上海中考数学23题专题

上海中考数学23题解题技巧(一)上海中考数学23题解题技巧1. 题目背景在上海中考数学考试中，23题通常涉及到较为复杂的数学知识和解题方法。

解题时需要结合实际情境，运用所学的数学知识进行分析和计算。

2. 题目分析题目要求：已知一个长方体的体积为240cm³，它的底面长和宽的比是3∶2，高为6cm。

求长方体的底面积。

分析：根据题目给出的条件，我们可以得到以下信息： - 长方体的体积为240cm³ - 底面长和宽的比为3∶2 - 长方体的高为6cm3. 解题思路根据题目给出的条件，我们可以列出以下方程组： - 底面长为3x - 底面宽为2x - 底面面积为3x * 2x = 6x² - 长方体的体积为底面面积乘以高，即6x² * 6 = 240解题步骤如下： 1. 将方程6x² * 6 = 240转化为x² = 240 / 36 2. 计算得到x ≈ 2.449 3. 将x带入底面面积的表达式中，计算得到底面面积为6 * (2.449)² ≈ 37.22cm²4. 解题验证为了验证我们的解题结果是否准确，可以将底面长、宽和高代入体积的计算公式进行计算： - 长方体的体积为底面面积乘以高，即37.22 * 6 = 223.32cm³由于存在四舍五入的误差，我们得到的验证结果大约为223.32cm³，与题目给出的体积240cm³相差不大，可以认为解题结果正确。

5. 解题总结在解题过程中，我们运用了以下技巧： - 列出方程组，将问题转化为数学表达式 - 运用代数知识进行计算和化简 - 进行解题验证，确保解题结果正确综上所述，通过合理的分析和计算，我们成功解决了上海中考数学23题的问题，得出了正确的解题结果。

