【高中教育】高中数学 2.2 等差数列习题2 新人教A版必修5.doc

2.2.1等差数列作业1、 在等差数列{}n a 中，（1） 已知,10,3,21===n d a 求n a =（2） 已知,2,21,31===d a a n 求=n（3） 已知,27,1261==a a 求=d（4） 已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（ ） A 3 B 2 C 31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ）A 第13项B 第14项C 第15项D 第16项5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（ ）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，21,a a 为方程0432=+-a x a x 的跟，求{}n a 的通项公式。

10、数列{}n a 满足),2(44,411≥-==-n a a a n n ，设21-=n n a b （1） 判断数列{}n b 是等差数列吗？试证明。

（2） 求数列{}n a 的通项公式11、数列{}n a 满足)(3*1N n n a a n n ∈+=+，问是否存在适当的1a ，使是等差数列？参考答案：1、（1）29 （2）10 （3） 3 （4） 102、A3、B4、C5、B6、 537、⎥⎦⎤ ⎝⎛253,758 8、3,21=-=d a9、n a n 2=10、解：（1）42024412111-=-=-=++n n nn n a a a a b 2121421=---==-+n n n n n a a a b b ∴ 数列{}n b 是公差为21的等差数列。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

2021年高中数学 2.2 等差数列二练习新人教A版必修5学习目标1. 运用等差数列的通项公式推导一些性质；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.例1. 在等差数列{a n}中（1）若，，则首项= 与公差= .（2）的等差中项为，的等差中项为，则 .（3）若a3+a8=5, 则a5+a6= ；a4+a7= ； a2+a9= .（4）若a5=3, 则a4+a6= ；a3+a7= ； a2+a8= .（5）若a5=6, a8=15, 则a13= .结论：在等差数列中，为公差，（1）已知，则=（2）若且，则有何关系？下标和性质：特别：若，则：（3）（4）=变式练习（1）已知{a n}是等差数列，若=450,求。

（2）在等差数列中，，求和.（3）已知：,求.（4）在等差数列中，已知，且，求公差d.例2．在等差数列{a n}中，（1）若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.（2）若，求性质：在等差数列中变式练习1．若{a n }是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有①{a n ＋3}； ②{a n 2}；③{a n ＋1－a n }； ④{ka n }(k 非零为常数)； ⑤{2a n ＋n }；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式练习2．数列中，，，求数列的通项公式．“等差数列”课外作业（二）姓名：1．设等差数列中，,则的值等于A ．11B ．22C ．29D ．122．在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于A ．45B ．75C ．180D ．3003．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于A ．4B ．6C ．8D ．124．设是公差为正数的等差数列，若，，则A ．B ．C ．D ．5．若等差数列的公差，则A ．B ．C ．D ．与的大小不定6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A ．d ＞B ．d ＜3C ．≤d ＜3D ．＜d ≤37．在等差数列中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则为A B C D8．已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m －n |=A ．1B ．C ．D ．9. 等差数列中，，是方程，则＝ .10.在等差数列中，如果，则＝．16．在等差数列中，．（1）求首项和公差，并写出通项公式；（2）数列中有多少项属于区间？17. 已知等差数列{a n}中,公差d>0,且满足a2·a3=45,a1+a4=14,求数列{a n}的通项公式．18．已知数列为等差数列，且求数列的通项式．32797 801D 耝;U27161 6A19 標24398 5F4E 彎40025 9C59 鱙30118 75A6 疦38601 96C9 雉36900 9024 逤b 23589 5C25 尥28501 6F55 潕55。

