2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.1空间几何体的结构特征 第1课时

1学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2三视图易错点剖析1．棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图．实际上，在上述几何体的三视图中，侧视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图．如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的正视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故正视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故侧视图为三角形PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P 到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC)．如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的正视图和侧视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD)．对于此三视图，侧视图和正视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率．2．画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．例1画出如图所示零件的三视图．错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示．剖析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线．正解3．不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性．例2如图，通过三视图还原物体的直观图．解通过三视图可以画出直观图，如图所示：注其中PC为垂直于底面ABCD的直线．变式训练由下面的三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以看出直观图如图所示：3 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略． 1．原图形到直观图的转化例1 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB 所在直线为x 轴，以AB 边上的高所在直线为y 轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解．解析 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2.答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为24∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位． 2．直观图到原图形的转化例2 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解 方法一 如图(1)是四边形的直观图，取B ′C ′所在直线为x ′轴． 因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′所在直线为y ′轴． 过点D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′， 则B ′E ′＝A ′D ′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形， 所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2， 在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2. 过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的原平面图形． 四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2， 所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S ′＝(1＋1＋2)×222＝2＋12.所以原四边形的面积为2＋1224＝2×(2＋1)＝2＋ 2.点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图形＝24.4 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用． 1．锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积． 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解 如图所示，过S 点作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连接AO 并延长与BC 相交于D 点．由正三角形的性质得D 为BC 的中点，连接SD ，则SD 为正三棱锥的斜高．在Rt △ASO 中，∠ASO ＝45°， AO ＝33×4＝433(cm)，∴SO ＝AO ＝433(cm)． 在Rt △SOD 中，OD ＝36×4＝233(cm)， 故SD ＝SO 2＋OD 2＝163＋43＝203＝2153(cm)． 令SD ＝h ′，根据正三棱锥的侧面积公式： S 侧＝12×3×4×2153＝415(cm 2)，又△ABC 的面积为4 3 cm 2，故正三棱锥的表面积为(415＋43) cm 2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决． 2．柱体的表面积例2 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其底面是等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝2，AC ＝A 1A ＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解 (1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为12×2×2＝1，三个侧面面积和为2×(2＋2＋2)＝4(2＋1)，故其表面积S ＝6＋4 2.(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S 1，则组合后的直棱柱的表面积为2S －2S 1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA 1C 1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S －2S 四边形AA 1C 1C ＝4＋8 2.评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较．3．台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解 如图所示，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，O ，O 1分别为两底面中心，D ，D 1分别为BC 和B 1C 1中点，则DD 1为棱台的斜高．∵A 1B 1＝20 cm ，AB ＝30 cm ， 则OD ＝5 3 cm ，O 1D 1＝1033 cm ，由S 侧＝S 上＋S 下，得12(20＋30)×3×DD 1＝34(202＋302)， ∴DD 1＝1333 cm.∴棱台的斜高为1333 cm.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43(cm)．∴棱台的高为4 3 cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形．5 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积． 分析 根据锥体的体积公式V ＝13Sh ，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360.解得⎩⎨⎧r ＝157，l ＝6r ＝6157.所以h ＝l 2－r 2＝(6r )2－r 2＝35r 2＝35r ＝35×157＝5 3. 所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥体积为2537π cm 3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析 如图，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC 和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S ＝4S .所以1三棱锥－A ABC V ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，111三棱锥－C A B C V ＝13111A B C S·h ＝43Sh . 又111三棱台－ABC A B C V ＝73Sh ，所以111111111三棱锥－三棱台－三棱锥－三棱锥－＝－－B A B C ABC A B C A ABC C A B C V V V V ＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh .所以111111三棱锥－三棱锥－三棱锥－∶∶A ABC B A B C C A B C V V V ＝1∶2∶4.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2，1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．解设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC ＝13×12×1×3×2＝1(cm 3)．6 三视图求解空间几何体的表面积和体积攻略空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图，二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．例1 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)则该几何体的体积V ＝________. (2)则该几何体的侧面积S ＝________.解析 由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为8、宽为6的矩形，正侧面及其相对的侧面均为底边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对的侧面的底边上的高h 1＝42＋32＝5，左、右侧面的底边上的高h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.答案 (1)64 (2)40＋24 2例2 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示． S △ACD ＝12×AC ×DM ＝12×5×4＝10.S △ABC ＝12×AC ×BC ＝12×5×4＝10.在△CMB 中，∠C ＝90°，∴BM ＝5. ∵DM ⊥平面ABC ，∴∠DMB ＝90°， ∴DB ＝42＋52＝41，∴△BCD 为直角三角形，∠DCB ＝90°，∴S △BCD ＝12×5×4＝10.在△ABD 中，如图(2)，S △ABD ＝12×25×6＝65，∴S 表＝10＋10＋10＋65＝30＋6 5.答案 B7 巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1 如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面AEF ，求截面△AEF 周长的最小值．解题流程 正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形解 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA 1的中点D ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°，可求AD ＝3，则AA 1＝6.例2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M ，N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M 点绕圆柱体的侧面到达N 点，求其最短长度．解题流程 圆柱→沿一条母线将侧面展开→长方形解 如图所示，从M 点绕圆柱体的侧面到达N 点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M 到达不相邻的另一个顶点N ，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为(2π×1)2＋22＝4π2＋4＝2π2＋1.例3 已知圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，求最短绳长．解题流程 圆锥→沿一条母线将侧面展开→扇形 解 圆锥沿PA 将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA ＝1，PO ＝22，∴PA ＝3， ∴∠APA ′＝2π2π·3×360°＝120°.作PD ⊥AA ′，则∠APD ＝60°. ∴AA ′＝2AD ＝2×3×sin 60°＝33，∴最短绳长为3 3.评注在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为()A．1＋ 3 B．2＋10C．3 2 D．2 3解析求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是3 2.答案 C。

