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第三章投影法的概念
图3-6 三视图的形成
第二节 三视图的形成及投影规律
二、三视图的关系及投影规律
1、位置关系 物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上以后，具有明确的位置 关系，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右 方。 2、投影关系 三视图之间的投影对应关系可以归纳为： 主视、俯视长对正(等长)。 主视、左视高平齐(等高)。 俯视、左视宽相等(等宽)。 这就是“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对 于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变 (图3-7)。 “三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我们看图、画图和检 查图样的依据。
Y
ay
a●
Y ay
四、点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
五、 点的坐标
如图3-11所示，点的坐标值的意义如下： A点到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。 A点到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。 A点到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。 由于x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系 中的前后位置。z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置 可以用坐标x、y、z确定。
一、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
第二节 三视图的形成及投影规律
二、三视图的关系及投影规律
1、位置关系 物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上以后，具有明确的位置 关系，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右 方。 2、投影关系 三视图之间的投影对应关系可以归纳为： 主视、俯视长对正(等长)。 主视、左视高平齐(等高)。 俯视、左视宽相等(等宽)。 这就是“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对 于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变 (图3-7)。 “三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我们看图、画图和检 查图样的依据。
Y
ay
a●
Y ay
四、点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
五、 点的坐标
如图3-11所示，点的坐标值的意义如下： A点到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。 A点到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。 A点到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。 由于x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系 中的前后位置。z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置 可以用坐标x、y、z确定。
一、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
点线面PPT课件
k●
平投影积聚成一个点，故
a
●1(2) c 交点K的水平投影也积聚在
n
该点上。
b
作图
k
m(n●2)
c
① 求交点
用面上取点法
●
a
1
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在前；
点Ⅱ位于MN上，在后。
故k2为不可见。
51
2) 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上的点都是两平面的共 有点。
解法一：
b
解法二：
d
b
m●
n
●
c
c
a
a
m● a
b n● c
b d
a c
有多少解？
有无数解！
38
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。
a
有多少解？
m
n
c
唯一解！
b
ห้องสมุดไป่ตู้
10
b
c
n
m
a
39
2) 平面上取点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅 助线，然后再在该直线上确定点的位置。
O
Y
ay
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a●
Y ay
点的投影规律:
a●
H
ay
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz =y=Aa（A到V面的距离）
aay= aaz =x=Aa（A到W面的距离） aax= aay =z=Aa（A到H面的距离） 6
第3部分投影变换
4
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
3.1.1 投影与平行投影
（来自教材）
知2－讲
(3)物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位
置关系的改变而改变． ①当线段与投射线平行时， 投影为一个点；当线段
与投影面平行时， 投影长与线段长度相等.
②当平面图形与投射线平行时， 投影为一条线段； 当平面图形与投影面平行时，所形成的 影子与原 图形全等．
（来自教材）
知2－讲
例2 如图,已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下 形成的 投影，在图中画出太阳光线，并画出此时 竖直立在地面的乙旗杆的投影.
A
（来自教材）
知2－讲
如图,过点A，B作直线（虚线），太阳光线如图中 解： 的虚线所示.过点D作AB的平行线，交地平线于点F. 线段EF就是乙旗杆DE的投影.
（来自教材）
知2－讲
总 结
解答类似问题的关键是根据已知的影子做出太
阳光线，注意投射线要画成虚线.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 中午小明在操场上练习双杠，在练习过程中他发现
双杠的两横杠在地面上的影子(
A．相交 C．垂直
B )
B．平行 D．无法确定
解析： 因为双杠的两横杠平行，所以双杠的两横杠在地面 上的影子也平行．
（来自教材）
2．画法：连结物体顶端与影子顶端得到形成影子的光 线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影 子.
1.必做: 完成教材P60作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－讲
总 结
根据平行投影的特征，即在同一时刻，平行物
体的平行投影仍然平行．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子，按时间顺 序排列正确的是( D ) A．①③②④ B．④①③② C．④②①③ D．②③①④ 太阳从东方升起最后从西方落下，木杆的影子最先应该在 解析： 西面，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，东方 移动，故按时间先后顺序排列为②③ ①④.故选D.
