数学必修2第四章知识点小结及典型习题(新)

第四章 圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r圆的参数方程（还未学习，暂作了解）()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数1、求标准方程的方法——关键是求出圆心()b a ,和半径r①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y r r +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b a a b -+-==≠（二）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，且不等于0．②没有xy 这样的二次项． (2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P 例 4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

2、220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩3、常可用0422>-+F E D 来求有关参数的范围。

4、（1）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=；（2）当0422=-+F E D 时，表示一个点；（3）当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

例：若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数a 的取值范是（ ）。

A 、203a -<<B 、20a -<<C 、223a <-或a>D 、223a -<< （三）注意求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

三、点与圆的位置关系点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：1、判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2、涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+ min max PB NB BC r PB MB BC r ==-==+,（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- 、max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）例：若点(1，1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）。

A. —1<a<1B. 0<a<1C.a<—1或a>1D.a=±1四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：（一）直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：1、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到直线l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有r d >⇔直线l 与圆C 相离；r d =⇔直线l 与圆C 相切； r d <⇔直线l 与圆C 相交； 这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。

（二）直线与圆相切1、知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r2、常见题型——求过定点的切线方程（1）切线条数：点在圆外——3条；点在圆上——1条；点在圆内——无（2）求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ii ）点在圆上1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2） 若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--=碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数。

如：1、234（3123如：1径r 2、已知直线l ：3x +4y －12=0与圆C ：C ：(x —3)2 + (y —2)2=4.请选择适当的方法判断直线l 与圆C 的位置关系;若直线l 与圆C 相交，请求出直线l 被圆C 截得的弦长。

解法1：（代数法） 解法2：（几何法）总结：(1)代数法：设直线与圆的方程连立方程组，消元后所得一元二次方程为220ax bx c ++=，其两个不等实根为1x ，2x .则其两点弦长为|AB|=||Δ12a k +。

(2)几何法；设直线l ：Ax+By+C=0，圆C ：222()()x a y b r -+-=，圆心C(a ，b)到直线l 的距离d =22B A C Bb Aa +++||，弦长|AB|=222d r -。

3、圆2244100x y x y +---=的上点到直线x+y —14=0的最大距离和最小距离为 和 。

最大距离和最小距离的差为五、圆与圆的位置关系：1、判定方法：常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆C 1：(x —a 1)2+(y —b 1)2=r 2，C 2：(x —a 2)2+(y —b 2)2=R 2 (设R>r)当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d =当d <注意： 2圆1C 则(1D ※3（1）说明：①上述圆系不包括2C ；②当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=※数学思想方法简介——方程思想与坐标法直线方程Ax+By+C=0与圆的方程222()()x a y b r -+-=有三个方面的应用：（1）通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间的交点情况，从而判定直线与圆的之间位置关系，圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。

（2）通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d =22B A C Bb Aa +++\|，并比较d 与半径r 的大小解决圆与直线的有关性质问题。

或圆心距与圆半径的和或差大小的比较，解决圆与圆之间的性质问题。

(3) 利用已知方程，任给一个坐标x 的值，就可以求另一个坐标y 的值解决实际问题 专项练习：(1) 过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=截得弦AB 长为(2) 已知一圆上的两点A(2，—3)、B(—2，—5)，且圆心C 在直线x —2y —3=0上，求此圆C 的方程.(3)(4) 的方程。

(5) l (6) 0=(7) .(8) (9) 3)的圆C (10) C 、D ，且(11) (12) 1=的一点上，求这条光线由A 点入射、反射到圆上的最短路程。

六、空间直角坐标系：1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条 且有 单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做 ，x 轴、y 轴、z 轴叫做 。

在画空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。

2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。

3、在空间直角坐标系中，空间一点M 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做 坐标，y 叫做 坐标，z 叫做 坐标.4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。