王家映-非线性反演方法1

非线性反演方法在地球物理研究中的应用地球物理学是研究地球内外部有关物理过程和现象的学科，它主要依靠探测和观测手段来获取地球内部的信息。

而非线性反演方法是一种通过观测数据来推断模型参数的技术，它在地球物理研究中具有重要的应用价值。

地球物理探测技术涉及多个领域，包括地震、地磁、地电、地热、地震勘探、重力、地形等。

非线性反演方法能够帮助地球物理学家从大量的探测数据中获取有关地下结构、物性参数等信息。

它通过将观测数据与理论模型相结合，利用计算算法来推断未知参数的数值。

与传统的线性反演方法相比，非线性反演方法能够更准确地描述地球物理现象，提供更可靠的信息。

非线性反演方法的应用涵盖了多个领域，以下分别进行介绍。

一、地震反演地震探测是研究地球内部结构和地震活动的重要手段。

通过记录地震波在地下传播的方式和速度，可以推断地球内部介质的物性参数，如密度、泊松比、剪切模量等。

非线性反演方法在地震反演中的应用十分广泛。

它可以根据地震数据反演确定断层参数，如走向、倾角和滑动面参数。

此外，非线性反演还可以用于地震波波形的反演，通过反演获得地下介质的具体细节信息，如岩性、孔隙度等。

二、电磁法反演地电法和磁法在地球物理探测中起着重要作用。

地电法通过测量地下介质的电阻率分布来推测地下结构，磁法则通过测量地磁场的变化来推测地下构造。

非线性反演方法可以应用于电磁法反演中，通过将模型参数与观测数据建立联系，得到地下介质的电阻率或磁性分布。

同时，非线性反演方法还可以用于电磁法数据的联合反演，将地电法和磁法数据进行综合处理，提高模型的可靠性。

三、重力反演重力法是一种通过测量地表或近地表的重力场变化来推断地下结构的方法。

非线性反演方法可以将重力场的观测数据与物理模型建立关联，推断出地下的密度分布和物质的重力特征。

非线性反演方法在重力反演中的应用可以提高地下密度模型的精度，从而帮助研究地下构造变化、岩石类型等重要物理信息。

四、地形反演地形反演是研究地球表面地貌变化的一种方法。

第四章完全非线性反演初步前面几章讨论了地球物理反演问题的线性反演方法。

它们是理论最完整、应用最广泛、最为成熟的反演方法。

但是，在现实工作中，绝大多数地球物理问题都是非线性问题。

用线性反演方法处理非线性反演问题总显得“力不从心”。

因此，研究、发展非线性反演方法是地球物理工作者刻不容缓的重要任务。

与线性反演相比，非线性反演无论在理论上还是在处理方法上都要困难得多，故非线性反演理论、方法相对而言至今仍处于不太完善的状态。

近年来，由于广大地球物理工作者的不懈努力，非线性反演方法得到了迅速发展，并在实际工作中得到了应用。

由于非线性反演相对于线性反演而言至今仍处于不太完善的状态，而且非线性反演较线性反演难度要大，故它常借鉴一些新兴学科的前沿理论作为基础，涉及的面较广，所需的基础知识较深较新。

为使读者对非线性反演有一个初步的了解，本章仅简单地介绍若干最常用、最成熟的完全非线性反演方法。

对非线性反演有兴趣的读者可阅读有关的参考资料。

如前所述，所谓地球物理非线性反演问题，是指观测数据 d 和模型参数m 之间不存在简单的线性关系（包括线性函数、线性泛函），而是复杂的非线性关系。

它们之间可能以隐式形式出现，如F（d，m ）=0；也可能以显式形式出现，如d =g（m ）。

目前发展的大量非线性反演方法大体上可以分为两大类，一类为线性化方法；另一类为完全非线性反演方法。

前一章已介绍了线性化方法，本章简单介绍完全非线性反演方法。

§4.1 线性化反演方法求解非线性反演问题的困难由前所述可知，线性化反演方法求解非线性反演问题时强烈地依赖于初始模型。

若初始模型选择得好，可以得到真实解，否则就可能得到错误的解。

初始模型的选择显然需要对模型参数的先验了解，即先验知识和先验信息。

若先验知识和信息丰富，则初始模型可以选择得较好，否则就难以选择。

幸运的是，对于许多地球物理问题，我们已经有了不少先验知识和先验信息，可以方便地选择初始模型。

各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究随着新技术发展，深部地质考察要求不断提高，各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究被越来越多地用于地震勘探、岩石物理实验研究、地球物理反演等，因而受到了科学界的关注。

各向异性介质波动方程是在地震学中最基本的假设之一，它将介质的传播、加速度和温度的耦合、介质的不可压缩性以及其他物理效应等考虑在内，并可以用来研究介质内的波动现象。

对于各向异性介质，其频率和相应的波形是不相同的，这些特性会影响到介质内波动传播的情况。

因此，各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究的重要性无疑是可以理解的。

正演的目的是通过数值模拟方法反映介质内的声速结构，从而可以准确的模拟介质内的波动现象。

而反演方法的目的是通过解算介质的参数，从而可以得到介质内的声速在空间上的具体分布特征。

目前，各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究已经取得了巨大的成功。

近年来，研究者们提出了一系列相应的数值解法，比如有限差分、积分变换、有限元等，从而可以在计算机端实现介质内波动正演和反演方法。

同时，还引入了新型非线性反演方法，如正则化反演、粒子群优化法等，以更加准确的方式反演介质的参数。

通过这些研究，可以进一步改善各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究的效果，使得地震勘探、岩石物理实验研究、地球物理反演等的结果变得更加精准。

