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第八章 第四节 圆的方程

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4.1 圆的方程

4.1 圆的方程

求过P(5，－ ，－3)， 两点， 例4 求过 ，－ ，Q(0，6)两点，且圆心在直线 －3y－6＝0 ， 两点 且圆心在直线2x－ － 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式， 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用． 圆的有关几何性质的运用．
二、学习方法指导
与直线y 例1 当曲线 y = 1 + 4 − x 2 与直线 ＝k(x－2)＋4有两个相异 － ＋ 有两个相异 交点时，实数 的取值范围是 的取值范围是( 交点时，实数k的取值范围是
5 A． 0， 12
1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
3− x 3− x 消去y得 消去 得 x 2 + +3=0 + x − 6⋅ a a
2
3a 2 − 18a + 9 ∴ x1 x2 = a2 + 1
①
由方程组消去x， 由方程组消去 ，得 (3 − ay ) 2 + y 2 + (3 − ay ) − 6 y + 3 = 0
θ 为参数
2. 圆 的 一 般 方 程 与 二 元 二 次 方 程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系； 的关系； 的关系 二元二次方程表示圆的充要条件: 二元二次方程表示圆的充要条件 A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。 ， 。
3. 若圆 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点 0,y0)在 那么点(x 在
32 2 3445 故所求圆的方程为 ( x − 19) + ( y − ) = 3 9

圆的轨迹方程

圆的轨迹方程

圆的轨迹方程圆的轨迹方程是一种数学表达式，用于描述一个圆的形状和大小。

在平面几何中，圆是指与一个固定点（圆心）距离相等的所有点的集合。

圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。

一、直角坐标系下的圆的轨迹方程在直角坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点的集合：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b分别是圆心在x轴和y轴上的投影值，r是圆半径。

这个方程被称为标准式或一般式。

它表明所有到圆心距离为r的点都在圆上。

如果将a和b设为0，则该方程简化为：x² + y² = r²这个方程描述了以原点为中心、半径为r的圆。

二、极坐标系下的圆的轨迹方程在极坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点：r = a其中a是常数，r是到原点距离。

这个方程表明所有到原点距离相等且与x轴夹角相等的点都在圆上。

如果将a设为圆半径，则该方程可以简化为：r = r0其中r0是圆半径。

三、参数方程下的圆的轨迹方程在参数方程下，一个圆可以表示为：x = a + r cos(t)y = b + r sin(t)其中a和b是圆心坐标，r是圆半径，t是参数。

这个方程描述了一个以(a, b)为中心、半径为r的圆。

通过改变t值，可以得到不同位置的点，从而形成一个完整的圆形。

四、总结以上三种方式都可以用来表示一个圆的轨迹方程。

直角坐标系下的标准式是最常用和最简单的一种方式，极坐标系和参数方程则更适合用于特定问题或需要更多几何直观的情况。

掌握这些不同表达方式对于理解和解决数学问题都非常重要。

2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系

2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系
【解】 (1)∵直线l过点A(0，1)且方向向量a＝(1，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
k)， ∴直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 2 3 3 k ＋1
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，
课 后 作 业
1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 4（1＋k） 7 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 1＋k2 1＋k2 → → ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
＝2R＝2. 【答案】 D
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2013·肇庆质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－
2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 当直线l与圆相切时，k有最大值或最小值． |2k－4k| 1 2 由 2 ＝1得k ＝ ， 3 k ＋1 3 ∴k＝± . 3

圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)

圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)
C
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。

2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)

2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
条数
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两


(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.

广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件

广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件

(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习


(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒

高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2


考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.

≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2


a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有

= 1,
+1
-1

+

2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

有|a|＝4＋1＝5，所以a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，所以a＝±3.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝

届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。

[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。

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第八章 第四节 圆的方程
1.(2009·重庆高考)圆心在
( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：由题意知圆心为(0,2)，
则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．
∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2
， 解得a ＝1，r ＝ 2.
∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：B
3．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为________．
解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2
－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，
所以－a 2－12
＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1， 当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3. 答案：3
4.若圆x 2＋(y －1)2＝10恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋m ≥0，|1＋m |2
≥1. ∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.
答案：m ≥－1＋ 2 5．若实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则y x 的最大值为________． 解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x
的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2
＝3，得k ＝±3， 结合图形可得(y x )max ＝3，(y x
)min ＝－ 3. 答案： 3
6.(2009·上海高考)点P ( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，
则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2
， 代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A
7．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －3)2＝m 2＋4的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是 ( )
A ．x 2＋y 2＝4(x ≠0)
B ．(x －3)2＋y 2＝4(x ≠0)
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝5(x ≠0)
D ．x 2＋y 2＝5(x ≠0)
解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，
则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，
∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，
故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．
答案：D
8.以双曲线y 2－x 2
3
＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝2
C ．(x －2)2＋y 2＝2
D ．x 2＋(y －2)2＝4
解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e ＝2.
∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.
答案：D
9．(2010·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.
解析：OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，〈OA ，OB 〉＝120°，
则x 1x 2＋y 1y 2＝OA ·OB ＝|OA |·
|OB ―→|cos120° ＝2×(－12
)＝－1. 答案：－1
10．已知以点C (t ，2t
)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0， 由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t
， 令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，
令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )， ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t
|＝4(定值)． (2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，
∴k OC ＝12，∴2
t t ＝12
，解得t ＝2或t ＝－2， 而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，
∴D ＝－4，E ＝－2，
∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
11．(2010·青岛二检)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2
(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2
a ＋
b －2＝0，
解得：a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形P AMB 的面积为
S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.
又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，
所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，
所以|PM |min ＝|3×1＋
4×1＋8|
32＋42＝3，
所以四边形P AMB 面积的最小值为
S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。