中考数学专题《一元一次方程的应用》专题讲练原卷

专题07 一元一次方程的应用（12大考点） 专题讲练

一元一次方程的应用题属于人教版七年级上期期末必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、行程问题、工程问题、方案优化选择、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题、动态问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。

1、知识储备

2、经典基础题

考点1. 分段计费问题

考点2. 行程问题

考点3. 工程问题

考点4. 方案优化问题

考点5. 商品销售问题

考点6. 比赛积分问题

考点7. 配套问题

考点8. 调配问题

考点9. 数字与日历问题

考点10．和、差、倍、分（比例）问题

考点11. 几何问题（等积问题）

考点12. 动态问题

3、优选提升题

1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题分析抽象方程求解检验解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

2 .建立书写模型常见的数量关系

1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。

长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。

3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。

单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。

3.分析数量关系的常用方法

1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。

2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。

3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

考点1 分段计费问题

【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。

已知费用求x需判定x的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。

注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。

常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等

例1．（2022·四川广安·七年级期末）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表：

类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价（元/立方米）

第一阶梯120（含）立方米 3.5 1.5 5

第二阶梯120~180（含）立方米 5.25 1.5 6.75

第三阶梯180立方米 10.5 1.5 12

例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：12051281206.75654（元）．

(1)小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？(2)小敏家2019年共用水a立方米（180a），请用含a的代数式表示应缴纳的水费．

(3)小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解）

变式1．（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（ ）元．

汽车修理费x元 赔偿率

0＜x≤500 60%

500＜x≤1000 70%

1000＜x≤3000 80%

… …

A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5

变式2．（2022·湖北恩施·七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）．

(1)若乘坐出租车行驶x千米（x为整数），完成下列表格．

行驶里程（千米） 应付车费（元）

03x

3x

(2)周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷能够全程乘坐出租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千米？

考点2. 行程问题

解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。

解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：

①相遇问题（或相向问题）：

•••ABtVVtVtV乙甲乙甲速度和×时间=总路程

②追及问题：

同时不同地：

•••ABtVVtVtV乙甲乙甲速度差×时间=起点间的距离

同地不同时：

••••ABtVtVVtVtV先乙乙甲乙甲速度差×时间=先行路程

不同时不同地：

••••BCABtVABtVVtVtV先乙乙甲乙甲速度差×时间=起点间的距离+先行路程

③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。

④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。

例1．（2022·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级1班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，七2班的学生组成后队，速度为6千米/小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/小时．

1后队追上前队需要多长时间？2后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？3七年级1班出发多少小时后两队相距2千米？

变式1．（2022·湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距x km．根据题意，列出的方程是（ ）

A．22824xx B．22824xx C．2222626xx D．2222626xx

变式2．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．

变式3．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：

甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；

（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；

（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）

②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．

考点3.工程问题

【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。

工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。

例1．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）

变式1．（2022·广东江门·七年级期末）有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（ ）

A．11108xx B．11108xx C．11108xx D．11108xx

变式．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．

(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；

(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．

考点4.方案优化问题

解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。

思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣

思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。

例1．（2022·湖南·永顺县教育科学研究所七年级期末）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）.若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元.该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）

方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；

方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成.

(1)方案一获利情况.(2)方案二如何安排原汁的使用.(3)请你帮葡萄加工厂选一种方案，使这10吨葡萄既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润.