双曲线离心率专题

双曲线离心率的求法

一、利用双曲线定义

例1．已知椭圆E上存在点P，在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2中，

121221sin:sin:sin7:10:11.PFFFPFPFF则椭圆E的离心率等于

二、利用平面几何性质

例2 设点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的右支上，双曲线两

焦点21FF、，|PF|4|PF|21，求双曲线离心率的取值范围。

三、利用数形结合

例3 （同例2）

四、利用均值不等式

例4 已知点P在双曲线)0b,0a(1byax2222的右支上，双曲线两焦

点为21FF、，|PF||PF|221最小值是a8，求双曲线离心率的取值范围。

五、利用已知参数的范围

例5 已知梯形ABCD中，|CD|2|AB|，点E分有向线

段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B

为焦点，当4332时，求双曲线离心率的取值范围。

六、利用直线与双曲线的位置关系

例6 已知双曲线)0a(1yax222与直线l：1yx交于P、Q

两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

七、利用点与双曲线的位置关系

例7 已知双曲线)0a(1yax222上存在P、Q两点关于直线

1y2x对称，求双曲线离心率的取值范围。

八、利用非负数性质

例8 已知过双曲线)0b,0a(1byax2222左焦点1F的直线l交

双曲线于P、Q两点，且OQOP（O为原点），求双曲线离心率的取值范围。

九、利用双曲线性质

例9.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc．若双曲线上存在点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是

一、求双曲线的离心率及其范围。

例1:已知21,FF分别是双曲线12222byax的左右焦点，过1F垂直于x轴的直线与双曲线交于BA,两点，若2ABF是直角三角形，求双曲线的离心率。

答案：21e

变式：

1、若2ABF是等边三角形，求双曲线的离心率。答案：3e

2、若2ABF是锐角三角形，求双曲线的离心率。答案：)21,1(e

3、若2ABF是钝角三角形，求双曲线的离心率。答案：),21(e

例2:已知21,FF分别是双曲线12222byax的左右焦点，过2F且倾斜角的为60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。答案：),2[e

例3:过双曲线12222byax的右焦点2F作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。答案：),2(e

