控制理论基础第3章习题解答
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现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
现代控制理论课后答案
前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
《现代控制理论》第三版_.习题答案
或者
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
控制理论基础第二版部分习题答案
第二章2.1 求解下列微分方程2）dd2yy ddtt2+ddyy ddtt=ee4tt,初始条件yy(0)=2, yy(0)=0.解:首先对微分方程两边进行拉氏变换，得代数方程：ss2YY(ss)−ssyy(0)−yy(0)+ssyy(ss)−yy(0)=1ss−4代入初始条件yy(0)=2, yy(0)=0.ss2YY(ss)−ssyy(ss)=1ss−4+2ss+2YY(ss)=2ss+1ss(ss−4)(ss+1)YY(ss)=2ss+AA ss+BB(ss−4)+CC(ss+1)计算得到A=-0.25,B=0.05,C=0.2；YY(ss)=47ss+15(ss−4)+120(ss+1)拉氏反变换y(t)=1.75+0.05ee4tt+0.2ee−tt(t>0)3）dd2xx ddtt2+5ddxx ddtt+6xx=6,初始条件xx(0)=2,xx(0)=2.解:首先对微分方程两边进行拉氏变换，得代数方程：ss2XX(ss)−ssxx(0)−xx(0)+5ssxx(ss)−5xx(0)+6XX(ss)=6ssXX(ss)=2ss2+12ss+6ss(ss+2)(ss+3)=AA ss+BB ss+2+CC ss+3计算得到A=1,B=5,C=-4，拉氏反变换得到，x(t)=1+5ee−2tt−4ee−3tt(t>0)2.2.一阶微分方程组为4'103'20x yx y y+=−++=，已知(0)0,'(0)0,(0)5x x y===，求解(),()x t y t。
解:首先对微分方程两边进行拉氏变换，得代数方程组：4ssXX(ss)−4xx(0)+YY(ss)=10/s−XX(ss)+(3ss+2)YY(ss)=3yy(0)XX (ss )=15ss +20ss (2ss +1)(6ss +1)YY (ss )=60ss 2+10ss (2ss +1)(6ss +1)得到：XX (ss )=20ss +6.25ss +12�+−26.25ss +16�YY (ss )=10ss +12.5ss +12�+−17.5ss +16�x(t)=20+6.25ee −12�tt-26.25ee −16�tt (t>0)y(t)=10+12.5ee −12�tt-17.5ee −16�tt(t>0)2.3解：根据基尔霍夫定律写出电路方程： 如ii 1为分电流VV =(ii 1+ii 2)RR 1+LL 1dd (ii 1+ii 2)ddtt +ii 1RR 2+1CC 1�ii 1ddtt VV =(ii 1+ii 2)RR 1+LL 1dd (ii 1+ii 2)ddtt +LL 2ddii 2ddtt +1CC 2�ii 2ddttORVV =(ii 1+ii 2)RR 1+LL 1dd (ii 1+ii 2)ddtt +ii 1RR 2+1CC 1�ii 1ddttii 1RR 2+1CC 1�ii 1ddtt =LL 2ddii 2ddtt +1CC 2�ii 2ddtt如ii 1为总电流：VV =ii 1RR 1+LL 1ddii 1ddtt +LL 2ddii 2ddtt +1CC 2�ii 2ddttLL 2ddii 2ddtt+1CC 2∫ii 2ddtt )RR 2+1CC 1∫(ii 1−ii 2)ddtt2.5将滑阀节流扣流量方程Q c x ω=Q 是阀芯位移x v 和节流口压p 的函数，c 、w 分别为流量系数和滑阀面梯度，ρ为油的密度。
第3章 模糊控制理论的基础讲解
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”，易于被一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。
第二节 模糊集合
一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。
c (x) Min A (x), B (x)
② 代数积算子
c (x) A (x) B (x)
③ 有界积算子
c (x) Max0, A (x) B (x) 1
（2）并运算算子 设C=A∪B，有三种模糊算子： ① 模糊并算子
c (x) Max A (x), B (x)
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
γ取值为[0，1]。
当γ=0时， c (x) A (x) ，B相(x当) 于A∩B
时的算子。
当γ=1时，c (x) A(x) B (x) A(，x)相.B (x)
