数学分析题(1)

西华师范大学数学分析-1样题(一)一.(8分)用数列极限的N ε−定义证明1n =.二.(8分)设有复合函数[()]f g x ,满足:(1)lim ()x ag x b →=;(2)0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈(3)lim ()u bf u A→=用εδ−定义证明,lim [()]x af g x A →=.三.(10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+⋯收敛.四.(12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续.五.(12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.(12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞−−=.八.(14分)求函数32()2912f x x x x =−+在15[,42−的最大值与最小值.九.(14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导,()()0f a f b ′′==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ′′≥−−.一.(10分)设数列{}n a 满足:1a =,1()n a n N +=∈,其中a 是一给定的正常数,证明{}n a 收敛,并求其极限.二.(10分)设0lim ()0x x f x b →=≠,用εδ−定义证明011lim()x x f x b→=.三.(10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>,证明lim 0n n a →∞=.四.(10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x −→存在有限.五.(12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六.(12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七.(12分)求函数()1f x x x ααα=−+−在的最大值,其中01α<<.八.(12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈,12x x <,都有12()()f x f x ′′≤.九.(12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩且(0)(0)0g g ′==,(0)3g ′′=,求(0)f ′.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.arctan x x dx∫ 2.xe dx−∫3.ln 0∫4.20sin 1cos x xdxxπ+∫二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数,()0baf x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.三.(10分)证明20sin 0xdx xπ>∫.四.(15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=−∑在不一致收敛,在[0,]δ(其中)一致收敛.五.(10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨− <≤⎩展成傅立叶级数.六.(10分)设2222sin 0(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明:(1)(0,0)x f ′,(0,0)y f ′存在;(2)(,)x f x y ′,(,)y f x y ′在(0,0)不连续;(3)(,)f x y 在(0,0)可微.七.(10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八.(15分)设01σ<<,证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dxx x++∫3.1arcsin x dx∫4.1000π∫二.(各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1.221lim nn k nn k→∞=+∑ 2.20lim1xt xx xe dte →−∫三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x ,()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.四.(15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=− , <≤⎨⎪⎪0 , ≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五.(10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六.(10分)用εδ−定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七.(12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =−− ≠的极值.八.(13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一(10分)证明方程11(, )0F x zy y zx −−++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z zxy z xy x y∂∂+=−∂∂二(10分)设n 个正数12, , , n x x x ⋯之和是a，求函数u =的最大值.三(14分)设无穷积分() af x dx +∞∫收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四(10分)求函数1220() ln() F y x y dx =+∫的导数(0).y >五(14分)计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫六(10分)求半径为a 的球面的面积S .七(10分)求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >=八(12分)求22Cxdy ydxx y−+∫�，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九(10分)求dS z∑∫∫，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一(10分)求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二(10分)求在两个曲面2221x xy y z −+−=与221x y +=交线上到原点最近的点.三(14分)设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞∫与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四(12分)证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a−−+∞−=<<∫五(12分)设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+−=−∫六(10分)求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤−≠的面积A .七(10分)设222()() VF t f x y z dx dy dz =++∫∫∫，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八(10分)应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九(12分)计算 Sxyz dx dy ∫∫，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