这个题目考察了学生对数学知识的掌握和运用能力，希望同学们能在备考中加强对这方面知识的学习和理解。

2023年上海市中考数学真题试卷一、选择题：（本大题共6题,每题4分,共24分）1. 下列运算正确的是（ ）A. 523a a a ÷=B. 336a a a +=C. ()235a a =D. a =2. 在分式方程2221521x x x x -+=-中,设221x y x -=,可得到关于y 的整式方程为（ ）A.2550y y ++=B. 2550y y -+=C. 2510y y ++=D. 2510y y -+= 3. 下列函数中,函数值y 随x 的增大而减小的是（ ）A. 6y x =B. 6y x =-C. 6y x =D. 6y x=- 4. 如图所示,为了调查不同时间段的车流量,某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量,下图是各时间段的小车与公车的车流量,则下列说法正确的是（ ）A. 小车的车流量与公车的车流量稳定；B. 小车的车流量的平均数较大；C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同．5. 在四边形ABCD 中,,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A. AB CDB. AD BC =C. A B ∠=∠D. A D ∠=∠ 6. 已知在梯形ABCD 中,连接AC BD ，,且AC BD ⊥,设,AB a CD b ==．下列两个说法：①)AC a b =+；②AD =则下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①②均正确 D. ①②均错误二、填空题：（本大题共12题,每题4分,共48分）7. 分解因式：x 2－9＝______．8. 化简：2211x x x---的结果为________．9. 已知关于x 2=,则x =________10. 函数()123f x x =-的定义域为________． 11. 已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根,那么a 的取值范围是________．12. 在不透明的盒子中装有一个黑球,两个白球,三个红球,四个绿球,这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________． 13. 如果一个正多边形的中心角是20︒,那么这个正多边形的边数为________． 14. 一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是________．15. 如图,在ABC 中,点D ,E 在边AB ,AC 上,2,AD BD DE BC =∥,联结DE ,设向量AB a =,AC b =,那么用a ,b 表示DE =________．16. 垃圾分类（Refuse sorting ）,是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响,并根据不同处置方式的要求,分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示,已知可回收垃圾共收集60 吨,且全市人口约为试点区域人口的10倍,那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．17. 如图,在ABC 中,35C ∠=︒,将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒,旋转后的点B 落在BC 上,点B 的对应点为D ,连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线,则α=________．18. 在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒,点D 在边AC 上,点E 在CA 延长线上,且CD DE =,如果B 过点A ,E 过点D ,若B 与E 有公共点,那么E 半径r 的取值范围是________．三、解答题：（本大题共7题,共78分）19.2133-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 20. 解不等式组36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩ 21. 如图,在O 中,弦AB 的长为8,点C 在BO 延长线上,且41cos ,52ABC OC OB ∠==．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．22. “中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1000元,打九折出售．使用这张加油卡加油,每一升油,油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y 元/升,原价为x 元/升,求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元？23. 如图,在梯形ABCD 中AD BC ∥,点F ,E 分别在线段BC ,AC 上,且=FAC ADE ∠∠,AC AD =（1）求证：DE AF =（2）若ABC CDE ∠=∠,求证：2AF BF CE =⋅24. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线364y x =+与x 轴交于点A ,y 轴交于点B ,点C 在线段AB 上,以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B ．（1）求点A ,B 的坐标；（2）求b ,c 的值；（3）平移抛物线M 至N ,点C ,B 分别平移至点P ,D ,联结CD ,且CD x ∥轴,如果点P 在x 轴上,且新抛物线过点B ,求抛物线N 的函数解析式．25. 如图（1）所示,已知在ABC 中,AB AC =,O 在边AB 上,点F 为边OB 中点,为以O 为圆心,BO 为半径的圆分别交CB ,AC 于点D ,E ,联结EF 交OD 于点G ．（1）如果OG DG =,求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图（2）所示,联结OE ,如果90,,4BAC OFE DOE AO ∠=︒∠=∠=,求边OB 的长；（3）联结BG ,如果OBG 是以OB 为腰的等腰三角形,且AO OF =,求OGOD 的值．2023年上海市中考数学真题试卷答案一、选择题.1. A2. D3. B4. B5. C6. D解：过B 作BE CA ∥,交BC 延长线于E ,如图所示：若梯形ABCD 为等腰梯形,即AD BC =,AB CD 时∴四边形ACEB 是平行四边形 ,CE AB AC BE ∴==AB DC ∥DAB CBA ∴∠=∠AB AB =()SAS DAB CBA ∴△≌△AC BD ∴=,即BD BE = 又AC BD ⊥∴BE BD ⊥在Rt BDE △中,BD BE =,,AB a CD b ==,则DE DC CE b a =+=+)22AC BE DE a b ∴====+,此时①正确； 过B 作BF DE ⊥于F ,如图所示：在Rt BFC △中,BD BE =,,AB a CD b ==,DE b a =+,则()1122BF FE DE a b ===+,()()1122FC FE CE a b a b a =-=+-=-BC ∴===,此时②正确； 而题中,梯形ABCD 是否为等腰梯形,并未确定；梯形ABCD 是AB CD 还是AD BC ∥,并未确定∴无法保证①②正确. 故选：D ．二、填空题.7. (x ＋3)(x －3)8. 29. 1810. 23x ≠11. 9a >12. 2513. 18解：根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷则3602018n =÷=故这个正多边形的边数为18故答案为：18．14.12+-=x y （答案不唯一） 15. 1133b a - 解：∵向量AB a =,AC b =BC AC AB b a ∴=-=-2AD BD =13AD AB ∴= DE BC ∥ADEABC ∴ 13DE AD BC AB ∴== 13DE BC ∴= 111333DE BC b a ∴==- 故答案为：1133b a -． 16. 1500吨 17.1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭解：如图,根据题意可得：AB AD =,BAD ∠=α ∵AD 是BAC ∠的角平分线∴CAD BAD α∠=∠=∵35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+,AB AD =∴35B ADB α∠=∠=︒+则在ABC 中,∵180C CAB B ∠+∠+∠=︒∴35235180αα︒++︒+=︒ 解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭. 故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.18. r <≤解：由题意画出图形如下：连接BEB 过点A ,且7AB = B 的半径为7 E 过点D ,它的半径为r ,且CD DE =2CE CD DE r ∴=+=3,90BC C =∠=︒BE ∴==,AC ==D 在边AC 上,点E 在CA 延长线上CD AC CE AC ≤⎧∴⎨>⎩,即2r r ⎧≤⎪⎨>⎪⎩r <≤B 与E 有公共点,AB DE BE AB DE ∴-≤≤+,即77r r ≤+-≤⎪⎩①不等式①可化为2314400r r --≤ 解方程2314400r r --=得：2r =-或203r = 画出函数231440y r r =--的大致图象如下：由函数图象可知,当0y ≤时,2023r -≤≤ 即不等式①的解集为2023r -≤≤ 同理可得：不等式②的解集为2r ≥或203r ≤- 则不等式组的解集为2023r ≤≤又10r <≤半径r r <≤r <≤．三、解答题.19.6-20. 1033x << 21. （1）5 （2）94【小问1详解】 解：如图,延长BC ,交O 于点D ,连接AD由圆周角定理得：90BAD ∠=︒弦AB 的长为8,且4cos 5ABC ∠= 845AB BD BD ∴== 解得10BD =O ∴的半径为152BD =． 【小问2详解】解：如图,过点C 作CE AB ⊥于点EO 的半径为55OB ∴= 12OC OB =31522BC OB ∴== 4cos 5ABC ∠= 45BE BC ∴=,即41552BE = 解得6BE =2AE AB BE ∴=-=,92CE==则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==． 22. （1）900（2）0.90.27y x =-（3）1.00【小问1详解】解：由题意知,10000.9900⨯=（元）答：实际花了900元购买会员卡.【小问2详解】解：由题意知,()0.90.30y x =-,整理得0.90.27y x =- ∴y 关于x 的函数解析式为0.90.27y x =-.【小问3详解】解：当7.30x =,则 6.30y =∵7.30 6.30 1.00-=∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 23. 【小问1详解】证明：AD BCDAE ACF ∴∠=∠在DAE 和ACF △中,DAE ACF AD CAADE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA DAE ACF ∴≅DE AF ∴=．【小问2详解】证明：DAE ACF ≅AFC DEA ∴∠=∠180180AFC DEA ∴︒-∠=︒-∠,即AFB CED ∠=∠在ABF △和CDE 中,AFB CED ABF CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ABFCDE ∴ AF BF CE DE∴= 由（1）已证：DE AF = AF BF CE AF ∴= 2AF BF CE =∴⋅．24. （1）()8,0A -,()0,6B（2）32b =,6c =（3）(2316y x =-或(2316y x =+ 【小问1详解】 解：∵直线364y x =+与x 轴交于点A ,y 轴交于点B 当0x =时,代入得：6y =,故()0,6B当0y =时,代入得：8x =-,故()8,0A -【小问2详解】 设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则可设抛物线的解析式为：()2364y a x m m +-+= ∵抛物线M 经过点B将()0,6B 代入得：23664am m ++= ∵0m ≠ ∴34am =- 即34m a=- ∴将34m a =-代入()2364y a x m m +-+=整理得：2362y ax x =++ 故32b =,6c =. 【小问3详解】如图：∵CD x ∥轴,点P 在x 轴上∴设(),0P p ,3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵点C ,B 分别平移至点P ,D∴点B ,点C 向下平移的距离相同 ∴3366644m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭解得：4m =-由（2）知34m a =-∴316a = ∴抛物线N 的函数解析式为：()2316y x p =-将()0,6B 代入可得：p =±∴抛物线N 的函数解析式为：(2316y x =-或(2316y x =+. 25. （1）见解析（2）1+（3）12【小问1详解】证明：∵AC AB =∴ABC C ∠=∠∵OD OB =∴ODB ABC ∠=∠∴C ODB ∠=∠∴OD AC ∥∵F 是OB 的中点,OG DG =∴FG 是OBD 的中位线∴FG BC ∥,即GE CD∴四边形CEDG 是平行四边形.【小问2详解】解：∵,4OFE DOE AO ∠=∠=,点F 边OB 中点 设OFE DOE α∠=∠=,OF FB a ==,则2OE OB a == 由（1）可得OD AC ∥∴AEO DOE α∠=∠=∴OFE AEO α∠=∠=又∵A A ∠=∠∴AEO AFE ∽ ∴AE AO AF AE= 即2AE AO AF =⋅∵90A ∠=︒在Rt AEO △中,222AE EO AO =-∴22EO AO AO AF -=⨯∴()()222444a a -=⨯+解得：12a =或12a =（舍去）∴21OB a ==+【小问3详解】解：①当OG OB =时,点G 与点D 重合,舍去； ②当BG OB =时,如图所示,延长BG 交AC 于点P∵点F 是OB 的中点,AO OF =∴AO OF FB ==设AO OF FB ==a =∵OG AC ∥∴BGO BPA ∽ ∴2233OG OB a AP AB a ===设2,3OG k AP k ==∵OG AE ∥∴FOG FAE ∽, ∴122OG OF a AE AF a ===∴24AE OG k ==∴PE AE AP k =-=连接OE 交PG 于点Q∵OG PE ∥∴QPE QGO ∽ ∴22GO QG OQ k PE PQ EQ k==== ∴12,33PQ a QG a ==,24,33EQ a OQ a == 在PQE ∆与BQO △中,13PQ a =,28233BQ BG QG a a a =+=+= ∴14PQ QE OQ BQ == 又PQE BQO ∠=∠ ∴PQE OQB ∽ ∴14PE OB = ∴124k a = ∴2a k =2,2OD OB a OG k === ∴2122OG k k OD a a ===．。