第1课时柱体、锥体、台体的表面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案相等．思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案是．梳理知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S 侧＝2πrl ， S 表＝2πr (r ＋l )．思考2 圆锥SO 及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．思考3 圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， 如图，x x ＋l ＝rR，解得 x ＝r R －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形 ＝12(x ＋l )×2πR －12x ·2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ， 所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ， S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 梳理类型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例1 (1)如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，∠BB 1C 1＝90°.侧棱长为b ，则其侧面积为( )A.334abB.3＋22ab C ．(3＋2)ab D.23＋22ab答案 C解析 斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB ＝AC ＝a ，∴BC ＝2a . ∵∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ， ∴1111＝ACC A ABB A SS＝ab sin 60°＝32ab . 又∵∠BB 1C 1＝90°，∴侧面BB 1C 1C 为矩形，∴11矩形BB C C S ＝2ab ，∴S 斜三棱柱侧＝32ab ＋32ab ＋2ab ＝(3＋2)ab . 故选C.(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12.连接OE 、O 1E 1， 则OE ＝12AB ＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3.过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3.在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32＝153， 所以E 1E ＝317.所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E＝2×(6＋12)×317＝10817. 引申探究本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？ 解 如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P .取B 1C 1、BC 的中点E 1、E ，则EE 1的延长线必过P 点．O 1、O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．由正棱锥的定义，CC 1的延长线过P 点， 且有O 1E 1＝12A 1B 1＝3，OE ＝12AB ＝6，则有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝36，即PO 1PO 1＋O 1O ＝12，所以PO 1＝O 1O ＝12.在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝122＋32＝153，在Rt △POE 中，PE 2＝PO 2＋OE 2＝242＋62＝612， 所以E 1E ＝PE －PE 1＝617－317＝317. 所以S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817.反思与感悟 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．跟踪训练1 已知正三棱锥V －ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解 由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ⊥BC ， 所以VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，则S △VBC ＝12VD ·BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 类型二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积例2 (1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱的侧面积为S ，则圆锥的侧面积为________． 答案4π2r 4＋S 22解析 设圆柱的高为h ，则2πrh ＝S ，∴h ＝S 2πr. 设圆锥的母线为l ，∴l ＝r 2＋h 2＝r 2＋S 24π2r2.∴圆锥的侧面积为πrl ＝πrr 2＋S 24π2r2＝4π2r 4＋S 22. (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π) 答案 1 100π cm 2解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2.反思与感悟 解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．跟踪训练2 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的母线长为l ，∴l ＝2πr ，r ＝l2π，则圆柱的表面积为2πr 2＋l 2＝2πl 24π2＋l 2＝2π＋12πl 2，侧面积为l 2，∴圆柱的表面积与侧面积的比是2π＋12πl 2∶l 2＝2π＋12π.故选A.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍 D ．2倍 答案 D解析 设圆锥底面半径为r ，由题意知母线长l ＝2r ，则S 侧＝πr ×2r ＝2πr 2，∴S 侧S 底＝2πr 2πr2＝2.类型三 简单组合体的表面积例3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.反思与感悟 求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．跟踪训练3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是______ cm 2.答案 7＋ 2解析 其直观图如图．由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体， ∴其表面积S ＝6×(1×1)＋2×12×1×1＋1×2＝7＋ 2.1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S ，则它的侧面积是( ) A.Sπ B ．πS C ．2πS D ．4πS 答案 B解析 ∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S ， ∴圆柱的母线长为S ，底面圆的直径为S ， ∴圆柱的侧面积S ＝π×S ×S ＝πS . 故选B.2．