题是函数分析中一个重要的问题，它涉及
到代数、几何和图像分析等多个方面。

解定点问题的方法也多种多样，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法进行求解。

抛物线与直线相交的结论1. 生活中的抛物线与直线嘿，朋友们，今天咱们聊聊抛物线和直线的故事。

听起来有点儿高深，其实这就像生活中的各种关系：有的亲密无间，有的却是相互交错。

想象一下，你在一个秋高气爽的日子里，往空中抛个小球，哇，那球的轨迹就像一条优美的抛物线，真是美得让人心醉啊！而这条抛物线，和一条笔直的线条相遇，结果可就不一样了。

2. 抛物线与直线的交点2.1 交点的意义这交点就像是我们生活中那些重要的时刻，碰撞得刚刚好，擦出火花！简单来说，抛物线和直线可能相交，也可能平行，甚至可能根本就不相遇。

你能想象吗？那样的交点就像一场缘分，让人期待又紧张。

就拿爱情来说，有时候你以为一见钟情，却发现对方其实是走错了路。

这就像数学里的情况，既有可能一拍即合，也有可能各自成风。

2.2 如何判断交点那么，怎么判断抛物线和直线是否相交呢？这就得借助方程了。

我们可以用标准的二次方程来表示抛物线，比如说 (y = ax^2 + bx + c)。

而直线就简单多了，形如 (y = mx + b)。

要找它们的交点，我们需要把这两个方程结合起来，求解 (ax^2 + (b m)x + (c b) = 0)。

这时候就得用到判别式了，听起来是不是有点吓人？但其实只要记住：如果判别式大于零，恭喜你，有两个交点；等于零，只有一个交点；小于零，就算了，没缘分。

3. 交点的实际应用3.1 数学与生活的结合这听起来好像很枯燥，但实际上在生活中可是处处可见！比方说，运动员投掷标枪，标枪飞出的轨迹就是一条抛物线，而风速、投掷角度就像那条直线。

