用空间向量研究距离问题
课程标准 学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具
知识点 用空间向量研究距离问题
1.点到直线的距离
如图1-4-18,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则向量𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l上的投影向量𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=
= .
图1-4-18
2.点到平面的距离
如图1-4-19,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l上的投影向量𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.因此PQ=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛|𝑛|= = .
图1-4-19
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面α内一点B所成向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.( ) (2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. ( )
(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. ( )
3.解决立体几何中问题的步骤
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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课时跟踪检测（七） 用空间向量研究距离问题
1．已知直线l的方向向量n＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为( )
A．305
B．30
C．3010 D．230
解析：选A 由已知得PA―→＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝PA―→2－PA―→·n|n|2＝3－95＝305.
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(
)
A．66 B．63
C．36 D．33
解析：选D 分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝|PA―→·n||n|＝33.
3．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 因为AB―→＝(4，－5,0)，AC―→＝(0,4，－3)，则AC―→对应的单位向量为0，45，－35，
所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝AB―→2－AB―→·u2＝ 41－16＝5.
第
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4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A．27 B．2357
C．357 D．1
解析：选B 过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，
由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，
故A1C―→＝(1,2，－3)，BC―→＝(0,2,0)，
A1C―→对应的单位向量为114，214，－314，
用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。空间向量是指
具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。
首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。在空间向量中，两个点的距离可以
通过计算它们的欧几里得距离来确定。欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直
线距离。如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。
接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。在空间向量中，可以使用两个
向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。如果我们将两个向量表示为
向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A
和向量B的模长。通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。
通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决
各种几何和物理问题。这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空
间中不同物体之间的距离和夹角关系。无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，
空间向量的研究都具有重要的应用价值。
数学教研室个人课堂教学设计
学科 数学
主讲人
课型 常规课 教案序号 1
授课题目 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 授课时间
课标要求 会用向量的方法解决简单的距离、夹角问题
教材分析 这节课位于新教材选修课第一册第一章第四节第二课时的内容，这节课的目标是空间向量的应用，如何利用空间向量解决距离和夹角问题
学情分析 虽然学生已经学习的空间向量，可向量的应用能力还不够，需要教师多加引导，与学生共同推导出求距离与夹角问题的公式，并让学生在练习中掌握。
教学目标
知识与技能.：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；
过程与方法：通过具体实例，求解距离，角度问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
情感态度与价值观：体会转化的思想，了解解决距离，角度的程序
教学重点 理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.
教学难点 辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
教学方法 引导发现法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：
课前2分钟 让学生回忆以前如何求点到点，点到直线的距离 回忆并回答
环节二： （一）新课导入 学生复习与回让学生思考向量除了
课堂导入
复习：上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？
（1）空间中点、直线和平面的向量表示；（2）空间中直线、平面的平行；（3）空间中直线、平面的垂直.
这节课我们继续学习用空间向量研究距离、夹角问题. 答 可以研究直线、平面的位置关系以外，是否还有其它运用，引出新课
环节三：
新课讲授
探究一 用空间向量解决距离问题
问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？
（学生自主思考，举手回答，教师总结）
包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等. 直观感受得出立体几何中的距离问题 引出本节课的重点内容