2024年上海市初中学业水平考试数学试卷一、选择题（每题4分,共24分）1.如果x y >,那么下列正确的是（）A.55x y +<+B.55x y -<- C.55x y> D.55x y->-2.函数2()3xf x x -=-的定义域是（）A.2x = B.2x ≠ C.3x = D.3x ≠3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A.260x x -=B.290x -=C.2660x x -+= D.2690x x -+=4.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花,从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．（）种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差1.050.781.050.78A.甲种类B.乙种类C.丙种类D.丁种类5.四边形ABCD 为矩形,过A C 、作对角线BD 的垂线,过B D 、作对角线AC 的垂线,如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为（）A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形6.在ABC ∆中,3AC =,4BC =,5AB =,点P 在ABC ∆内,分别以A B P 、、为圆心画,圆A 半径为1,圆B 半径为2,圆P 半径为3,圆A 与圆P 内切,圆P 与圆B 的关系是（）A.内含B.相交C.外切D.相离二、填空题（每题4分,共48分）7.计算:()324x=___________．8.计算()()a b b a +-=______．9.1=,则x =___________．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ,一张普通唱片的容量约为25GB ,则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）11.若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)-,则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）12.在菱形ABCD 中,66ABC ∠=︒,则BAC ∠=___________．13.某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系,当投入10万元时销售额1000万元,当投入90万元时销售量5000万元,则投入80万元时,销售量为___________万元．14.一个袋子中有若干个白球和绿球,它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球,恰好摸到绿球的概率是35,则袋子中至少有___________个绿球．15.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为对角线AC 上一点,设AC a = ,BE b =uur r,若2AE EC =,则DC = ___________（结果用含a ,b的式子表示）．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式,博物馆共回收有效问卷1000张,其中700人没有讲解需求,剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）,那么在总共2万人的参观中,需要AR 增强讲解的人数约有__________人．17.在平行四边形ABCD 中,ABC ∠是锐角,将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线,对应点分别为C ',D ¢,若::1:3:7AC AB BC '=,则cos ABC ∠=__________．18.对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y '',使得0x m y k '-='-≠,则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为__________．三、简答题（共78分,其中第19-22题每题10分,第23,24题每题12分,第25题14分）19.计算:102|124(1++-．20.解方程组:2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②．21.在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m -,且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．（1）求k 与m 的值（2）过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ,求sin OCA ∠的值．22.同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形,且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）,直角三角形斜边上的高都为h ．（1）求:①两个直角三角形的直角边（结果用h 表示）②小平行四边形的底、高和面积（结果用h 表示）（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图,要求①不与给定的图形状相同②画出三角形的边．23.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为边CD 上一点,且AE BD ⊥．（1）求证:2AD DE DC=⋅（2）F 为线段AE 延长线上一点,且满足12EF CF BD ==,求证:CE AD =．24.在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．（1）求平移后新抛物线的表达式（2）直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q ．①如果PQ 小于3,求m 的取值范围②记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标．25.在梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 在边AB 上,且13AE AB =．（1）如图1所示,点F 在边CD 上,且13DF CD =,联结EF ,求证:EF BC ∥（2）已知1AD AE ==①如图2所示,联结DE ,如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上,求ADE V 的外接圆的半径长②如图3所示,如果点M 在边BC 上,联结EM ,DM ,EC ,DM 与EC 交于N,如果4BC =,且2CD DM DN =⋅,DMC CEM ∠=∠,求边CD 的长．2024年上海市初中学业水平考试数学试卷一、选择题.题号123456答案CDDBAB6.【解析】解: 圆A 半径为1,圆P 半径为3,圆A 与圆P 内切∴圆A 含在圆P 内,即312PA =-=P ∴在以A 为圆心,2为半径的圆与ABC 边相交形成的弧上运动,如图所示∴当到P '位置时,圆P 与圆B 圆心距离PB 最大,= 325<+=∴圆P 与圆B 相交故选:B ．二、填空题.7.【答案】664x 8.【答案】22b a -9.【答案】110.【答案】3810⨯11.【答案】减小12.【答案】57︒13.【答案】450014.【答案】315.【答案】23a b-【解析】解: 四边形ABCD 是平行四边形DC AB ∴∥,DC AB =．E 是AC 上一点,2AE EC =23AE AC ∴=23AB AE EB AE BE b=+=-=- ∴23DC a b=- 故答案为:23a b -．16.【答案】200017.【答案】27或47【解析】解:当C '在AB 之间时,作下图根据::1:3:7AC AB BC '=,不妨设1,3,7AC AB BC '===由翻折的性质知:FCD FC D ''∠=∠CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线BC F FC D FCD FBA '''∴∠+∠=∠+∠BC F FBA '∴∠=∠。

上海中考数学23题解题技巧（最新版3篇）目录（篇1）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：善于使用公式4.解题技巧三：逻辑思维与推理5.解题技巧四：熟练掌握解题方法6.解题技巧五：提高计算能力与速度7.总结正文（篇1）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，作为中考数学压轴题，一直以来都是考生们关注的焦点。

这类题目不仅考察考生的数学知识储备，还涉及到解题技巧和速度。

因此，对于考生来说，掌握一定的解题技巧显得尤为重要。

【解题技巧一：审题与分析】要想成功解答上海中考数学 23 题，首先要做的就是仔细审题，理解题意。

审题时，要注意挖掘题目中的隐含条件，对题目进行分析，判断出题目涉及的知识点，为接下来的解题做好准备。

【解题技巧二：善于使用公式】中考数学 23 题往往涉及到复杂的计算，这时运用公式可以简化计算过程。

因此，考生在解题过程中要善于运用已掌握的公式，提高解题效率。

【解题技巧三：逻辑思维与推理】在解答这类题目时，逻辑思维与推理能力尤为重要。

考生需要根据题目条件进行逻辑推理，找出解题思路。

此外，遇到困难时，要尝试变换思路，寻找解题突破口。

【解题技巧四：熟练掌握解题方法】中考数学 23 题涉及多种解题方法，考生要想取得好成绩，就需要熟练掌握这些解题方法。

例如，代数法、几何法、逻辑法等。

在解题过程中，考生要根据题目要求灵活运用这些方法。

【解题技巧五：提高计算能力与速度】要想在有限的时间内完成中考数学 23 题，考生需要具备较强的计算能力和速度。

为此，考生在平时的学习中要加强计算能力的训练，提高解题速度。

【总结】总之，要想成功解答上海中考数学 23 题，考生需要掌握一定的解题技巧。

目录（篇2）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：选择题的解题方法4.解题技巧三：填空题的解题方法5.解题技巧四：解答题的解题方法6.总结正文（篇2）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，是上海市初中毕业生学业考试数学科目中分值较高、难度较大的一部分。

上海市2023年中考数学真题及答案解析【注意：本文仅提供参考，实际考试请以教育部门发布的官方真题为准】一、选择题题目解析1. 小明从家到学校的路程共有5公里，他骑自行车一次骑行2/5的距离。