科学家们也在不断研究这类关系，试图找到更好的方法提高运动员的成绩。

没错，数学就在我们身边，真是“用心良苦”啊！3.2 结论与启示所以，亲爱的朋友们，抛物线和直线的相交，其实就是在告诉我们：生活中有太多的可能性。

无论是爱情、事业还是友情，交点的出现总能带来意想不到的惊喜。

咱们不能怕犯错，正如那方程式一样，勇敢去解，结果也许会让你惊喜连连。

关于抛物线相交弦的定点问题探究与推广∗刘建国1,㊀郭建华2,㊀于㊀健2(1.栖霞中学,江苏南京㊀210046;2.金陵中学,江苏南京㊀210005)㊀㊀摘㊀要:圆锥曲线的定值㊁定点问题一直是高考和竞赛考查的一个热点与难点.此类问题主要考查数学运算㊁直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养.文章通过对一道高中数学竞赛预赛试题进行分析,研究过抛物线内一定点的两条相交弦中点所在直线过定点问题,得出结论,并将其推广到一般情形;再通过类比联想,在椭圆中得出相关结论,揭示本源,挖掘其内在联系.关键词:相交弦;定点问题;探究;推广中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)06-0047-04㊀㊀近期,笔者在整理有关高考与竞赛试题过程中,发现了一类定点问题:如果过抛物线内一点P 作两条直线分别交抛物线于点A,B,C,D,点M,N 分别是线段AB,CD的中点,若直线AB与直线CD 的斜率之和为定值(不等于0),则直线MN过一定点.在证明过程中,笔者发现当直线AB与直线CD 斜率之积为定值时,直线MN也过一定点.笔者分别探究了点P在抛物线上和抛物线外两种情形,得出一般性的结论.1㊀试题呈现题目㊀已知点E(m,n)为抛物线y2=2px内一定点,过点E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点.1)当n=0且k1k2=-1时,求әEMN的面积最小值;2)若k1+k2=λ(其中λʂ0,λ为常数),证明:直线MN过定点.(2018年湖北省高中数学竞赛预赛高二年级试题第11题)本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及相交弦的定点问题,是一道综合性较强的试题,意在考查分析问题㊁解决问题以及运算求解能力.下面仅对第2)小题进行探究并得出一系列结论.2㊀结论探究结论1㊀已知抛物线C的方程为y2=2px,点Q(x0,y0)为抛物线C内一定点,过点Q作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线C于点A,D,B,C,设M,N分别为AD,BC的中点.1)当k1+k2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线MN过定点x0-y0λ,pλ();2)当k1k2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线MN过定点x0-y0λ,0().图1证明㊀如图1所示,设N(x N,y N),A(x1,y1),D(x2,y2),直线AD的方程为x-x0=t1(y-y0),直线BC的方程为(x-x0)=t2(y-y0).将直线AD与抛物线C联立x-x0=t1(y-y0),y2=2px,{消去x,得㊀y2-2pt1y-2p(x0-t1y0)=0,根据韦达定理可得y1+y2=2pt1,从而y N=y1+y22=pt1,㊃74㊃2021年第6期中学教研(数学)∗收文日期:2020-12-24;修订日期:2021-02-21基金项目:江苏省南京市教育科学 十三五 规划2018年度立项课题(L/2018/235)作者简介:刘建国(1990 ),男,安徽合肥人,中学一级教师.研究方向:数学教育.x N =x 1+x 22=pt 21+x 0-t 1y 0,即N(pt 21+x 0-t 1y 0,pt 1).同理可得M(pt 22+x 0-t 2y 0,pt 2),则直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =pp(t 1+t 2)-y 0,从而直线MN 的方程为y -pt 1=p(x -pt 21+x 0-t 1y 0)p(t 1+t 2)-y 0,即[p(t 1+t 2)-y 0]y =px -px 0+p 2t 1t 2.(1)又k 1+k 2=1t 1+1t 2=λ,即t 1+t 2=λt 1t 2,代入式(1),化简可得[p(t 1+t 2)-y 0]y -pλ()=p x -x 0+y 0λ(),故直线MN 过定点x 0-y 0λ,p λ().2)当k 1k 2=λ,即1t 1t 2=λ时,代入式(1)可得[p(t 1+t 2)-y 0]y =p x -x 0+p λ(),故直线MN 过定点x 0-y 0λ,0().评注㊀上述证明过程中,当t 1+t 2=0时,直线MN 的方程为y =-p y 0x +px 0-p 2t 1t 2y 0,可知直线MN 的斜率是一个定值,即k 1+k 2=0,直线MN 的斜率为-p y 0.