数学分析题库（1-22章）一．选择题１．函数712arcsin162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-.２．函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）.（A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数xe y 1=的（ ）.（A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）.（A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小.５．xx x x 2)1(lim -∞→的值（ ）．（A ）e; (B)e1; (C)2e ;(D)0.６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）． （A ）0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ;(C) ()()x f x f x ∆-→∆0lim; (D)()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000. ７．若()()2102lim0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）.（A ）4; (B)2; (C)21; (D)41,８．过曲线xe x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）.（A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）.（A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.11．函数()x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）te 253; (B)t e 53; (C) t e --53 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是),(b a 上的（ ）（A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数; （C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数. 13．()n =（A ） 21; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x→=（ ）（A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ） ∞+.15．狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(的间断点有多少个（ ）（A ）A 没有; (B) 无穷多个; （C ） 1 个; （D ）2个. 16．下述命题成立的是（ ）（A ） 可导的偶函数其导函数是偶函数; (B) 可导的偶函数其导函数是奇函数; （C ） 可导的递增函数其导函数是递增函数; （D ） 可导的递减函数其导函数是递减函数. 17．下述命题不成立的是（ ） （A ） 闭区间上的连续函数必可积; (B) 闭区间上的有界函数必可积; （C ） 闭区间上的单调函数必可积; （D ） 闭区间上的逐段连续函数必可积. 18 极限=-→xx x 10)1(lim （ ）（A ） e ; (B) 1; （C ） 1-e ; （D ） 2e . 19．0=x 是函数 xxx f sin )(=的（ ） （A ）可去间断点; （B ）跳跃间断点; （C ）第二类间断点; （D ） 连续点. 20．若)(x f 二次可导，是奇函数又是周期函数，则下述命题成立的是（ ） （A ） )(x f ''是奇函数又是周期函数 ; (B) )(x f ''是奇函数但不是周期函数;（C ） )(x f ''是偶函数且是周期函数 ; （D ） )(x f ''是偶函数但不是周期函数.21．设xx x f 1sin1=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则)(x f '等于 （ ） （A ）2cos sin x x x x - ; (B)2sin cos x xx x - ;（C ）2sin cos x x x x + ; （D ） 2cos sin xxx x +. 22．点（0，0）是曲线3x y =的 ( )（A ） 极大值点; (B)极小值点 ; C ．拐点 ; D ．使导数不存在的点. 23．设x x f 3)(= ，则ax a f x f ax --→)()(lim等于 （ ）（A ）3ln 3a; （B ）a3 ; （C ）3ln ; （D ）3ln 3a.24． 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法; （B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法; （C ） 它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 ; （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 25．若()f x 在(,)a b 可导且()()f a f b =,则（ ）（A ） 至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （B ） 一定不存在点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （C ） 恰存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （D ）对任意的(,)a b ξ∈，不一定能使()0f ξ'= .26．已知()f x 在[,]a b 可导，且方程f(x)=0在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么在(,)a b 内（） ()0f x '=. （A ） 必有； （B ） 可能有； （C ） 没有； （D ）无法确定.27．如果()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，c 为介于 ,a b 之间的任一点，那么在(,)a b内（）找到两点21,x x ，使2121()()()()f x f x x x f c '-=-成立.（A ）必能； （B ）可能；（C ）不能； （D ）无法确定能 .28．若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(,)x a b ∈ 时，()0f x '>，又()0f a <,则（ ）. （A ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b >； （B ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b <； （C ） ()f x 在[,]a b 上单调减少，且()0f b <；（D ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，但()f b 的 正负号无法确定. 29．0()0f x '=是可导函数()f x 在0x 点处有极值的（ ）. （A ） 充分条件； （B ） 必要条件 （C ） 充要条件； （D ） 既非必要又非充 分 条件.30．若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）. （A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； （D ）极大值必大于极小值 .31．若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在此区间内( ).（A ） 单调减少，曲线是凹的； （B ） 单调减少，曲线是凸的； （C ） 单调增加，曲线是凹的； （D ） 单调增加，曲线是凸的.32．设lim ()lim ()0x ax af x F x →→==，且在点a 的某邻域中（点a 可除外），()f x 及()F x 都存在，且()0F x ≠,则()lim ()x a f x F x →存在是''()lim ()x a f x F x →存在的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分也非必要条件 . 33．0cosh 1lim1cos x x x→-=-（）.（A ）0； （B ）12-； （C ）1； （D ）12. 34．设a x n n =∞→||lim ，则 （ ）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

.
2.设 求 的极值.
解:当 时, .令 ,得稳定点 .
当 时, ;当 时, ,故 为极小值点,极小值为 ;
当 时, ,所以 在 内严格单调增,无极值.
而在 的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故 为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数 满足 .讨论 是否为 的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是 的极值点.
当 时, , 单调减少.当 时, , 单调增加.于是 为 在 内唯一的极小值,也为最小值.因此函数 的零点个数与 的符号有关.
当 ,即 时, 在 恒为正值函数,无零点;
当 ,即 时, 在 内只有一个零点,即 ;
当当 ,即 时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在 和 内最多各有一个零点,所以当 时, 在 有且只有两个零点.
(4)因为
所以 是偶函数.
(5) .所以 是奇函数.
7.求函数 的值域.
解因为反函数 的定义域为 ,所以函数 的值域为 .
8.设有方程 其中 .求解 与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数 的图形有对称中心 及 ,试证 为周期函数,并求出周期 .
解由于 的图形有对称中心 及 ,于是有
.
进而有 且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此 是以 为周期的周期函数.
10、设函数 在 内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数 对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数 对称于 .证明:如果函数 对称于 及 ,则 必定是周期函数.
证若 及
所以 是以 为最小周期的周期函数.
12.若 的图形有对称轴 和对称中心 ,求证 为周期函数.

测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。