北师大版七年级数学第三章---- --整式及其加减

第三章 整式及其加减

思维导图

减加其及式整cbacbacbacba)()(去括号法则的指数不变系数相加，字母和字母同类项时，把同类项的合并同类项法则：合并做同类项的指数也相同的项，叫母相同，并且相同字母同类项的概念：所含字整式的加减几次几项式叫做这个多项式的次数次数最高的项的次数，次数：一个多项式中，单项式叫做多项式的项项：在多项式中，每个叫做多项式定义：几个单项式的和多项式这个单项式的次数所有字母的指数和叫做次数：一个单项式中，因数系数：单项式中的数字的代数式叫做单项式定义：数与字母的乘积单项式整式的值母，就可以求出代数式数值代替代数式里的字求代数式的值：用具体题中的数量关系—用代数式表示简单问—列代数式成的式子叫做代数式符号把数和字母连接而代数式的概念：用运算代数式探索与表达规律公式数量关系运算律字母能表示什么字母表示数

考点精讲

考

点

一

字母表示数 用字母表示数

1.用字母表示数的优点：用字母表示数解决了特殊与一般的关系，更具有一般性和简明性.

2.用字母表示问题中的数量关系与用数来表示数量关系，在本质上是相同的，首先弄清题意，并根据题目中所提供的条件发现其中所蕴含的数量关系或规律，然后利用字母列出式子，将其表达出来.

用字母表示运算律和公式

灵活运用运算律有利于简化计算，这些运算律都可以用字母来表示,从而使运算律的表述简明，且有代表性．如：设a，b，c表示三个数,

加法交换律可表示为a＋b＝b＋a；

加法结合律可表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；

乘法交换律可表示为ab＝ba；

乘法结合律可表示为（ab）c＝a（bc）；

乘法对加法的分配律可表示为a（b＋c）＝ab＋ac

用字母不仅可以表示运算律，还可以表示生活中的实际数量关系．若用s表示路程，用t表示时间，用v表示速度，则有s＝vt；圆的周长和面积可以分别表示为2πr和πr2，其中r表示圆的半径.

代数式的概念

用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式.

其中的运算符号可以是加、减、乘、除、乘方，还有今后要学习的开方.

特别提醒：

考

点

二

代数式

（1）单独的一个数或一个字母也是代数式

（2）带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“＝”、“≠”等符号的式子不是代数式.

代数式的书写要求

（1）在代数式中，字母与字母相乘时，乘号通常简写作“·”或省略不写；数字与字母相乘时，乘号通常简写作“・”或省略不写，数字应写在字母前面；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘，仍用“×”.

（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”转化为分数线．分数线具有“÷”和括号双重作用.

（3）在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，就必须把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面.

列代数式

正确列出代数式要注意以下几个方面：

（1）认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算．如：和、差、积、商、增加、扩大、缩小、倍、比、除以等，都是表示数量关系的常用词语.

（2）注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般“先读先写”.

（3）在复杂的问题中，要弄清题意中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式.

代数式的实际意义

代数式的实际意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义．要注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致.

特别提醒：

问题的结论往往具有开放性，只要说法合乎情理即可.

代数式的值

用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的．代数式中的字母可以取不同的数，但它所取的数必须使代数式有意义且符合实际

代数式求值的方法步骤

第一步：用具体数值代替代数式里的字母，简称为“代入”.

第二步，按丽伊数武指明的运原序计算出结果，简称为“计算”.

考

点

三

整式

单项式

1.单项式的概念：数与字母的乘积的代数式叫做单项式、单独一个数或一个字母也是单项式.

特别提醒：

（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系．凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如x2不是单项式.

（2）单项式中不含加减运算．如知35x，3a-2都不是单项式.

（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数.

（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数.

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数

注意：只含有字母的单项式，它的系数是1或-1，通常“1”省略不写，单项式的系数包括它前面的符号.

考

点

三

整式 特别提醒：

单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如ba234一般不写成ba2311

3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单项式的次数仅与字母有关，而与系数的指数和π的指数无关.

特别提醒：

（1）若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是1，而不是0．如2x2y中，y的指数为1.

（2）单独一个非零数的次数是0．如2的次数是0.

多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.

3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

4.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．例如：

x2-5x+3的项数是3，项分别为x2，-5x，3；3a2b＋7b－2的项数是3，项分别为3a2b，7b，-2.

特别提醒：

（1）多项式中各单项式前的“＋”或“一”是这个单项式的性质符号，多项式中的“和”是指省略加号的代数和，故确定多项式的项时，不要忽略它们的符号.

（2）一个多项式含有几项，最高次项的次数是几次就叫几次几项式.如3a2b＋7b－2的项分别是3a2b，7b，－2，共3项，最高次项的次数是3，故它是三次三项式.

整式

1. 单项式和多项式统称为整式，即整式多项式单项式

2.代数式、整式、单项式、多项式之间的关系，如图所示：

3.整式是代数式的一种类型.

特别提醒：

分母中含有字母的式子一定不是整式.

同类项的概念

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．

特别提醒：

（1）判断几个项是不是同类项有两个条件：一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同．同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．

（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.

（3）特别注意，几个常数也是同类项

合并同类项

1.把同类项合并成一项叫做合并同类项

考

点

四

整式的加减 2.合并同类项的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．

3.合并同类项的步骤：

第一步，准确地找出同类项；

第二步，利用合并同类项法则合并同类项，把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变；

第三步，利用有理数的加法计算出各项系数的和，写出合并后的结果．

去括号的意义

在有理数运算中，有括号时，通常是先算括号内的，然后再按加、减、乘、除及乘方混合运算的运算顺序进行计算．而在代数式的运算中，有括号时，却往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的相对复杂，因而要先去掉括号，才能使运算得以顺利进行.

去括号的法则

去括号法则：（1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；

（2）括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.

注意：

（1）当括号外是一个非“±1”的因数时，应根据分配律，先将该数数（不带性质符号）与括号内的各项分别相乘后再去括号.

（2）括号内原有几项，去括号后仍有几项，不要丢项.

特别提醒：

（1）去括号的依据是分配律.去括号时，既要注意符号．又要注意各项系数的改变

（2）去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变”.

多位数的表示方法

相同字母在不同的数位上所表示的数值不同.比如，2在十位上表示2个10，在百位上表示2个10．若百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数可表示为100a＋10b＋c

整式的加滅

整式的加减，实质就是将整式中的同类项进行合并，如果有括号应先去括号，再合并同类项.

特别提醒：

（1）两个整式相减时，减式一般先用括号括起来.

（2）整式的加减的最后结果中：①结果要最简，即结果中不再含有同类项；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要转化为假分数.

考

点

五

探索与表达规律 探索规律的关键：

注意观察已知的对应数值或图形的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律.

探索规律的一般步骤

（1）从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；

（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想；

（3）善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点；

（4）总结规律，得出结论，并验证结论正确与否．