对于一般的情形:当点Q 在抛物线上或抛物线外时,也有相同的结论(如图2㊁图3所示):图2图3结论2㊀已知抛物线C 的方程为y 2=2px ,Q (x 0,y 0)为任意一点,过点Q 作斜率分别为k 1,k 2的直线l 1,l 2,且l 1,l 2与抛物线C 相交,M ,N 分别为直线l 1,l 2与抛物线C 相交弦的中点.1)当k 1+k 2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线MN 过定点x 0-y 0λ,pλ();2)当k 1k 2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线MN 过定点x 0-y 0λ,0().评注㊀证明方法与结论1的证明方法类似,这里不再赘述.关于图2,通过构造中位线,可得如下结论:结论3㊀已知抛物线C 的方程为y 2=2px ,Q (x 0,y 0)为抛物线C 上一定点,过点Q 作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于点B ,D.1)当k 1+k 2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线BD 过定点x 0-2y 0λ,2pλ-y 0();2)当k 1k 2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线BD 过定点x 0-2y 0λ,-y 0().证明㊀如图2所示,当k 1+k 2=λ时,设M,N 分别为QB,QD 的中点,则MN 是әQBD 的中位线.由结论2可知直线MN 过定点G x 0-y 0λ,pλ(),联结QG 并延长交BD 于点P,则G 是QP 的中点.根据中点坐标公式可知P x 0-2y 0λ,2pλ-y 0(),即直线BD过定点x 0-2y 0λ,2pλ-y 0();同理可知,当k 1k 2=λ时,直线BD 过定点x 0-2y 0λ,-y 0().3㊀结论推广由于椭圆与抛物线同属于圆锥曲线,通过类比联想的方法,在椭圆中也有类似的结论,笔者经过研究,得到如下结论:结论4㊀已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1,Q (x 0,y 0)为椭圆内一定点(不在原点上),过点Q作斜率分别为k 1,k 2的两条直线交椭圆C 于点A ,B ,D ,E ,设M ,N 分别为AB ,DE 的中点.1)当k 1+k 2=λ(其中λʂ0,λ为常数)时,直线MN 过定点x 0-y 0λ,-b 2x 0λa 2;㊃84㊃中学教研(数学)2021年第6期2)当k 1k 2=λ(其中λʂb 2a2)时,直线MN 过定点λa 2x 0λa 2-b 2,-b 2y 0λa 2-b 2().评注㊀如图4所示,文献[1]和[2]通过构造一元二次方程进行论证,笔者先得到点M ,N ,Q 在同一个椭圆上,再构造一元二次方程进行论证.在证明该结论之前先给出一个引理.图4图5引理1　已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1,点Q (x 0,y 0)为一定点(不在原点上),过点Q 作一条动直线交椭圆C 于点A ,B ,设M 分别为AB 的中点,则M 的轨迹为椭圆.证明㊀如图5所示,设M(x,y),根据文献[3]的定理1可知k OM k MQ =-b 2a2,即y -0x -0㊃y -y 0x -x 0=-b 2a 2,得a 2y(y -y 0)+b 2x(x -x 0)=0,(2)化简得㊀㊀x -x 02()2a 2+y -y 02()2b 2=x 204a2+y 204b2,即M 的轨迹为椭圆.下面给出结论4的证明:证明㊀1)如图4所示,设N(x N ,y N ),M(x M ,y M ),根据引理可知点M,N,Q 均满足式(2).令xᶄ=x -x 0,yᶄ=y -y 0,则x =xᶄ+x 0,㊀y =yᶄ+y 0,代入式(2),得㊀a 2yᶄ(yᶄ+y 0)+b 2xᶄ(xᶄ+x 0)=0,即a 2yᶄ2+b 2xᶄ2+a 2yᶄy 0+b 2xᶄx 0=0.设直线MN 的方程为mxᶄ+nyᶄ=1,从而㊀a 2yᶄ2+b 2xᶄ2+(aᶄ2yᶄy 0+b 2xᶄx 0)(mxᶄ+nyᶄ)=0,化简得a 2(1+y 0n)yᶄ2+(a 2y 0m +b 2x 0n)xᶄyᶄ+b 2(1+x 0m)xᶄ2=0,等式两边同时除以xᶄ2,得a 2(1+y 0n)yᶄxᶄ()2+(a 2y 0m +b 2x 0n)yᶄxᶄ+b 2(1+x 0m)=0.令t =yᶄxᶄ,得a 2(1+y 0n)t 2+(a 2y 0m +b 2x 0n)t +b 2(1+x 0m)=0,可知k 1,k 2分别是方程的两个根,根据韦达定理可得k 1+k 2=-a 2y 0m +b 2x 0n a 2(1+y 0n)=λ,(3)k 1k 2=b 2(1+x 0m)a 2(1+y 0n)=λ.