《平行关系的性质》公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

教学设计5．2平行关系的性质导入新课思路1.(情境导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的性质问题．思路2.(直接导入)前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题．推进新课新知探究提出问题①回忆空间两条直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系．问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力．问题③引导学生进行语言转换．问题④引导学生用排除法．问题⑤引导学生找出应用的难点．问题⑥鼓励学生总结,教师归纳．讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面．②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面．怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)？经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．这个定理用符号语言可表示为:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b . 这个定理用图形语言可表示为:如图1.图1④已知a ∥α,a ⊂β,α∩β＝b .求证:a ∥b.⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面．⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线．” 提出问题①利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么？讨论结果:①如图2,借助长方体模型,我们看到,B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行,所以B ′D ′与平面AC 没有公共点．也就是说,B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点．因此,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线．图2②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．因为,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ,那么直线B ′D ′与直线BD 平行．如图3.图3③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行．两个平面平行的性质定理用符号语言表示为:⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图4.图4④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面．⑤应用面面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个平面的交线．”应用示例思路1例1 如图5,A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α,AC ∥BD ,且AC ,BD 与α分别交于点C ,D ,求证:AC ＝BD.图5证明:连接CD .因为A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α, 所以AB ∥CD .又因为AC ∥BD ,所以四边形ABCD 是平行四边形． 因此AC ＝BD .点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 中点,过E ,F 作平面α∥AB .求证:CD ∥α.证明:如图6,连接AD 交α于G ,连接GF ,图6∵AB ∥α,面ADB ∩α＝GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点．又∵AC ,AD 相交,确定的平面ACD ∩α＝EG ,E 为AC 中点,G 为AD 中点,∴EG ∥CD .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂αCD ⊄αEG ∥CD ⇒CD ∥α. 例2 如图7,平面α,β,γ两两平行,且直线l 与α,β,γ分别相交于点A ,B ,C ,直线m 与α,β,γ分别相交于点D ,E ,F ,AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3.求DE 的长．图7解:连接DC .设DC 与β相交于点G ,则平面ACD 与α,β分别相交于直线AD ,BG ,平面DCF 与β,γ分别相交于直线GE ,CF .因为α,β,γ两两平行, 所以BG ∥AD ,GE ∥CF .因此AB BC ＝DG GC ,DG GC ＝DE EF .所以AB BC ＝DE EF .又因为AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3,所以DE ＝9.点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练如图8,平面α∥平面β,平面γ与α交于直线a ,γ与β交于直线b ,直线c 在β内,且c ∥b .图8(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．答案:(1)c∥α；(2)c∥a.(理由略．)思路2例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.图9解:已知:如图9,a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.求证:c∥a∥b.证明:变式训练求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行．图10解:已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β＝b.求证:a∥b.证明:如图10,过a作平面γ,δ,使得γ∩α＝c,δ∩β＝d,那么有点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程．这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 已知:a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,b ⊂平面β,a ∥β,b ∥α. 求证:α∥β.证明:如图11,在b 上任取点P ,显然P ∉a .于是a 和点P 确定平面γ,且γ与β有公共点P.图11设γ∩β＝a ′,∵a ∥β.∴a ′∥a .∴a ′∥α.这样β内相交直线a ′和b 都平行于α,∴α∥β.知能训练1．如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．图12解:已知:α∥β,γ∥β,求证:α∥γ.证明:如图12,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a ,c ,e 和b ,d ,f ,⎭⎬⎫α∥β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥cb ∥d β∥γ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥ed ∥f⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥e ⇒a ∥γb ∥f ⇒b ∥γ⇒α∥γ. 点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面． 2．如图13,EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,求证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH .证明:∵四边形EFGH 是平行四边形⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥FGFG ⊂面BDC EH ⊄面BDC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫EH ∥面BDCEH ⊂面ABD 面ABD ∩面BDC ＝BD图13⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥BDEH ⊂面EFGH BD ⊄面EFGH ⇒BD ∥面EFGH . 同理,可证AC ∥面EFGH .拓展提升如图14,两条异面直线AB ,CD 与三个平行平面α,β,γ分别相交于A ,E ,B 及C ,F ,D ,又AD ,BC 与平面的交点为H ,G .求证:四边形EHFG 为平行四边形．图14证明:⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∩α＝AC 平面ABC ∩β＝EG α∥β⇒AC ∥EG .同理,AC ∥HF .⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理,EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形．课堂小结1．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决立体几何中平行关系的关键． 2．学会作辅助线,特别是利用平行关系的性质作辅助线．作业习题1—5 B 组第2,3题．设计感想本节教学设计注重培养学生直觉感知和应用能力，在实际教学中，可选择使用例题和练习题．备课资料备用习题1．如图15，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△P AB 的重心．图15(1)求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．证明：(1)连接P A ′，PB ′，PC ′并延长交BC ，AC ，AB 于D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF .∵A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心， ∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF .∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)由(1)知A ′C ′23DF ，又DF 12AC ，∴A ′C ′13AC . 同理，A ′B ′13AB ，B ′C ′13BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9.2．已知：如图16，α∥β，AB ∥CD ，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.图16求证：AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB，CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD.3．如图17，已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β.图1图18证明：当AB，CD共面时，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AC.∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.当AB，CD异面时，如图18，∵E CD，∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.平面AC′BD′∩α＝AC′，平面AC′BD′∩β＝BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E，F分别为C′D′，CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CC′α，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.(设计者：释翠香)。

