椭 圆课件

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“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题

作者：王旭光

来源：《广东教学报·教育综合》2019年第46期

【摘要】在仿射变换下，图形的一些性质不会发生变化。如，同素性、结合性、平行性、面积比等。本文通过仿射变换“化椭为圆”来解决椭圆中的一些面积问题，在椭圆的教学和学习过程中，许多问题只能用解析幾何的方法来解决，计算量往往比较大，技巧也比较多。而在解决圆的某些问题时，往往利用一些性质来处理，过程简明很多。通过仿射变换正好可以“化椭为圆”，将椭圆中的面积问题转化到圆中来处理。

【关键词】仿射变换；椭圆；圆；面积

参考文献：

[1]吐尔洪 艾尔米丁.仿射变换在椭圆面积中的应用[J].新疆师范大学大学学报（自然科学版），2009（1）：44.

第五节 椭 圆

1．椭圆的标准方程

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．

2．椭圆的几何性质

掌握椭圆的简单性质．

知识点一 椭圆的定义

条件 结论1 结论2

平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的

轨迹为

椭圆 F1，F2为椭圆的焦点

|F1F2|为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a

2a>|F1F2|

易误提醒 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

[自测练习]

1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，

则P到另一个焦点F2的距离为( )

A．2 B．3

C．5 D．7

解析：∵a2＝25，∴2a＝10，

∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，

∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.

答案：D

知识点二 椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质 范围 －a≤x≤a，

－b≤y≤b －b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca∈(0,1)

a，b，c的关系 c2＝a2－b2

易误提醒 注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．

必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成x2m2＋y2n2＝1(m2≠n2)的形式．

椭 圆

【考点梳理】

1．椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；

③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性

质 范围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

离心率 e＝ca，且e∈(0,1)

a，b，c

的关系 c2＝a2－b2

【考点突破】

考点一、椭圆的定义与标准方程

【例1】 (1) 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．圆

(2) 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0

[答案] (1)A (2) x2＋32y2＝1

[解析] (1)由条件知|PM|＝|PF|.

∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.

∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．

(2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，

则F1(－c,0)，F2(c,0)．

∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0

又|AF1|＝3|F1B|，得AF1→＝3F1B→，

设B(x0，y0)，则(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)，

解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆

——山西大学附中 刘嘉信

一、概念与基本的推导

化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O点，长轴在X轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）：

椭圆的标准方程为：

)1......(12222byax

将（1）式中左右两边同时乘以2a可得：

)2......(22222aybax

我们可以设ybaz，代入（2）式消去y就有：

)3......(222azx

这时，我们可以发现，（3）式中的形式就是xoz坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a为半径的一个圆。这时我们就把一个xoy坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz坐标系里面的一个比较特殊的圆。

实际上，我们可以发现，这个方法的本质就是把y轴人为地拉长为原来的ybaz倍，变成xoz坐标系。

二、应用

无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？

我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21xx或者是21xx，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题。

1、 判断直线与椭圆的位置关系。

比如我们已知一条直线L：)1)......(0(0ABCByAx

我们还知道一个椭圆C：)2......(12222byax

我们可以用上面的方法，设ybaz，代入（1）、（2）式得到：

)3......(0CzaBbAx

)4......(222azx 这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz坐标系里面的一条直线，而（4）式是xoz坐标系里面的一个圆心为（0,0）、半径为a的一个圆。这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C和直线L的位置关系。