希望在未来，受利益者能够用最新的技术来继续改进和完善地震学及地球物理研究领域的相关方法。

综上所述，各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究对地震学及地球物理研究的发展具有重要的作用，能够更加准确的模拟介质内的波动，为解决实际问题提供了有效的技术支持。

期待在未来研究者们能够利用最新技术推动各向异性介质波动方程正演及其非线性反演方法研究的发展，为科学界带来更多的惊喜。

引言大地电磁测深法（ＭＴ）已广泛应用于地球深部构造研究及矿产资源勘查中，而对数据反演方法的选择则直接影响到其应用效果．目前，大地电磁反演方法大都是基于均匀水平层状介质模型假设条件和Ｌ２范数下提出来的，如博斯蒂克反演法（Ｂｏｓｔｉｃｋ，１９７７）、大地电磁拟地震反演法（王家映，１９８５）、高斯 牛顿法、梯度法、马奎特法、奥克姆法（Ｃｏｎｓｔａｂｌｅ，１９８７）、曲线对比法（徐世浙、刘斌，１９９５）、共轭梯度法（Ｍａｃｋｉｅ等，１９８９、１９９３、２００１）、快速松弛反演法（Ｓｍｉｔｈ等，１９９１、２００１）、拟线性近似反演法（Ｚｈｄａｎｏｖ，１９９６）、聚焦反演法（Ｐｏｒｔｎｉａｇｕｉｎｅ，Ｚｈｄａｎｏｖ，１９９９）等．上世纪９０年代后期，随着非线性反演理论和三维正反演技术的发展，一些非线性反演方法随之兴起，如模拟退火法（师学明等，１９９８）、多尺度反演法（徐义贤，１９９８）、多尺度逼近遗传算法（师学明等，２０００）、共轭梯度极大似然反演法、非线性共轭梯度反演法（Ｒｏｄｉ、Ｍａｃｋｉｅ，２００１）、贝叶斯统计反演法（Ｓｐｉｃｈａｋ等，１９９５）、人工神经网络反演法（Ｓｐｉｃｈａｋ、Ｐｏｐｏｖａ，２０００）、量子路径积分算法（罗红明等，２００７）、阻尼粒子群优化反演法（师学明等，２００９）等．本文回顾了当前国内外主要的大地电磁反演方法并对其进行分类，并在目标函数构建、灵敏度矩阵计算、收敛速度等方面对各种方法进行了对比与评述．最后，讨论了大地电磁反演方法研究中存在的问题和发展方向．１大地电磁反演方法大地电磁反演方法的研究始终围绕着如何构建目标函数（使用不同的稳定器，如模型参数的范数、最大平滑稳定泛函、最小支撑泛函、最小梯度支撑泛函等）和减少数据计算量（灵敏度矩阵计算等方面）来增强解的稳定性，以求得与实际情况最吻合的地电结构分布．回顾过去，大地电磁反演方法研究经历了从定性近似反演到数值反演、从一维、二维反演到三维反演及线性到非线性全局最优化反演方法的发展阶段．因此，可以将大地电磁反演方法分为三大类：定性近似反演方法、基于目标函数的线性或非线性迭代反演方法和全局搜索最优反演方法．１．１定性近似反演法１．１．１博斯蒂克反演法博斯蒂克反演法（Ｂｏｓｔｉｃｋ）是由Ｆ．Ｘ．Ｊｒ．Ｂｏｓｔｉｃｋ［１］于１９７７年基于水平层状介质条件下提出来的一种一维近似反演方法．该方法以低频区视电阻率曲线尾支渐近线的特征为基础，利用渐近线的交点能反映交点以上底层平均电阻率而与底层电性无关的原理来做近似反演，又称为渐近线交点近似方法［２～４］．实际反演时利用相位曲线进行反演的公式如下：其中ρ为反演后的电阻率值； 为测深曲线的相位值，ρａ为测深曲线的幅振值，即视电阻率值；犎为深度值；ω为圆频率；μ为磁导率．Ｂｏｓｔｉｃｋ反演法计算速度快、不需要初始模型，能够直接反映地电结构的特点；但是反演精度低，因为渐近线交点的确定受经验的影响较大，但仍不失为一种为其它反演方法提供初始模型的快捷方法．１．１．２曲线对比法大地电磁一维连续介质反演的曲线对比法是徐世浙和刘斌［５］针对Ｂｏｓｔｉｃｋ反演法精度低、理论曲线和实测曲线拟合误差较大难以准确分辨地质体界面的缺点而提出来的．曲线对比法以低频电磁波在地下穿透深度大于高频电磁波的穿透深度为理论基础，通过连续的低频来确定深部电导率的分布状态．反演过程中，首先将Ｂｏｓｔｉｃｋ反演（另外也可以用穿透深度法［５］或频率归一化阻抗因子方法［６］）得到的电阻率随深度变化的曲线作为初始模型，将视电阻率随周期变化的曲线转化为电阻率随深度变化的曲线，通过迭代逐步改善初始模型的电阻率值，直至获得满意的结果．另外，张大海和徐世浙［７］把相位信息加入曲线对比法反演过程，使得反演结果更加清晰地反映模型的电性分布．反演得到的拟二维断面图可作为多维反演的初始模型．该反演方法原理简单，具有计算速度快且不用计算偏导数矩阵的优点．１．１．３拟地震解释方法王家映等人［８］另辟蹊径，基于电磁波和弹性波在介质中传播的相似性提出大地电磁拟地震解释方法．假设把地层划分为电磁波的双程传播时间都相等的“微层”时，大地电磁场的复反射函数可表示为［９］犚ｅ１．２迭代反演方法迭代反演方法的核心在于如何构建目标函数和选取迭代控制参数来求解线性或非线性方程组，如早期的基于最小二乘原理的高斯 牛顿法［１０］和梯度法［１１］分别沿目标函数等位面切线方向和负梯度方向搜索模型参数的改正量来求目标函数极小点，但两种方法均受初始模型的影响，找到的只是局部极小值点．