他一共用了多长时间？选项解析：题目中提到小明骑行2/5的距离，即2/5 * 5公里 = 2公里。

进而，我们可以计算出他骑行2公里所需要的时间。

答案：根据题目分析，小明骑行2公里所需要的时间为2公里/ 骑行速度 = 2公里 / 骑行速度，这里骑行速度未提及，所以无法计算具体时间。

答案为无法确定。

2. 某商品原价为300元，现在打八折出售，折后价格是多少？选项解析：题目中提到打八折，即原价 * 0.8，我们可以直接计算出折后价格。

答案：300元 * 0.8 = 240元。

答案为240元。

二、填空题题目解析1. 下图中国地图的颜色表示的是哪个省份？解析：根据题目中的提示，通过判断地图颜色可以得出对应的省份名称。

答案：由于无法提供具体地图，所以无法确定具体省份名称。

答案为无法确定。

2. 160 ÷ 8 = ____解析：题目中提到除法运算，我们可以直接计算出结果。

答案：160 ÷ 8 = 20。

答案为20。

三、解答题题目解析1. 如果a = 3, b = 4，则(a + b)² = ____解析：题目中给出了a和b的值，我们可以带入计算。

答案：(a + b)² = (3 + 4)² = 7² = 49。

答案为49。

2. 请用两种方法计算 2² + 3² + 4² + 5²的值。

解析：题目要求我们计算一个数列的和，我们可以分别列出每一项的平方然后相加，或者使用数列求和公式进行计算。

答案：方法一：2² + 3² + 4² + 5² = 4 + 9 + 16 + 25 = 54。

方法二：利用数列求和公式：n(n+1)(2n+1)/6，其中n为项数。

一．解答题（共15小题）1．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点E 是边AD 上一点，EM ⊥EC 交A 上海市中考数学25题各区期末汇编—几何综合题B 于点M ，点N 在射线MB 上，且∠ANE ＝∠DCE ．（1）如图，求证：AE 是AM 和AN 的比例中项；（2）当点N 在线段AB 的延长线上时，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN的长．2．（2022秋•浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，点D是斜边AC 上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．3．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．（1）①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值：（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．4．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D．（1）如果tan∠AOP＝，求OC的长；（2）设AP＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果BD＝AP，求△PBD的面积．5．（2022秋•青浦区校级期末）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在边CD上，连接BM，BM⊥DC．（1）求CD的长；（2）如图2，作∠EMF＝90°，ME交AB于点E，MF交BC于点F，若AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．6．（2022秋•徐汇区期末）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝2.5，sin D＝，点E是AD边上一点，DE＝3，点P是CD边上的一动点，连接EP，作∠EPF，使得∠EPF＝∠D，射线PF与AB边交于点F，与CB的延长线交于点G，设DP＝x，BG＝y．（1）求CD的长；（2）试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接EF，如果△EFP是等腰三角形，试求DP的长．7．（2022秋•静安区期末）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD 交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．8．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．9．（2022秋•金山区校级期末）已知∠BAC的余切值为2，AB＝2，点D是线段AB上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E 的右侧，联结BG，并延长BG交射线AC于点P．（1）联结AG，求证：cot∠GAF＝3；（2）如图1，当点P在线段EF上时，如果∠GPF的正切值为2，求线段BD的长；（3）联结AG，当△AGP为等腰三角形时，求线段BD的长．10．（2022秋•闵行区期末）如图1，点D为△ABC内一点，联结BD，∠CBD＝∠BAC，以BD、BC为邻边作平行四边形DBCE，DE与边AC交于点F，∠ADE＝90°．（1）求证：△ABC∽△CEF；（2）延长BD，交边AC于点G，如果CE＝FE，且△ABC的面积与平行四边形DBCE面积相等，求的值；（3）如图2，联结AE，若DE平分∠AEC，AB＝5，CE＝2，求线段AE的长．11．（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD ＝．（1）当BC∥AD时（如图2），求AB的长；（2）联结BD，交边AC于点E，①设CE＝x，AB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②当△BDC是等腰三角形时，求AB的长．12．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD＝9，AC＝12，BC ＝16，点E是边BC上一个动点，∠EAF＝∠BAC，AF交CD于点F、交BC延长线于点G，设BE＝x．（1）使用x的代数式表示FC；（2）设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AEG是等腰三角形时，直接写出BE的长．13．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，cos C＝，∠ABC＝2∠C，BD 平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且∠AEF＝∠ABC，AE与BD相交于点G．（1）求证：；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．14．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．15．（2022秋•杨浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝13，CD∥AB．点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点G．：S△CAF的值；（1）当时CE＝3，求S△CEF（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．一．解答题（共15小题）1．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点E 是边AD 上一点（参考答案），EM ⊥EC 交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且∠ANE ＝∠DCE ．（1）如图，求证：AE 是AM 和AN 的比例中项；（2）当点N 在线段AB 的延长线上时，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN的长．【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用△EDC ∽△CAD ，得出比例式求得线段DE ，AE ，利用△AME ∽△DEC 求得线段AM ，利用（1）的结论求得线段AN ，则MN ＝AN ﹣AM ．【解答】（1）证明：∵EM ⊥EC ，∴∠AEM +∠DEC ＝90°．∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠DEC +∠ECD ＝90°，∴∠AEM ＝∠DCE ，∵∠ANE ＝∠DCE ，∴∠ANE ＝∠AEM ．∵∠A ＝∠A ，∴△ANE ∽△AEM ，∴．∴AE 2＝AM •AN ，∴AE 是AM 和AN 的比例中项；（2）解：如图，AC＝＝＝5．∵AC与NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵∠D＝∠D，∴△EDC∽△CAD，∴，∴，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠MAE＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴△AME∽△DEC，∴，∴，∴AM＝．由（1）知：AE2＝AM•AN，∴AN＝，∴MN＝AN﹣AM＝＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2022秋•浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．