小学数学竞赛(五)最大公约数的应用
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(五)最大公约数的应用
121．把长方形纸裁成正方形，张数要最少，那么正方形的边就要取最长，即取120，80的最大公约数，(120，80)=40，正方形边长应为40厘米。
那么，至少能裁：
(120÷40)×(80÷40)=3×2=6(张)
「几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。
如120，80两个数的公约数有2，4，5，8，10，20，40。
几个数公有的约数中最大的一个叫做最大公约数。
对自然数a1，a2，…
a n的最大公约数用符号(a1，a2，…a n)表示。
如120，80的最大公约数是40，记作：
(120，80)=40
求最大公约数的方法：
求几个数的最大公约数，先用这几个数的公约数(一般是公有的质因数)，从小到大连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
」
如求12，18，54的最大公约数：
(12，18，54)=2×3=6
122．先把两个积的乘数分别分解质因数，然后把两个积公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公约数。
360×473=2×2×2×5×9×11×43
172×361=2×2×43×19×19
所以，两个积的最大公约数是2×2×43=172
123．
三种数量不等的茶叶价值相等，分装后，每袋的价值也要相等，那么三种茶叶分装的袋数也相等。
又要使每袋的价格最低，这就要使袋数尽量多。
因此，袋数就是165、198和242的最大公约数。
所以，三种茶叶各分装11袋；一等茶每袋15斤，二等茶每袋18斤，三等茶每袋22斤。
124．104055÷6937=15，根据最大公约数的定义，15是这两个数分别除以它们的最大公约数所得商的和，两个商是互质数。
将15分成两个互质的数有1，14；2，13；4，11；7，8等四组，由此可得四组不同的解答：
(1)两个数分别是6937，6937×14=97118；
(2)6937×2=13874，6937×13=90181；
(3)6937×4=27748，6937×11=76307；
(4)6937×7=48559，6937×8=55496。
125．分掉铅笔433-13=420(支)，橡皮260-8=252(块)，
学生人数是420和252的公约数。
先求出(420，252)=84。
小学生数应为84的约数，84的约数中大于30，小于50的数只有42，所以小学生数为42人。
「公约数的性质：两个数或几个数的所有公约数，也是它们最大公约数的约数。
例如210和462的公约数有：2，3，6，7，14，21，42，它们的最大公约数是42；则2，3，6，7，14，21，42都是42的约数。
」
126．分母是1001的最简分数有720个。
因为，1001=7×11×13，当分子是7，11，13的倍数时，分数的分子与分母有公约数，就不是最简分数。
在小于分母的1000个自然数中：
1000÷7=142…6，有7的倍数142个；
1000÷11＝90…10，有11的倍数90个；
1000÷13＝76…12，有13的倍数76个；
但是，其中7×11=77，7×13=91，11×13=143，故在这1000个自然数中还有77的倍数12个，91的倍数10个，143的倍数6个，共28个。
这28个数都作了重复计算，即多算了28个。
则在1000个数中与1001
有公约数的自然数共有：142+90+76-28=280(个)，1000-280=720(个)。
所以，分母为1001的最简分数有720个。
127．应该租9条船。
因为18，27的最大公约数是9，租9条船，则每条船上坐男同学27÷9=3(人)；坐女同学18÷9=2(人)，每条船上共坐3+2=5(人)。
128．
可装40袋，每袋有胡桃8个，卷糖6支，甜饼5个。
129．要把长方体木料锯同样大小的正方体木块，并且锯完之后木料没有剩余；这就是说，正方体的棱长应取长方体长、宽、厚三个数的公约数。
又要求正方体木块尽可能大，则棱长是132、60、36这三个数的最大公约数。
正方体木块的棱长：(132、60、36)=12(厘米)
锯成正方体的块数：(132÷12)×(60÷12)×(36÷12)=11×5×
3=165(块)
130．(96，72)=24，每个花束里至少有花：
96÷24+72÷24=4+3=7(朵)
131．先按比例分配，分别求出男、女生和青年教师的人数
要分成若干小组，组数要最多，且各组男、女生和教师人数又要分别相等，则组数就是他们人数的最大公约数。
故最多可分成37个小组，每组有男生6人，女生5人，教师1人。
132．根据已知条件，这个自然数能整除1186-1，即1185；整除1661-2，即1659；也能整除2209+3，即2212。
那么，这个自然数就是1185，1659和2212的最大公约数；(1185，1659，2212)=79。
「求几个较大数的最大公约数的一个诀窍：
1185、1659、2212三个数都较大，又比较接近，而它们的最大公约数又是一个较大的质数，用一般的短除法太费事。
可以应用“整除的基本性质”来求它们的最大公约数，就会方便得多。
因为三个数的最大公约数，也是它们每两个数的差的最大公约数。
如：
1659-1185=4742212-1659=553
553-474=79
则(1185，1659，2212)=(474，553，79)=79
又如求：136，221，391的最大公约数，
我们可以这样做：221-136=85
391-136×2=119136-119=17
则(136，221，391)=(85，119，17)=17」
133．把这两个数的积分解质因数
5766=2×3×31×31
已知两数的最大公约数是31，那么这道题有两个答案。
(1)两数分别是31，2×3×31=186；
(2)两数分别是2×31=62，3×31=93。
如果小数是大数的约数，那么小数就是这两个数的最大公约数，如(31，186)=31。
134．575757=570000+5700+57
=57×(10000+100+1)
=57×10101
而10101=3×7×13×37
由此可见，把一个两位数重复写三遍构成的六位数，即把原数扩大了10101倍；把所得的六位数连续除以3、7、13、37四个质数，就是把它缩小了10101倍，所以又得原两位数。
135．467467=467000+467=467×1001
198198=198000+198=198×1001
由此可见，前三位与后三位顺次相等的六位数，都是1001的倍数，而1001=7×11×13，所以，这样的六位数一定是7、11和13的倍数。
136．360、314、245分别除以同一个自然数，得到相同的余数，那么360-314=46，314-245=69，余数已一同减去。
因此，所得差46和69都是这个自然数的倍数；而46和69只有公约数(1除外)23。
所以，这个除数是23。
证明：以m表示除数，a、b、c表示三个整数。
并且a＞b＞c，Q1、Q2、Q3为m分别除这三个数所得的整数商，r表示相同的余数。
则得
a=mQ1+r
b=mO2+r
c=mQ3+r
a-b=(mQ1+r)-(mQ2+r)=m(Q1-Q2)
b-c=(mQ2+r)-(mQ3+r)=m(Q2-Q3)
∴a-b和b-c都是m的倍数。
137．
111=3×37
能同时整除这九个数的自然数，有3、37和111三个数。
138．已知三种补剂的总量分别是：
各个分数分子5，21，28的最大公约数；n必须是它们的分母2、4、3的最小公倍数。
30+63+112=205(瓶)。