另外，反演问题中经常面对的是求解不适定问题的病态方程组，因此在目标函数构建中引入了正则化的思想．１．２马奎特反演法高斯 牛顿法中，由于雅克比矩阵（偏导数矩阵）的秩常小于模型参数个数使得线性方程组显病态性，即方程组的系数矩阵含有小特征值或线性相关的列向量，从而导致迭代不能收敛．因此，可以考虑在系数矩阵的主对角元素上加上一个可调整的正系数来增大系数矩阵的特征值来解决这一问题，使得线性方程组的解趋于稳定，这就是马奎特法实际应用中通常将视电阻率之差改成视电阻率对数之差，参数的变量用相对变化量代替［４］．马奎特法修正量的校正量方向介于梯度法和高斯 牛顿法之间，即与目标函数等位面的夹角在０°～９０°之间．在迭代过程中，阻尼系数作为控制步长和搜寻方向的参数，通过选取适当的阻尼系数使目标函数逐次降低收敛到极小值点．虽然计算速度比高斯 牛顿法快，但还是有可能得到局部极小点，甚至出现函数值发散的情况［１２］，对模型也不能进行评价，因此还是需要提出新的反演方法，以便在全局范围内搜索求得极小值．１．２．１广义反演法马夸特法通过修正病态方程组系数矩阵使其变为良态来求解，而广义反演法（ＧＬＩ）则是基于广义逆矩阵直接求解病态或奇异性线性方程组．广义反演法通过奇异值分解求取广义逆来确定参数改正量，最大的优点是避免了对矩阵求逆，而且可以提供信息密度矩阵、分辨率矩阵和解的方差等辅助信息对反演结果进行评价．但是当出现小奇异值时会使参数改正量很大，超出线性近似所允许的范围，使模型参数沿着错误方向变化，引起迭代发散．为了避免上述问题，Ｊｕｐｐ和Ｖｏｚｏｆｆ［１３］于１９７５年提出了改进广义逆矩阵反演理论，引入阻尼因子将改进的广义逆矩阵定义为［１４］１．２．２奥克姆反演法基于最小二乘原理的高斯 牛顿法和马奎特法等在目标函数构建中没有考虑对非数据模型构造的压制．为了使反演模型简单光滑，Ｃｏｎｓｔａｂｌｅ等人［１７］在１９８７年提出奥克姆（ＯＣＣＡＭ）法，引入模型粗糙度来压制非数据的模型构造，也即求模型的最光滑解．文献［１７］给出了一维层状模型和连续模型下目标函数的构建，并讨论了收敛速度和迭代过程的稳定性等．Ｈｅｄｌｉｎ和Ｃｏｎｓｔａｂｌｅ［１８］在研究二维反演时，对具有光滑参数性质的拉格朗日乘子α的选取直接影响到迭代速度，一般可以通过算法改进和并行计算两个途径来提高速度．吴小平［２０，２１］、刘羽［２２］、Ｅｌｌｉｓ和Ｏｌｄｅｎｂｅｒｇ［２３］、Ｆａｒｑｕｈａｒｓｏｎ和Ｏｌｄｅｎｂｕｒｇ［２４］、陈小斌等［２５］等分别进行了拉格朗日乘子α的选取方法研究．实质上ＯＣＣＡＭ法是一种带平滑约束的最小二乘法正则化反演方法，其优点在于反演不依赖于初始模型，具有较好的稳定性和模型分辨率，但不足在于每次迭代要多次求解反演方程和正演计算，所以在高维反演中的应用并不多．１．２．3 快速松弛反演法为了避免ＯＣＣＡＭ法直接线性搜索，Ｓｍｉｔｈ和Ｂｏｏｋｅｒ［２６］提出快速松弛反演方法（Ｒａｐｉｄｒｅｌａｘａｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎ，ＲＲＩ），通过计算每个测量点位置下面的电阻率扰动，把二维反演问题转化为一维反演问题．ＲＲＩ法不直接求雅可比矩阵，而是对正演求得的电场值做积分运算获得视电阻率对模型参数的偏导数，每次迭代只要做一次反演，提高了计算速度；但在反演时若某些参数控制不好，便得不到理想结果，甚至不能收敛．随着计算速度的加快，二维ＲＲＩ法才被推广到三维空间．谭捍东等［２８］推导出三维快速松弛反演算法中快速计算灵敏度的表达式，实现了求最小构造的三维快速松弛反演算法，并成功对日本Ｋａｙａｂｅ地区实测资料和新疆土屋铜矿床ＭＴ资料进行了反演［２９］．但是这种三维快速松弛反演算法只是三维正演加一维反演，并不是真正意义上的三维反演．林昌洪等［３０］采用并行虚拟机（ＭｅｓｓａｇｅＰａｓｓｉｎｇＩｎｔｅｒｆａｃｅ）计算加快了大地电磁数据三维快速松弛反演，通过模拟计算和实际测量数据反演证明该方法是有效的．１．２．4 共轭梯度反演法牛顿法在对目标函数极小值搜索时要计算Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵（目标函数的曲率，即二阶导数）并求其逆使得收敛速度很慢甚至不收敛．针对这一弊端，Ｈｅｓｔｅｎｅｓ和Ｓｔｉｅｆｌｅ［３１］于１９５２年提出了共轭梯度法（ＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔＭｅｔｈｏｄ），在求目标函数的极小值时沿着共轭梯度方向进行一维搜索，迭代过程只需计算一阶导数．Ｍａｃｋｉｅ和Ｍａｄｄｅｎ［３２］为了避免偏导数矩阵的计算把松弛法引入大地电磁三维共轭梯度反演计算．不是很快．