《平行关系的性质》教学设计教材分析:本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出平行关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的性质，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.教学目标：【知识与能力目标】1. 掌握直线与平面平行的性质定理；2. 掌握两平面平行的性质定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的性质定理解决相关问题．【过程与方法】1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.【情感态度与价值观】学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.教学重难点：【教学重点】归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.【教学难点】直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的合情推理及其应用.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：上节课我们学习了线面平行、面面平行的判定定理.那今天我们一起来线面平行、面面平行的性质定理.也就是如果给你线面平行、面面平行能得到什么结论呢？问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（观察长方体）问题2：如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？（可观察教室内灯管和地面）问题3：若直线a ∥平面α,过直线a 的平面β与平面α有哪些位置关系?当平面β与平面α相交于直线b 时,直线a 与直线b 有怎样的位置关系?请尝试证明你的结论.问题4：观察长方体1111D C B A ABCD -，面ABCD 与面1111D C B A 互相平行,那么在面ABCD 内直线l 与面1111D C B A 是怎样的位置关系?与1111D C B A 面内的直线是什么位置关系，那你如何找到此面内和l 平行的直线呢？二、新课探究：1．直线和平面平行的性质文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.图形语言：符号语言：//a α,a β⊂，=αβb //a b ⇒.注: 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，b αβ=，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b αβ=；（3）直线a在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 定理证明：∵b αβ=，∴b α⊂，又∵a ∥α，∴a 与b 无公共点，又∵a β⊂，b β⊂，∴a ∥b ．2. 两平面平行的性质⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都平行于另一平面. 图形语言：符号语言：若//αβ，a α⊂，则//a β.⑵ 平面和平面平行的性质定理：文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：符号语言：若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b .注：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．定理证明：∵//αβ，a αγ=，b βγ=，∴ a 与b 无公共点，αβa又∵a γ⊂，b γ⊂. ∴ a ∥b ．思考：空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．三、知识应用：题型一 概念问题例1.判断题⑴ //a α，b α⊂，则a ∥b . （ ） ⑵ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β. （ ） ⑶ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β内的所有直线. （ ） ⑷ 若平面α∥β，a αγ=，β⊂b ，则a ∥b . （ ） ⑸ 若a αγ=，b βγ=，a ∥b ，则α∥β. （ ） ⑹ 若a ∥α，a ∥β，则α∥β. （ ）解：⑴ 错误，有可能异面；⑵ 正确；⑶ 错误，有可能平行，也有可能异面；⑷ 错误，有可能平行，也有可能异面；⑸ 错误，有可能平行，有可能两平面相交；⑹错误，有可能平行，有可能两平面相交.【设计意图】 通过题目的练习更加好的理解、记忆、掌握线面、面面平行性质定理的内容及并需要注意的内容，使用可以更灵活的应用平行的性质定理.题型二 线面平行的性质应用例2. 一木块如图所示，棱BC 平行于面'C 'A .⑴ 要经过面'C 'A 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平面AC 是什么位置关系？解：⑴ 过p 画一条直线与''B C 平行，即可；(2) l ∥''B C ，''B C ∥面AC ，则l 平行于面AC .例3. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知：a α⊄，b α⊄，a ∥α，a ∥b . 求证：b ∥α.证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ．∵a ∥α，a β⊂，c αβ=，∴a ∥c ．∵ a ∥b ，∴b ∥c ．∵b α⊄，c α⊂，∴b ∥α.【设计意图】由线面平行到线线平行，再到线面平行.性质定理和判定定理的混用， 学生可对线面平行的关系更加熟悉，找到解决问题的关键，思路如何.题型三 面面平行的性质应用例4. 已知两条异面直线AB ，CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于B ,E ,A 及D ,F ,C .又AD ,BC 与平面的交点为H ,G . 求证：四边形EHFG 为平行四边形.证明：∵平面ABC ∩平面AC α=,平面ABC ∩平面BC β=，α∥β∴AC ∥EG .同理可证AC ∥HF . ∴EG ∥HF .同理可证EH ∥FG . ∴四边形EHFG 为平行四边形.【设计意图】 利用面面平行的性质定理判定得出线线平行关系，看条件时，一定仔细理，这个条件到底想告诉我们什么呢？D ’BA ’DBCACABCDEF教学反思：本节课重点是性质定理的应用，一定要多给孩子时间思考，别着急，让孩子逐渐发现规律，找到平行条件，空间问题平面化，找到证明的关键，不要把判定定理和性质定理弄混.。