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则正四面体D －A 1BC 1的表面积与正方体的表面积之比是( )A.22 B.33C. 3D. 2 答案 B解析 设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D －A 1BC 1的棱长为2，表面积为4×12×2sin 60°×2＝23，∴正四面体D －A 1BC 1的表面积与正方体的表面积之比是33，故选B. 3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( ) A ．100π B ．81π C ．169π D ．14π 答案 A解析 ∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r ，则下底面半径和高分别为4r 和4r ，由100＝(4r )2＋(4r －r )2，得r ＝2，故圆台的侧面积等于π(r ＋4r )×l ＝π(2＋8)×10＝100π，故选A.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．解 设此直角三角形为ABC ，AC ＝20，BC ＝15，AC ⊥BC ，则AB ＝25.过C 作CO ⊥AB 于点O ，直角三角形绕AB 所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC ，且OC ＝20×1525＝12，圆锥(1)的侧面积S 1＝π×12×20＝240π，圆锥(2)的侧面积S 2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S ＝S 1＋S 2＝420π.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．课时作业一、选择题1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 C解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，∴圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π. 2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析 圆台的轴截面如图所示，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π， ∴l ＝4.3．正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm ，高是1 cm ，它的侧面积为( ) A ．6 cm 2 B.354 cm 2 C.233 cm 2 D ．3 5 cm 2答案 D解析 ∵四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm ，高是1 cm ，∴上底边到上底中心的距离是12 cm ，下底边到下底中心的距离是1 cm ，那么梯形的高，就是斜高为12＋(1－12)2＝52(cm)，一个梯形的面积就是12(1＋2)×52＝354(cm 2)，∴棱台的侧面积S ＝35(cm 2)． 故选D.4．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为( )A ．80B ．242＋88C ．242＋40D ．118答案 B解析 根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO ＝4，如图所示，因此，等腰三角形SAB 的高SE ＝SO 2＋OE 2＝42＋32＝5，等腰三角形SCB 的高SF ＝SO 2＋OF 2＝42＋42＝42，∴S △SAB ＝S △SCD ＝12×AB ×SE ＝20，S △SCB ＝S △SAD ＝12×CB ×SF ＝122，∵矩形ABCD 的面积为6×8＝48， ∴该几何体的表面积为S 表＝S △SAB ＋S △SCD ＋S △SCB ＋S △SAD ＋S ABCD ＝2×20＋2×122＋48＝242＋88.故选B.5．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A．15π B．20π C．12π D．15π或20π答案 D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长．①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.故选D.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．372 B．360 C．292 D．280答案 B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a 的值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×(3)2＋12＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.二、填空题8．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________．答案1∶2解析设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr2∶12πl2＝r2∶12(2r)2＝1∶2.故答案为1∶2.9．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是________．答案12π解析由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.10．如图所示，一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为____ cm2.答案 48解析 ∵该四棱锥的侧面是底边长为4 cm 的全等的等腰三角形，∴要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解．如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴斜高PE ＝OE sin 30°＝212＝4(cm)．∴S 棱锥侧＝4·12·BC ·PE ＝4×12×4×4＝32(cm 2)，∴S 表＝S 侧＋S 底＝32＋4×4＝48(cm 2)．11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 三、解答题12．如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形．(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)解 (1)由三视图可知该几何体是三棱柱． (2)直观图如图所示．因为该几何体的底面是边长为4 cm 的等边三角形，高为2 cm ，所以它的表面积S 三棱柱＝2S底＋S 侧＝2×34×42＋3×4×2＝(24＋83)(cm 2)． 13．如图，已知正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′.过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2，∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝183， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 四、探究与拓展14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，圆柱的高为h ， 由图，得x 1＝3－h3，即h ＝3－3x .(2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)， 当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值为32π.∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.。