【分析】（1）连接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中点，知BD＝AC＝5，从而DG＝BD＝，证明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；（2）分两种情况：①当△DEC∽ABC时，设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②当△EDC∽△ABC时，设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，设AK＝3t，则DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）连接DF，DE，如图：∵∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，∴AB＝6，BC＝8，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝5，∵EF是BD的垂直平分线，∴DG＝BD＝，∵D是AC中点，∠ABC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，∵EF是BD的垂直平分线，∴DF＝BF，DE＝BE，∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，∴△DGF∽△ABC∽△EGD，∴＝，＝，∴＝，＝，解得FG＝，EG＝，∴EF＝FG+EG＝；（2）①当△DEC∽ABC时，如图：设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，∵＝，∴＝，解得m＝，∴CE＝；②当△EDC∽△ABC时，如图：设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，∵＝，∴＝，解得n＝5，∴CE＝5；综上所述，△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，如图：∴DK∥BC，∴∠ADK＝∠C，∴tan∠ADK＝tan C＝，即＝，设AK＝3t，则DK＝4t，∵AB＝6，AF＝2，∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，∴（4t）2+（3t+2）2＝82，解得t＝或t＝（舍去），∴AD＝＝＝5t＝，∴AD的长是．【点评】本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用．3．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD ＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．（1）①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值：（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC ＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；（2）①如图3，当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，由相似三角形的性质得出，证明△EOC∽△ECB，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）①证明：如图1，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；②解：如图2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（2）设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m+3，∵△DAC∽△OBC，∴，∴，∴．∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴，∴，∴，∴m＝，将m＝代入，整理得，x2﹣6x﹣10＝0，解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．∴CD＝3+．【点评】本题考查了相似形综合题，掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．4．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA ＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D．（1）如果tan∠AOP＝，求OC的长；（2）设AP＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果BD＝AP，求△PBD的面积．【分析】（1）过A作AH⊥OP于H，由勾股定理得AH•OH的值，根据相似三角形的判定，可得△HAP∽△OBC，根据相似三角形的判定得＝，即可得OC的值．（2）过A作AN⊥OP于N，过O作OM⊥AP于M，由（1）知△NAP∽△OBC，可得＝，即AN＝，根据圆的性质过圆心垂直于弦的直线也平分弦，可得AM＝MP＝，＝AP•OM＝OP•AN，化简得y＝在Rt△AOM中，OM＝，S△OAP（0＜x＜5）；（3）如图3，连接AB、AD，AB与OP交于Q，根据平行四边形的判定可得四边形ADBP 是平行四边形，且△AOB是等腰Rt△，即Q是弦AB边PD的中点，根据平行四边形对角线互相平分，可得△AOQ、△BOQ均为等腰Rt△，即OQ＝＝5，PQ＝OP﹣OQ＝10﹣5，即S△PBD＝•PD•BQ可得出结果．【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥OP于H，则有tan∠AOP＝＝，设AH＝3a，则OH＝4a，在Rt△AOH中有（3a）2+（4a）2＝102，解之得a1＝﹣2（舍），a2＝2，∴AH＝6，OH＝8，PH＝2，∵CD∥AP，OA＝OP，∴∠OCD＝∠OAP＝∠APO，∵∠HAP+∠OPA＝∠OCB+∠CBO＝90°，∴∠HAP＝∠OBC，∴△HAP∽△OBC，∴＝，∴OC＝；（2）如图2，∵OA＝OB＝OP，∴A、P、B三点共圆，过A作AN⊥OP于N，过O作OM⊥AP于M，由（1）知△NAP∽△OBC，∴＝，∴AN＝，∵OM⊥弦AP，∴AM＝MP＝（圆的性质，过圆心垂直于弦的直线也平分该弦），∴OM＝＝，＝AP•OM＝OP•AN，∴S△OAP即•x•＝×10•，化简移项得y＝，其中x最大为AB的长为10，∴0＜x＜10，即y＝（0＜x＜5）；（3）如图3，连接AB、AD，AB与OP交于Q，∵BD平行且等于AP，∴四边形ADBP是平行四边形且△AOB是等腰Rt△，∴Q是弦AB边PD的中点，∴BQ＝AQ＝AB＝5，DQ＝PQ，∴OQ⊥AB，∴△AOQ、△BOQ均为等腰Rt△，∴OQ＝＝5，∴PQ＝OP﹣OQ＝10﹣5，＝•PD•BQ＝PQ•BQ＝（10﹣5）×5＝50﹣50．∴S△PBD【点评】本题考查圆的应用，解本题的关键要掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等．5．（2022秋•青浦区校级期末）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在边CD上，连接BM，BM⊥DC．（1）求CD的长；（2）如图2，作∠EMF＝90°，ME交AB于点E，MF交BC于点F，若AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．【分析】（1）过点D作DP⊥BC于点E，证明四边形ABPD为矩形，则BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，再根据勾股定理定理即可求出CD；（2）连接BD，先用等面积法求出BM＝4，再证明Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），从而得出AD＝DM＝2，最后证明△MBE∽△MCF，根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据△MBE∽△MCF可得△MBE为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点E 在线段AB上时，当点E在AB延长线上时．【解答】解：（1）过点D作DP⊥BC于点P，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝90°，∵DP⊥BC，∴∠DPB＝90°，∴四边形ABPD为矩形，∴BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，∵BC＝5，∴CP＝BC﹣BP＝5﹣2＝3，在Rt△CDE中，根据勾股定理得：．（2）解：连接BD，∵BM⊥DC，DP⊥BC，＝，∴S△BCD即5×4＝5BM，解得：BM＝4，在Rt△ABD和Rt△MBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），∴AD＝DM＝2，∴CM＝CD﹣DM＝3，∵BM⊥DC，∴∠CMF+∠BMF＝90°，∠C+∠CBM＝90°，∵∠EMF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠BME+∠BMF＝90°，∠EBM+∠CBM＝90°∴∠BME＝∠CMF，∠EBM＝∠C，∴△MBE∽△MCF，∴，∴，整理得：．（3）①当点E在线段AB上时，由（2）可得△MBE∽△MCF，∵△MCF为等腰三角形，∴△MBE为等腰三角形，当BM＝BE＝4时，AE＝0；当BM＝ME＝4时，过点M作MQ⊥AB于点Q，由（1）可得：，∴，∵BM＝4，∴BQ＝BM•cos∠MBE＝4×，∵BM＝ME，MQ⊥AB，∴，不符合题意，舍去；当BE＝ME时，过点E作EH⊥BM于点H，∵BE＝ME，EH⊥BM，∴，∵，∴，∴，②当点E在AB延长线上时，∵∠ABC＝90°，∠ABM＜∠ABC，∴∠MBE＞90°，∴当点E在AB延长线上时，∠MBE只能为等腰三角形△MBE的顶角，∴BM＝BE＝4，∴AE＝AB+BE＝8．综上：AE＝0或或8．【点评】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形那个和全等三角形求解．6．（2022秋•徐汇区期末）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝2.5，sin D＝，点E是AD边上一点，DE＝3，点P是CD边上的一动点，连接EP，作∠EPF，使得∠EPF＝∠D，射线PF与AB边交于点F，与CB的延长线交于点G，设DP＝x，BG ＝y．（1）求CD的长；（2）试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接EF，如果△EFP是等腰三角形，试求DP的长．【分析】（1）作等腰梯形ABCD的高AM、BN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，则DC＝DM+MN+NC＝AB+2AD•cos D＝8.5；（2）先由三角形内角和定理得出∠DEP＝∠GPC，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出∠D＝∠C，则△DEP∽△CPG，根据相似三角形对应边成比例得出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）分三种情况：①PE＝PF；②PE＝EF；③PF＝EF．