《平行关系的性质》教材首先通过“思考”提出了两个问题，从而引出直线和平面，平面和平面平行的性质，接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出直线与平面平行的性质的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质论证推理。

通过以平面和直线为桥梁，在“平行”与“平行”之间进行相互转化来实现。

【知识与能力目标】1、理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义；2、会用性质定理证明空间线面关系的问题。

【过程与方法目标】综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化。

【情感态度价值观目标】通过学习，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。

【教学重点】理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题。

【教学难点】会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P 32“练习”以下至P 33“例4”以上部分，完成下列问题。

βα∩ 如图1­5­19所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )图1­5­19A 、平行B 、相交C 、异面D 、不确定【解析】 ∵EH ∥FG ，EH ⊆/平面BCD ，FG平面BCD ， ∴EH ∥平面BCD ，∵EH 平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD 。

1.5.2平行关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与平面平行的性质定理的含义．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．(2)会证明直线与平面平行的性质定理．(3)能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．2．过程与方法通过学生直观感知、操作确认，归纳出平行关系、性质等，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力．3．情感、态度与价值观通过对平行关系性质的学习，体会现实到抽象的认识事物规律，培养探索精神，提高数学的兴趣．●重点难点重点、难点：平行关系的性质定理的应用．注意定理中的条件，在应用时缺一不可．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节知识的延续，先讲述平行关系的性质，再把平行关系的判定与性质结合起来，平行关系的判定和性质体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．即●教学流程创设情景提出两个问题，即已知线面平行，面面平行可以得出什么结论⇒解得问题即讲解线面平行、面面平行的性质定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握线面平行性质的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面平行性质的应用⇒通过例3及互动探究，使学生掌握平行关系之间的综合转化⇒课堂小结整合本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识教室日光灯管所在直线与地面平行，那么这条直线与地面内所有直线都平行吗？如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？【提示】 不一定．可能平行也可能异面．过灯管所在直线作一平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行．⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b观察如图的长方体，我们可以知道：直线a ∥平面α，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1. 思考直线a 与直线b 的关系？ 【提示】 平行．如图1－5－12所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .图1－5－12【思路探究】 (1)猜想一下，AP 与平面BDM 平行吗？ (2)如何证明你的猜想？由“M 是PC 的中点”你能想什么？ (3)由AP ∥平面BDM 如何证明AP ∥GH?【自主解答】 如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点， ∴AP ∥OM . 又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ， 又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ， ∴AP ∥GH .1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行． 2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．如图1－5－13所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.图1－5－13【证明】 如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ . 于是AM MC ＝AQ DQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND .已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方法？ (2)如何寻求线线平行？【自主解答】 如图，连接DC ， 设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是在△ADC 内有AB BC ＝DGGC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF .∴AB BC ＝DE EF .1．本题关键是利用面面平行的性质得出线线平行．2．应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．图1－5－14CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.图1－5－14【证明】过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.如图1－5－15，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H 分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.图1－5－15(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？【思路探究】(1)证四边形EFGH为平行四边形，再根据CD⊥AB，得结论．(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．【自主解答】 (1)因为CD ∥平面EFGH ， 所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF .同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF . 所以四边形EFGH 是矩形． (2)设CE ＝x ，AC ＝1， 因为HE ∥AB ， 所以HE AB ＝CE CA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC 中点时，四边形EFGH 的面积最大．1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．2．空间平行关系的转化图：本例中若截面四边形EFGH 是平行四边形，求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH . 【证明】 ∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴EF ∥GH .又EF平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF平面EFGH，CD平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.