长方体和正方体知识点+例题+习题1

第1节 长方体和正方体的认识

典型例题

例1．一个长方体长8厘米，宽6厘米，高4厘米，它的棱长总和是多少厘米？

分析：根据长方体的特征，它相对的棱（3组，每组4条）的长度相等，那么长方体的棱长和等于长、宽、高的4倍．

解：（8＋6＋4）×4

＝18×4

＝72（厘米）

答：它的棱长总和是72厘米．

例2．用一根48厘米的铁丝焊接成一个最大的正方体框架，这个框架的每条边应该是多少厘米？

分析：根据正方体的特征，它的12条棱长都相等，把48厘米平均分成12份，每份就是一条棱的长度．

解：48÷12＝4（厘米）

答：这个框架的每条边应该是4厘米．

例3．用棱长1厘米的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？

分析：题目要求至少要多少个棱长为1厘米的小正方体，那么拼成的棱长应尽量小，所以应该考虑棱长为2的立方体，体积是8立方厘米，所以要8个．

解：2×2×2＝8（个）

答：至少需要8个小正方体．

例4．将下面的硬纸板按照虚线折成一个立方体，哪个面与哪个面相对？

分析：通过实验可以看到带有标号的面7与10，面8与11，面9与12是相对的面．

例5．一个正方体的六个面上，分别写着“1”“2”“3”“4”“5”“6”．根据下面摆放的三种情况，判断出每个对面上的数字是几？

分析：正方体有6个面，每一个面有一个相对的面，而与其余四个面相邻．解题时我们如果抓住这一特征，确定某一个面与哪四个面相邻，于是就不难判断出这一面相对的面上的数字是几了．即排除包括自己在内的五个数字，剩下的就是与某一面相对的面上数字了．

先以“3”为例：从上面左图可以看出，“3”面与“2”面、“1”面相邻；从中图可以看出．“3”面又与“4”面、“5”面相邻．这就是说，“3”面与“1”面、“2”面、“4”面和“5”面这四个面相邻．那么，就可以很快知道，“3”面与“6”面相对．

再来看“1”面：从上面左图可看出，“1”面与“2”面“3”面相邻；从右图可看出，“1”面又与“6”面“4”面相邻，这就是说，与“1”相邻的四个面，是“2”面、“3”面、“4”面和“6”面，那么，与“1”面相对的面就只能是“5”面了．

最后看“4”面：从上面中图可以看出，“4”面与“3”面、“5”面相邻；从右图可以看出，“4”面又与“1”面“6”面相邻．这就是说，与“4”面相邻的四个面，是“1”面、“3”面、“5”面和“6”面，于是可知，与“4”面相对是面是“2”面．

所以题目的结论是：这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面．

解：这个正方体上相对的面，分别是“1”面和“5”面、“2”面和“4”面、“3”面和“6”面．

习题精选

一、填空．

1．长方体有（ ）个面，它们一般都是（ ）形，也可能有（ ）个面是正方形．

2．长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都叫做（ ），它们的面积（ ）．

3．长方体的12条棱，每相对的（ ）条棱算作一组，12条棱可以分成（ ）组．

4．正方体有（ ）个面，每个面都是（ ）形，面积都（ ）．

5．一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长总和是（ ）．

6．一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（ ）分米．

7．一个长方体的棱长总和是80厘米，其中长是10厘米，宽是7厘米，高是（ ）厘米．

8．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米．

二、判断题．

1．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．（ ）

2．长方体的6个面不可能有正方形．（ ）

3．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条．（ ） 4．正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等． （ ）

5．长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等．（ ）

6．一个长方体长12厘米，宽8厘米，高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米．（ ）

三、选择题．

1．下列物体中，形状不是长方体的是（ ）

①火柴盒 ②红砖 ③茶杯 ④木箱

2．长方体的12条棱中，高有（ ）条．

①4 ②6 ③8 ④12

3．下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）

4．把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（ ）平方分米．

①18 ②9 ③36 ④以上答案都不对

参考答案

一、填空．

1．6 长方形 2

2．相对面 相等

3．4 3

4．6 正方形 相等

5．72厘米

6．14.8

7．3

8．16

二、判断题．

1．√ 2．× 3．√ 4．√ 5．√ 6．×

三、选择题．

1．③

2．① 3．①和③

4．①

2

例1．一种有盖的长方体铁皮盒，长8厘米，宽5厘米，高3厘米．做25个这样的盒子至少需要多少平方米铁皮？（不计接口面积）

分析：根据长方体表面积的计算方法，先求出一个盒子需要的铁皮数量，然后就可以求出25个这样的盒子需要的铁皮数量．

解：（8×5＋8×3＋5×3）×2×25＝158×25

＝3950（平方厘米）

＝0.395（平方米）

答：至少需要0.395平方米的铁皮．

例2．一个长方体，表面积是456平方厘米，它的底面是一个边长为4厘米的正方形，它的高是多少厘米？

分析：题目中给出这个长方体底面是一个边长为4厘米的正方形，说明这个长方体是有两个相对的面是正方形的，其余4个面是面积相等的长方形，只要我们求出一个长方形面的面积，再用面积除以底面的边长，就算出了长方体的高了．这也是利用长方体的特征，逆解题目．