二、直线1kxy与双曲线422yx没有公共点，求k的取值范围

25,25kk或

变式1、直线1kxy与双曲线422yx有两个公共点，求k的取值范围)25,1()1,1()1,25(

变式2、直线1kxy与双曲线422yx只有一个公共点，求k的取值范围1,25kk或

变式3、直线1kxy与双曲线422yx的左支有两个公共点，求k的取值范围 )1,25(

双曲线离心率取值范围的解题策略

2008年08月31日 星期日 21:55

求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。

一、利用双曲线性质

例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。

3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。

4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。

5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。

6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

7已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。

解析：

点评： 二、利用平面几何性质

例

解析：

，由三角形性质得：解得：。

点评：

三、利用数形结合

例

解析：

，点

四、利用均值不等式

例

解析：，

五、利用已知参数的范围 例

解析：

六、利用直线与双曲线的位置关系

例

解析：

七、利用点与双曲线的位置关系

例

解析：

八、利用非负数性质

术解双曲线离心率问题的芙键和规律　■江苏　张启兆　圆锥曲线的离心率是解析几何的重要知识，是　高考考查的热点。双曲线离心率问题的解法有多　种，如果我们能抓住关键，掌握规律，就能轻松解决　与双曲线的离心率有关的问题。那么，解这类题的　关键是什么呢？规律有哪些呢？　一个关键：建立口、ｂ、ｃ（ｎ、ｂ、ｃ中的２个或３个）　之间的关系。　两个人口：从“形”人手、从“数”人手。　三个方向：从定义的角度出发、从方程的角度出　发、从几何特征的角度出发。　四种工具：平面几何基础知识、平面向量、三角　函数、参数方程。　五种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、　转化思想、分类讨论思想。　一．求离心率的值　根据题目给定的条件，合理建立含有ｎ、ｂ、ｃ的等　式即可求出离心率的值。　２　．．２　倒，已知Ｆ　、Ｆ　分别为双曲线　一　一１（口　＞Ｏ，６＞０）的左、右焦点，Ｐ为双曲线右支上一点，满　足Ｉ　ＰＦ　ｌ—Ｉ　Ｆ　Ｆ　Ｉ，直线ＰＦ。与圆ｚ　＋Ｙ　＝口　相　切，则该双曲线的离心率为　。　解法１：从“形”人手，利用“定义”。　不妨假设点Ｐ在第一象限，作Ｆ　Ｑ上ＰＦ　，垂足　为Ｑ，设点Ｍ为直线ＰＦ　与圆ｚ。＋　一口　的切点。　ＯＭ＿ｌ＿ＰＦ　，Ｉ　ＯＭＩ一口，ｌ　ＯＦ１　Ｉ—ｃ一￣／ｎ　＋ｂ　。　Ｉ　ＭＦ　Ｉ一√ｌ　ＯＦ　ｌ　一Ｉ　ＯＭＩ。＝￣／ｃ　一口　一６。　由Ｉ　ＰＦ　Ｉ—Ｉ　Ｆ　Ｆ　ｌ一２ｃ，得Ｆ　Ｑ为等腰三角形　Ｆ　Ｆ　Ｐ的中线。　由Ｆ。Ｑ上ＰＦ。，０Ｍ上ＰＦ　，得ＯＭ／／Ｆ　Ｑ。又０　为边Ｆ　Ｆ　的中点，则０＿Ｍ为△Ｆ　Ｆ　Ｑ的中位线。　ＩＰＦ１　ｌ一２１ＰＱｌ一２ＩＱＦ。１—２（２ＩＭＦ。１）一４６。　由双曲线的定义，得Ｉ　ＰＦ。ｌ—ｌ　ＰＦ　ｌ一２ａ，即　４６—２ｃ一２ａ＝￣２ｂ一口＋ｃ　４（Ｃ　一ｎ　）一ｎ０＋２ａｃ＋ｃ　３ｃ　一２ｎｃ一５ａ　＝＝＝０＝＞３ｅ　一２Ｐ一５—０，解得Ｐ一一１（舍　亡　去）或ｅ－－－÷。　ｏ　评析：求解离心率的问题中，题目中常给出一些　意到Ｐ、Ｑ的对称性和过原点的直线的特殊性，此解　法虽然设有三个未知元，看似烦琐，但在后续的计算　过程中，出现的代数式次数都较低，运算难度相对较　小。此外，值得一提的是：本题中利用韦达定理求解　ｚ　比利用求根公式方便得多，在已知一根的基础上　求解另一根，利用韦达定理比较便捷。　解法２：Ｖ忌＞０，设点Ｐ（ｘ　，Ｙ１）、Ｈ（ｘ　，Ｙ。），则点　Ｑ（－－Ｘｌ，一Ｙ１）、Ｎ（Ｏ，ｙ１）。　由Ｐ、Ｈ两点在椭圆Ｃ上，得ｍ　＋ｙ｝一　，　ｍ　ｚ；＋　；一７ｎ　。　联立以上两式，得ｍ　（ｚ　一ｚ；）＋（　一Ｙ；）一０。　由点Ｐ在第一象限，知点Ｈ也在第一象限，且　Ｐ、Ｈ不重合，则（ｚ１一ｚ２）（　ｌ＋ｚ２）≠０，故ｍ　（ｚｉ—　；）＋（　一　；）一０可化为琶｝＿＿　一　一ｍ２。　由Ｑ、Ｎ、Ｈ三点共线，得志口￣＝：＝惫口Ｈ，即　一　Ｙ１＋　２　ｚ１＋ｚ２。　愚Ｐ口。ｋＰＨ＝　ｙ＇－Ａ　１。　