平行关系中的转化思想图1－5－16(12分)如图1－5－16所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．【思路点拨】欲证明线线平行可考虑线面平行的性质欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质．【规范解答】(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 4分又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. 6分(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 8分而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. 10分∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD. 12分【思维启迪】线线平行、线面平行、面面平行之间可通过平行的判定和性质相互转化，从而达到证明的目的．1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注意定理中的线、面满足的条件．1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．【答案】 B图1－5－172．如图1－5－17，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线l 1分别交平面α、平面β于A 、B 两点，P A ＝6，AB ＝2，引直线l 2分别交平面α、平面β于C 、D 两点，已知BD ＝12，则AC 的长等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】 由l 1∩l 2＝P ，知l 1、l 2确定一个平面γ，⎭⎪⎬⎪⎫由α∩γ＝AC β∩γ＝BD α∥β⇒AC ∥BD ⇒P A PB ＝AC BD . ∴66＋2＝AC12，解得AC ＝9. 【答案】 B3．如图1－5－18所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N 是AD 的中点，若MN ∥平面BDC ，则AM ∶MB ＝________.图1－5－18【解析】∵MN∥平面BDC，MN平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.【答案】1∶14．如图1－5－19所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图1－5－19【证明】∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD.同理AB∥EF.∴CD∥EF.一、选择题1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是()①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．②③C．①D．①③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.【答案】 B2．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．【答案】 B图1－5－203．如图1－5－20所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.【答案】 A4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20【解析】 第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ， 则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD . ∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x . ∴PD PC ＝PB P A.∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24. 【答案】 B5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交【解析】 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.【答案】B图1－5－21二、填空题6．如图1－5－21，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1平面A 1C 1B ∩平面ABCD ＝l 平面A 1C 1B ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C1⇒l ∥A 1C 1. 【答案】 平行图1－5－227．(2013·宁德高一检测)空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】 ∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ， ∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 8图1－5－238．如图1－5－23，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】 根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交， ∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′， ∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，① △ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】239三、解答题9．如图1－5－24，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．图1－5－24【解】设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.图1－5－2510．(2013·吉林高一检测)如图1－5－25，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.图1－5－2611．如图1－5－26，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【解】点E的位置是棱SA的中点．证明如下：如题图，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC平面EBD，OE平面EBD，∴SC∥平面EBD.(教师用书独具)如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若P A ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积．【思路探究】 求△BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话，可以利用△ACF 的面积求出△BDE 的面积．【自主解答】 ∵平面QAF ∩α＝AF ，平面QAF ∩β＝BE ，又α∥β，∴AF ∥BE .同理可证：AC ∥BD ，∴∠F AC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠F AC ＝sin ∠EBD .由F A ∥BE ，得BE ∶AF ＝QB ∶QA ＝12∶24＝1∶2，∴BE ＝12AF . 由BD ∥AC ，得AC ∶BD ＝P A ∶PB ＝9∶21＝3∶7，∴BD ＝73AC . 又∵△ACF 的面积为72，即12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝72. ∴S △DBE ＝12BE ·BD ·sin ∠EBD＝12·12AF·73AC·sin∠F AC＝76·12AF·AC·sin∠F AC＝76×72＝84.∴△BDE的面积为84.直线和直线的平行问题常常转化为直线和平面或平面和平面的平行问题，而直线和平面的平行问题也可以转化为直线和直线或平面与平面的平行问题，故解决空间的平行问题必须熟记有关的判定定理和性质定理进行灵活的转化．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面P AD.【证明】如图所示，取CD的中点E，连接NE，ME，由题意可知NE∥PD，EM∥AD，NE∩EM＝E，PD∩AD＝D，则平面MNE∥平面P AD.又∵MN平面P AD，且MN平面MNE，∴MN∥平面P AD.。