等差数列的概念与通项公式 A 组 基础巩固1．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 解析：根据题意，得a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，∴a 1＝1.又∵a 3＝a 1＋2d ＝0，∴d ＝－12.答案：B2．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．50 B ．49C ．48D ．47解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，又a 1＝13，所以d ＝23.又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝33，所以n ＝50.答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100，∴a 7＝20，∴3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 1＋12d ＝2(a 1＋6d )＝2a 7＝40.故选C.答案：C4．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d >83B ．d <3 C.83≤d <3 D.83<d ≤3 解析：从第10项开始为正数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 9≤0，a 10>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －24＋9－1d ≤0，－24＋10－1d >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ≤3，d >83⇒83<d ≤3. 答案：D令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项．10．4个数成等差数列，这4个数的平方和为94，第1个数与第4个数的积比第2个数与第3个数的积少18，求这四个数．解：设4个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3d 2＋a －d 2＋a ＋d 2＋a ＋3d 2＝94，a －3d a ＋3d ＋18＝a －da ＋d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72，d ＝±32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－72，d ＝±32.因此，这四个数依次为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.B 组 能力提升11．若一个等差数列的前4项分别是a ，x ，b,2x ，则a b 等于( )A.14B.12C.13D.23解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x ，∴a b ＝13.故选C. 答案：C12．在直角坐标平面上有一系列点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 位于函数y ＝3x ＋134的图象上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }，则P n 的坐标为________．解析：∵x n ＝－52＋(n －1)·(－1)＝－n －32， ∴y n ＝3·x n ＋134＝－3n －54， ∴P n 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54 13．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )·(a＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.14．是否存在数列{a n }同时满足下列条件：(1){a n }是等差数列且公差不为0；(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等差数列． 解：设符合条件的数列{a n }存在，其首项为a 1，公差d ≠0，则有a n ＝a 1＋(n －1)d . 又因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等差数列， 所以1a 1＋d －1a 1＝1a 1＋2d －1a 1＋d，即－d a 1＋d a 1＝－da 1＋2d a 1＋d ，所以1a 1＝1a 1＋2d ，所以a 1＋2d ＝a 1.所以d ＝0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的数列{a n }.。

一、本节学习目标掌握等差数列的定义，通项公式及有关性质．二、重难点指引1.重点：等差数列的概念及通项公式．2.难点：等差数列的性质三、学法指导等差数列是一类重要的特殊数列，在学习时一定要注意它相对一般数列所独有特征．四、教材多维研读▲ 一读教材1． 等差数列的定义：一般地，如果一个数列＿＿＿＿＿，每一项与它前一项的差等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）．用符号语言可表示为 ．其中，若{}n a d ,0>是 ；{}n a d ,0=是 ； {}n a d ,0< ． 2．等差数列的通项公式： 或 ． 3．等差中项：a ，A ，b 成等差数列，A 为a ,b 等差中项．即 ．4．等差数列的性质：在等差数列中，若()*∈+=+N q ,p ,n ,m q p n m ，则 ．▲ 二读教材1．求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.2．求等差数列10，8，6，……的第20项.3．100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.4．在等差数列{}n a 中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .▲ 三读教材1．在等差数列{}n a 中，已知90,104515==a a ，求60a2．首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.d ＞83B.d ＞3C.83≤d ＜3D.83＜d ≤3 五、典型例析例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？六、课后自测◆ 基础知识自测1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2．若b a ≠,数列b x x a ,,,21和数列b y y y a ,,,,321都是等差数列，则=--1212y y x x ( ) A ．32 B ．43 C ．1 D ．34 3.在-1和8之间插入两个数b a ,，使这四个数成等差数列，则( )A. 5,2==b aB. 5,2=-=b aC. 5,2-==b aD.5,2-=-=b a 4.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．5.在等差数列{}n a 中，已知48111032=+++a a a a ，则=+76a a ．◆ 能力提升自测1.等差数列{}n a 中，1a =-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是（ ）A.11aB. 10aC.9aD.8a 2.设函数)(x f 满足)1(+n f =2)(2n n f +(n ∈N *)且2)1(=f ,则)20(f 为 ( ) A.95 B.97C.105D.192 3．若关于x 的方程02=+-m x x 和),,(02n m R n m n x x ≠∈=+-的四个根组成首项为41的等差数列，求=+n m ◆ 智能拓展训练已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列，302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.(Ⅰ)若4020=a ，求d ；(Ⅱ)试写出30a 关于d 的关系式，并求102030a a a ++的取值范围.2.2等差数列答案▲ 一读教材1．从第二项起，同一个常数，n a －1-n a =d ，n ≥2，n ∈N +，递增数列，常数列，递减数列2．d n a a n )1(1-+=，=n a d m n a m )(-+3．2b a A +=4．q p n m a a a a +=+▲ 二读教材1． 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n－1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.2．解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.3．分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.4．分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵ {}n a 是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =323▲ 三读教材 1．方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由=n a d m n a m )(-+ ⇒4560a a =＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．2．D课后自测◆ 基础知识自测1. B ；2.D ；3.A ；4.22 ；5.24． ◆ 能力提升自测1.A ；2.B ；3.7231． ◆ 智能拓展训练（Ⅰ）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （Ⅱ）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ,()22210203010202010103210[2(1)]a a a a a a d d d d ++=+++=++=++ 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)10203020,a a a ++∈+∞。

