不等式约束条件求最值

- 1 - 拉格朗日乘数法 不等式约束

拉格朗日乘数法（LagrangeMultiplierMethod）是一类重要的数学方法，它用于求解满足某些不等式约束条件的最优解。它通过求解不等式约束条件和原问题之间的拉格朗日函数，从而获得该最优解。在实际应用中，拉格朗日乘数法与不等式约束经常结合使用，用于求解具有多个变量的最优解。

一般而言，拉格朗日乘数法的基本步骤如下：

（1）确定最优化问题的目标函数，同时给定约束条件。

（2）构造拉格朗日函数，其中的乘数用来满足各个不等式约束条件。

（3）由拉格朗日函数对每个未知量求偏导数，求出系统偏导数为零的解。

（4）检验求出的解是否满足所有不等式约束条件，若满足，则此解为所求最优解；若不满足，则重新构造拉格朗日函数并重复（3）步骤。

当不等式约束条件的总数比未知量的总数少一个时，即存在一个与未知量无关的约束条件时，拉格朗日乘数法仍可能求解最优解。其实现过程为：由拉格朗日函数所不等式约束条件中等号右边的系数作为未知量，先求解一个只含有未知量的不等式系统（由它构成），再由此系统求解原最优化问题。

由拉格朗日乘数法求解不等式约束系统所得到的假设解是解的一种特殊形式，即约束条件的拉格朗日乘数的组合。由于在求解过程 - 2 - 中，乘数的值也有可能为零，因此有可能获得一种被称为自由解的解，它不满足约束条件。如果自由解的函数值大于所有满足约束条件的解的函数值，则自由解可能就是所求最优解；否则，最优解应从满足约束条件的解中选取。

在实际应用中，由于计算拉格朗日乘数法中的拉格朗日函数常常是无限多次微分可行，所以拉格朗日乘数法经常可以把带有不等式约束条件的问题转化为求解一个拉格朗日函数的最小值问题，从而使用较为简单的数值方法求解，而无需采用更复杂的迭代方法。

拉格朗日乘数法能够有效地求解带有不等式约束条件的问题，它的广泛应用涉及经济学、管理学、运筹学、优化理论等多个学科领域，从而为理论分析和实践应用提供了有效的数学方法。

2014级高三数学一轮复习----------不等式 学案编号：44

- 1 - 第四节 基本不等式

[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

知识点1 基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；

(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．因此基本不等式又称为均值不等式．

知识点2 利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

那么当x＝y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大”)

1．必会结论

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．

(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．

(5)a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R)．

(6)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0)． 2．必清误区

(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

(2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

【学情自测】

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)ab≤a＋b22成立的条件是ab>0.( )

(2)函数ba＋ab的取值范围是[2，＋∞)．( )

(3)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈0，π2的最小值为4.( )

2．(教材改编)设a>0，b>0，且a＋b＝8，则ab的最大值为( )

A．8 B.12

C．14 D.16

“基本不等式求最值”的教学设计

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书数学北师大版·必修5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些最值问题和实际问题．本节课为第二课时。为了讲好这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

（三）教学目标

1.知识目标：

（1）会利用“均值不等式”解决某些最值问题；

（2）掌握获得“均值不等式”条件的常用方法。

2.能力目标：

（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题

规律，提高学生的抽象概括能力。

（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。

（3）通过例题、变式练习及应用题的解决树立学生的化归思想；

（4）通过实际问题发展学生的数学应用意识。

3.德育目标：通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。

（四）教学重点、难点、关键 重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。

难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式。

关键：理解均值不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键。

二、学情分析

我所教的两个班都是文科平行班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能

基本不等式

1．基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．

推导过程：

3．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大)．

（三）典型例题及练习

【例1】 已知x＞0，y＞0，z＞0. 求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.

规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

【训练1】已知x、y都是正数，求证：

(1)yxxy≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

【例2】

(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为 ( )．

A．0 B．1

C.94 D．3

(2)已知2x＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为

A．1 B．2

C．4 D．8

审题路线 (1)x2－3xy＋4y2－z＝0⇒变形得z＝x2－3xy＋4y2⇒代入zxy⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把2x＋1y－2z转化关于1y的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．

规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

【训练2】