5.2平行关系的性质教案江西省南昌市铁路第一中学 章建荣一、教材的地位与作用在本节课之前，学生已经学习了平行关系的判定，对于平行关系的性质的学习，不仅是对前面学习的平行关系的判定进行延伸拓展，更是为接下来学习垂直关系的性质、提供了方法依据，起着承前启后的作用。

同时，从本章节整体知识体系来说，立体几何初步的学习对培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力等方面，都具有重要的作用。

二、教学目标1、知识与技能目标：理解平行关系的性质，掌握平行关系的性质的应用；2、过程与方法目标：通过对平行关系的性质定理的探究和运用过程，进一步培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力；3、情感态度与价值观目标:让学生亲身经历数学定理的形成过程，体验探索的乐趣，增强学生学习数学的兴趣。

三、教学重难点教学重点：对平行关系性质的理解、概括和应用。

教学难点：对平行关系的性质的理解、概括，掌握平行之间的转化，灵活运用平行关系的性质 解决实际问题四、教法学法通过观察、讨论、分析、探索等步骤，让学生自己“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈。

这样，一方面培养学生抽象思维能力和空间想向能力.五、教学过程温故知新：线面平行判定定理：||||a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭面面平行判定定理,//,//,//a b a b P a b βββααα⊂⊂⎫⇒⎬=⎭一、直线与平面平行的性质1.问题提出:一条直线和一个平面平行，它具有什么性质？//,,a a b αβαβ⊂=⇒//a b设计意图：创设情境，从学生熟悉的长方体入手，启发性的提问，逐步引导学生对直线与平面平行的性质进行探究。

然后从特殊到一般，提出问题，从而引入课题，开始对平行关系的性质探究.2.抽象概括:直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行, 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. //,,//.a ab a b αβαβ⊂=⇒ 线面平行则线线平行 3.应 用:例1.如图所示的一块木料中,棱BC 平行于面A 1C 1.（1）要经过面A 1C 1内的一点P 和棱BC 将木料锯开,应怎样画线？（2）所画的线和面AC 是什么位置关系？（1）在面A 1C 内,过点P 画直线EF ,解：使EF //B 1C 1,EF 交棱A 1B 1、C 1D 1于点E 、F , 连结BE 、CF .//面面E F B C E F A C B C A C ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭ //.面E F A CBE 、CF 显然都和面AC 相交.例2.如图，A , B , C , D 在同一平面内, AB //平面α，AC //BD , 且AC ,BD 与α分别交于点C , D . 求证: AC =BD .证明：连接CD , A , B , C , D 在同一平面内,设该平面为β. 则α∩β=CD . A Bβ⊂ AB //平面α ⇒AB //CD ，AC//BD ⇒四边形ABCD 是平行四边形 ⇒AC=BD二、两个平面平行的性质1.问题提出:两个平面平行，它具有什么性质？//a b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭//a b2.抽象概括:平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭ （面面平行证线线平行）3.应 用:例3.如图,////,αβγ直线a 和b 分别交 αβγ，，于点A 、B 、C 和点D 、E 、F . 求证：.A BD E B C E F =证明：连接AF ，交平面β点G .平面ADF ∩α=AD平面ADF ∩β=GE//αβ//A D G E ⇒D EA GE F G F ⇒=，平面ACF ∩β=BG ，平面ACF∩γ=CF //βγ//B G C F ⇒A G A B G F B C ⇒= .A BD E B C E F ⇒=设计意图： 让学生更形象深刻的体会定理的内涵，了解定理的应用。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 周集体备课 个人空间一、课题： 5.2平行关系的性质（1）二、学习目标1、理解直线与平面平行的性质定理；2、能用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述线面平行性质定理；3、能用性质定理证明一些空间线面平行的简单问题。

三、教学过程【温故知新】1、线面平行的判定定理是什么？请分别用符号语言、图形语言表示。

【导学释疑】阅读课本P31页，完成下列问题。

问题1、如果一条直线a 与一个平面α平行，那么直线a 平面α与内的直线有哪些位置关系？由线面平行定义，如果一条直线a 与平面α平行，那么α内的任何直线与。

（填交点情况）这样，平面α内的直线与直线a 只能是或者 。

问题2、如图：直线11D A ∥平面ABCD ,经过11D A 的平面11BCD A 与平面ABCD 的交线是BC ，这时11D A ∥BC ，同理：11D A ∥ ，11D A ∥ ，11D A ∥ 。

