初二数学反证法

初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。

用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。

B.若a=b，则a2=b2。

C.三角形中至少有一个角不大于60°。

（答案）D.全等三角形的对应边相等。

2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。

（答案）B.√2是无理数。

C.√2是整数。

D.√2不是整数。

3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。

B.从假设出发，经过推理得出矛盾。

C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。

（答案）D.得出原命题成立的结论。

4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。

（答案）B.三角形的内角和为180°。

C.三角形的外角和为360°。

D.三角形的内角和大于180°。

5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。

B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。

（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。

D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。

6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。

B.导出与已知条件相矛盾的结论。

（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。

D.导出与临时假设相矛盾的结论。

8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。

（答案）B.正方形的对角线不相等。

C.正方形的四条边相等。

D.正方形的对角线互相垂直。

9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。

（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。

C.三角形的外角和为360°。

初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。

以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。

假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。

因此，所有正整数都是奇数或偶数。

2. 证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。

将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。

因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。

带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。

这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。

因此，根号2是无理数。

3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。

因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。

假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。

同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。

因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。

初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。

下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。

1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。

假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。

由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。

根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。

但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。

因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。

2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。

那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。

根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。

而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。

然而，这与y = √2相矛盾。

因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。

可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。

然而，这与n是一个正整数相矛盾。

因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。

可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。

这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。

由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。

然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。

在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。

题目一：证明“根号2是无理数”。

解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。

那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。

由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。

令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。

同样地，我们可以得出q也是2的倍数。

但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。

因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。

题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。

解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。

那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。

根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。

将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。

由此可知，p^2和q^2均为x的因数。

根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。

这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。

题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。

解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。

那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。

考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。

根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。

一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。

但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。

因此，假设不成立，1不是素数。

二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，平方根2是无理数。

三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。

四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。

再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。

左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。

五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。

移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。

左边是无理数，右边是有理数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。

六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

【初中数学】初中数学学习方法之反证法
【—之反证法】关于数学中反证法学习方法的知识讲解，希望同学们认真看看下面的
内容。

反证法
反证法就是一种间接证法，它就是先明确提出一个与命题的结论恰好相反的假设，然后，从这个假设启程，经过恰当的推理小说，引致矛盾，从而驳斥恰好相反的假设，达至
确实原命题恰当的一种方法。

反证法可以分成归属于谬反证法(结论的反面只有一种)与穷
举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分成：(1)反设；
(2)归属于谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是
有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/
不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至
多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归属于谬就是反证法的关键，求出矛盾的过程没紧固的模式，但必须从反设启程，否
则推论将沦为无源之水，无本之木。

推理小说必须细致。

求出的矛盾存有如下几种类型：
与未知条件矛盾；与未知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

通过上面对反证法学习知识的讲解，希望同学们对上面的学习方法都能很好的掌握，
相信同学们会从中学习的更好。

初二下册数学期中考试复习要点：反证法
反证法
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

反证法的关键在于反设所证命题的结论。

适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。

反证法证题步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立;
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;
(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。

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