- 1 - 向量求三点共线的方法
如果A、B和C三个点共线，那么向量AB和向量AC必然平行。向量平行可以通过向量的点积来判断。如果AB和AC平行，则有：
AB · AC = |AB| |AC| cosθ
其中，|AB|和|AC|分别为向量AB和向量AC的模长，θ为两个向量之间的夹角。由于AB和AC平行，所以θ为0度或180度，即cosθ为1或-1。因此有：
AB · AC = ±|AB| |AC|
将上式展开，可以得到：
(x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 -
z1) = ±|AB| |AC|
如果左边的式子等于右边的式子，则A、B和C三个点共线。
需要注意的是，如果三个点的坐标是浮点数，判断是否相等时需要考虑精度误差。可以使用一个很小的阈值来检查两个浮点数是否相等。
综上所述，通过向量的点积可以判断三个点是否共线。这种方法简单、直观，适用于二维和三维空间中的点。
三点共线的证明方法
袁竞成
题目 已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求证：A、B、C三点共线。
方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线
设P（）分AC所成的比为，则=
1。
方法2：利用向量平行的充分条件来证明三点共线
，向量
方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0
由两点式求得直线AB的方程为
方法4：的面积为0证明三点共线
方法5：直线夹角为0来证明三点共线
2方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）
方法二：设三点为A、B、C 。利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理 注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。
方法七：证明其夹角为180°
方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0
方法九：帕普斯定理
注意帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
帕普斯定理
[
利用共线向量巧解三点共线
例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数，使得PC=PA+（1-）PB．
证法探究：
分析： 初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=PA+（1-）PB，只需证
PC=PA+PB-PBPC-PB=（PA-PB）
BC=BABC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=BA，即PC-PB=（PA-PB），PC=PA+PB-PB，∴PC=PA+（1-）PB．
证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC与BA同向，有0≤≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC与BA反向，有<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA同向，有＞1．
此例题逆命题亦成立，即
已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，，有PC=PA+PB，且+=1，则A，B，C三点共线．
故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：
性质1：已知A，B，C是平面内三个点， P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数，使得PC=PA+（1-）PB．
或叙述为：
已知A，B，C是平面内三个点， P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数，，使得PC=PA+PB，则有+=1．
性质2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，，有PC=PA+PB，且+=1，则A，B，C三点共线．
三点共线性质在解题中的应用：
例1 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=AMm，AC=ANn，则nm的值为 ．
解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO=ACAB2121=ANnAMm2121，又因为M、O、N三点共线，所以12121nm，故2nm．
高中判断三点共线的常用处理方法
（重庆武隆中学 梁承勇 408500）
[本文发表在中学生数理化2007年（高一版）四期上]
共线问题一直以来都是一个十分重要的问题。不管是教学中，还是考试中，抑或是数学竞赛中都会碰到有关共线问题。现行高中教材（必修）第一册（下）113页举例介绍了共线问题的一种处理方法，同时也在后面给出了三个习题以巩固，足见其重要性。事实上，判断（证明）共线的方法很多，为开阔学生的视野和活跃学生的思维，本文就其中的一些常用方法以举例形式作些介绍，期望能为同学们带来方便。
例 已知：A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）。
证明：A，B，C三点共线。
一 向量共线法
分析：向量共线法判断（证明）三点是否共线，其关键是：两向量要有公共点。
证明： )4,2())1(3),1(1(AB
)6,3())1(5),1(2(AC
则ACAB32 ACAB,共线，又ACAB,有公共点A
A，B，C三点共线。
二 夹角法
利用： 若A，B，C三点共线，则kBAC
证明：由法1有)4,2(AB )6,3(AC 1369164246cosACABACABBAC
kBAC A，B，C三点共线。
说明；证A，B，C三点共线，也可以证明kABC（或kBCA）
三 定比分点法
利用：若),(11yxA，),(yxB，),(22yxC满足式子12111)(xxx
12111)(yyy
其中21则A，B，C三点共线，反之A，B，C不共线。
证明： 由
111211
111513 得21，22所以21
A，B，C三点共线。
评析：这种方法关键是看1与2等与不等，如等则三点共线，否则就不共线。
学必求其心得，业必贵于专精
用向量证明三线共点与三点共线问题
山东 徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题,直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．
证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可,即证明ACAB．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
例1． 证明：若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数、，且1，使得OBOAOC；反之，也成立．
证明：如图1，若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB//BC，故存在实数m,使得ABmBC，又OBOCBC，OAOBAB，故)(OAOBmOBOC，OBmOAmOC)1(．令,1,mm则存在,1,,且使得OBOAOC．
若OBOAOC，其中,1则1，OBOAOC)1(．从而有OC－OB＝（OA－OB），即BABC．又因为BABC和有公共点B,所以A、B、C三点共线,即向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线.
例2． 证明：三角形的三条中线交于一点．
证明：如图2,D、E、F分别是ABC三边上的中A
O B
C
图1 学必求其心得，业必贵于专精
点．
设BEBGADAGGBEADbCBaCA,,,．设．则
)21()21()()(baabCABCabBEabBGABAG
ba)1(1(21），又babaCDACADAG21)21()(
3232121121解得所以
则babaaADaAGCACG3131)21(3232
baCF2121，所以CFCG32，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． A B
C