知2－讲
(3)物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位
置关系的改变而改变． ①当线段与投射线平行时， 投影为一个点；当线段
与投影面平行时， 投影长与线段长度相等.
②当平面图形与投射线平行时， 投影为一条线段； 当平面图形与投影面平行时，所形成的 影子与原 图形全等．
（来自教材）
知2－讲
例2 如图,已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下 形成的 投影，在图中画出太阳光线，并画出此时 竖直立在地面的乙旗杆的投影.
A
（来自教材）
知2－讲
如图,过点A，B作直线（虚线），太阳光线如图中 解： 的虚线所示.过点D作AB的平行线，交地平线于点F. 线段EF就是乙旗杆DE的投影.
（来自教材）
知2－讲
总 结
解答类似问题的关键是根据已知的影子做出太
阳光线，注意投射线要画成虚线.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 中午小明在操场上练习双杠，在练习过程中他发现
双杠的两横杠在地面上的影子(
A．相交 C．垂直
B )
B．平行 D．无法确定
解析： 因为双杠的两横杠平行，所以双杠的两横杠在地面 上的影子也平行．
（来自教材）
2．画法：连结物体顶端与影子顶端得到形成影子的光 线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影 子.
1.必做: 完成教材P60作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－讲
总 结
根据平行投影的特征，即在同一时刻，平行物
体的平行投影仍然平行．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子，按时间顺 序排列正确的是( D ) A．①③②④ B．④①③② C．④②①③ D．②③①④ 太阳从东方升起最后从西方落下，木杆的影子最先应该在 解析： 西面，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，东方 移动，故按时间先后顺序排列为②③ ①④.故选D.
第三章 平面立体的投影及线面投影分析-第一讲
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。
机械制图第三章
V
a
Z
a
Z
a
A
b
b
b
a
W
X
O
YW
X
b
B
a(b)
YH
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点 Y
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
z a
b
X
O
YW
a
b YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
k
a K
B
A
X
O
因k不在a b上，
a k
故点K不在AB上。
b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。
V b
k
a K
B
A
X
O
a k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
１、平行两直线
b
d
V
d
b c
D a
c
B
a
X
o
X
A
CO
b
d
b
d
2． a b、ab、a b 均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
3.投影面平行线
水平线 正平线 侧平线
水平线 — 只平Z 行于水平投影面的Z 直线
V
a b
a
b
a
b
A
a W
B
b X
O
YW
X
a
a
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
3章点的投影
学习要求§3.1 点的投影§3.2 两点的相对位置第三章点的投影本章目录第3章点的投影点是构成形体的最基本元素，熟练掌握点的投影规律及其它们之间的相互关系，为学习直线、平面、曲线、曲面及立体等打下良好的基础。
本章将讨论本章学习基本要求熟练熟悉两点的相对位置的判别。
能熟练判别重影点的可见性。
3.1.1 点在三面投影体系中的投影如图3－1(a)所示，将空间点Ａ放置在三面投影体系中，通过点Ａ分别向Ｈ面、Ｖ面和Ｗ面作垂直投射线，则三条投射线与三个投影面的交点分别为点Ａ在Ｈ面的投影a；在Ｖ面的投影a‘及在Ｗ面的投影a″。
a、a′、a″即为空间点Ａ的三面投影。
展开投影面体系后，如图３－１（b）所示。