3．如图所示的组合体，其结构特征是
( D )
A．两个圆锥 C．一个棱锥和一个棱柱
B．两个圆柱 D．一个圆锥和一个圆柱
• [解析] 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成 的组合体．
②③④ 4．关于圆台，下列说法正确的是__________.
①两个底面平行且全等； ②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高．
• 2．圆锥的结构特征
定义
直角 三角形的一条__________ 直角边 所在直线为旋转轴，其余 以________
两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图形
有关 概念
SO ⊙O ____ ， SA 为母线 如上图所示，轴为 __ ______ ，底面为 ____ ．另外，S叫做圆锥的顶点 ________，OA(或OB)叫做底面⊙O的 半径 ________
命题方向2 ⇨简单组合体的结构特征
绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几 典例 2 如图， 何体组成的？
• [解析] 如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一 个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．
『规律方法』 平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线 ，然 ．．．．． 后分析旋转体的结构和组成．
• 3．圆台的结构特征
定义
圆锥 底面 截面 用平行于________ 底面的平面去截圆锥，________ 与________ 之
间的部分叫做圆台
图形
有关 概念
下 底面和 ______ 上 底 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的 ______ 侧面 面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、 ________ 、母线，如 OO ′ ________，AA′为母线 上图所示，轴为 __

第课时旋转体与简单组合体的结构特征
学习目标.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.了解简单组合体的概念及结构特征．
知识点一圆柱
思考观察如图所示的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？
答案以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体． 梳理圆柱的结构特征
圆柱
图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面
所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱′ 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点二圆锥
思考仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？
答案以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体． 梳理圆锥的结构特征
圆锥
图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，
其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥 相关概念：
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点三圆台
思考下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？
答案
()圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．
()圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转°形成的面所围成的几何体．
()类比棱台的定义圆台还可以如下得到：。

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
空间几何体
这是世界著名的七星级酒店——迪拜的帆船酒店，近距离 观察能发现很多几何元素，如圆柱、棱柱、球等，世界上许许 多多的建筑设计大师设计出了很多闻名于世的建筑，这些建筑 风格各异，它们都离不开这样的一些基本的几何元素． 事实上，纷繁复杂的物质世界都是由那些既有大小又有一 定几何形状的物质构成的，把这些物体的其他特征忽略，只看 它们的形状和大表示顶点和底面各顶点的字母 ____表示， 如上图中的
S－ABCD 棱锥可记为棱锥________ 边数分为三棱锥、四棱锥、五棱 按底面多边形的____ 四面体 锥……，其中三棱锥又叫________
分类
[ 归纳总结]
棱锥的性质：
(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
第一章
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
观察下列空间几何 体： 以上几何体有什么共 同特征？
一、空间几何体 大小 ，而不 形状 1 ．概念：如果只考虑物体的 ________ 和 ________ 考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__________ 空间图形 叫做空 间几何体． 2．多面体与旋转体
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示．
1. 下 列 物 体 不 ．能 ．抽 象 成 旋 转 体 的 是 导学号 92180000 ( ) A．篮球 C．电线杆
[答案] D [解析] 水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日 光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