解：456－4×4×2＝424（平方厘米）

424÷4＝106（平方厘米）

106÷4＝26.5（厘米）

答：它的高是26.5厘米．

例3．一个教室长8米，宽6米，高3.5米，要粉刷教室的墙壁和天花板．门窗和黑板的面积是22平方米，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克？

分析：求需要涂料多少千克，必须先求出实际粉刷的面积．长方体的表面积去掉门窗、黑板和地面的面积就是实际粉刷的面积．

解：（1）粉刷的面积为：

（8×6＋8×3.5＋6×3.5）×2－8×6－22

＝（48＋28＋21）×2－48－22

＝97×2－48－22

＝194－48－22

＝124（平方米）

（2）需要涂料的重量为：

0.25×124＝31（千克） 答：粉刷这个教室共需要涂料31千克．

例4．将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体，两个长方体表面积的总和最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？

分析：切割长方体一次，原来的表面积增加两个面的面积，要使切开后的两个长方体表面积的总和最多（少），必须使横截面的面积最大（小）．

解：（12×9＋12×5＋9×5）×2＋12×9×2

＝（108＋60＋45）×2＋216

＝213×2＋216

＝642（平方厘米）

（12×9＋12×5＋9×5）×2＋9×5×2

＝（108＋60＋45）×2＋90

＝213×2＋90

＝516（平方厘米）

答：两个长方体表面积的总和最多是642平方厘米，最少是516平方厘米．

例5．一个正方体，棱长的总和是96厘米．这个正方体的表面积是多少？

分析：因为正方体的12根棱长都相等，所以可知，这个正方体的棱长是96÷12＝8（厘米）．

又由于正方体有相等的6个面，每个都是正方形．

解：8×8×6＝384（平方厘米）

答：这个正方体的表面积是384平方厘米．

例6．做两个同样的正方体纸盒，一个有盖一个无盖，有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的多少倍？

分析：有盖纸盒的表面积是它的一个面面积的6倍，无盖纸盒的表面积是它的一个面面积的5倍，而两个同样的正方体纸盒的面的面积是相等的，所以有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的6÷5＝1.2倍．

解：6÷5＝1.2

答：有盖纸盒用的纸板是无盖纸盒的1.2倍．

习题精选

一、填空题

1．（1）下图上、下每个面的长（ ）厘米，宽（ ）厘米，面积是（ ）；

（2）前、后每个面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，面积是（ ）；

（3）左、右每个面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，面积是（ ）．

（4）它的表面积是（ ）．

2．（1）下图中上面的面积是（ ），前面的面积是（ ），右面的面积是（ ）；

（2）计算它的表面积的算式是（ ）．

二、计算题

求下面各长方体的表面积：

1．长6米，宽3米，高2米．

2．长8分米，宽4.5分米，高2分米．

3．长和宽都是6厘米，高3.4厘米．

三、应用题

1．做一个长方体的纸箱，长0.8米，宽0.6米，高0.4米．做这个纸箱至少需要纸板多少平方米？

2．一个正方体的木箱，棱长5分米，在它的表面涂漆，涂漆的面积是多少？如果每平方分米用漆8克，涂这个木箱要用漆多少克？合多少千克？

3．一个长方体的铁皮盒，长25厘米，宽20厘米，高8厘米．做这个铁皮盒至少要用多少平方厘米铁皮？

参考答案

一、1．（1）下图上、下每个面的长（ 9 ）厘米，宽（ 3 ）厘米，面积是（27平方厘米）；

（2）前、后每个面的长是（ 9 ）厘米，宽是（ 4 ）厘米，面积是（36平方厘米 ）；

（3）左、右每个面的长是（ 4 ）厘米，宽是（ 3 ）厘米，面积是（12平方厘米）．

（4）它的表面积是：9×3＋9×4＋4×3）×2＝150（平方厘米）．

2．（1）下图中上面的面积是（36平方分米），前面的面积是（48平方分米），右面的面积是（48平方分米）；

（2）计算它的表面积的算式是：6×6×2＋6×8×4＝264（平方分米 ）．

二、1．（6×3＋6×2＋3×2）×2＝72（平方米）

2．（8×4.5＋8×2＋4.5×2）×2＝122（平方分米）

3．6×6×2＋6×3.4×4＝153.6（平方厘米）