(4)将式(3)化简,得a 2y 0m +(b 2x 0+λa 2y 0)n +λa 2=0,从而㊀a 2y 0m +(b 2x 0+λa 2y 0)n +λa 2(mxᶄ+nyᶄ)=0,可知(λa 2xᶄ+a 2y 0)m +(b 2x 0+λa 2y 0+λa 2yᶄ)n =0,即过定点-y 0λ,-y 0-b 2x 0λa 2().因为x =xᶄ+x 0,y =yᶄ+y 0,所以x =x 0-y 0λ,㊀y =-b 2x 0λa 2,即直线MN 过定点x 0-y 0λ,-b 2x 0λa 2().2)根据式(4)可得b 2x 0m -λa 2y 0n +b 2-λa 2=0,从而b 2x 0m -λa 2y 0n +(b 2-λa 2)(mxᶄ+nyᶄ)=0,(5)得xᶄ+b 2x 0b 2-λa 2()m +yᶄ-λa 2y 0b 2-λa 2()n =0,故过定点-b 2x 0b 2-λa 2,λa 2y 0b 2-λa 2().因为x =xᶄ+x 0,y =yᶄ+y 0,所以x =-λa 2x 0b 2-λa 2,㊀y =b 2y 0b 2-λa 2,即直线MN 过定点-λa 2x 0b 2-λa 2,b 2y 0b 2-λa 2().评注㊀当k 1k 2=λ=b 2a2时,根据式(5)可知b 2x 0m -b 2y 0n =0,即m n =y 0x 0,故直线MN 的斜率为-mn =-y 0x 0.与抛物线类似,当点Q 在椭圆上或椭圆外时,2021年第6期中学教研(数学)也有同样的结论(如图6㊁图7所示):图6图7结论5㊀已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,Q (x 0,y 0)为任意一点,过点Q 作斜率分别为k 1,k 2的直线l 1,l 2,且l 1,l 2与椭圆C 相交,设M ,N 分别为直线l 1,l 2与椭圆C 相交弦的中点.1)当k 1+k 2=λ(其中λʂ0)时,直线MN 过定点x 0-y 0λ,-b 2x 0λa 2().2)当k 1k 2=λ其中λʂb 2a2()时,直线MN 过定点λa 2x 0λa 2-b 2,-b 2y 0λa 2-b 2().关于图6,可以通过构造中位线,得到如下结论:结论6㊀已知椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,A (x 0,y 0)为椭圆上的定点,过点A 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线分别交椭圆E 于点B ,C.1)当k 1+k 2=λ(其中λʂ0)时,直线BC 过定点x 0-2y 0λ,-2b 2x 0λa 2-y 0();2)当k 1k 2=λ(其中λʂb 2a 2)时,直线BC 过定点λa 2+b 2λa 2-b 2x 0,-b 2+λa 2λa 2-b 2y 0().评注㊀此结论的证明与结论3的证明类似,这里不再赘述.通过上述的结论探究不难发现,2020年新高考全国卷Ⅰ的压轴题㊁2017年全国卷Ⅰ理科第20题均是对以上结论的考查和验证,这体现了高考命题常考常新的命题理念,要求我们在应对高考时要注重平时的积累和题后反思,真正把握题目之间的内在联系.4㊀几点思考1)对解析几何问题的探究,要注重对图形的理解.解析几何的核心思想是用代数的方法解决几何问题,将题目中的文字语言㊁代数语言与图形语言相互转化,因此在探究过程中一定要注重对文字语言的提炼㊁图形语言的转化和对代数语言的分析(如文献[3]).2)对于数学问题的探究,要注重题后反思.对问题的研究要站在一定的高度,不能仅仅局限在会解一道题目的层面上,更要思考这道题目背后所隐藏的一些性质与结论.圆锥曲线定值㊁定点问题在圆锥曲线中通常都有一定的共性,在研究时应该学会思维迁移与类比联想,这就需要我们进行题后反思,通过一个问题引发对一类问题的思考,做到融会贯通㊁触类旁通!只有如此,才能真正理解命题的背景.3)问题探究过程中要注意运算方法的选择.对问题的理解程度与认识深度体现在整个运算过程中.本文中如果应用结论1的证法来证明结论4,将会繁杂而得不出结果,究其原因是因为椭圆中弦中点的斜率关系可以得到等式,而抛物线不满足这种关系.结论1的证明是通过两点式写出直线方程,在此基础上通过斜率的和与积的代换进行运算,而结论4是通过椭圆的弦中点斜率关系得到方程,在此基础上构造一元二次方程,利用韦达定理得到斜率和与积的关系,通过计算进行证明.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀徐存旭.大胆猜想㊀小心验证㊀逐步推广[J ].数学通报,2012(5):40-43.[2]㊀王丙风.椭圆中一类定点定向问题的充分必要条件[J ].数学通报,2018(10):53-56.[3]㊀王丙风.两类定点定向问题的内在联系[J ].数学通讯,2019(4):40-43.中国标准连续出版物号:ISSN 1003-6407CN 33-1069/G4㊀㊀邮发代号㊀32-17㊀㊀字数㊀90000㊀㊀定价㊀5.00元。

