【命题探究】2014年中考数学 抢分训练之“小题狂做”分解因式(含解析)

一元二次方程组一、选择题(本小题共7小题，每小题3分，共21分)1．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．方程x (x －2)＋x －2＝0的解是( )A ．2B ．－2，1C ．－1D ．2，－13．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( )A ．－2B ．2C ．3D ．14．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1 C.14 D ．－145．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋5(m －5)＝0的两个正实数根分别为x 1、x 2，且2x 1＋x 2＝7，则m 的值是( )A ．－2B ．6C ．2或6D ．76．一元二次方程x 2＋4＝0 根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．一元二次方程x 2＋3x ＝0的解是( )A ．x ＝－3B ．x 1＝0，x 2＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x ＝3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)8．若方程x 2－x ＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 2－x 1＝______．9．如果关于x 的方程x 2－3x ＋k ＝0(k 为常数)有两个不相等的实数根，那么k 应满足的条件为______．10．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解为______．11．关于x 的一元二次方程kx 2－x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．三、解答题(本大题共3小题，共23分)12．(6分)解方程：(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.13．(7分)解方程：x 2－2x ＝5.14．(10分)已知关于一元二次方程(x －m )2＋6x ＝4m －3有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)设方程的两实数根分别为x 1与x 2，求x 1·x 2－x 21－x 22的最大值．参考答案1. A 解析：x 2＋4x ＋1＝0，移项，得x 2＋4x ＝－1，方程两边都加上4，得x 2＋4x ＋4＝－1＋4，即x 2＋4x ＋4＝3，(x ＋2)2＝3.2. D 解析：因为x (x －2)＋(x －2)＝0，所以(x ＋1)(x －2)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝2.3. C 解析：根据根与系数之间的关系，得x 1＋x 2＝－b a＝－(－3)＝3. 4. B 解析：∵方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，∴22＋4a ＝0，解得a ＝－1.5. B 解析：由根与系数关系得x 1＋x 2＝－b a＝m ， ∵2x 1＋x 2＝7，∴x 1＋m ＝7 ∴x 1＝7－m ，把x 1＝7－m 代入原方程得(7－m )2－m (7－m )＋5(m －5)＝0，化简得m 2－8m ＋12＝0，解得m 1＝2，m 2＝6，∵x 1·x 2＝c a＝5(m －5)，当m 1＝2时， x 1·x 2＝5(m －5)＝－15＜0，与两个正实数根矛盾，舍去，故m ＝6.6. D 解析：根据题意可得Δ＝－16＜0，所以方程没有实数根，故选D.7. C 解析：由题意得，x (x ＋3)＝0，所以x 1＝0，x 2＝－3，故选C.8. 1 解析：解方程x 2－x ＝0，又x 1＜x 2，故x 1＝0，x 2＝1，∴x 2－x 1＝1.9. k ＜94 解析：由题意得，△＝9－4k ＞0，所以k ＜94. 10. 3或－1 解析：x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1.所以一元二次方程x 2－2x －3＝0的解为3或－1.11. k ＜14且k ≠0 解析：若k 满足题意，则有Δ＝(－1)2－4k ＞0 且k ≠0成立，解得k ＜14且k ≠0. 12. 解：原方程可化为x 2－1＋2x ＋6＝8，即x 2＋2x －3＝0，(2分)解得x ＝1或x ＝－3.(6分)13. 解：配方得(x －1)2＝6，(3分)∴x －1＝±6，∴x ＝1±6(6分)∴x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6.(7分)14. 解：(1)由(x－m)＋6x＝4m－3，得x2＋(6－2m)x＋m2－4m＋3＝0.∴Δ＝b2－4ac＝(6－2m)2－4×1×(m2－4m＋3)＝－8m＋24.(2分)∵方程有实数根，∴－8m＋24≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3.(4分) (2)∵方程的两实根分别为x1与x2，∴x1＋x2＝2m－6，x1·x2＝m2－4m＋3，(6分)∴x1·x2－x21－x22＝3x1·x2－(x1＋x2)2＝3(m2－4m＋3)－(2m－6)2＝－m2＋12m－27＝－(m－6)2＋9.(8分)∵m≤3，且当m＜6时，－(m－6)2＋9的值随m的增大而增大，∴当m＝3时，x1·x2－x21－x22的值最大，最大值为－(3－6)2＋9＝0，∴x1·x2－x21－x22的最大值为0.(10分)。