动画演示点在三投影面中的表示:空间点用英文大写字母（如A、Ｂ…）表示，其投影用小写字母(如Ｈ面用a、b…)表示,V面投影用相应小写字母并在右上方加一撇(如a′、b′…）表示，W 面投影用相应小写字母并在右上方加两撇（如a″、b″…3.1.2 点的投影特征点在三面投影体系中的投影特征为：１．点的投影连线垂直于相应投影轴，如aa′⊥ox 。
a′a″⊥oz2．点的投影到投影轴的距离等于空间点到相邻投影面的距离。
a′a x = a″a y w=Aaaa x =a″a z =Aa′aa yH =a′a z =Aa″。
由上可知，点到某一投影面的距离等于点在另两投影面上的投影到相应投影轴的距离。
动画演示例3-1 已知点A 的水平投影a 及正面投影a′，求作点A 的侧面投影a″(图3-2a)。
分析：根据点在三面投影体系中投影特征：a′a″⊥oz ；aa x = a″az ，即可求得a″。
作图：(1)过a′作oz 轴的垂线；(2)量取aa x =a″a z ，a″即为所求，如图3-2（b ）所示。
用图3-2（c ）、（d ）、（e ）所示的三种方法也可求得同一结果。
动画演示3.1.3 特殊位置的点当点距某一投影面的距离为零时，该点便在此投影面内。
《土木工程识图》 第三章
例3-5 试判断图3-17中直线SB、SC、AC的空间位置。
3.2.2 三面投影图的形成
把形体放在三面投影体系中，分别作出三个投影面 上的投影，如图3-6所示。
图3-6 三面投影图的形成
正面投影是将形体由前 向后投射在正立投影面上， 得到形体的投影图，该投影 图称为正面投影图；水平投 影是将形体由上向下投射在 水平投影面上，得到形体的 投影图，该投影图称为水平 投影图；侧面投影将形体由 左向右投射在侧立投影面上， 得到形体的投影图，该投影 图称为侧面投影图。
图3-13 投影图上的方向
空间两点的相对位置也可根据坐标值的大小来判定， 具体表现为：
按x坐标判别两点的左右关系，x坐标大者在左边， x坐标小者在右边；
按y坐标判别两点的前后关系，y坐标大者在前边， y坐标小者在后边；
按z坐标判别两点的上下关系，z坐标大者在上边，z 坐标小者在下边。
例3-3 如图3-14a所示，点A（23，9，17）和点B（11，
图3-8 三面投影图的画法
3.3 点的投影
3.3.1 点的三面投影
画投影图时，通常规定空间点用大写字母A、B、C… 表示；对应该点的水平投影用相应的小写字母a、b、c… 表示；对应该点的正面投影用小写字母加上上标“′”表示， 如a′、b′、c′…；对应该点的侧面投影用小写字母加上上标 “″”表示，如a″、b″、c″…。
yA＝9， yB＝13，yA＜yB， 点A在点B的后方；
（a）
（b）
zA＝17， zB＝7，zA＞zB， 点A在点B的上方。
图3-14 求两点的相对位置
3.3.5 两点的重影点
当空间两点位于某投影面的同一投射线上时，这两 点在该投影面上的投影重合，称为对该投影面的重影点。 这里离投影面较远的那个点是可见的，而另一个点则不 可见。当点为不可见时，应在该点的投影上加括号表示。
计算机CAD 第3章立体投影3.1 (教师专用课件!!!)
投影面
积聚性
投影面
投影面
• 一个投影面能不能确定的表达空间物体的形状呢？ • 怎样能够用投影图唯一的表达空间物体的形状呢？
3.三视图的形成及其投影规律
A. 三投影面体系
由三个垂直相交的投影面构成
侧面投影面W Z 正投影面V
v
ⅡⅠ Ⅲ Ⅳ H
水平投影面H X O
Y
B. 三视图的形成 将物体正放在三投 影面体系中，用正 投影法向三个投影 面投影，就得到了 物体的三面投影， 也叫三视图。 V ——主视图
例12：试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平 面。
（2）平面上取直线 必须过平面内的两个已知点；或者过平面内的一 个已知点，且平行于此平面内的另一条直线。
例13：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
解法一：
b
解法二：
d b
m
a
n c
a
cma源自b n c a例1：已知点的两个面的投影，求第三投影。
解法一: a● ax az
●
a
通过作45° 线使aaz=aax
a● ax az
●
a●
解法二:
a
a● 用圆规直接量 取aaz=aax
例2：已知空间点A（20、10、15），试作它的三面 投影图。
解:
练习1：已知各点的两个投影，求其第三投影。
a c
(d ’’ )
a
b
c ） （d
一般位置 铅垂
练习3： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三投影, 并说明其空间位置和反映实长的投影。
b c a Z
b
c
a
c a
b
AB 是 正平线