中考数学专题复习——二次函数与几何图形综合问题（线段类问题）二次函数与几何图形综合类问题一直是中考的热点和重点，也是难点，常常以压轴题的形式出现，把二次函数和几何图形放在一起，可以“创造”出很多综合性强、解法灵活的题型，这类问题集代数、几何知识于一体，灵活多变，通常需要借助“数形结合”思想加以解决。
★常见的两条线段的和差最值问题：问题大致图形方法数学原理1 如图，点P是定点，点Q为直线m上一动点，求PQ的最小值。
过P作PQ⊥m于Q，则PQ最小垂线段最短2 如图，点P是⊙O外一定点，点Q在⊙O上运动，求PQ的最大（小）值。
过P，O的直线与⊙O交于Q1，Q2，则PQ1最小，PQ2最大点圆距离3 如图，已知两定点A，B，动点P在直线m上，求PA+PB的最小值。
（或△ABP周长的最小值）作点A关于直线m对称点A’，当A’，P，B三点共线时，PA+PB最小两边之和大于第三边4 如图，已知A，B是两个定点，动点P在直线m上，求PAPB-的最大值。
作A关于直线m的对称点A’，当P，A’，B三点共线时，PAPB-最大两边之和大于第三边5 如图，已知点A，B位于直线m，n的内侧，在直线n，m上分别求点D，E，使所围成的四边形ADEB周长最小。
作点A关于直线n的对称点A’，点B关于直线m的对称点B’，当A’，D，E，B’四点共线时，四边形ADEB周长最小两点之间，线段最短6 如图，已知定点A，在直线m，n上分别求点P，Q，使△APQ周长最小，（或PA+PQ+QA最小）。
作两次对称点，当A’，Q，P，A’’四点共线时，△APQ周长最小两点之间，线段最短7 如图，已知A，B是两个定点，线段PQ在直线m上运动，且PQ=a（a为定值），求PA+PQ+QB（或四边形ABQP周长）的最小值。
将点A沿PQ方向平移a个单位得点A’，作A’关于直线m的对称点A’’，当A’’，Q，B三点共线时，PA+PQ+QB最小①平行四边形对边相等②两边之和大于第三边8直线 m ∥ n ，在 m ，n 上分别求点 M ，N ，使 MN ⊥m ，求 AM+MN+BN 的 最小值．将点 A 向下平移 MN 的长度单位到A ＇，连 A ＇B ，交 n 于点 N ，过 N 作 NM ⊥ m 于M ，则AM+MN+BN 最小两点之间，线段最短 9A ，B 分别为m ，n 上的两个定点，在n ，m 上分别取P ，Q 两点，求AP+PQ+QB 的最小值。
中考压轴题（二次函数）之【因动点产生的线段和差问题】精品解析【例1】（天津市中考第25题）在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B 作y 轴的垂线l ，作点E ′关于直线l 的对称点E ′′， 所以A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋BE ′′．当A ′、B 、E ′′三点共线时，A ′B ＋BE ′′取得最小值，最小值为线段A ′E ′′．在Rt △A ′O ′E ′′中，A ′O ′＝2，O ′E ′′＝7，所以A ′E ′′ 当A ′、B 、E ′′三点共线时，''''''A O A O BO E O =．所以247m =． 解得87m =．此时8'(,1)7E ．【例2】（滨州市中考第24题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案（1）212y x x =-+。
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x 轴交于A,B（1,0 ），与y 轴交于点C,直线经过点A,C. 抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1））求抛物线解析式。
（2））求顶点 D 的坐标与对称轴l.点E的坐标。
（3））设点E 为x 轴上一点，且AE=CE求,（4））设点G是y 轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5））在直线l 上是否存在一点F，使得△ BCF的周长最小，若存在，求出点 F的坐标及△ BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6））在y 轴上是否存在一点S, 使得SD-SB的值最大，若存在，求出S 点坐标，若不存在，说明理由。
（7））若点H 是抛物线上位于AC上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h, 线段HK=d①求 d 关于h 的函数关系式②求d 的最大值及此时H点的坐标（8））设点P 是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1. 如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8) ，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8) ，抛物线经过、、三点。
（1））求此抛物线的解析式。
（2））求AD的长。
（3））点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标。
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2点O关于点 A 对称。
（1））填空：点 B 的坐标是。
1与轴相交于点A，点B与4（2））过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。
（3））在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3. 如图, 抛物线与x 轴交于A,B 两点, 与y 轴交于点C,点O为坐标原点, 点D为抛物线的顶点, 点E 在抛物线上, 点F 在x 轴上, 四边形OCEF为矩形, 且OF=2,EF=3,.(1) 写出抛物线对应的函数解析式: △AOD的面积是(2) 连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ ACR的周长.(3) 设G(4,-5) 在该抛物线上,P 是y 轴上一动点, 过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+H是G否有最小值?如果有, 求点P 的坐标; 如果没有, 请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA 3 ，OB 4 ，D 为边OB的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF 2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点 E 、F 的坐标．yB CDO A x5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y 轴相交于点M，且M 是BC的中点，A、B、D 三点的坐标分别是A（ 1 ，0 ），B（ 1 ，2 ），D（3，0）．连接DM，并把线段DM 沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2 bx c 经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有| QE-QC| 最大？并求出最大值．6. 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a (a0) 图象的顶点为H，与x 轴交于A、B 两点（B 在A 点右侧），点H、B 关于直线l : y3x33 对称．（1）求A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK∥AH 交直线l 于K 点，M、N 分别为直线AH 和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK 和的最小值．ylHKA O Bx7.如图，已知点A(- 4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2 上．（1）求a 的值及点 B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y = ax 2 ，记平移后点 A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，点C(- 2，0)和点D(- 4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yA 8642 BD - 4 C- 2 O- 22 4 x- 4。
二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间 线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才 加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才 仔=16+(2— 〃 在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点 所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。