（3）等集
两个模糊集A和B，若对所有元素u，
它们的隶属函数相等，则A和B也相等。
即
A B A (u) B (u)
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设A为“成绩好”的模糊集， 某学生 u0 属于“成绩好”的隶属度为：
A (u0 ) 0.8 则u0 属于“成绩差”的隶属度
第三章 模糊控制的理论基础
第一节 概 述 一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在 被控对象精确数学模型基础上的，然而， 随着系统复杂程度的提高，将难以建立 系统的精确数学模型。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案
0 0 0 0 B0 1 1 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
现代控制理论第三章答案可修改全文
xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0
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控制理论基础第3章习题解答
3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d的取值对能控性 与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？ （1）系统如图所示：
题3-1（1）图 系统模拟结构图
解: 状态变量: 输出变量: 由此写出状态空间: 判断能控型: ,所以系统不完全能控,讨论系统能控性: 判断能观性: ,所以系统不能观；
两系统并联时，有，所以系统状态空间表达式为： 。
3-16 从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明下图中闭环系统 的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的。
题3-18图 系统结构图
解： 假设开环系统的传递函数表示为，则闭环系统的传递函数表示为，
可见如果开环传递函数出现零极相消，即有公因子，那么在闭环传递函 数中同样是公因子，同样会出现零极相消，反之亦然。
（2）系统如图所示：
解: 状态变量:
题3-1（2）图 系统模拟结构图
若则,系统能控； 若,则,系统能观； （3）系统如下式：
解: 系统如下: 若,系统能控； 若,系统能观。
3-2 时不变系统：
试用两种方法判别其能控性与能观性。 解：
方法1：秩判据法。 ，，所以系统不能控； ，，所以系统能观；
方法2： （1）矩阵，计算其特征值， 由可得，，得 （2）求特征值对应的特征向量， 得到， （3）求取对角标准型， , 由对角标准型判据可以得到，系统不能控，能观。
3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。
解: 由,系统完全能控； ,系统完全能观，故系统不需分解。
3-14 求下列传递函数阵的最小实现：
解:
即 同理可得: 所以上式为最小实现。
3-15 设为两个能控且能观的系统
试将上述两系统串联、并联之后求系统的状态空间表达式。 解：
原来的两个系统 两系统串联时，有，所以系统状态空间表达式为：
（1）当时，系统传递函数出现零极对消，使得系统为不能控或不能 观；
（2）当时，其能控标准型为 系统为能控但不能观； （3）（2）当时，其能观标准型为 系统为能观但不能控。
3-5 试证明对于单输入的离散时间定常系统，只要它是完全能控的，那 么对于任意给定的非零初始状态，都可以在不超过n个采样周期的时间 内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解:
因为 ,所以 此系统状态空间表达式为: 所以 其对偶系统的状态空间表达式为: SISO系统与其对偶系统的传递函数是一样的，即， 。
3-7 已知能控系统的状态方程A,b阵为：
试将该状态方程变换为能控标准型。 解:
（1）,满秩系统能控； （2）系统的特征多项式: （3）求变换矩阵和 （4）系统能控标准型为
。 3-8 已知能观系统的状态方程A,b，C阵为：
试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 解:
此系统的能观标准型为; 。
3-9 已知系统的传解:
,所以 所以能控标准型为: 能观标准型为: 。
3-10 型。
给定下列状态空间方程，试判别其能否变换为能控和能观标准
3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数。 解： （1）
, 依题意可控可观需: 所以: （2）
当,即时,系统完全能控； 所以系统完全能观。
3-4 线性系统的传递函数为：