直线与平面平行的性质定理：文字语言图形语言【巩固提升】例1、如图，已知直线a ，b ，平面α，且a //b ，a //α，a ，b 都在平面α外。

求证：b//α【检测反馈】1、若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是( )A ：α⊂lB ：α//lC ：αα//l l 或⊂D ：相交和αl2、若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( )A ：平行B ：相交C ：平行或相交D ： 或平行、或相交、或在内 符号语言 ________________________________⎫⎪⇒⎬⎪⎭反思栏。

直线与平面平行的判定教学设计（第一课时）【教学内容解析】本节教材选自北师大版数学必修2第一章第5节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理借助日常生活中直线与平面平行的例子,通过直观感知、合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．【教学目标设置】通过直观感知——观察提炼的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．【学生学情分析】通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．【教学策略分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助日常生活中直线与平面平行的例子，通过直观感知，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．教学目标：1理解并掌握直线与平面平行的判定定理2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理．3直线与平面平行的判定定理的简单应用,进一步培养发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点:直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．教学难点:直线与平面平行的判定定理的应用学法指导:学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,直线与平面平行的判定定理课时安排:1课时【教学过程】1在空间中直线与平面有几种位置关系？（1）直线在平面内：有无数个公共点；图形:（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点符号语音:__________ ____________ ____________师：强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊆/α．2如何判断直线在平面内这一位置关系？1定义: 直线在平面内：有无数个公共点2公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内）3如何判断直线与平面平行这一位置关系？定义：直线与平面平行：没有公共点讨论：根据定义好判断吗？师:根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．[设计意图：通过提问，学生复习空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。

利用判定定理：线线平行利用平面的平行：面面平行NP分别是PC AB CD 、、的中点精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

教学设计
直线与平面平行的性质
【三维目标】
1．知识与技能
通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜测，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理．2．过程与方法
通过直观感知和操作确认的方法，开展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程；通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性．
3．情感、态度、价值观
通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交往能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析解决问题的能力．
【教学重点与难点】
1．教学重点直线与平面平行的性质定理．
2．教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理．
【教学过程】。

§1.5.2 平行关系的性质(二)【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________． (1)符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． (2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线． (3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βaα⇒______，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段相等； ③平行于同一平面的两个平面平行．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线 3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α．A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题 10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．§1.5.2平行关系的性质(二) 答案知识梳理那么它们的交线平行(3)①a∥β作业设计1．C2．D3．B 4．C 5．D [如图所示，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ．连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′、CC ′．则CE ∥AA ′，∴CE ∥α． C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β． 又∵α∥β，∴C ′E ∥α． ∵C ′E ∩CE ＝E ． ∴平面CC ′E ∥平面α．∴CC ′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B7．(1)相似 (2)全等 8．平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的． 9．15解析 由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15．10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME ≌Rt △BNF ， ∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ． 又MN平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ． 又EF平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点． 12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ． 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ， 则BM ∥OE ， ② 由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ， 又BF平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝3．∴S △A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝26．。

4 平行关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案1. 教学目标本课程主要通过讲解平行线的性质、定理和证明方法，使学生掌握平行线相关基本概念及应用技巧，提高数学思维能力和解决问题的能力。

2. 教学重点和难点教学重点：•平行线的定义和基本性质；•平行线的判定方法；•平行线的定理及其应用。

教学难点：•平行线判定方法的理解和应用；•平行线的相关定理证明。

3. 教学内容3.1 平行线的定义和基本性质通过引入平行线的概念，引导学生认识平行线的定义和基本性质，拓展学生对于平行线的概念认识与理解。

3.2 平行线的判定方法讲解点、直线、平面的概念及其关系，引出平行线的判定方法，包括：同位角判定法、平行线夹角判定法、平行四边形性质判定法等。

3.3 平行线的定理及其应用引入平行线定理及其相关推论，包括：平行线性质定理、平行线夹角定理、平行线截线定理等，同时根据这些定理及其应用，辅助帮助学生掌握平行线与线段、角、三角形等几何图形的相关性质。

本课程主要采用讲授、演示、实例运用等教学方法相结合，具体如下：•讲授法：通过教师对理论知识的讲解，帮助学生了解并掌握平行线的基本概念；•演示法：通过教师对实例的演示，帮助学生更好地理解平行线的相关定理和性质；•实例运用法：通过对大量实例的运用，帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

