南京邮电大学2011-12研究生最优化试题标准答案[1]

mi 1 m *m j * g j (x*) 0最优化理论、方法及应用试题一、(30 分)1、针对二次函数f(x) 1x T Qx b T x c，其中Q是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？答：求解目标函数的梯度为g(x) Qx b，g k g(x k) Qx k b，搜索方向：从X k出发，沿g k作直线搜索以确定x k 1。

Stepl:选定X。

,计算f o,g oStep2:做一维搜索，f k i min f X k tg k , x k 1 X k tg k.Step3 :判别，若满足精度要求，则停止；否则，置 k=k+1,转步2优缺点：最速下降法在初始点收敛快，收敛速度慢。

算法简单，在最优点附近有锯齿现象,2、有约束优化问题min f (x)g i(x) 0,i 1,2,L ,ms.th j (x) 0,j 1,2,L ,l最优解的必要条件是什么？答：假设x*是极小值点。

必要条件是f，g，h函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度h(x*)(i 1,2丄，1)和g j(x*)( j 1,2,L ,m)线性无关，则* * * *存在1 , 2丄，I, 1, 2丄，m,使得lf(x*) i* h i(x*)i 1j*g j(x*) 0,j 1,2,L* * * * *1 ,2 ,L , l , 1 , 2 ,L ,*0, j 03、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？答：起作用约束：若g j(x0) 0，这时点x0处于该约束条件形成的可行域边界上,它对x0的摄动起到某种限制作用可行方向：x0是可行点，某方向 p，若存在实数0 0,使得它对任意2、应用共轭梯度方法求解无约束优化问题 min X 28X |，初始点为X 0 1 1 丁 。

答：假设误差范围是0.001。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案二.简答题1．;0, ,843 ,2 2-,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,065 6143≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形,2141 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程）3．6648.31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146.13*382.00)(382.03,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μϕλϕμλa b a a b a b a 0.927.21.8540]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+===≤x b a 近似的最优解：。

，初始的保留区间为即：。

所以，不经计算也可以看出事实上μϕλϕ4．令1.01.0)(4.04.0)(11)(7.27.2)(222222221)2(*111)1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f ex ex x f x e x x f e x e x x f拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=412))((mini ix f三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。

取初始点()()Tx 2,21=，.1.0=ε()().1641642,2821121⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇d f x x x f T方向为：从而最速下降法的搜索，在初始点，解：()()()()直至满足精度。

继续迭代方向为：从而最速下降法的搜索，，在从而求解得到：其中满足最优步长,.48/6565/19248/65-65/19265/6,65/96)65/6,65/96((-4,-16)*130/172,2 130,/17.)162(4)42()162,42()()(min )(122221)1(1)1(1*)1(*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇-=-=+==-+-=--=++=+d f x x f d x f d x f d x f TTT Tλλλλλλλλλλ()()2-2- 1648/1002/1 8/1002/1,8002 2,21111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--f G d G G x T索方向为：从而修正的牛顿法的搜，在初始点()()()()即为所求的极小点。

南京邮电大学经济与管理学院数据结构1999——2006编译原理2000——2002，2004——2005操作系统2000——2001企业管理2000，2003——2005微观经济学2004——2006，2010（2010为回忆版）经济学原理2003通信与信息工程学院通信系统原理1998——2009（1999——2000，2007——2009有答案）数字信号处理1999——2006信号与系统2003——2006信号与线性系统1997，1999——2002微机原理及应用1999——2006（注：1999——2000年试卷名称为“微机原理”；2000年试卷共7页，缺第1页）电磁场理论1998——2004数字电路1999——2000电路分析1997，1999——2004计算机学院通信系统原理1998——2009（1999——2000，2007——2009有答案）微机原理及应用1999——2006（注：1999——2000年试卷名称为“微机原理”；2000年试卷共7页，缺第1页）数据结构1999——2006编译原理2000——2002，2004——2005操作系统2000——2001光电学院通信系统原理1998——2009（1999——2000，2007——2009有答案）光学2003——2004微机原理及应用1999——2006（注：1999——2000年试卷名称为“微机原理”；2000年试卷共7页，缺第1页）信号与系统2003——2006信号与线性系统1997，1999——2002电磁场理论1998——2004数字电路1999——2000电路分析1997，1999——2004自动化学院通信系统原理1998——2009（1999——2000，2007——2009有答案）信号与系统2003——2006信号与线性系统1997，1999——2002数字信号处理1999——2006电磁场理论1998——2004数字电路1999——2000电子测量原理2004电路分析1997，1999——2004数理学院（无此试卷）传媒技术学院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009信息网络技术研究所通信系统原理1998——2009（1999——2000，2007——2009有答案）微机原理及应用1999——2006（注：1999——2000年试卷名称为“微机原理”；2000年试卷共7页，缺第1页）数据结构1999——2006编译原理2000——2002，2004——2005操作系统2000——2001电磁场理论1998——2004数字电路1999——2000电路分析1997，1999——2004。