基于数学问题本质的揭示与思想方法理解及应用的复习∗以抛物线定点弦问题的探究为例王礼勇1,㊀邵㊀达1,㊀李㊀芳2(1.温州中学,浙江温州㊀325014;2.温州外国语学校,浙江温州㊀325035)㊀㊀摘㊀要:基于数学问题本质的复习课教学,教师应挖掘数学思想方法,感悟数学思维方式,转变数学学习方式,并在此基础上引导学生在体验知识的过程中不断发现问题㊁解决问题,提升学生数学核心素养.关键词:问题本质;思想方法;复习课;解析几何中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)01-0025-04㊀㊀学习数学,不仅要学习数学的相关知识,更重要的是学习数学式的思维,学会分析问题,并进一步解决问题.基于数学问题本质的复习课教学,不仅要引导学生梳理已学的相关内容,而且要让学生积极参与问题的解决,努力分析问题的 源 与 流 ,体现出对数学思想方法的挖掘,提高学生的运用和迁移能力.笔者有幸参加了浙江省高中数学优质课比赛,内容是基于数学问题本质的揭示与思想方法理解及应用的复习.下面以抛物线定点弦问题的探究为例,谈谈自己对于数学问题本质揭示的若干思考,与读者共享.1㊀课堂教学实录1.1㊀教学引例图1问题1㊀如图1,设直线l :y =kx +2(其中k ɪR )与抛物线C :y =x 2相交于点P ,Q ,其中点Q 在第一象限.若点M 是线段PQ 的中点,求点M 到x 轴距离的最小值.设计意图㊀从曲线与方程的关系入手,复习直线恒过定点问题,引出本节课的课题:抛物线定点弦问题的探究.与学生共同探究点M 到x 轴距离的最小值,通过几何与代数方法的运用与比较,让学生在本节课中感受到:几何问题可以用代数方法求解.师:给出抛物线方程C :y =x 2,有对应的抛物线;给出直线方程l :y =kx +2(其中k ɪR ),对应的直线l 具有怎样的特点?生1:直线l 过定点(0,2),交抛物线C 于点P ,Q ,得到弦PQ.师:能否从形上猜测点M 到x 轴距离的最小值?当过定点(0,2)的直线y =kx +2变化时,通过几何画板演示点M 到x 轴距离的最小值变化情况,其中当k =0时,点M 到x 轴距离的最小值为2.师:能否从代数角度严格说明?生2:运用线解析.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x m ,y m ),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y =kx +2,{得x 2-kx -2=0,由韦达定理得㊀㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=-2.将距离问题化为关于k 的二次函数求解,即y M =y 1+y 22=k 2(x 1+x 2)+2=k 22+2ȡ2,当k =0时,y M =2.生3:运用点解析.先寻找点M 的轨迹方程.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x M ,y M ),将点的坐标代入抛物线方程,得y 1=x 21,y 2=x 22,{运用点差法,得y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2=2x M =y M -2x M,∗收文日期:2020-06-11;修订日期:2020-07-11作者简介:王礼勇(1987 ),男,浙江温州人,中学一级教师.研究方向:数学教育.从而y M =2x 2M+2ȡ2.1.2㊀自主探究问题2㊀从代数角度的研究过程中,你发现哪些是定值?设计意图㊀从代数的求解过程中,发现横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积均是定值,斜率的乘积也是定值.师生共同探寻本源,并在本节课中第一次感受:可以用代数方法进一步发现几何性质.师:从代数角度的研究过程中,你发现哪些是定值?还有哪些是定值?商的几何意义是什么?生4:x 1x 2=-2,y 1y 2=x 21x 22=2,x 1x 2与y 1y 2的和㊁差㊁积㊁商均是定值,特别有k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=-2.师:一系列定值的产生,你认为引发的源头在哪里?生5:从代数的求解过程来看,若直线恒过定点(0,2),则横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积㊁斜率的乘积均是定值;若直线恒不过定点,随意移动,则以上乘积不一定是定值.设计意图㊀从特殊到一般,直线恒过定点(0,2)推广至对称轴上的定点,斜率的乘积仍是定值.学生在本节课中第二次感受:研究几何问题可以用代数方法求解,也可以用代数方法进一步发现几何性质.师:换一个定点,不妨先迈一小步,在y 轴上任取一定点T (0,m ),过定点T 的直线交抛物线于点P ,Q,此时定值还成立吗?图2问题3㊀如图2,在y 轴上任取一定点T (0,m ),直线恒过定点T ,此时k OP k OQ 是定值吗?生6:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y =kx +m ,{得x 2-kx -m =0,由韦达定理得㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=-m ,从而y 1y 2=m 2,进而k OP k OQ=y 1y 2x 1x 2=-m (定值).师生共同利用几何画板演示,从形上观察,直线恒过定点T ,斜率的乘积仍是定值.