分 式一、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)1．若分式2x －3有意义，则x 应满足的条件是( ) A ．x ≠0 B ．x ≥3 C ．x ≠3 D ．x ≤32．化简1x －1x －1，可得( )A.1x 2－x B ．－1x 2－x C.2x ＋1x 2－xD.2x －1x 2－x 3．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( )A.2x －1 B.2x 3－1 C.2x ＋1D ．2(x ＋1) 4．化简(1＋4a －2)÷aa －2的结果是( )A.a ＋2aB.aa ＋2 C.a －2aD.a a －2 二、填空题(本大题共3小题，每小题3分，共9分)5．化简m 2－163m －12得______；当m ＝－1时，原式的值为______．6．化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x 的结果是______．7．化简：(a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4)÷a －4a ＋2＝______.三、解答题(本大题共7小题，共39分)8．(4分)化简：(2a －ba ＋b －ba －b )÷a －2ba ＋b9．(4分)化简(1－a 2＋8a 2＋4a ＋4)÷4a －4a 2＋2a .10．(5分)化简，求值x 2－x x 2－2x ＋1－x x ＋1，其中x ＝ 211．(5分)先化简，再求值：(x ＋1)÷(2＋1＋x 2x )，其中x ＝－32.12．(6分)先化简x －1x ÷(x －2x －1x)，然后从－1，0，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．13．(6分)先化简：(1x －1－1x ＋1)÷x 2x 2－2，然后从－2≤x ≤2范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．14．(9分)先化简，再求值：(x ＋1－3x －1)÷x 2－4x ＋4x －1，其中x 满足方程：x 2＋x －6＝0. 参考答案1. C 解析：根据分式的性质可知，x ≠3.2. B 解析：1x －1x －1＝（x －1）－x x （x －1）＝x －1－x x 2－x ＝－1x 2－x. 3. C 解析：2x 2－1÷1x －1＝2（x ＋1）（x －1）·x －11＝2x ＋1. 4. A 解析：(1＋4a －2)÷a a －2＝a －2＋4a －2·a －2a ＝a ＋2a . 5. m ＋43 1 解析：m 2－163m －12＝（m ＋4）（m －4）3（m －4）＝m ＋43， 当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 6. 3x 解析：x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2·x －1x （x ＋1）＋2x ＝1x ＋2x ＝3x.7. 1a （a ＋2）或1a 2＋2a 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4÷a －4a ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2a （a ＋2）－a －1（a ＋2）2×a ＋2a －4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－4a （a ＋2）2－a 2－a a （a ＋2）2×a ＋2a －4＝a －4a （a ＋2）2×a ＋2a －4＝1a 2＋2a. 8. 解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a ＋b a －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a －b ）（a －2b ）(2分) ＝2a 2－4ab （a －b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a －b ）（a －2b ）＝2a a －b.(4分) 9. 解：原式＝（a 2＋4a ＋4）－（a 2＋8）a 2＋4a ＋4·a 2＋2a 4a －4＝4a －4（a ＋2）2·a （a ＋2）4a －4(2分)＝a a ＋2.(4分) 10. 解：原式＝x （x －1）（x －1）2－x x ＋1＝x （x ＋1）（x －1）（x ＋1）－x （x －1）（x －1）（x ＋1）＝2x x 2－1，(3分) 当x ＝2时，原式＝22（2）2－1＝2 2.(5分) 11. 解：原式＝(x ＋1)÷2x ＋1＋x 2x ＝(x ＋1)·x （x ＋1）2＝x x ＋1，(3分) 将x ＝－32代入得原式＝－32－32＋1＝3.(5分) 12. 解：原式＝x －1x ÷(x 2－2x ＋1x )＝x －1x ·x （x －1）2＝1x －1，(3分) 当x ＝－1时，原式＝－12(或当x ＝2时，原式＝1)．(6分) 13. 解：原式＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）（x －1）·2（x ＋1）（x －1）x ＝4x ，(3分) 在－2≤x ≤2的范围内，x 只能取－2，2，(4分)∴当x ＝－2时，原式＝4－2＝－2， 或当x ＝2时，原式＝42＝2(只选取一个即可)．(6分) 14. 解：原式＝x 2－1－3x －1×x －1（x －2）2＝x 2－4x －1×x －1（x －2）2＝（x ＋2）（x －2）x －1×x －1（x －2）2＝x ＋2x －2，(3分)解方程x 2＋x －6＝0，得x 1＝－3，x 2＝2，原分式中x ≠2，(7分)所以当x ＝－3时，原式＝x ＋2x －2＝－3＋2－3－2＝15.(9分)。