最优化方法定义可行方案：如果一个方案能达到预定目的，则该方案就叫可行方案。

最优方案：可行方案中最好的方案叫最有方案，它能达到最优化效果。

最优化M题：如何从可行方案中找出最优方案就叫最优化M题。

最优化方法：求解最优化闷题的数学方法叫最优化方法。

最优化方法解决实际问题的一般步骤：1提出最优化问题，叙述目标是什么？约束条件是什么？求什么变量？即确定变量，列出目标函数及约束表达式，建立最优化问题的数学模型。

2分析模型，选择合适的求解方法。

3编制计算机程序，上机求最优解。

对算法的收敛性，通用性，简便性，效率及误差等作出评价。

系统：由相互联系的若干部分构成的具有一定功能的整体。

系统的基本特征：1系统巾若干部分组成，每一部分具有其特定的功能。

2系统屮的各个要素之间相互制约，联系和作用。

3系统是具有一定功能的整体，系统的总功能不等于各个部分功能的简单迭加，系统的功能大于各部分的功能之和。

4系统存在于一定的环境之中，系统与环境之间存在相互作川，系统与环境的划分是相对的，对于一个系统是环境，而对于另一个系统而言可能是其中的一部分。

系统分析法：1确定所研宄系统的范M及其所处的环境。

2确定系统的组成部分，结构，功能，目的，各部分的功能和闪部规律。

3明确系统各个部分之间的联系，及整个系统与环境之间的联系。

4在上述分析的基础上，确记问题的决策变量及评价方案优劣的指标。

决策变量：决定方案优劣的变量。

数学模型：用字母，数字，各种符号，图像，逻辑框图描述实际系统的特征和内在联系的模型。

数学模型的组成：1常数，指在所研究的问题中保持相对固定或变化不大的呈。

2参数由具体系统的内外部条件确定的量。

3变量，指在模型中待确定的量。

4函数关系描述模型中常数，参数，变量之间相互关系的方程式或不等式。

独立变量：彼此独立的变量。

相关变量：其值可由独立变量确定的量。

工程优化问题：最优准则包括系统性能准则和经济准则。

系统性能准则是指使系统的某些性能指标达到最大或最小。

2000年试题参考答案一、填空1、)(log 2i x p - ∑∞=-12)(log )(i i i x p x p p(x i )=n1i=1,2,3… 2、)2)(ex p(21)(22σσπa x x f --=ak 0(a H t E •=)0()]([ξ) π2020h w n k (输出噪声功率谱密度H o w w k n w p ≤=20)()3、恒参信道 随参信道 恒参信道4、接收信号中除当前码元以外的所有码元在抽样时刻的总和si ss T w T T i w H ππ22)4(≤=+∑+∞-∞= 部分响应系统 滚降系统（均衡） 5、相位连续 幅度恒定（能量集中） 带宽最小 6、2，17、h c c w w w w H w w H ≤=-++常数)()( 相干二、1、信息熵H=－p(x 1)2log p(x 1)－p(x 0)2log p(x 0)= bit/符号 信息速率Rb=1000×s=970 bit/s2、接收端收到0的概率p(0)=×+×=(全概率公式) 接收端收到1的概率p(1)=1－p(0)=平均丢失信息量H(x/y)= －p(0)[p(0/0)2log p(0/0)－p(1)2log p(1/0)] －p(1)[p(0/1)2log p(0/1)－p(1)2log p(1/1)]=[2log 2log 2log 2log bit/符号 信息传输速率R=1000(H －H(x/y))bit/s=810 bit/s三、1、mm f f w A k m =11022/1044=⨯===f m m f m radw vA srad k ππ2、)]102sin(102cos[)(46t t A t m s ⨯+⨯=ππ3、khz B m khzf m f B f f 40110)1(2===+=4、调制制度增益6)1(32=+=f f m m G 接收机输出信噪比3106161⨯==o o i i N S N S 噪声功率w k B n N i7120108401010222--⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯= 接收机输入信号功率w N S i i 4310341061-⨯=⨯⨯=平均发射功率w S S i 3400106=⨯=四、1、等效带宽0041221ττππ=⨯=B 奈奎斯特传输速率baud R B 00max 21412ττ=⨯= 2、系统实际带宽0002121ττππ=⨯=B 最高频带利用率hz baud B R B /10max ==η3、s bit R R B b /238log 02max τ=⨯= 4、s bit R s bit R b b /23/340max 0ττ=<=但由于,2,1230=≠k kR b τ因此存在码间干扰（无码间干扰传输要求⋅⋅⋅==,2,1,max n nR R B B ） 五、发送”1”错判为”0”的概率2)1()1()(201011-=-+=-=⎰⎰+-+-A dV A V dV A V f Pe A