【解答】解：（1）如图，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，所以CD＝DM+MN+NC＝AB+2AD•cos D＝2.5+2×5×＝8.5；（2）如图．∵∠EPD+∠EPF+∠GPC＝∠EPD+∠D+∠DEP＝180°，∠EPF＝∠D，∴∠DEP＝∠GPC，∵ABCD是等腰梯形，∴∠D＝∠C，∴△DEP∽△CPG，∴DE：CP＝DP：CG，∴3：（8.5﹣x）＝x：（y+5）；y＝﹣x2+x﹣5（＜x＜6）；（3）分三种情况：①如果PE＝PF，如图，过F作BC平行线交底边于H，则∠FHP＝∠C＝∠D．∵在△PED与△FPH中，，∴△PED≌△FPH（AAS），∴ED＝PH＝3，DP＝FH＝BC＝5；②如果PE＝EF，如图，过F作BC平行线交底边于H，则∠FHP＝∠C＝∠D．在△PED与△FPH中，，∴△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，又∵PE＝EF，过E点做△EFP的高ET，则FP：PE＝2PT：PE＝2cos∠EPF＝2cos∠D＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝；即PD＝；③如果PF＝EF，同理可得△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，∵PE＝EF，过F点做△EFP的高FT，则PE：PF＝2PT：PF＝2cos∠EPF＝2cos D＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝6，∵2.5＜x＜6；∴x＝6（舍去），综上所述：PD＝5或时，△EFP是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第（3）问进行分类讨论是解题的关键．7．（2022秋•静安区期末）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF ＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．【分析】（1）由勾股定理可求得AB的长，由直角三角形斜边上中线的性质可得∠PCQ ＝∠ABC，则可得△PCQ∽△CBA，由相似三角形的性质即可求得PC的长度，从而求得结果；（2）由△PCQ∽△CBA，即可求得PC的长度，从而由y＝PC﹣CD即可求得y关于x 的函数关系式，由CQ在CB延长线上的一动点，即可写出x的取值范围；（3）分△DBF∽△ACB，△DBF∽△BCA两种情况，利用相似三角形的性质即可完成求解．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵CD是边AB上的中线，∴，∴∠PCQ＝∠ABC，∵∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△CBA，即，∵点B为CQ的中点，∴CQ＝2BC＝8，∴，∴；（2）解：∵△PCQ∽△CBA，∴，∵CQ＝BC+BQ＝4+x，∴，∴，∵点Q是CB延长线上的一动点，∴x＞4，∴y关于x的函数关系式，x的取值范围为x＞4；（3）若△DBF∽△ACB，如图，则，∴，∵∠FBQ+∠ABC＝∠ABC+∠A＝90°，∠PCQ+∠ACD＝∠PCQ+∠PQC＝90°，∴∠FBQ＝∠A，∠ACD＝∠PQC，∴△FBQ∽△DAC，∴，∵，∴；若△DBF∽△BCA，如图，则，∠FDB＝∠ABC，∴，DF∥CQ，∴△PDF∽△PCQ，∴，即DF⋅PC＝PD⋅CQ，∴，化简得：4x2+7x﹣36＝0，解得：，x2＝﹣4（舍去），∴．综上，BQ的长为4或．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．9．（2022秋•金山区校级期末）已知∠BAC的余切值为2，AB＝2，点D是线段AB上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F 都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG交射线AC于点P．（1）联结AG，求证：cot∠GAF＝3；（2）如图1，当点P在线段EF上时，如果∠GPF的正切值为2，求线段BD的长；（3）联结AG，当△AGP为等腰三角形时，求线段BD的长．【分析】（1）联结AG，根据三角函数的定义可得出结论；（2）由题意可知DG∥AP，所以△BDG∽△BAP，再由三角形函数的定义和相似三角形的性质可得结论；（3）根据题意，需要分三种情况，画图出行，分别求解即可．【解答】（1）证明：如图，联结AG，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DEA＝∠DEF＝∠GFE＝90°，∵∠BAC的余切值为2，∴cot∠DEA＝＝2，设DE＝a，则AE＝2a，∴DG＝GF＝EF＝a，∴tan∠GAF＝＝．即cot∠GAF＝3．（2）解：由（1）知，DG＝GF＝EF＝a，AE＝2a，∵∠GPF的正切值为2，∴tan∠GPF＝＝2，∴PF＝a，∴EP＝a，∴AP＝AE+EP＝a，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝a：a，解得BD＝；（3）解：设正方形的边长为t．根据题意，需要分三种情况：①AG＝AP，如图，∵cot∠GAF＝＝3，∴AF＝3t，∴AG＝t，∴AP＝AG＝t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：t，解得BD＝；②AG＝GP，如图，∴∠GAF＝∠GPF，即cot∠GAF＝cot∠GPF＝3，∴AF＝PF＝3t，∴AP＝6t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：6t，解得BD＝；③AP＝PG，如图，设PG＝AP＝m，则PF＝3t﹣m，在Rt△PGF中，由勾股定理可得，m2＝t2+（3t﹣m）2，解得m＝t，∴AP＝t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：t，解得BD＝．综上，当△AGP为等腰三角形时，求线段BD的长为：或或．【点评】本题属于几何综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，分类讨论思想等相关知识，根据题意求出AP与正方形边长的关系是解题关键．10．（2022秋•闵行区期末）如图1，点D为△ABC内一点，联结BD，∠CBD＝∠BAC，以BD、BC为邻边作平行四边形DBCE，DE与边AC交于点F，∠ADE＝90°．（1）求证：△ABC∽△CEF；（2）延长BD，交边AC于点G，如果CE＝FE，且△ABC的面积与平行四边形DBCE 面积相等，求的值；（3）如图2，联结AE，若DE平分∠AEC，AB＝5，CE＝2，求线段AE的长．【分析】（1）根据平行的性质推导出∠E＝∠BAC，即可证明；（2）延长AD交BC于点H，由题意可得AH＝2DH，再由（1）可得∠ABC＝∠ACB，从而得到△ABC是等腰三角形，H是BC的中点，由DF∥BC，可得＝＝，则AG＝2GF，即可求＝2；（3）延长BD交AE于点N，交AC于点M，根据平行四边形的性质和角平分线的定义，可得∠NDE＝∠DEA，则DN＝EN，再由∠ADE＝90°，可知N是AE的中点，M是AC 的中点，求出MN＝1，证明△ABC∽△BMC，则有＝＝，可求BM＝，再求DN＝BM﹣BD+MN＝﹣1，由此即可求出AE＝2DN＝5﹣2．【解答】（1）证明：∵四边形CBCE是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠ACB＝∠EFC，∠CBD＝∠E，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∴△ABC∽△CEF；（2）解：延长AD交BC于点H，∵△ABC的面积与平行四边形DBCE面积相等，∴×BC×AH＝BC×DH，∴AH＝2DH，∵CE＝FE，∴∠EFC＝∠FCE，∵△ABC∽△CEF，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴H是BC的中点，∴DF＝HC，HC＝BC，∵DF∥BC，∴＝＝，∴CF＝3GF，∵AF＝FC，∴AG＝2GF，∴＝2；（3）解：延长BD交AE于点N，交AC于点M，∵DE平分∠AEC，∴∠AED＝∠CED，∵BD∥CE，∴∠NDE＝∠DEC，∴∠NDE＝∠DEA，∴DN＝EN，∵∠ADE＝90°，∴N是AE的中点，∵MN∥CE，∴M是AC的中点，∵CE＝2，∴MN＝1，∵∠CBD＝∠BAC，∴△ABC∽△BMC，∴＝＝，∵AB＝5，CE＝2，∴＝＝，∴＝，∴BM＝，∴DN＝BM﹣BD+MN＝﹣1，∴AE＝2DN＝5﹣2．【点评】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，中位线的性质是解题的关键．11．（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD＝．（1）当BC∥AD时（如图2），求AB的长；（2）联结BD，交边AC于点，①设CE＝x，AB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②当△BDC是等腰三角形时，求AB的长．