根据Ｆｌｅｔｃｈｅｒ和Ｒｅｅｖｅｓ_______［３４］利用共轭梯度法求解非线性问题（目标函数时高于二次的连续函数）的思想，Ｒｏｄｉ和Ｍａｃｋｉｅ［３５］将非线性共轭梯度反演法（ＮＬＣＧ）用于求解大地电磁二维反演问题，较高斯 牛顿法计算效率有很大提高．Ｎｅｗｍａｎ和Ａｌｕｍｂａｕｇｈ［３６］在串行机和并行机上对合成模型数据进行三维非线性共轭梯度反演，但还没见到实际应用的资料．在国内，胡祖志等［３７］提出非线性共轭梯度法大地电磁拟三维反演法，采用交错采样有限差分方法做正演计算，用一维灵敏度矩阵代替三维灵敏度矩阵，对非测点的灵敏度元素通过插值求得，并且在迭代反演过程中，采用拟牛顿法对拟灵敏度矩阵进行更新．通过ＹＸ模式、ＸＹ模式的拟三维反演计算证明了算法的可行性与正确性．刘小军等［３８］提出正则化共轭梯度法反演算法（ＲＣＧＡ），在每次迭代过程中根据目标的收敛情况动态选取正则化因子，有效地解决了迭代时目标函数发散的问题．１．２．5 拟线性近似反演法Ｚｈｄａｎｏｖ等人［３９］将拟线性近似的思想应用到电磁场反演问题中，对正演模拟算子拟线性近似得到关于修正的电导率张量的线性方程，然后用正则化共轭梯度法解线性方程，使用电性反射率张量去计算异常体电导率，用三个线性反演问题代替原来１６１０５期陈向斌，等：大地电磁测的电磁散射的非线性反演问题，这便是拟线性近似反演方法．拟线性近似方法将一部分多次散射引进了积分方程的计算中，而且用最优化方法求反射张量，所以拟线性近似方法的解要比用二阶Ｂｏｒｎ级数求得的解要精确．Ｚｈｄａｎｏｖ等人给出了理论模型三维反演结果，并用于实际大地电磁测深资料和可控源大地电磁资料的反演，表明了该反演方法具有信息量大、精度和效率高等优点．１．２．6 聚焦反演法基于最大平滑稳定泛函构建目标函数进行反演的缺点在于对地质体分界面分辨率较低．Ｐｏｒｔｎｉａｇｕｉｎｅ和Ｚｈｄａｎｏｖ［４４］在构建目标函数时引入最小支撑泛函的稳定器并与惩罚泛函相结合，对模型参数变化大和不连续的区域用一个新的稳定泛函来描述，使得目标泛函集中到最小的面积，更好的判断地质体界面的存在．刘小军等［４５］在研究二维大地电磁数据反演问题时基于吉洪诺夫正则化思想将最小梯度支撑泛函作为模型目标函数．研究表明聚焦反演能稳定地快速收敛到真实模型附近，且具较高的分辨率，地质体分界面反演效果突出．１．３全局搜索最优反演方法１．３．１二次函数逼近反演法牛顿法、梯度法和共轭梯度法等大地电磁反演方法求得的目标函数极小值并不是全局意义下的极小值，很容易使反演陷入局部极小．为了解决这一问题，可以用在一些点上与Φ（犿）等值的二次函数犳（狓）代替Φ（犿），以二次函数的极小值点作为Φ（犿）的近似极小值点，然后改变控制点找到Φ（犿）的更好的二次近似函数以改变极小点位置，从而建立起迭代过程，这就是二次函数逼近非线性全局最优化反演方法．当我们选用不同的二次函数时，便得到不同的二次逼近优化方法．该方法不依赖于初始模型、稳定性好、具有全局收敛的特点，且迭代搜索时不必用分辨率矩阵来确定搜索方向；不用计算梯度向量和二阶导数矩阵，具有很小的计算量．翁爱华和刘国兴［４７］采用缺项二次函数逼近Φ（犿），即超球逼近方法（ＳＳＡＡ）对大地电磁测深资料进行反演，具体操作过程见参考文献．严良俊和胡文宝［４８］也将二次函数逼近非线性优化方法用于Ｋ型和ＫＱＨ型地电模型反演计算和实测ＭＴ数据反演中，均取得了很好的效果．但是未见到关于二维和三维大地电磁资料的二次函数逼近非线性反演方法研究的相关内容．１．３．２多尺度反演法多尺度反演基于小波变换理论中多尺度分析（ＭＲＡ）将大规模的反演问题分解为小规模的反演问题，先求最大尺度时的反问题，将解作为下一次反演过程的初始值，直到求出对应于尺度为零的原反问题的解，其实现是通过把目标函数分解成不同尺度的分量，根据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局最小值［１１］．徐义贤等［４９，５０］将多尺度反演方法用于对一维和二维大地电磁数据的反演中．在实际反演时，从选定的某一尺度开始，其初始模型可根据Ｂｏｓｔｉｃｋ转换曲线形状选取．多尺度反演法在大尺度上反演稳定，反演结果不受初始模型的影响，较好的避免了反演受局部极小值的困扰问题，加快了收敛速度．１．３．３模拟退火反演法模拟退火算法思想是Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ等人［５１］于１９５３年提出来的，之后Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ等人［５２］将其用于优化问题的求解．模拟退火法在地震资料处理和反演中应用的较早，９０年代师学明等［５３］将其应用于一维层状大地电磁测深数据反演．模拟退火反演算法将反演参数看作是熔化物体分子存在的某种状态，将目标函数视为熔化物体的能量函数，通过控制参数逐步降低温度进行迭代反演，使目标函数最终求得全局极值点［５４］．