1.2.3 空间几何体的直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点 斜二测画法思考1 边长2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？答案 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形．梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．类型一 平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)． (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1 用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．(2)画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 类型二 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解 ①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′； ②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′； ③连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． 答案 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝ O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2 D ．2 2答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C. 类型三 空间几何体的直观图例4 用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．(尺寸自定)解 如图所示．①画轴．画出x 轴，y 轴，z 轴，使∠ xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. ②画底面．画出正六边形的直观图ABCDEF .③画侧棱．过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′.④连线成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，E ′，F ′，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱． 反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．。

高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征组合体展开图截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体描述：空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．例题：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．2.空间几何体的结构特征描述：多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF − A′ B′ C ′ D′ E′ F ′或棱柱A′ D．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥S−ABCD或者棱锥S−AC．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母O表示．例题：下列命题中，正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱ABCD − A1 B1 C1 D1，令四边形ABCD 是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解：D ABCDEF OA = OB =⋯= AB S − ABCDEF如下图，正六边形中，，那么正六棱锥中，SA>OA=AB，即侧棱长大于底面边长．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除如图所示的几何体中，是台体的是（）A．①②B．①③C．③D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．3.组合体描述：简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．----完整版学习资料分享----。

的面上的正投影可能是图中的 ________． (要求把所有可能的序号都填上 )
答案 ②③ 解析 其中 ② 可以是四边形 BFD 1E 在正方体的面 ABCD 或面 D 1DCC 1 上的正投影． ③ 可以是 四边形 BFD 1E 在正方体的面 BCC1B1 上的正投影． 四边形 BFD 1E 在正方体任何一个面上的正 投影都不是 ①④ . 类型二 三视图的画法与识别
命题角度 1 三视图的识别
例 2 一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为
()
答案 C
解析 从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形
内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除
B 、D 项；侧视图是一个矩形内有一
斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除
A ．全等
B．相似
C ．不相似 答案 B 解析 根据题意画出图形如图．
D ．以上都不对
由图易得 AB ＝ OB ＝ BC ＝ OC ＝ AC ，则 △ ABC∽△ A′ B′ C′ . A′B′ OB′ B′C′ OC′ A′ C′
(2)如图， E， F 分别是正方体的面 ADD 1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD 1E 在该正方体
(2)
引申探究 例 3(2)中的组合体改为如下图形，画出其三视图．
解 图中几何体实际为组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按正方体和圆柱的三 视图画法画出该组合体的三视图，如图所示．
反思与感悟 画三视图的注意事项： (1)务必做到长对正，宽相等，高平齐． (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视 图在正视图的正下方． (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的 画法． 跟踪训练 3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ，∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OEsin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，。

第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ，∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OEsin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．1或7 D ．2或6 答案 C解析 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形： ①两个平行截面在球心的两侧， ②两个平行截面在球心的同侧． 对于①，m ＝52－32＝4，n ＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m ＋n ＝7； 对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1. 故选C.类型三 组合体的体积例4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2. 5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3 cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π 答案 C解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为( ) A ．45π B ．27π C ．36π D ．54π 答案 D解析 因为球的表面积为36π，所以球的半径为3， 因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6， 所以圆柱的表面积S ＝2π×32＋2π×3×6＝54π. 二、填空题9．如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm ，半径为 2 cm ，则该圆锥的体积为___ cm 3. 答案 π3解析 ∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm ，半径为 2 cm ，故圆锥的底面周长为2π cm ，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。