问题4㊀在平面上任取一定点,不妨取N (1,3),直线恒过定点N,此时定值还成立吗?图3设计意图㊀直线恒过平面上的任意一定点(定点不在对称轴上),通过探究可知k OP k OQ 不再是定值.师生继续共同探究:如图3,当直线恒过平面上的定点N 时,抛物线上是否存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值?师:不在对称轴上取定点,在平面上任取一定点,此时定值还会成立吗?不失一般性,不妨设直线恒过定点N (1,3).生7:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y -3=k (x -1),{得x 2-kx +k -3=0,由韦达定理得㊀x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=k -3,从而y 1y 2=(k -3)2,于是k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=k -3.受参数k 的变化而变化,斜率的乘积不是定值!师:在平面上任取一定点(定点不在对称轴上),可知k OP k OQ 不是定值.抛物线C 上是否存在定点A ,使得k AP k AQ 为定值?高拍仪展示学生的解题过程,并作纠正.图4如图4,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),A (a ,a 2),联立直线方程与抛物线方程y =x 2,y -3=k (x -1),{得x 2-kx +k -3=0,由韦达定理得x 1+x 2=k ,㊀x 1x 2=k -3,从而y 1y 2=(k -3)2,于是㊀k AP k AQ =y 1-a 2x 1-a ㊃y 2-a 2x 2-a =(x 1+a )(x 2+a )=(a +1)k +a 2-3a ,当a =-1,即A (-1,1)时,k AP k AQ =-2.师生利用几何画板演示,从形上观察可得直线恒过定点A ,使得k AP k AQ 是定值.师生共同探究,先猜后证:当直线PQ 取极端情形,即斜率不存在,直线PQ 的方程为x =3,此时与抛物线的交点为P (1,1),Q 为无穷远点,即k AQ ңɕ,要使得k AP k AQ 是定值,此时k AP =0,A (-1,1).在此不再赘述.1.3㊀自主应用图5问题5㊀如图5,已知抛物线C :y 2=x 过点A (1,1),过点P (3,-1)的直线与抛物线C 交于两个不同的点M ,N (均与点A 不重合),设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.设计意图㊀引导学生类比前面的研究:当直线恒过平面上的定点时,抛物线上存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值.分析㊀设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x -3=n (y +1),联立方程x -3=n (y +1),y 2=x ,{得y 2-ny -n -3=0,从而y 1+y 2=n ,㊀y 1y 2=-n -3,于是x 1+x 2=n (y 1+y 2)+2n +6=n 2+2n +6,x 1x 2=(y 1y 2)2,故㊀㊀k 1k 2=y 1-1x 1-1㊃y 2-1x 2-1=y 1y 2-(y 1+y 2)+1x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-n -3-n +1(n +3)2-(n 2-2n -6)+1=-2n -24n +4=-12.问题6㊀抛物线上存在定点A ,使得k AP k AQ 是定值.这是偶然的还是必然?必然性体现在哪里?设计意图㊀师生共同探究k AP k AQ 是定值的本源.生8:回到代数方法的求解过程中,利用抛物线方程作代换,消元得(x 1+a )(x 2+a )=(k -3)+kt +t 2,应用韦达定理的过程中,发现两根和与积均划归为一个变量k 控制.师:两根和与积之间存在着怎样的关系?生9:通过消去参数k ,得到了两根和与积的线性关系x 1x 2+3=x 1+x 2,进一步化简可得(x 1-1)(x 2-1)=-2.师:推广到更一般的情形,已知抛物线C :x 2=2py (其中p >0),过点(x 0,y 0)的直线与抛物线C 交于两个不同的点P ,Q ,是否还有类似的线性关系?设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立直线方程与抛物线方程,得x 2=2py ,y -y 0=k (x -x 0),{从而x 2-2pkx -2p (y 0-kx 0)=0,由韦达定理得x 1+x 2=2pk ,㊀x 1x 2=-2p (y 0-kx 0),消去k ,可得㊀(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20-2py 0.师生总结㊀从形上观察:直线恒过定点,交抛物线于两点;从代数上来看,横坐标的和与积间存在着线性关系.