从本质上来说，模拟退火法是一种启发式的蒙特卡罗洛法，不用求目标函数偏导数，不用解大型矩阵方程组，易于加入约束条件，不依赖于初始模型，易跳出局部极值，但大量的正演模拟和反演计算量限制了其在高维反演问题中的应用．针对这些缺点，姚姚［５５］提出利用模糊先验信息确定最低温度和改造目标函数来增加计算的稳定性，提高计算效率；张霖斌等［５６］以Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ Ｇｉｂｂｓ统计理论为基础，利用似Ｃａｕｃｈｙ分布产生新扰动模型，提出新快速模拟退火算法（ＶＦＳＡ）；杨辉等［５７，５８］则以ＶＦＳＡ为基础，实现了ＭＴ拟二维模拟退火约束反演和带地形的二维ＭＴ多参量快速模拟退火约束反演．另外，井西利等［５９］从温度参数的选择入手提出了一种自适应模拟退火方法，使得退火过程和温度参数可以根据实际资料情况进行计算和自我调节；蒋龙聪等［６０］将遗传算法中的非均匀变异思想引入传统的模拟退火算法，增强局部搜索功能，提高了算法的收敛速度．模拟退火算法在高维反演中的应用和与其它反演算法结合进行混合反演是模拟退火反演方法应该着重研究的方向．１．３．４量子路径积分反演算法量子退火与模拟退火过程都属于优化退火过程，只是退火机制不同．量子退火利用量子跃迁的隧道效应机制求得全局极小值．罗红明等［６１］基于量子优化退火策略，以量子系统能量函数Ｈａｍｉｌｔｏｎ量构建反演目标函数，并以Ｆｅｙｎｍａｎ传播子来构成退火的接收概率提出量子路径积分反演算法（ＱｕａｎｔｕｍＰａｔｈＩｎｔｅｇｒａｌＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，简称ＱＰＩＡ），并将其用于一维大地电磁模型和实测数据试验取得了很好的效果．１．３．５遗传算法反演法Ｈｏｌｌａｎｄ［６３］以遗传学中适者生存的理论为基础提出遗传算法，通过用二进制对模型参数编码形成染色体，在群体的繁殖、杂交和变异过程中，利用转移概率规则从模型群体集随机搜索［６４，６５］．Ｓｔｏｆｆａ和Ｓｅｎ［６６］最先将遗传算法引人地球物理学领域中用来反演一维地震波模型．王兴泰等［６７］首次尝试将其用于电测深曲线的反演，但是由于传统的遗传算法存在的早熟和计算效率较低等问题，使得应用受到限制，随之一些学者对其进行了改进．石琳珂［６８］提出了真值邻域的概念，利用这个概念得到了缩小搜索范围的压缩公式以提高计算速度．张荣峰［６９］则将遗传算法引入了大地电磁测深资料的反演研究中．为了改善传统ＧＡ算法存在的早熟的问题，刘云峰和曹春蕾［７０］通过在早期对目标函数进行压缩，避免初期优越模型对搜索过程的控制；在后期拉伸防止模型在最佳值附近的振荡，但缺点是计算时间较长．蔚宝强和胡文宝［７１］用十进制浮点数代替二进制位串，遗传操作直接针对十进制数串，避免了编码和解码的繁杂运算，在杂交或变异过程中，直接选取随机杂交变异点，实现相对位点的参数基因交换．Ｆｌｏｒｅｓ和Ｓｃｈｕｌｔｚ［７２］则在二维大地电磁数据反演中提出了具有高适应能力和适合于非线性假设检验的重组遗传模拟算法．柳建新等［７３］和白俊雨［７４］等则分别将实数编码技术和拟网格法与ＧＡ法相结合来来反演大地电磁二维和一维数据．而另外一些学者则是把遗传算法和其他反演算法相结合，形成混合遗传算法，如师学明等［７５］采用多尺度逐次逼近反演思想把遗传算法反演问题分解为一系列依赖于尺度变量的反问题序列，将大尺度的解当作次一级尺度反问题的初始模型集，再进行遗传反演如此类推逐次逼近全局最解．柳建新等［７６］把单纯形搜索与遗传算法结合构成混合遗传算法（ＨＧＡ），并采用最优群体保留策略，使得具有遗传算法的全局收敛性，也具有单纯形法的快速收敛性．谢维等［７７］引入局部搜索效率高的共轭梯度法，使得混合算法加快全局寻优过程，一定程度上解决遗传算法的早熟问题；罗红明等［７８］利用量子位编码代替二进制位编码，利用量子旋转门定向更新种群来代替传统方法中种群的选择、交叉和变异过程，使得算法具有并行运算能力和量子隧道效应，从而加快了搜索速度，改善了收敛速度．师学明等［７９］将自适应思想引入到量子遗传算法中来，通过动态调整量子遗传算法的模型搜索空间，建立自适应量子遗传算法解决一维层状介质ＭＴ反演问题．在大地电磁测深中一般将目标函数定义为模型的大地电磁测深响应值与相应观测值之差的二范数拟合差，但至今为未见到遗传算法和一些局部线性反演方法结合的混和算法．１．３．６人工神经网络反演法人工神经网络（ＡＮＮ）在地球物理学中的应用越来越受到人们的青睐．Ｒａｉｃｈｅ［８０］早在１９９１年就指出可使用神经元（ＮＮ）模式识别方法进行地球物理反演，对ＮＮ在不同地球物理问题中的应用作了介绍．Ｂａａｎ和Ｊｕｔｔｅｎ［８１］也对ＡＮＮ在地球物理的中的应用范畴做了概述，并指出ＡＮＮ实质就是一种优化反演问题．在此之后，Ｓｐｉｃｈａｋ和Ｐｏｐｏｖａ［８２］基于三层神经元的回传理论（ＢＰ）调整ＡＮＮ结构，并成功用于解决三维地电反演问题，同时指出ＡＮＮ方法可以做并行计算．