二次函数一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( ) A ．y ＝(x ＋2)2＋2 B ．y ＝(x －2)2－2 C ．y ＝(x －2)2＋2 D ．y ＝(x ＋2)2－22．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜－3B ．k ＞－3C ．k ＜3D ．k ＞34．已知抛物线y ＝k (x ＋1)(x －3k)与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，1)，(2，－1)两点．下列关于这个二次函数的叙述正确的是( ) A ．当x ＝0时，y 的值大于1 B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于06．如图，抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A (1，3)， 过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③当x ＝0时，y 2－y 1＝4；④2AB ＝3AC . 其中正确结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题(本大题共2小题，每小题4分，共8分)7．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式______．8．如果抛物线y＝(4＋k)x2＋k的开口向下，那么k的取值范围是______．三、解答题(本大题共2小题，共28分)9．(12分)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x 的取值范围．10．(16分)如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、O、B抛物线的解析式．参考答案1. B 解析：直接运用“左加右减，上加下减”的平移规律，抛物线向右平移2个单位后，抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－4，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－2，故选B.2. A 解析：∵a ＝－12＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随x 的增大而减小．∵－b 2a ＝－－72×（－12）＝－7，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－7，∵－7＜0＜x 1＜x 2＜x 3，∴y 1＞y 2＞y3.3. D 解析：函数y ＝|ax 2＋bx ＋c |的图象如图所示，当0＜k ＜3时，|ax 2＋bx ＋c |＝k 有4个不相等的实数根；当k ＞3时，|ax 2＋bx ＋c |＝k 有2个不相等的实数根，故选D.4. C 解析：令y ＝0，则k (x ＋1)(x －3k )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3k，设A 点坐标 为(－1，0)，则B 点的坐标为(3k，0)． 当x ＝0时，y ＝－3，∴C (0，－3)，AC ＝OA 2＋OC 2＝10.(1)k ＞0时，有以下3种情况：①当AC ＝BC 时，点A 、B 分别在x 轴的负半轴和正半轴上，且AO ＝BO ，即1＝3k ，解得k ＝3；②当AB ＝BC 时，AB 2＝BC 2＝BO 2＋CO 2，即(3k ＋1)2＝(3k)2＋32，解得k ＝34；③当AB ＝AC 时，AB 2＝AC 2，即(3k ＋1)2＝10，解得k ＝1＋103(k ＞0，舍去k ＝1－103)． (2)k ＜0时，点B 只能在点A 的左侧．只有当AB ＝AC 时，△ABC 可构成等腰三角形，∴－3k －1＝10，解得k ＝1－103，综上可知，当k 1＝3，k 2＝34，k 3＝1＋103，k 4＝1－103时，△ABC 为等腰三角形，故能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是4.5. B 解析：本题考查二次函数的图象性质，难度中等．由图象可知抛物线开口向下，点(－1，1)在对称轴的右侧，而在对称轴右侧图象呈下降趋势，y 随x 增大而减小，故当x ＝0，1时对应的函数值都小于1，排除A ，C ；由图象知函数的最大值应大于1，排除D ；因为(2，－1)在函数图上且在对称轴右侧，故当x ＝3时，函数值y 小于－1，即y 小于0，故选B.6. D7. y ＝x 2＋x －2 解析：直接运用图象的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位长度后所得新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.8. k ＜－4 解析：因为y ＝(4＋k )x 2＋k 的图象为抛物线，且开口向下，所以4＋k ＜0，即k ＜－4.9. (1)当k ＝－2时，点A (1，－2)，(2分)设反比例函数的解析式为y ＝m x ，∵点A 在反比例函数的图象上， ∴将A 点坐标代入上式，可得m ＝－2，∴y ＝－2x.(6分) (2)要使反比例函数满足y 随着x 的增大而增大，只需k ＜0.(8分)而对于二次函数y ＝kx 2＋kx －k ，其对称轴为x ＝－12，要使二次函数满足y 随着x 的增大而增大，在k ＜0的情况下，即当x ＜－12时，才能使得y 随着x 的增大而增大． 