一般结论㊀过点(x 0,y 0)的直线与抛物线C 交于两个不同的点P ,Q ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则㊀㊀1)若抛物线C :y 2=2px (其中p >0),则(y 1-y 0)(y 2-y 0)=y 20-2px 0;2)若抛物线C :y 2=-2px (其中p >0),则(y 1-y 0)(y 2-y 0)=y 20+2px 0;3)若抛物线C :x 2=2py (其中p >0),则(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20-2py 0;4)若抛物线C :x 2=-2py (其中p >0),则(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 20+2py 0.图6问题7㊀如图6,已知点P (1,3),Q (1,2).设过点P 的动直线与抛物线y =x 2交于点A ,B ,直线AQ ,BQ 与该抛物线的另一交点分别为C ,D.记直线AB ,CD 的斜率分别为k 1,k 2.当k 1ʂ2时,k 2-2k 1-2是否为定值?若是,求出该定值.设计意图㊀引导学生类比前面的研究,3条直线分别恒过定点,均存在着横坐标的和与积的线性关系.从形上观察,直线AB 恒过定点P ,交抛物线于两点;从代数上来看,有线性关系(x 1-1)(x 2-1)=-2,同理直线AC 恒过定点Q ,有线性关系(x 1-1)(x 3-1)=-1;直线BD 恒过定点Q ,有线性关系(x 2-1)(x 4-1)=-1,从而k 2-2k 1-2=x 3+x 4-2x 1+x 2-2,进一步消元可得结果.1.4㊀自主推广在这里,我们研究的是抛物线背景的问题,能否将问题推广至其他圆锥曲线呢?问题8㊀已知M(r,s)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的定点,P,Q是椭圆C上的两个动点,直线PQ过定点N(x0,y0),问:k MP k MQ为常数吗?1.5㊀课堂小结这节课教会我们几何问题可以用代数的方法求解.进一步,可以用代数的方法发现几何性质,如斜率的乘积是定值.法国数学家苏菲㊃姬曼曾说过: 代数不过是书写的几何,而几何不过是图形的代数.2㊀教学感悟‘普通高中数学课程标准(2017年版)“中指出:通过典型例子的分析和学生自主探究活动,使学生理解数学概念㊁结论逐步形成的过程,体会蕴含在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.开展基于数学问题本质的复习课教学十分有意义:一方面,学生已经有了相对完整的知识块,便于开展学习;另一方面,把握数学问题本质,关注高阶思维,培养学生的核心素养.2.1㊀基于数学问题本质的复习课教学,该如何体现其一,揭示数学问题的本质,体现了对数学思想方法的挖掘.数学思想是以数学知识为载体,蕴含于表层知识之中,数学思想统帅着表层知识,是对知识㊁方法㊁规律的一种本质认识[1].本节课紧紧抓住抛物线的定点弦问题,从几何角度进行猜测,从代数角度严格论证.在形的方面:研究直线过抛物线对称轴上的定点;在数的方面:研究横坐标的乘积㊁纵坐标的乘积是定值㊁斜率的乘积是定值等.本节课充分挖掘条件和结论之间的内在联系,带领学生体会数形结合与类比等思想.其二,揭示数学问题的本质,体现了对数学独特思维方式的感悟[2].本节课中的观察发现㊁归纳类比㊁演绎证明㊁运算求解㊁反思感悟等都是数学思维的具体体现.本节课从抛物线定点弦问题入手,学生对于这一数学学习情境有着一定的理解,在相似的情境中做到举一反三,用线解析或者点解析进行问题的求解,进一步探究定值背后的本源.在形的方面:探究直线恒过定点;在数的方面:探究横坐标的和与积的线性关系;运用研究定点定值的一般处理策略(先猜后证).教师深入领悟典型题目的编写意图,这本身就是寻找解法之间的联系,挖掘数学问题的本质,进一步推广就可以揭示出问题的 深层结构 .其三,揭示数学问题的本质,体现对数学学习方法的转变上.在揭示数学问题的本质过程中,确立以学生为本,倡导学生合作学习㊁探究体验式学习.本节课在似曾相识的情境中引导学生自主探究,以抛物线定点弦入手,将定点由(0,2)推广至全平面上的任意定点,探究定值是否改变,并挖掘定值产生背后的本源.在课程中加强问题探究与信息技术的有机整合,如学生板演展示思考过程,现场投屏展示思维过程,利用几何画板动态演示形成过程,努力揭示数学问题本质.师生间和谐高效互动,体验着创造的乐趣.这些新的学习方式促进学生了解数学产生的过程,感受创造的激情,培养学生勇于反思的习惯,提升发现问题和解决问题的能力,培养学生的创新意识.2.2㊀基于数学问题本质的复习课教学,需要怎么样的课堂布鲁纳在 脚手架 理论中指出:学生不是被动的知识接受者,而是积极的信息加工者.在课堂上,学生是否有深刻的数学思维活动,是否有探究的机会,是否有表达的机会?要让学生拥有这些机会,课堂教学应呈现以下4个特征:问题开放㊁思维多元㊁认知主动和建构丰富[3].基于数学问题本质的复习课教学,是指在教师的带领下,学生围绕着有挑战性的数学主题,积极参与,获得成功体验的有意义学习过程.在这个过程中,通过开放式留白,用问题驱动学生探究,发现问题,及时提问;提出有立意的问题,并留下有挑战的思考空间,把握数学问题的本质和思想方法,从而使得数学核心素养落地生根.在复习教学中把握数学问题本质学习,关注高阶思维和意义建构,并在此基础上引导学生在体验知识的过程中不断发现问题㊁解决问题,提升学生的数学核心素养,方能臻于知其然的化境.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀杨威.抓住数学本质,让数学教育找到回家的路[J].教育科学论坛,2015(10):42-44.[2]㊀张金良.名师面对面之数学核心素养谈[M].杭州:浙江教育出版社,2018.[3]㊀陈柏良.构建深度学习的数学课堂[J].中学数学教学参考:上旬,2017(11):14-17.。