【分析】（1）由锐角三角函数定义得AC＝5，再由勾股定理得AD＝3，然后证△ABC∽△DCA，即可解决问题；（2）①过D作DN⊥AC于点N，由三角形面积得DN＝，再由勾股定理得CN＝，然后证△BAE∽△DNE，即可解决问题；②分两种情况，a、当BC＝BD时，过B作BQ⊥CD于点Q，过A作AP⊥BQ于点P，则CQ＝DQ＝CD＝2，四边形APQD是矩形，再证△APB∽△ADC，即可求解；b、当BD＝CD＝4时，过B作BM⊥直线AD于点M，证△BMA∽△ADC，得＝，设BM＝3k，则AM＝4k，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∴cos∠ACD＝＝，∴AC＝CD＝×4＝5，∴AD＝＝＝3，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即＝，∴AB＝，即AB的长为；（2）①如图1，过D作DN⊥AC于点N，则∠DNE＝∠DNC＝90°，∵∠ADC＝90°，＝AC•DN＝AD•CD，∴S△ACD∴DN＝＝＝，∴CN＝＝＝，∴AN＝AC﹣CN＝5﹣＝，∵CE＝x，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣x，EN＝CE﹣CN＝x﹣，∵AE＞0，EN＞0，∴＜x＜5，∵∠BAE＝∠DNE＝90°，∠AEB＝∠NED，∴△BAE∽△DNE，∴＝，即＝，∴y＝＝，即y关于x的函数解析式为y＝（＜x＜5）；②∵∠BAC＝90°，∴BC＞AC，∵AC＝5，CD＝4，∴BC＞CD，分两种情况：a、当BC＝BD时，如图3，过B作BQ⊥CD于点Q，过A作AP⊥BQ于点P，则CQ＝DQ＝CD＝2，四边形APQD是矩形，∴AP＝DQ＝2，∠PAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAD＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAD，∵∠APB＝∠ADC＝90°，∴△APB∽△ADC，∴＝，即＝，解得：AB＝；b、当BD＝CD＝4时，如图4，过B作BM⊥直线AD于点M，则∠BMA＝∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝∠CAD+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAD，∴△BMA∽△ADC，∴＝＝，设BM＝3k，则AM＝4k，∴DM＝AD+AM＝3+4k，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD2＝BM2+DM2，即42＝（3k）2+（3+4k）2，整理得：25k2+24k﹣7＝0，解得：k1＝，k2＝（不符合题意舍去），∴AB＝＝＝5k＝；综上所述，当△BDC是等腰三角形时，AB的长为或．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．12．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD＝9，AC＝12，BC＝16，点E是边BC上一个动点，∠EAF＝∠BAC，AF交CD于点F、交BC延长线于点G，设BE＝x．（1）使用x的代数式表示FC；（2）设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AEG是等腰三角形时，直接写出BE的长．【分析】（1）易证△ABC∽△DCA，则有∠B＝∠ACD，由∠EAF＝∠BAC可得∠BAE ＝∠CAF，从而得到△ABE∽△ACF，然后根据相似三角形的性质即可解决问题；（2））由△ABE∽△ACF可得＝，根据∠EAF＝∠BAC可得△AEF∽△ABC，从而得到EF＝AF．易证△CFG∽△DFA，从而得到＝，问题得以解决；（3）易证△ADF∽△GAE，因而当△GAE是等腰三角形时，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三种情况（①AF＝DF，②AD＝DF，③AF＝AD，）讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°．∵AD＝9，AC＝12，BC＝16，∴AB＝20，DC＝15．∵＝＝，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC∽△DCA，∴∠B＝∠ACD．∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，∴＝，∴CF＝x；（2）∵△ABE∽△ACF，∴＝，又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝＝，∴EF＝AF．∵AD∥CG，∴△CFG∽△DFA，∴＝，∴y＝＝＝•＝•，整理得：y＝（0＜x≤16）；（3）当△AEG是等腰三角形时，BE的长为、10或7．解题过程如下：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D，∴∠EAF＝∠BAC＝∠D．∵AD∥BC，∴∠G＝∠FAD，∴△ADF∽△GAE，∴当△GAE也是等腰三角形．①当AF＝DF时，则有∠FAD＝∠D，∵∠FAD+∠CAF＝90°，∠D+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠ACD，∴FA＝FC，∴CF＝DF＝，∴x＝，∴x＝；②当AD＝DF＝9时，CF＝CD﹣DF＝6，∴x＝6，。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题09 几何证明一．解答题（共15小题）1．（普陀区）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD＝DC，BD•BC＝BE•AC．（1）求证：∠ABE＝∠DEB；（2）延长BA、ED交于点F，求证：．【分析】（1）由BD•BC＝BE•AC得出＝，BD＝DC得出∠DBC＝∠C，从而得出结论；（2）根据（1）的结论和已知证明△FAD∽△FDB即可．【解答】证明：（1）∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵BD•BC＝BE•AC，∴＝，∴△ABC∽△DEB，∴∠ABC＝∠DEB，即∠ABE＝∠DEB；（2）如图所示：∵△ABC∽△DEB，∴∠CAB＝∠BDE，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴＝，∵∠ABE＝∠DEB，∴FB＝FE，又∵BD＝DC，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．2．（崇明区）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E为边AC上一点，联结BE交CD于点F，并满足BC2＝CD•BE．求证：（1）△BCE∽△ACB；（2）过点C作CM⊥BE，交BE于点G，交AB于点M，求证：BE•CM＝AB•CF．【分析】（1）通过证明△BCD∽△EBC，可得∠CEB＝∠CBD，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，△ACB∽△CDB，△CDM∽△BDF，可得，，，可得结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CD•BE，∴，设＝k，则BC＝k•CD，BE＝k•BC，∴CE＝＝×BC，BD＝＝×CD，∴＝，又∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴△BCD∽△EBC，∴∠CEB＝∠CBD，又∵∠ACB＝∠BCE＝90°，∴△BCE∽△ACB；（2）如图，∵△BCE∽△ACB，∴，∵∠CEB＝∠CBA，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°＝∠DCB+∠CBD，∴∠A＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EBC，∴CF＝BF，∵∠A＝∠DCB，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∵CM⊥BE，∴∠ABE+∠CMD＝90°＝∠CMD+∠MCD，∴∠MCD＝∠ABE，又∵∠CDB＝∠CDM＝90°，∴△CDM∽△BDF，∴，∴，∴BE•CM＝AB•CF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．3．（嘉定区）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．（1）求证：△ABE∽△CKE；（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBG，可得∠BAE＝∠ECK，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△GFH，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．（宝山区）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF•DB；（2）如果AF＝2FC，S四边形ABCD＝18，求S△DCE的值．【分析】（1）证明△ABF≌△CAD（ASA），由全等三角形的性质可得出BF＝AD，证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出＝，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x＝18，求出x＝2，求出三角形ABC的面积，证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出＝，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，又∵∠ABD＝∠CAD，∴△ABF≌△CAD（ASA），∴BF＝AD，∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，∴△ADF∽△BDA，∴，∴AD2＝DF•BD，∴BF2＝DF•BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，∴△DCF∽△BAF，∴＝，∴，，，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，∵S四边形ABCD＝18，∴x+2x+2x+4x＝18，解得x＝2，∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴△ABC∽△DCE，∴＝，∴S△DCE＝＝×12＝3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．5．（杨浦区）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE ∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．6．（松江区）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．