学习目标.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一等差数列通项公式的推广思考已知等差数列{}的首项和公差能表示出通项＝＋(－)，如果已知第项和公差，又如何表示通项?答案设等差数列的首项为，则＝＋(－)，变形得＝－(－)，则＝＋(－)＝－(－)＋(－)＝＋(－).思考由思考可得＝，＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案等差数列通项公式可变形为＝＋(－)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(，)，(，)，(，)都是这条直线上的点．为直线的斜率，故两点(，)，(，)连线的斜率＝.当两点为(，)，(，)时，有＝.梳理等差数列{}中，若公差为，则＝＋(－)，当≠时，＝.知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算＋＋＋…＋的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用＋＝＋＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即＋＝＋－＝＋－＝….梳理在等差数列{}中，若＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋.特别地，若＋＝，则＋＝.知识点三由等差数列衍生的新数列思考若{}是公差为的等差数列，那么{＋＋}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案∵(＋＋＋)－(＋＋)＝(＋－)＋(＋－＋)＝＋＝.∴{＋＋}是公差为的等差数列．梳理若{}，{}分别是公差为，′的等差数列，则有类型一等差数列推广通项公式的应用例在等差数列{}中，已知＝，＝，求数列的公差及通项公式．解因为＝＋(－)，所以＝＋，解得＝.又因为＝＋(－)，所以＝＋(－)×＝＋.反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练数列{}的首项为，{}为等差数列，且＝＋－(∈*)，若＝－，＝，则等于() ．．．．答案解析∵{}为等差数列，设其公差为，则＝＝＝，∴＝＋(－)＝－.∴＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋＝＋＋…＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋＋＝＋＝×＋＝.类型二等差数列与一次函数的关系例已知数列{}的通项公式＝＋，其中，为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{}中任意相邻两项和－(>)，求差得－－＝(＋)－＝＋－(－＋)＝.它是一个与无关的常数，所以{}是等差数列．由于＝＋＝＋＋(－)，所以首项＝＋，公差＝.反思与感悟本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等。

2.2等差数列练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.2005是数列7,13,19,25,31,,L 中的第（ ）项.A. 332B. 333C. 334D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.等差数列3,7,11,,---L 的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A. 83d > B. 3d < C. 833d ≤< D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，L ，32313n n n a a a --++，是（ ）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项.【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---L 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f . 参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n kN *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项. 12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。