人工神经网络还可以用于大地电磁时间序列分析，避免信号被天然或人为噪音干扰带来的传递函数错以至于导致错误的资料解释［８３，８４］，如Ｐｏｐｏｖａ和Ｏｇａｗａ［８５］通过数据结构消除噪音和扭曲以便对大地电磁响应函数做出正确估计，Ｓｈｉｍｅｌｅｖｉｃｈ等人［８６］将快速神经网络反演算法用于二维大地电磁动态参数监测．人工神经网络反演法可以对一个模型类的数据进行多重反演，具有对不完整数据或含有噪声的数据进行去噪反演等特点，但其反演结果的好坏强烈依赖于初值的选取，难以解决多个参变量的优化问题，且ＡＮＮ重构受到教育水平限制［６２］．１．３．７贝叶斯统计反演贝叶斯统计反演则将模型参数视为随机变量，将反演结果表述为模型空间上的概率密度函数从而较好的解决了带噪反演的问题．１．３．８粒子群优化反演算法粒子群优化算法（ＰＳＯ）是模仿鸟群寻找食物的社会行为的一种全局搜索最优化算法，原理可见文献［８９］．从文献［９２］中我们可以得知惯性权重ω的选择影响着算法的应用效果，较大的惯性权重ω值有利于跳出局部极小点，反之则有利于算法收敛．Ｒａｎｊｉｔ和ＳｈａｌｉｖａｎｈａｎＳ［９３］首次将惯性权重ω＝１时的基本粒子群优化算法用于一维直流电测深和一维大地电磁测深的模型数据和实测数据反演，但是搜索过程比较慢，在反演后期比较难收敛．为了选取合适的惯性权重值来提高算法性能，一些学者先后提出了线性递减权值（ＬＤＩＷ）策略、模糊惯性权值（ＦＩＷ）策略、随机惯性权值（ＲＩＷ）策略和自适应调整策略等．师学明等［９４］则基于模拟退火反演思想，提出惯性权重ω的振荡递减策略：ω＝０．９９犽·狉狋／２＋α，（２６）式中α为一常数，取值范围为［０，０．５］；狉狋为均匀分布在（０，１）之间的随机数；犽为迭代次数，犽＝１，２…犖，犖为最大迭代次数．该惯性权重ω曲线呈现一种波动阻尼递减的现象，类似于模拟退火法中的退火过程，有利于在早期跳出局部极值，晚期更快地收敛于全局极值．阻尼粒子群优化算法用于大地电磁数据的一维反演可以较快逼近全局最优解，优于传统的线性或近线性的局部最优化方法，避免了选取初始模型、计算灵敏度矩阵、陷入局部极值等缺点，又克服了蒙特卡洛、模拟退火反演模型搜索时间较长的弱点；但是反演过程中要多次进行正演计算，若要应用于二三维大地电磁反演计算还比较困难．２大地电磁反演方法存在的问题从大地电磁反演方法的发展我们可以看到，不管是定性近似反演方法，或是基于目标函数的迭代反演方法，还是全局搜索最优反演方法，都旨在利用电磁场方程或目标函数经过一系列相关运算来得到能拟合观测数据的最佳地电模型．这里就存在四个问题：（１）在现有假设条件下建立的电磁场方程能否准确表达实际地质体或深部隐伏矿体的电磁响应．地球本身就是一个复杂的地质体，从全球性的壳幔构造、岩石圈分布、区域大地构造到某一矿集区或矿床，其物质组成的多样性和空间结构的复杂性必然导致电性结构的非均匀与各向异性．但是目前大地电磁测深反演技术研究中大都是使用基于均匀水平层状介质的物理模型建立起来的电磁场方程和在Ｌ２范数条件下构建的目标函数展开的，这必然影响大地电磁正演计算的准确性，进而影响到反演结果的精准度．（２）采集到的数据精度如何，噪声干扰对反演结果会产生怎样的影响．由于大地电磁测深采集的是天然电磁场，野外观测数据不可避免地受到各种噪声的污染．目前，大地电磁测深反演大都是带噪反演，而含有噪声的有限地球物理数据进行反演时稳定性较差，但我们又不知道数据和先验信息究竟如何影响反演结果，缺乏对电磁干扰进行数学建模的研究．（３现有的各种反演方法在反演精度、速度、和数据拟合程度上利弊并存，缺乏优点的集成统一．如定性近似反演方法计算速度快但反演精度低，反演过程受人为经验影响较大；奥克姆反演法利用粗糙度压制了非数据的模型构造，但计算量大，计算速度不及快速松弛反演法．（４）大地电磁测深高精度反演技术一直未有大的突破．随着对深部构造研究和深部“第二空间”找矿的迫切需要，对深部构造界面和控矿构造必须要有准确的判断．如何提高大地电磁探测结果的反演精度直接影响大地电磁探测方法的应用效果．３大地电磁反演技术发展方向面对以上提出的几个问题，大地电磁反演技术还需在以下几个方面做进一步研究．３．１复杂地电结构条件下电磁理论研究地下结构的复杂性已被人们所知晓．当前的大地电磁测深反演方法大都以水平层状均匀介质作为物理模型，以此建立起来的电磁响应方程当然与实际情况不符，近而影响到反演结果的准确度．因此，应加强带地形的复杂地电结构下（块状和不规则状电磁场响应的理论研究，提高大地电磁正演计算的准确性，以满足实际反演的需求、提高反演精度．３．２提高反演方法速度的研究从一维大地电磁数据反演到三维大地电磁数据反演，加之采集系统的完善，面对大量的数据和对高精度反演的要求，就必须研究新的反演方法和计算方法提高反演速度．大地电磁反演并行计算是今后重点研究的一个方向．３．３非线性反演理论研究。

