高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用测试(含解析

1 定积分在几何中的应用

（时间：25分，满分50分）

班级 姓名

得分

1.（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )

S＝ʃab[f(x)－g(x)]dx

S＝ʃ80(22x－2x＋8)dx

① ②

S＝ʃ41f(x)dx－ʃ74f(x)dx S＝ʃ a0[gx－fx]dx＋ʃ ba[fx－gx]dx

③ ④

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④

【答案】 D

2．（5分）若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )

A．∫ba[f(x)－g(x)]dx

B．∫ba[g(x)－f(x)]dx

C．∫ba|f(x)－g(x)|dx

D.||∫ba[fx－gx]dx

【答案】 C

【解析】 当f(x)＞g(x)时，所求面积为∫ba[f(x)－g(x)]dx；

当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫ba[g(x)－f(x)]dx.

综上，所求面积为∫ba|f(x)－g(x)|dx.

3．（5分）由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )

A.ln2 B.ln2-1 2 C.1+ln2 D.2ln2

【答案】 A.

【解析】 画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.

所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2.

4．（5分）直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为

①f(x)dx；②f(|x|)dx；③|f(x)|dx；④2|f(x)|dx.

其中，正确表示的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

5.（5分）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，}，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是( )

A. B. C. D.

【答案】A.

【解析】由题设知：f(x)=

所以S=dx+x2dx=+x3=.

6．（5分）设f(x)＝ x2， x∈[0，1]，2－x， x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于( )

A.34 B.45 C.56 D．不存在 3 【答案】 C

【解析】 数形结合，如图，

ʃ20f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃ21(2－x)dx＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.

7．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________.

【答案】

8．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．

【答案】 13

【解析】 根据题意得：S阴＝ʃ103x2dx＝x3|10＝1，则点M取自阴影部分的概率为S阴S矩＝13×1＝13.

9.（5分）求曲线y＝6－x和y＝8x，y＝0围成图形的面积．

4 【解析】 作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．

解方程组

y＝6－xy＝8x得直线y＝6－x与曲线y＝8x交点的坐标为(2,4)，

直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．

因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝ʃ208xdx＋ʃ62(6－x)dx＝8×2332x|20＋(6x－12x2)|62

＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403.

10．（5分）设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.

(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；

(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

S2＝ʃ2t(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3.

因为S1＝S2，

所以t＝43，点P的坐标为(43，169)．

(2)S＝S1＋S2＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，S′＝t2－2，

令S′＝0得t2－2＝0.

因为0

因为00.

所以，当t＝2时，

S1＋S2有最小值83－423，

此时点P的坐标为(2，2)．