课时训练8等差数列的性质一、等差数列性质的应用1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24答案:B2.等差数列{a n}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=()A.2B.4C.6D.-2答案:A解析:2a2 013=a2+a4 024=4,∴a2 013=2.3.在等差数列{a n}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于()A.24B.22C.20D.-8答案:A解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.4.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为的等差数列.答案:4解析:设数列{a n}的公差为d,则a3-a1=2d=4,∴d=2.∴数列{2a n-3}的公差为4.5.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.答案:13解析:设等差数列{a n}的公差为d.∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.∴a6=a3+3d=7+3×2=13.6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.答案:解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=.又可得2a=2+b=2+,解得a=,同理可得2c=9+,解得c=,故c-a=.二、等差数列的综合应用7.已知等差数列{a n}中,a7=,则tan(a6+a7+a8)等于()A.-B.-C.-1D.1答案:C解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=,∴tan(a6+a7+a8)=tan=-1.8.已知数列{a n}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为()A.4B.C.-4D.-答案:A解析:由数列{a n}是等差数列,知a n是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,a n),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k=-=4.-9.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-a14的值为()A.12B.14C.16D.18答案:A解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-a14=a1+9d-(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故选A.10.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.(2)假设数列{a n}是等差数列,由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).由假设知2a2=a1+a3,即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{a n}是等差数列矛盾,故数列{a n}不可能是等差数列.(建议用时:30分钟)1.已知{a n}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于()A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.2.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为()A.6B.12C.24D.48答案:D解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.∴5a8=120,a8=24.而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.∴选D.3.若数列{a n}为等差数列,a p=q,a q=p(p≠q),则a p+q为()A.p+qB.0C.-(p+q)D.答案:B=-1,∴a p+q=a p+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.解析:公差d=--4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,a n,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是()A.该新数列不是等差数列B.是公差为d的等差数列C.是公差为2d的等差数列D.是公差为3d的等差数列答案:C解析:∵(a n+1+a n+3)-(a n+a n+2)=(a n+1-a n)+(a n+3-a n+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.5.已知{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为()A. B.- C. D.-答案:D解析:∵{a n}为等差数列,a1+a5+a9=8π,∴a5=π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos π=-.6.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=.答案:-6-=-6.解析:由题知d=--7.在等差数列{a n}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8=.答案:8解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8.8.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,c2=.答案:19解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=c11+9d=1+9×2=19.9.已知等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5.又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.即(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.若d=2,a n=a4+(n-4)d=2n-3;若d=-2,a n=a4+(n-4)d=13-2n.10.已知{a n}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.解:解法一:因为{a n}为等差数列,∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为其第4项,∴a60=a15+3d,得d=4.∴a75=a60+d=20+4=24.解法二:设{a n}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,∴解得故a75=a1+74d=+74×=24.。

2.2 等差数列(人教A版必修5)16.（14分）已知等差数列{}n a前三项的和为－3，前三项的积为8.求等差数列{}n a的通项公式. 17.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？18.（14分）数列{}n a满足14a=，144nnaa-=-（n≥2），设nb=12na-.（1）判断数列{}n b是否为等差数列并试证明；（2）求数列{}n a的通项公式.2.2 等差数列(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题11. 12. 13. 14.三、解答题15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由等差数列的性质，得2104816a a a a ＋＝＋＝，故选B ．2.B 解析：由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝＝，∴ 88a ＝.∴ 8m ＝.3.D 解析：由2230x x <－－及x ∈Z ，得x ＝0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,－1. ∴ 4a ＝3或4a ＝－1.故选D.4.D 解析：由题意可得734πa ＝，∴ 7a ＝4π3，∴ 2127tan()tan(2)a a a ＋＝＝8πtan 3＝2πtan 3＝－ 3. 5.B 解析：设该等差数列为{}n a ，公差为d ，则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d ＝＋＝1322＋766×4＝6766. 6.C 解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2n ＋n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数，若n ＝31，则2n ＋n ＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组． 7.C 解析：设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14. ∵ 122x x ＋＝，∴ 2x ＝74.又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34， 4x ＝54.∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12，故选C.8.A 解析：因为1815296a a a ＋＋＝，所以8496a ＝，所以 8a ＝24.又因为91082a a a ＝＋，所以9108224a a a －＝＝.9.B 解析：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则111(1),1(1),m k a a m d k a a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mkd mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析：由题意可知2lg lg lg2y x x y -＝＋，即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭＝.整理，得222x y xy ＝－. 化简可知(2)()0x y x y －＋＝，即20x y －＝或0x y ＋＝，且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析：∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >，∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.12.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即第252行第2列．13.8 解析：由1n n x x d －－＝知{}n x 是公差为d 的等差数列，∴ 122080x x x L ＋＋＋＝⇒12010()80x x ＋＝⇒1208x x ＋＝，∴ 5161208x x x x ＋＝＋＝.14.14 解析：∵ ()sin tan f x x x ＝＋为奇函数，且在0x ＝处有定义，∴ (0)0f ＝. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠，1227()()()0f a f a f a L ＋＋＋＝，∴ *(127)n a n n ≤≤∈，N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a ＝，∴ k ＝14. 三、解答题15.解：由18a =，583d =-=-，20n =，得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则21312a a d a a d ＝＋，＝＋.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n ＝－－＝－＋或43(1)37n a n n ＝－＋－＝－. 故35n a n ＝－＋或37n a n ＝－.17.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米处的车费记为111.2a =，公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a .11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2.答：需要支付车费23.2元. 18.解：（1）∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-⨯=，∴122n n a =-，∴ 2(1)n n a n +=.。