非线性系统控制方法的反演技术研究摘要：随着科技的进步和应用范畴的扩大，非线性系统控制日益成为研究的热点。

然而，非线性系统的复杂性和不确定性给控制带来了很大的挑战。

为了克服这些困难，反演技术作为一种有效的非线性控制方法被广泛应用于工业过程和自动化系统。

本文将研究非线性系统的反演方法，包括基于模型的反演和自适应反演方法，并提出了未来研究的方向。

1. 引言非线性系统的控制一直是控制理论研究的重点和难点之一。

非线性系统存在着复杂的动力学特性、参数不确定性和外部扰动等问题，传统的线性控制方法难以满足实际需求。

因此，需要发展新的、有效的非线性控制方法来提高系统的稳定性、性能和鲁棒性。

2. 反演技术的基本原理反演技术是一种基于系统模型的非线性控制方法，通过将系统模型反演，从而实现输出与期望输出的一致性。

它的基本原理是通过反演算子将系统的输出映射到控制输入空间，实现对系统的逆向控制。

3. 基于模型的反演方法基于模型的反演方法是利用已知系统模型进行反演控制的一种方法。

通过建立系统的数学模型和特性方程，可以利用数学方法推导出反演控制器。

这种方法的优点是可以实现对系统的精确控制，但对系统模型的准确性和完备性有一定要求。

4. 自适应反演方法自适应反演方法是一种可以自动调整反演控制器参数的方法。

通过利用适应性算法来实现反演器参数的在线调整，可以在不完全了解系统内部动态特性的情况下实现鲁棒控制。

这种方法适用于系统模型未知或参数变化较大的情况。

5. 非线性系统的反演技术在实际应用中的研究进展非线性系统的反演技术已经在许多实际应用中得到了广泛的应用。

例如，在工业过程中，非线性系统的反演技术可以实现对复杂工艺过程的精确控制；在自动化系统中，反演技术可以用于控制机器人的动力学行为。

这些应用表明非线性系统的反演技术在实际控制中具有很大的潜力。

6. 非线性系统的反演技术研究的未来方向尽管非线性系统的反演技术已经取得了一些重要的进展，但在实际应用中仍然存在一些挑战和不足之处。

第4卷第3期2007年6月工程地球物理学报CHINESE JOURNAL OF ENGI NEERING GEOP HYSICSVol 14,No 13Jun 1,2007文章编号:1672)7940(2007)03)0165)10地球物理资料非线性反演方法讲座(三)模拟退火法师学明,王家映(中国地质大学地球物理与空间信息学院,武汉430074)基金项目:国家自然科学基金(编号:40274039,49674227,40204007)资助。

作者简介:师学明(1971)),男,副教授,1999年于中国地质大学(武汉)应用地球物理系获博士学位,主要从事地球物理反演方法理论、大地电磁测深等地球物理资料处理与解释方面的研究。

E_mail:xmshi@c ;xmshi666@王家映(1937)),男,教授,博士生导师,主要研究方向为电磁法和地球物理反演理论。

E_mail:j.y.wang@摘 要:模拟退火法源于统计热力物理学,它模拟熔融状态下物体缓慢冷却达到结晶状态的物理过程。

模拟退火反演算法的基本思想是:生成一系列参数向量模拟粒子的热运动,通过缓慢地减小一个模拟温度的控制参数,使模拟的系统最终冷却结晶达到系统能量最小值的过程。

模拟退火反演算法实质是利用了地球物理反演问题求解过程与熔化固体退火过程的相似性,开辟了地球物理反演的新途径,是非线性反演算法中一种最常用的算法。

本讲座概要地介绍了模拟退火法的基本原理,模型搜索及解的接受准则,模拟退火法的分类及实现方法,并给出了模拟退火法在地震资料、电法资料及其他地球物理资料反演中的实例,最后总结和归纳了拟退火法的特点以及该方法的局限性。

关键词:模拟退火;非线性;反演;地球物理中图分类号:P631文献标识码:A 收稿日期:2007)06)12Lecture on non-linear inverse methods in geophysics (3)Simulated Annealing MethodShi Xueming,Wang Jiaying(I nstitute of Geophysics and Geoma tics,China Univer sity of Geosciences,Wuha n 430074,China )Abstr act:Simulated annealing or iginates from statistical thermal physics,which simulates cooling process from melting state at high temperature to the crystallization state at low tem 2perature.The idea of this physical process can be used to develop a new nonlinear optimiza 2tion method-simulated annealing algorithm in which the model parameters are viewed as state vector and the objective function is viewed as ener gy function of the physical system.The essence of simulated annealing is a heuristic Monte Carlo method with higher efficiency and effectiveness.T his paper not only introduces the pr inciple,classification,diagram,ap 2plication,advantages and disadvantages of the simulated annealing method,but also points out the necessity of the research of the impr oved simulated annealing method.Key words:simulated annealing algorithm (SA);nonlinear,inversion;geophysics1引言地球物理的反演过程,是在模型空间中不断地搜索模型参数,使目标函数逐步达到全局极值的过程[1]。