5. 教学过程5.1 导入课程通过一道简单的练习题引导学生复习并总结最小角、共面、共线等几何常识。

5.2 讲解平行线的定义和基本性质讲解平行线的特点，如同向且不相交，以及平行线的基本性质，如保持相互平行等。

5.3 平行线的判定方法通过介绍几种平行线的判定方法，如:同位角判定法、平行线夹角判定法、平行四边形性质法等，帮助学生了解并掌握平行线的判定方法。

5.4 平行线的定理及其应用讲解平行线定理，如:平行线性质定理、平行线夹角定理、平行线截线定理等，并通过一些例子来说明定理的应用。

5.5 案例分析通过实例分析，让学生应用所学知识解决实际问题，提高他们的课堂应用能力。

1．直线与平面平行的判定与性质
1．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
GH∥平面P AD.
利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定
，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质AD＝4，∠P AD
的中点，
⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1.
的高．又∵AO ＝1
2AC ＝1，AA 1＝2，
＝S ×A O ＝1. 中点，求证：
，
，在侧面PBC内，有
利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线
方法与技巧
1．平行问题的转化关系
1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()
．①③B．①④C．②③D．②④
答案B解析①中易知NP∥AA′，MN A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．
、
1
EG＝
2BB1.
的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有
MN∥平面CDEF；
A－CDEF的体积．
由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝
BF的中点G，连接MG、NG，由M、的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
MNG∥平面CDEF，。

4 平行关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平行的概念，掌握平行关系的基本性质；2.能够正确使用直线平行和平行线之间的关系；3.能够应用平行线的性质，解决实际问题。

教学重点1.平行线定义及相关概念；2.使用平行线的性质解决实际问题。

教学难点1.在实际问题中应用平行线的性质解决问题；2.区分平行线和直线平行的概念。

教学内容及时间分配第一课时（45分钟）1. 学生自主探究1.向学生介绍平行线的概念及相关术语；2.提供一些对平行线的直观认识，引导学生发现平行线的性质；3.给学生两个已知条件，让他们自行思考并运用平行线的性质，找到未知条件；4.让学生归纳出平行线的基本性质。

2. 教师讲解1.教师对学生的探究活动进行总结，并讲解平行线的定义；2.教师讲解平行线的性质及其推论，让学生理解和记忆相关概念。

第二课时（45分钟）1. 练习及小结1.提供一些实际问题，让学生应用平行线的性质解决问题；2.学生回顾和总结所学的知识点；3.学生互相交流和讨论对本节课的理解。

教学方法及过程本节课程采用学生自主探究和教师指导相结合的方式，让学生在实践操作和自我探究中逐步形成对平行线的概念和性质的认识，并让学生通过实际问题运用所学知识点。

教学评估1.在课程中设立一些问题，看学生能否正确解答；2.学生针对课程内容以及所掌握的知识点填写学习笔记，评估学生学情；3.教师观察学生在探究和应用知识中的情况。

拓展阅读裴维健等.《北师大版数学·必修二》.北京：人民教育出版社，2019.结语通过本节课的学习，学生将掌握平行的概念，了解平行线的基本性质，运用平行线的性质解决实际问题。

同时，学生将培养出良好的自主探究能力和解决问题的能力。

?直线与平面平行的判定?导学案学习目标1.通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理2．掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。

教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

一、自主思考，合作探究〖探究一〗：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：多媒体幻灯片演示〖探究二〗根据直线与平面平行的定义〔没有公共点〕来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．〖探究三〗在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？二、自主检测想一想：判断以下命题的真假并说明理由：①假设一条直线不在平面内，那么该直线与此平面平行〔〕①假设一条直线与平面内的无数条直线平行，那么该直线与此平面平行〔〕①如图，a是平面α内的一条给定的直线，假设平面α外的直线b不平行于直线a，那么直线b与平面α就不平行〔〕证一证：如图1，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，判断并证明EF 与平面BCD的位置关系．操作思考：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱A1B1的中点，过点P画一条直线使之与截面A1BCD1平行．三、自主归纳﹒总结回扣1、这节课学习了哪些知识与方法？你又是通过什么学习方式获得的2、你还有哪些感悟与收获？〔七〕分层作业共同进步根本作业：1、如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点．假设，判断并证明EF与平面BCD的位置关系．拓展提高：1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定点E的具体位置使AC1//平面BDE．2、尝试严格地证明直线与平面平行的判定定理．。