（1）试确定a的取值，使系统为不能控或不能观的。 （2）在上述a的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。 （3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 解：
解： 矩阵不满秩，系统不完全能控，不能转换为能控标准型； ，矩阵满秩，系统完全能观，可以转换为能观标准型。
3-11 试将下列系统按能控性进行结构分解。
解: 系统能控判别矩阵: 所以系统是不完全能控的构造非奇异变换阵 。
3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解。
解:
系统能观性判别矩阵: 所以系统不完全能观,构造非奇异变换阵 。
3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d的取值对能控性 与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？ （1）系统如图所示：
题3-1（1）图 系统模拟结构图
解: 状态变量: 输出变量: 由此写出状态空间: 判断能控型: ,所以系统不完全能控,讨论系统能控性: 判断能观性: ,所以系统不能观；
两系统并联时，有，所以系统状态空间表达式为： 。
3-16 从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明下图中闭环系统 的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的。
题3-18图 系统结构图
解： 假设开环系统的传递函数表示为，则闭环系统的传递函数表示为，
可见如果开环传递函数出现零极相消，即有公因子，那么在闭环传递函 数中同样是公因子，同样会出现零极相消，反之亦然。
（2）系统如图所示：
解: 状态变量:
题3-1（2）图 系统模拟结构图
若则,系统能控； 若,则,系统能观； （3）系统如下式：
解: 系统如下: 若,系统能控； 若,系统能观。
3-2 时不变系统：
试用两种方法判别其能控性与能观性。 解：
方法1：秩判据法。 ，，所以系统不能控； ，，所以系统能观；
方法2： （1）矩阵，计算其特征值， 由可得，，得 （2）求特征值对应的特征向量， 得到， （3）求取对角标准型， , 由对角标准型判据可以得到，系统不能控，能观。
3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。
解: 由,系统完全能控； ,系统完全能观，故系统不需分解。
3-14 求下列传递函数阵的最小实现：
解:
即 同理可得: 所以上式为最小实现。
3-15 设为两个能控且能观的系统
试将上述两系统串联、并联之后求系统的状态空间表达式。 解：
原来的两个系统 两系统串联时，有，所以系统状态空间表达式为：
（1）当时，系统传递函数出现零极对消，使得系统为不能控或不能 观；
（2）当时，其能控标准型为 系统为能控但不能观； （3）（2）当时，其能观标准型为 系统为能观但不能控。
3-5 试证明对于单输入的离散时间定常系统，只要它是完全能控的，那 么对于任意给定的非零初始状态，都可以在不超过n个采样周期的时间 内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解:
因为 ,所以 此系统状态空间表达式为: 所以 其对偶系统的状态空间表达式为: SISO系统与其对偶系统的传递函数是一样的，即， 。
3-7 已知能控系统的状态方程A,b阵为：
试将该状态方程变换为能控标准型。 解:
（1）,满秩系统能控； （2）系统的特征多项式: （3）求变换矩阵和 （4）系统能控标准型为
。 3-8 已知能观系统的状态方程A,b，C阵为：
试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 解:
此系统的能观标准型为; 。
3-9 已知系统的传解:
,所以 所以能控标准型为: 能观标准型为: 。
3-10 型。
给定下列状态空间方程，试判别其能否变换为能控和能观标准
3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数。 解： （1）
, 依题意可控可观需: 所以: （2）
当,即时,系统完全能控； 所以系统完全能观。
3-4 线性系统的传递函数为：
（1）试确定a的取值，使系统为不能控或不能观的。 （2）在上述a的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。 （3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 解：
解： 矩阵不满秩，系统不完全能控，不能转换为能控标准型； ，矩阵满秩，系统完全能观，可以转换为能观标准型。
3-11 试将下列系统按能控性进行结构分解。
解: 系统能控判别矩阵: 所以系统是不完全能控的构造非奇异变换阵 。
3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解。
解:
系统能观性判别矩阵: 所以系统不完全能观,构造非奇异变换阵 。