Ｙｌ－－２２　—１．（ｙｌ—　２）（　１＋Ｙ２）　２　（ｚ１一　２）（ｚ１＋Ｘｚ）　ｍ２　２。　由ＰＱ］＿ＰＨ，得ｋＰＱ・ｋＰＨ＝＝＝一１，即一　：：＝一１。　又ｍ＞０，则ｍ一√２。　故存在　一　，使得在其对应的椭圆ｚｚ＋等一１　上，对任意的惫＞０，都有ＰＱ上ＰＨ。　评析：利用ＰＱ上ＰＨ等价于ｋ舶・ｋ　一一１，设　元技巧同解法１。解法２中没有直接求各点的坐标，　而是利用“点差法”“设而不求”，通过两次整体转化，　寻求是户口和ｋ，　间的关系，从而得出简化运算的途径。　解法２中，有两个转化至关重要。转化１：条件Ｐ、Ｈ　两点在椭圆Ｃ上的转化；转化２：条件Ｑ、Ｎ、Ｈ三点　共线的转化。相较于解法１，解法２更需要考生有敏　锐的洞察力，能站在整体的高度考虑问题。　本题所考查的相关点法和把ＰＱ上ＰＨ等价转　化为蔺・确一０或惫舶・ｋ　一一１都是解决解析　几何问题的通性通法。　（责任编辑袁伟刚）　“人造地球卫星２号”上栽有一条名叫“莱伊卡”的雌性猎狗，它是真正意义上由地球进入太空的第一只动物，它在轨　道上度过了极不平凡的６天６夜。　中掌生数理化．高二离三使用　特殊多边形，其中多含有圆锥曲线的某些特殊点或　线段。从定义出发，观察图形的特征，寻求其中的联　系，找到口、Ｃ的关系或建立有关口、ｂ、Ｃ的齐次方程　ｆ（ａ，ｂ，ｆ）＝Ｏ是求解的关键。　解法２：从“数”人手，结合“方程”。　不妨假设点Ｐ在第一象限，设点Ｍ为直线ＰＦ　与圆　。＋．）Ｉ。一以　的切点，ｃ一￣／口。＋６　。　由ｌＯＭＩ一口，ｌＯＦ　Ｉ—Ｃ，ＯＭ上Ｆ　Ｍ，得ｌＦ。Ｍｌ一　二１研一　一６。　在Ｒｔ△０ＭＦ　ｈｈ，ｔａｎ　ＺＰＦ。Ｆ。＝　＝詈。　惫ＰＦｌ＝＝＝　。　ｋｐＦ　＝ｔａｎ　２／ＰＦｌＦ。　２ｔａｎ／ＰＦｌＦ２　１一ｔａｎ。／ＰＦ１Ｆ２　：旦　ｂ０一口。。　直线ＰＦ　的方程为　一詈（　＋ｆ）。　①　直线ＰＦ　的方程为　一　（ｘ－－ｃ）。　②　联立①和②，可得点Ｐ（　，　）。　把点Ｐ的坐标代入双曲线的方程，得　一　６　又ｃ一　，则９ｃ　＝　２５ａ。ｃ。，故Ｐ一　＝　。　评析：求圆锥曲线的离心率也可从代数角度入　手，利用直线方程求解交点坐标、点线距离、斜率等，　以向量和参数作为工具，找到曲线上点的坐标，再将　其代入曲线的方程，转化为有关口、ｃ的等量关系。　除此之外，例１还可以利用余弦定理、相似三角　形、参数方程等１０余种方法求解，限于篇幅，这里就　不一一列举了。　＝、求离心率的范圈或■值　解决这类问题的关键是找到含有ｎ、６、Ｃ的不等　式，进而找到解决问题的突破口。　例２设双曲线　一告一１（口＞ｏ，６＞ｏ）的左、　，，　，１　右焦点分别为Ｆ。、Ｆ　，点Ｐ在双曲线的右支上，且　ｌＰＦ　Ｉ一４１ＰＦ。ｌ，则此双曲线的离心率的最大值为　———一。　解：从几何特征的角度出发寻找不等关系。　设ｆ一￣／以　＋ｂ。。　设ｌＰＦ２　Ｉ＝ｍ（ｍ＞Ｏ）。　由ｌ　ＰＦ　Ｉ＝＝：４　Ｉ　ＰＦ。ｌ，得ｌ　ＰＦ　Ｊ一４ｍ。　由双曲线的定义，得Ｉ　ＰＦ　Ｊ—ｌ　ＰＦ　Ｊ一２ａ，则　９　３ｍ一２ａ，即ｍ一％。－ａ。　由平面几何知识，得Ｉ　ＰＦ　Ｉ＋Ｉ　ＰＦ　ｌ≥Ｉ　Ｆ。Ｆ２　ｌ，　当且仅当点Ｐ为双曲线的右支与ｚ轴的交点时，等　号成立，则５ｍ≥２ｃ，即５×　口≥２ｆ。　故Ｐ一　≤普。　评析：对于求圆锥曲线的离心率的取值范围或　最值问题，利用圆锥曲线的定义及平面几何知识，建　立口、Ｃ之间的不等关系是一种通法。　１　设双曲线ｃ的中心为点０，若有且只有　一对相交于点Ｏ且所成的角为６Ｏ。的直线Ａ　Ｂ　和　Ａ。Ｂ。，使ｆＡ　Ｂ　Ｊ—Ｉ　Ａ　Ｂ。Ｉ，其中Ａ　、Ｂ。和Ａ。、Ｂ。分　别是这对直线与双曲线Ｃ的交点，则该双曲线的离　心率的取值范围是　。　解：不妨设双曲线Ｃ的焦点在ｚ轴上。　由双曲线的基本性质，可知直线Ａ。Ｂ　和Ａ　Ｂ。　关于ｚ轴对称。　（１）若直线Ａ　Ｂ　、Ａ。Ｂ　与　轴的夹角均为３０。，　则双曲线的渐近线与ｚ轴的夹角大于３Ｏ。，且小于或　等于６Ｏ。。　双曲线的一条渐近线的斜率　必须满足　ｔａｎ　３Ｏｖ－（－－。－ｂ￣ｔａｒｌ　６ｏ。，即譬＜　≤　号＜（鲁）≤　口　口　＼口，　３　＜１＋　≤４　詈＜箬≤４，则　＜詈≤２，即　＜Ｐ≤２。　（２）若直线Ａ　Ｂ　、Ａ　Ｂ　与　轴的夹角均为６０。，　则将会有两对相交于点Ｏ且所成的角为６Ｏ。的直线　Ａ　Ｂ　和Ａ。Ｂ　，不满足题意。　综上所述，双曲线的离心率的取值范围是　（　，２］。　评析：从“形”入手，寻找不等关系，也是求圆锥　曲线的离心率的范围或最值的通法之一。本题考查　双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条　件。本题的易错点是误认为鱼＞ｔａｎ　３０。，即鱼＞　就满足条件了，从而得出错误答案Ｐ＞　。　（责任编辑袁伟刚）　缚在“莱伊卡”身上的各种传感仪器测出的关于脉搏、呼吸和血压等指数，证实了失重本身没有引起动物生理机能的　危险变化。