综上所述，需满足的条件是k ＜0，且x ＜－12.(12分)10. (1)如图，过B 点作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝120°，∴∠BOC ＝60°，∠CBO ＝30°又∵OA ＝OB ＝4，∴OC ＝12OB ＝12×4＝2， BC ＝OB ·sin 60°＝4×32＝23， ∴点B 的坐标是(－2，－23)．(8分)(2)∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将A (4，0)，B (－2，－23)代入，得⎩⎨⎧16a ＋4b ＝0，4a －2b ＝－23.(12分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－36，b ＝233.∴此抛物线的解析式为y ＝－36x 2＋233x .(16分)。

图形的初步认识一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)1．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是( )2．骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7.将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“*”所代表的数是( )A．2 B．4C．5 D．63．如图，是一个正方体的平面展开图，原正方体中“祝”的对面是( )A．考 B．试 C．顺 D．利4．永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹(如图所示)．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在( )A．朝阳岩 B．柳子庙 C．迥龙塔 D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置5．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于( )A．45° B．60° C．90° D．180°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)6．已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝________．7．如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________．8．一个角的补角是36°35′，这个角是______．9．如图，点B是线段AC上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝4cm，AC＝10cm，则CD＝______．三、解答题(共15分)10．比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图(草图)即可．参考答案1. D 解析：与70°角互补的角为180°－70°＝110°，是个钝角，结合选项，可知选D.2．C 解析：利用三视图可以得出，这个几何体有6个小正方体组成，从正面看，第一层有5个，第二层有一个，并且在最右端，从主视图上看，最右端，最下面的前面是3，∵相接触的两个面上的数字的积为6，∴第二层下面为2，∵任意两对面上所写的两个数字之和为7，∴上面为5，∴所以代表的数为5.故选C.3．C 解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以，“你”的对面是“试”，“考”的对面是“利”，“祝”的对面是“顺”．故选C.4．B 解析：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，A 、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5＋13＝18；B 、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5＋8＝13；C 、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13＋8＝21；D 、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13.故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，故选B.5．C 解析：由题意得，∠α＋∠β＝180°，∠α＋∠γ＝90°，两式相减可得：∠β－∠γ＝90°.故选C.6．15 解析：∵∠ABC ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝12×30°＝15°.故答案为：15.7．70 解析：连接AB .∵C 岛在A 岛的北偏东45°方向，在B 岛的北偏25°方向，∴∠CAB ＋∠ABC ＝180°－(45°＋25°)＝110°，∵三角形内角和是180°，∴∠ACB ＝180°－(∠CAB ＋∠ABC )＝180°－110°＝70°.故答案为：70.8. 143°25′ 解析：由互补可得180°－36°35′＝143°25′.9. 3 cm 解析：BC ＝AC －AB ＝6 cm ，因为点D 是线段BC 的中点，所以CD ＝12BC ＝3 cm. 10．解：(1)用量角器度量∠ABC ＝50°，∠DEF ＝70°，即∠DEF ＞∠ABC .(5分)(2)解：如图：形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC.(15分)。