浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中联考数学试题
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2017学年第二学期温州市“十五校联合体”期中考试联考
高二年级数学学科 试题
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. [0,1) B. (-1,+∞) C. (0,1) D. (-1,0]
【答案】A
【解析】分析：先解二次不等式以及对数不等式，再根据数轴求集合交集得结果.
详解：
，
所以 选A.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2. 角的终边与单位圆交于点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得：，
故选
3. 在公比的等比数列中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】分析：先根据等比数列通项公式化简条件，再根据条件之间包含关系确定充分性与必要性.
详解：因为，所以
因为，所以，以上各步皆可逆，即“”是“”的充要条件，选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
4. 若实数x，y满足则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先作出可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图像取截距最大时，取最大值.
详解：作可行域，则直线过点A时取最大值 选B.
.....................
5. 已知两个平行平面α，β，直线，过上一点P作与所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆
【答案】C
【解析】分析：先确定直线m轨迹为圆锥面，为轴线，为轴截面，再根据与平行的截面截的轨迹为双曲线得结论.
详解：先将作为轴线，则直线m轨迹为圆锥面，为轴截面，因为α，β平行，所以直线m与β的交点M的轨迹是双曲线，选C.
点睛：本题考查圆锥曲线定义，从与圆锥曲面所截的角度确定轨迹形状.
6. 若函数在区间[-1,2]上的最大值M与最小值m，则M-m的值（ ）
A. 与a有关，与b有关
B. 与a有关，与b无关
C. 与a无关，与b无关
D. 与a无关，与b有关
【答案】B
【解析】分析：解题关键去掉绝对值，根据a的大小讨论，再根据最小值与最大值的取法判断命题真假.
详解：当时，
当时，
当时，
综上： M-m的值与a有关，与b无关，选B.
点睛：涉及绝对值问题，一般利用绝对值定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，再根据函数单调性确定函数最值.
7. 已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据圆之间位置关系，结合折线大于线段不等关系得的最大值.
详解：由折线大于线段得 ,选A.
点睛：涉及圆的最值问题，一般根据圆心与半径，建立不等式关系，根据不等式关系求最值.
8. 已知△ABC中，AB=4，AC=2，若的最小值为2，则△ABC的面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先根据向量模的定义以及向量数量积定义化为二次函数形式，再根据二次函数性质求最小值取值条件，最后根据三角形面积公式求面积.
详解：
当时，的最小值为
从而△ABC的面积为 选C.
点睛：
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
9. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD⊥侧面PCD，∠PDC=120°，若侧面PAB，PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为α，β，，则下列的结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：关键作出底面ABCD的垂线，先根据线面垂直得线面垂直，继而得到面面垂直，再根据面面垂直的性质得底面ABCD的垂线，最后根据二面角定义确定α，β，，并比较大小.
详解：因为AD⊥侧面PCD，所以AD⊥CD, AD⊥PD,因此∠PDC为面PAD与底面ABCD所成的二面角；=120°，
过P作PO垂直CD于O,则AD⊥PO,从而PO⊥面ABCD，因此∠PCD为面PBC与底面ABCD所成的二面角；β<60°，
过O作OE垂直AB于E,则∠PEO为面PAB与底面ABCD所成的二面角；,选B.
点睛：线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小,
二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可.
10. 设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.
详解：设，则 ，
因此 当且仅当时取等号，此时
选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利
用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每空3分共6分，单空题每题4分，共36分。
11. 已知函数，则=________.
【答案】9
【解析】分析：先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果.
详解：=
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
12. 抛物线的准线方程为__________，若F为抛物线的焦点，M为抛物线上的点，三角形MFO的面积为2（O为坐标原点），则=________.
【答案】 (1). x=-1 (2). 5
【解析】分析：根据抛物线标准方程即得准线方程，先根据三角形面积求M纵坐标，代入抛物线方程得M横坐标，最后根据抛物线定义求结果.
详解：的准线方程为
因为三角形MFO的面积为2，所以
点睛： 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
13. 某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______，外接球的表面积是______.
【答案】 (1). 24 (2). 100π
【解析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为．所以该几何体的体积为.
则长方体外接球半径为r，则2r=．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故填（1）24（2）.
14. 已知直线恒过定点A，则A点的坐标为_______；若点A在直线（，）上，则的最小值为_______.
【答案】 (1). （2,1） (2).
【解析】分析：先根据直线方程点斜式可得定点，再根据基本不等式求最小值.
详解：因为 ，所以直线恒过定点，
因为点A在直线（，）上，所以
因此 ，当且仅当时取等号，即的最小值为 .
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15. 已知直线与圆，若m=2时，直线与圆相交于A，B两点，则=_____；若直线与圆相切，则实数m=_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】分析：根据垂径定理求圆中弦长，再根据直线与圆相切得圆心到切线距离等于半径，
解得实数m值.
详解：若m=2时，圆心（1，2）到直线的距离为 ，
所以
若直线与圆相切，则圆心（1，m）到直线的距离为1,即，
点睛：涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.
16. 已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】分析：
详解：因为
，
所以的最大值为.
点睛：对于条件不等式可利用均值不等式可直接得到最值.
17. 已知正三棱锥P-ABC（底面是正三角形，P在底面的射影是底面的中心），点M，N分别是PA，AB上的动点，MN与底面ABC所成的最大角的正切值为，则异面直线MN与PC所成的最小角的余弦值为______________.
【答案】
【解析】分析：关键是找到线线角、线面角与二面角之间关系，根据关系结合解三角形可得结果.
详解：因为MN与底面ABC所成的最大角为侧面ABP与底面ABC所成的二面角,正好为异面直线MN与PC所成的最小角，又因为MN与底面ABC所成的最大角的正切值为，所以余弦值为