抛物线与线段交点问题最近有学⽣问我中考数学倒⼀的相关问题，让我觉得值得引起考⽣的思考和探究。

本题的第⼀问属于传统的求⼆次函数解析式的问题，不再赘述。

第⼆问事实上就是过抛物线上⼀点作x轴垂线（或y轴平⾏线）与直线交点间的距离的最⼤值问题，也属于同学们平时训练很多的问题。

我们来关注下第三问。

第三问主要是两点，其⼀是与平移变换结合起来，其⼆是抛物线与线段只有⼀个公共点。

我们知道如若是求两个图象的交点，只需把两个图象解析式联⽴，求⽅程的解即可。

本题特殊就在于求的是抛物线与线段的交点，这就给我们的思考提出了新的要求。

如何解决？我想我们的思路很多时候受限于题⽬本⾝，⽽忽视了我们研究问题的⽅法。

我们学习⼆次函数是通过研究⼆次函数的图象来研究其性质，再根据其性质来解决问题，故⽽数形结合思想的运⽤⼀定是我们解决函数问题不能绕过的。

运⽤⼏何画板，我根据题意作出了这个问题的动图，结合图象同学们很容易就可以看出抛物线在平移过程中与线段有⼀个交点所需满⾜的条件。

这个图对于学⽣⽽⾔并不难作，只需要从向上和向下两个⽅向取点作出⽰意图即可满⾜分析的需求。

故⽽解决问题的突破⼝在于正确依据题意作图分析，⽽不是有些同学拿道题⽬盲⽬地计算。

上述题⽬是抛物线对称轴不变，沿对称轴平移的问题，提⽰我们数形结合帮助我们思考分析问题。

下⾯看另⼀道抛物线与线段交点的问题。

本题的特点是抛物线经过定点（0，-1），但对称轴是不确定的，其解析式亦是含参的。

第⼀问求抛物线与直线交点问题，直接联⽴⽅程，由根的判别式即得，这⾥要注意⼆次函数解析式⼆次项系数不为零。

第⼆问涉及⼆次函数轴定区间动的最值问题，是初⾼中衔接的重要体现，需要同学们掌握。

第三问在第⼀问的基础上由直线变成了线段，要求与线段AB有两个不同的交点。

我们同样根据题意画出⽰意图辅助分析，这⾥因为a的不确定性，抛物线开⼝⽅向和对称轴不确定，故⽽需要分类讨论。

根据图象，⼤家可以看到抛物线与线段的交点个数与点A、点B两个特殊点及抛物线开⼝⽅向有关。

抛物线与直线相交的结论嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——抛物线与直线相交的结论。

你们知道吗，这两个家伙可是数学里的好朋友，总是在一起玩耍。

有时候他们玩得很开心，有时候又会闹出一些小矛盾。

那么，他们到底会有什么结论呢？让我们一起来揭晓吧！我们来说说抛物线。

抛物线是一个非常神奇的东西，它的形状像一个“开口朝上”的弧形。

你知道吗，抛物线的名字来源于拉丁语，叫做“parabola”。

这个名字的意思是“抛”，因为在古希腊时期，人们用一个小球来模拟投掷物体的运动轨迹，而这个小球的运动轨迹就是一个抛物线。

所以，抛物线就是模仿小球运动轨迹得出来的一个数学模型。

接下来，我们来说说直线。

直线是一种非常简单的几何图形，它没有弯曲，就像一条笔直的路一样。

你知道吗，直线的名字来源于拉丁语，叫做“linea”。

这个名字的意思是“线”，因为直线就是由无数个点组成的一条线。

所以，直线就是模仿现实世界中的线条得出来的一个数学模型。

那么，抛物线和直线会有什么结论呢？答案是：它们会相交！是不是很神奇？但是，这并不是说所有的抛物线都会和直线相交，也不是说所有的直线都会和抛物线相交。

只有当抛物线的顶点和直线的斜率相等时，它们才会相交。

这个结论非常重要，因为它可以帮助我们解决很多实际问题。

举个例子吧，假设你正在建造一座高楼大厦，你想要在大楼的顶部安装一个摄像头，以便观察周围的环境。

这时候，你就需要用到抛物线和直线的知识了。

你需要确定摄像头的位置，然后根据这个位置画出一条抛物线。

这条抛物线的顶点就是摄像头所在的位置。

接下来，你需要确定摄像机的朝向，也就是摄像机的视线方向。

你需要根据这条视线方向画出一条直线。

这条直线就是摄像机的视线所在的方向。

现在，问题来了：这条抛物线和这条直线会不会相交呢？如果不相交的话，摄像头就无法看到周围的环境；如果相交的话，摄像头就可以顺利地完成任务。

所以，我们需要判断这两条曲线是否会相交。

我们可以通过计算它们的斜率来进行判断。

抛物线过定点问题总结抛物线过定点问题，听起来有点儿复杂吧？其实啊，这就是数学里的一道经典问题，但你别被它的名字吓到，它其实没那么难。

咱们说白了，就是找一条抛物线，这条抛物线得经过一个特定的点，可能是个啥地方，可能是个已知的点。

是不是感觉有点像解谜游戏，没错，数学里的这些问题有时候就像是在玩智力游戏，怎么绕都能绕到那个点上，最重要的是解出来的过程有趣又有成就感。

想象一下，你在路上走，突然被告知，你得走一条特定的轨迹，最后得停在某个特定的点上。

那么问题来了，你怎么才能确定自己的路径？抛物线过定点的核心就是：你给我一个定点，我给你一条曲线，保证它经过这个点。

是不是听起来挺简单？不过，这个过程有点儿技巧，必须找到一些关键的数学条件才能让这条抛物线不偏不倚，恰好“点到为止”。

咱们先从抛物线的标准形式说起。

你肯定知道抛物线的基本方程是 ( y = ax^2 + bx + c )，对吧？这里的 ( a )、( b )、和 ( c ) 是啥？简单说，就是抛物线的“形状”和“位置”决定因素。

这三个数值直接影响到抛物线的开口方向、宽窄程度和顶点位置。

关键就是，你得搞清楚这三个数值跟定点的关系。

有个小诀窍：如果给你一个定点，比如 ( (x_0, y_0) )，这意味着抛物线上的某个位置必定得是 ( (x_0, y_0) )。

你就可以代入这个点到方程中，代替 ( x ) 和 ( y )，从而得到一个方程。

这时候，剩下的就是要通过这个方程来确定 ( a )、( b )、和 ( c ) 的值了。

听起来是不是有点儿像是拼图？拼出一个抛物线的位置和形状。

对了，这个过程里，有时候你还得用到其他的已知条件，比如顶点的位置、或者对称轴等信息，这样你就能更加准确地确定抛物线的方程。

你可能会觉得，这个过程是不是有点儿枯燥，没那么有趣？反过来想想，这不就是数学中的“解锁”过程嘛。

每解出一个未知数，都会让你觉得脑袋有点儿开窍。

就像你在玩“找差异”的游戏，不断缩小范围，最后找到那个唯一的点，心情是不是超级爽？不过，要是你心急想一步到位，把所有条件一下子都知道了，那就太容易了。