A发送”0”错判为”1”的概率2)1()1()(210100-=--=-=⎰⎰--A dV A V dV A V f Pe AA系统误码率2)1(2121201-=+=A Pe Pe Pe （对双极性信号，最佳判决门限为Vd *=0）六、1、用π相位表示”1”，用0相位表示 ”0”，2PSK 波形如图1 1 0 0 1 1 0 02、baud k R s bit k R B b 2048/2048== 信号频率khz f s 2048=带宽khz f B s 40962== 频带利用率hz baud BR B/5.0==η 3、 框图如下图 (反向抽判)各点波形如下图参考”0” 1 1 0 0 1 1 0 0abcd七、1、输出信噪比N o M q S 222==，由题意7,102,10,40lg 10424≥≥≥≥N qSq S N o o 即 2、抽样频率m 2f f s ≥，码元周期s T s μ2=，码元速率Mbaud T R sB 5.01==，时分复用时，hz f R f m B s 3571,710≤≤⨯⨯3、为保证不过载，要求m s m s m m f f A f f A πσπ200,01.02≥=≤• 八、1、1),()(=-=k t T ks t h 一般情况2、3、最佳判决时刻取20T t =，02max 20max 2A ,41,2n Tr T A E n E r ===故 九、1、当输入为时，)(t δ系统冲激响应为)2()()(s T t t t h --=δδ，wTs j e w H 21)(--=2、易知该系统为第Ⅳ类部分响应系统，因此12-=r C r2001年试题参考答案一、填空 1、M 2logM s T 2log 1 s T 2 M 2log 212、R(∞) R(0) R(0)-R(∞)3、接收信号中除当前码元以外的所有码元在抽样时刻的总和si s sT w T T i w H ππ≤=+∑+∞-∞=)2( 部分响应系统 滚降系统（均衡） 4、552khz 96khz （为余数为最大整数，，k n kB nB f nkB f h s 22),1(2+=+=）5、最大似然比准则 -1 2psk6、最大输出信噪比准则 )()(*d jwt t t kS e W kS d --二、1、22/105.0)()()(322B f f B f hzw k f H f P f P c c i o +≤≤-⨯==- wB k df k df f P N Bf B f o o c c 32223210105.02)(-+--∞+∞-⨯=⨯⨯==⎰⎰（系数2是由于双边功率谱密度）2、）310)(5.0)(-⨯=τδτi R (注：）（频域，时域频域）（（时域w t πδδ211↔↔))]()([105.0)(32c B c B o f f g f f g k f P ++-⨯=-（选用f 作变量时，无系数2π）t f j c B t f j c B c c e Bt BSa f f g e Bt BSa f f g ππππ22)()(,)()(-↔+↔-（频域平移，c c f w π2=）32223210)2cos()(])()([105.0)(---⨯=+⨯=τπτπππτππc t f j t f j o f B BSa k e Bt BSa e Bt BSa k R c c 三、1、5=mmf W A k rad w v A v rad k m m f 33102,10,/10⨯===ππ,)102sin(10)(3t t m ⨯=π2、5==mm f f W A k m3、khz m f B f 126102)1(23=⨯⨯=+=,载频hz f c 610=4、输入信号功率w v S i 50002)100(2==输入噪声功率w B f Pn N i 4.2)(2== 调制制度增益450)1(32=+=f f m m G310375.94.25000450⨯=⨯=o o N S 四、信息码 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0差分码0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HDB3 +1 0 -1 0 +1 -1 +1 -1 +1 -1 0 0 0 –V +B 0 0 +V 0 0 五、1、抽样频率khz f s 8= 编码位数38log 2==N 带宽khz khz B 2408310=⨯⨯=2、khz B B 480)1('=+=α 六、 发送”1”错判为”0”的概率=--=-=⎰⎰∞-∞-dx A x dx A x f Pe Vd nnVd ]2)(exp[21)(221σσπ发送”0”错判为”1”的概率dx A x dx A x f Pe Vdn nVd⎰⎰∞-+-=+=]2)(exp[21)(2200σσπ系统误码率为dxA x p dx A x p Pe p Pe p Pe VdnnVdnn⎰⎰∞-∞-+-+--=+=]2)(exp[21)0(]2)(exp[21)1()0()1(222201σσπσσπ最佳判决门限设为*d V ，应使系统误码率最小。