非线性系统控制中的反演控制技术研究随着科技的飞速发展，控制理论和控制技术也在不断地更新换代。

在许多现代控制领域中，非线性控制理论逐渐成为了一个研究热点。

由于非线性系统具有复杂性、多样性和不确定性等特点，传统的线性控制方法在处理这些系统时往往效果不佳，基于此，非线性控制成为解决这些问题的有效途径之一。

在非线性控制中，反演控制技术作为一种新型的控制策略，受到了广泛的关注和研究。

一、反演控制技术的基本思想反演控制技术的基本思想是将非线性系统的控制问题转化为一种微分方程的反演问题。

即通过对于系统状态的反演，将系统的输出精确地控制到期望的状态。

因此，反演控制技术通常也被称为反演建模控制技术。

反演控制技术可以自适应地实现非线性系统的控制，并且对于系统的非线性特性和不确定性也能够做出适应性反应，具有非常强的适应性和鲁棒性。

反演控制技术主要包括三个步骤：系统建模、系统反演和反馈控制。

其中，系统建模的目的是将非线性系统建立成一种反演微分方程，并且对于系统的不确定性和噪声特征也要进行考虑。

系统反演是指通过反演微分方程求解，得到系统的输入控制量，以实现对系统的精确控制。

反馈控制则是对反演控制器输入信号进行校正，以保证控制系统的精度和稳定性。

二、反演控制技术的应用反演控制技术可以应用到许多实际的非线性系统中，如飞行器控制、机器人控制、化工过程控制等。

下面以飞行器控制为例，介绍反演控制在实际系统中的应用。

在飞行控制中，传统的线性控制方法不能适应非线性系统所表现出的飞行动态和任务需求。

而基于反演控制技术的控制方法可以克服这种困难，达到更好的控制效果。

在飞行器姿态控制中，通常采用的是悬挂式反演控制或者相关函数反演控制方法。

在这种方法中，控制系统的控制变量被分解为期望轨迹和反演控制器输出两个部分，并将其纳入到控制器中，通过反演微分方程，对飞行器进行精确控制。

通过实际测试发现，基于反演控制技术的飞行器控制系统具有很好的适应性，能够适应复杂的非线性系统动态，并且具有较强的鲁棒性。

反演原理及公式介绍反演原理是一种数学方法，用来将一个复杂问题转化为更简单的问题，通过解决简单问题来得到原问题的解。

它在数学、物理、工程等领域中广泛应用，并具有重要的理论和实际意义。

反演原理的基本思想是通过利用变换的逆变换来解决问题。

它是一种从目标空间到解空间的映射方法，通过反演这种映射关系，可以从解空间推导出目标空间的信息。

反演原理的关键在于建立目标空间和解空间之间的映射关系，以及确定逆变换的具体形式。

反演原理可以分为两类：线性反演和非线性反演。

线性反演是指目标空间和解空间之间的映射关系是线性的，可以用线性变换来表示。

非线性反演是指映射关系是非线性的，需要用非线性变换来表示。

在数学中，反演原理有许多具体的公式和方法。

其中一个著名的例子是拉普拉斯变换与反演变换之间的关系。

拉普拉斯变换是一种重要的积分变换，它将函数从时域变换到复频域。

而反演变换则将函数从复频域反演回时域。

拉普拉斯变换与反演变换之间的关系可以用以下公式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dtf(t) = 1/(2πi) * ∫F(s)e^(st)ds其中，f(t)是时域函数，F(s)是复频域函数，s是复变量。

这个公式表达了拉普拉斯变换与反演变换之间的一一对应关系，可以通过拉普拉斯变换得到函数的复频域表示，然后通过反演变换将其恢复到时域表示。

这个公式在信号处理、控制系统、电路分析等领域中有广泛的应用。

除了拉普拉斯变换，反演原理还有其他一些重要的公式和方法。

例如，傅里叶变换与反演变换之间的关系、哈尔变换与反演变换之间的关系等。

这些公式和方法可以用来解决各种数学问题，并在实际应用中发挥重要作用。

总之，反演原理是一种重要的数学方法，通过建立目标空间和解空间之间的映射关系，可以将复杂问题转化为简单问题，并通过解决简单问题来得到原问题的解。

通过具体的公式和方法，可以实现目标空间与解空间之间的映射和反演。

反演原理在数学、物理、工程等领域中有广泛应用，并对解决实际问题具有重要的理论意义和实际价值。

地球物理资料非线性反演方法讲座(七)同伦反演法
张丽琴;王家映
【期刊名称】《工程地球物理学报》
【年(卷),期】2008(005)005
【摘要】同伦是代数拓扑学中的概念,同伦算法已应用于一些工程实际问题的求解.同伦方法的基本思想是:通过引人同伦参数,将原来复杂的非线性映射零点求解问题转化为跟踪同伦零点曲线问题,该同伦零点曲线的一端为已知值(给定的初始模型),另一端即为所求原映射的解.本讲座概要地介绍了同伦方法的基本原理,跟踪同伦曲线的具体算法,并给出了同伦方法在地震勘探波阻抗反演中的应用实例,最后归纳总结了同伦方法的特点及目前存在的不足.
【总页数】7页(P509-515)
【作者】张丽琴;王家映
【作者单位】武汉大学,测绘学院,地球空间环境与大地测量教育部重点实验室,武汉,430079;中国地质大学,地球物理与空间信息学院,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】P631
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