2.4数学期望的定义及性质

第四节 数学期望的定义及性质

引例：赌场规定，赌客以掷骰子的方式决定输赢，每掷一次骰子，点数在4以上可赢10元，点数为4可赢2元，点数在4一下则输掉8元。考虑，从总体上看，或平均来看，一个赌徒，每次掷骰子是输还是赢？输赢的钱数为多少？

粗糙的做法：102(8)433，因此说，赌徒平均每赌一次，赢得43元。

从直觉就可以判断，上述做法是不合理的，应为没有考虑到每次掷骰子，赢10元，赢2元，输8元的可能性是不同的。所以，不能把它们平等地加在一起除以3。

考虑下面的做法：如果共掷了N次骰子，其中点数在4以上的结果共有aN次，点数为4的结果共有bN次，点数小于4的结果共有cN次。平均来看，赌徒每赌一次，赢（输）的钱数为

102(8)102(8)abcabcNNNNNNNNNN

上式等号右边是一个加权平均，赢10元，2元，输8元的权重aNN，bNN，cNN分别是赢10元，2元，输8元这三种结果在N次赌博中发生的频率。这样计算出来的平均值比102(8)3合理得多。但是，用这种方法计算的平均值仍有缺陷，因为对于不同的N，权重，也即频率aNN，bNN，cNN可能不同，因此得到的平均值不同；另外，即使N相同，今天赌N次得到的权重aNN，bNN，cNN和明天赌N次得到的权重也未必相同。因此需要进一步探索更合理的计算均值的方法。

由概率的频率定义知道，当赌博的总次数N时，赢10元，2元，输8元的频率aNN，bNN，cNN分别趋近于它们的概率aP，bP，cP，再注意到概率的内涵：一个随机事件的概率是做一次随机试验这个随机事件发生的可能性，因此，用aP，bP，cP取代aNN，bNN，cNN作为权重计算平均值，即

102(8)abcPPP

显然，上式最能恰当的反映赌客平均每次掷骰子输赢的情况。

将上述思想推广，便得到随机变量的均值，即期望的定义。

定义2.5 若离散型随机变量可能取值为(1,2,)iai其分布列为ip(1,2,)i，则当

1iiiap

时，称存在数学期望，并且数学期望为

1iiiEap

如果1iiiap，则称的数学期望不存在.

注：定义中之所以要求1iiiap，是因为离散型随机变量所能取到的值12, ,, , naaa之间的次序不是本质的，因此在期望的定义中应该允许任意改变12, ,, , naaa的次序而不影响1iiiap的收敛性及其收敛到的极限，这就需要1iiiap来保证。

常见几种分布的数学期望

1、两点分布的期望

10(1)Eppp

2、二项分布的期望

因为

(),0kknkknpPkCpqkn

所以

11(1)(1)11001()nnnkknkkknknknnkkkEkpkCpqnpCpqnppqnp

3、普哇松分布的期望

因为 (),0,1,2,!kkpPkekk

于是

1011!(1)!kkkkkkEkpkeekk

例2.12 在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在如果分组检验，是否可以减少工作量？

解 假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这k个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然减少，但如果检验的结果为阳性，为了明确k个人中究竟哪几个人为阳性，就要对k个人逐个进行检验，这时k个人需要检验总次数为k+1次，检验的工作量法反而有所增加.显然，这时k个人需要的检验次数可能只有1次，也可能要k+1次，是一个随机变量.为了和老方法比较求它的平均值（也就是平均检验次数）.

在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（不是传染病或遗传病），并且每一个人是阳性结果的概率为p，是阴性结果的概率为1qp，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为kq，呈阳性结果的概率则为1kq.现令为k个人一组混合检验时每个人所需的检验次数，由上述讨论可知的分布列为

1111kkkkqq

由此即可求得每个人所需的平均检验次数为

1122111(1)(1)1kkkEapapqqqkkk

而按原来的老办法每人应该检验1次，所以当

1111,kkqqkk即

时，用分组法（k个人一组）就能减少检验的次数.如果q是已知的，还可以从11kEqk中选取最合适的整数0k，使得平均检验次数最少.

减少工作量的大小与p的数值有关，也与每组人数k有关. 注：求随机变量的数学期望时应先求出该随机变量的分布列.一个随机变量的数学期望是一个数值，而不是变量.

定理2.2 若是一个离散型随机变量，其分布列为

1212aapp

又()gx是实变量x的单值函数，如果1()iiigap，则有

1()()iiiEggap

证明 令()g，则仍是一个离散型随机变量，设其可能取的值为(1,2,)jbj，于是

()()()ijjigabPbpa

由数学期望的定义有

11()1()1()()()()()()()ijijjjjijjgabiiiijgabiEgEbPbbPagaPagaPa

即为所证.

定理2.3 若(,)是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为

(,),,1,2,ijijPabpij

又(,)gxy是实变量,xy的单值函数，如果

11(,)ijijijgabp

则有

11(,)(,)ijijijEggabp

对一般的n维随机变量的函数，也有相应的定理成立.由于这些定理，在求离散型随机变量函数的数学期望时，就可以直接利用原来随机变量的分布列，而不必先求随机变量函数的分布列.

随机变量的数学期望的性质：

1、若,ab则E存在，且有aEb.特别，若C是一个常数，则ECC.

2、对任一二维离散型随机变量(,)，若E、E存在，则对任意的实数1k、2k，12()Ekk存在且

1212()EkkkEkE

3、若、是相互独立的随机变量，且E、E存在，则E存在且

()EEE

证明 性质1的证明是显然的，下面证明性质2、3.

设(,)的联合分布和边际分布列为：

(,),,1,2,(),1,2,(),1,2,ijijiijjPabpijPapiPbpj

由定理2.3 有

121211()()ijijijEkkkakbp

12111112112iijjijjiijiijjijkapkbpkapkbpkEkE

这里级数1211()ijijijkakbp绝对收敛是明显的，所以12()Ekk存在且

1212()EkkkEkE

成立，性质2得证.

又级数11ijijijabp的绝对收敛也是明显的，所以E存在且 ()EEE

成立，性质3得证.

性质2、3可以推广到任意n维随机变量的场合.

例2.13 若随机变量服从二项分布(;,)bknp试用数学期望的性质求的数学期望.

解 可看作是n重贝努里试验中事件A出现的次数，其中A在每次试验中出现的概率为p，令

1,0,i在第i次试验中A出现在第i次试验中A不出现

显然i(1)in是服从0—1分布的随机变量，所以

,1iEpin

另一方面，1nii，于是，由数学期望的性质2即得

1niiEEnp

与前面所求结果一样.

小结：离散型随机变量的期望是随机变量以它取每一可能值得概率为权数的平均数.当随机变量取有限值时，随机变量的期望是存在的，当随机变量取可列时，如果形成的级数是收敛的，则期望存在，否则，不存在.

作业 3.29；3.31；2.32；3.34.