（1）如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【分析】（1）通过证明△DEC∽△CEB，可得，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明△ADE∽△ACD，可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB，∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC，∴△DEC∽△CEB，∴，∴CE2＝DE•BE＝DE•CB；（2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴，∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC，∴，CD＝CE，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴，∴AD＝BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键．7．（浦东新区）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC 与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若＝，求的值．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得到，求得∠BAD＝∠CAE，根据相似三角形的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，∴，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴＝，∴＝•＝＝3，∵△ADF∽△ECF，∴＝＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．8．（徐汇区）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：AE2＝AF•AB；（2）求证：＝．【分析】（1）利用两个角相等证明△BAE∽△EAF，得，即可证明结论；（2）首先证明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再证明△DAF∽△CAE，得，等量代换即可．【解答】证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，∴△BAE∽△EAF，∴，∴AE2＝AF•AB，（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠CAF，∵∠FEA＝∠B，∴△DAE∽△CAB，∴，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△DAF∽△CAE，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（金山区）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，E是对角线BD上一点，DE＝4，∠BCE＝∠ABD．（1）求证：△ABD∽△ECB；（2）如果AD：BC＝3：5，求AD的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到∠ADB＝∠EBC，然后由∠ABD＝∠ECB得证△ABD∽△ECB；（2）先由AB＝DC得到∠ABC＝∠BCD，再由∠∠ABD＝∠BCE得到∠DBC＝∠DCE，从而得到△DBC∽△DCE，然后利用相似三角形的性质求得BD的长，进而得到BE的长，再由△ABD∽△ECB得到AD的长．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，又∵∠BCE＝∠ABD，∴△ABD∽△ECB．（2）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，∴∠ABC＝∠BCD，又∵∠BCE＝∠ABD，∴∠DBC＝∠DCE∵∠BDC＝∠CDE，∴△BDC∽△CDE，∴，∵DC＝6，DE＝4，∴BD＝9，∴BE＝5，∵△ABD∽△ECB，∴，由AD：BC＝3：5，设AD＝3x，BC＝5x，∴，解得：x＝或x＝﹣（舍），∴AD＝．【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证∠DBC＝∠DCE．10．（静安区）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．（1）求证：△APQ∽△DBR；（2）当∠QED等于60°时，求的值．【分析】（1）利用正方形的性质可得∠QAP＝∠BDR＝45°，AC⊥BD，根据已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ＝∠DBR，即可解答；（2）由（1）可得△APQ∽△DBR，从而可得＝，根据已知可得∠BEP＝60°，设OE 为a，然后在Rt△OEP中，表示出OP＝a，EP＝2a，从而在Rt△BEP中求出BE＝4a，进而求出OB，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠QAP＝∠BDR＝45°，∴∠BOC＝∠DOC＝90°，OA＝OB，∴∠OBP+∠OPB＝90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB＝90°，∴∠OPB+∠QPA＝90°，∴∠APQ＝∠DBR，∴△APQ∽△DBR；（2）解：由（1）可得△APQ∽△DBR，∴＝，∵∠QED＝60°，∴∠BEP＝∠QED＝60°，∴∠OPE＝90°﹣∠BEP＝30°，∴PE＝2OE，OP＝OE，设OE为a，则EP＝2a，OP＝a，在Rt△BEP中，BE＝＝＝4a，∴OB＝BE﹣OE＝4a﹣a＝3a，∴BD＝2OB＝6a，∵OA＝3a，OP＝a，∴AP＝OA+OP＝3a+a，∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．11．（虹口区）如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF＝∠BAC．（1）求证：EB2＝EF•EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，从而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得证△EAB∽△EDF，进而得到，最后得到结果；（2）先利用条件得到AC、AB的长，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的长，再结合相似三角形的性质得到EB、EC的长，进而得到EF的长和FC的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF•EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF•EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．12．（奉贤区）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形相似；真命题．（2）已知：如图1，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，以BC为直角边作等腰直角三角形BCD，再以BD为直角边作等腰直角三角形BDE求证：四边形ABDC与四边形CBED相似．（3）已知：如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，联结BG、CG．如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．求证：AF•BF＝AG•EF．【分析】（1）根据相似多边形的定义，分别从对应边和对应角两个方面判断即可；（2）由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；（3）根据相似四边形对应角相等得，∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，则CD∥BG，BE∥CG，从而证明四边形BGCF是平行四边形，有BF＝CG，再证明△EAF∽△CAG，则，等量代换即可证明结论．【解答】（1）解：①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形满足四个角对应线段，但边不是对应成比例，所以原命题是假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形满足四个角线段，对应边成比例，所以是真命题，故答案为：假，真；（2）证明：由题意知，∠A＝∠CBE＝90°，∠ACD＝∠CDE＝135°，∠ABD＝∠BCD＝90°．∠CDB＝∠E＝45°，∴四边形ABDC与四边形CBED的四个角对应相等，设AB＝AC＝x，则CD＝x，BD＝DE＝2x，BE＝2x，∴，∴四边形ABDC与四边形CBED的四边对应成比例，∴四边形ABDC与四边形CBED相似；（3）证明：∵四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．∴∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，∴CD∥BG，BE∥CG，∴四边形BGCF是平行四边形，∴BF＝CG，∵∠AEF＝∠ACG，∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴，∴，∴AF•BF＝AG•EF．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似四边形的定义，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，读懂定义，紧扣定义中从边和角两个方面进行考虑是解题的关键．13．（青浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE•DB．（1）求证：△AEB∽△DEC；（2）求证：BC•AD＝CE•BD．【分析】（1）根据已知条件先证明△DCE∽△DBC，可得∠DCE＝∠DBC，进而可以证明结论；（2）结合（1）的结论证明△AED∽△BEC，可得∠ADE＝∠BCE，再证明△BDA∽△BCE，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵DC2＝DE⋅DB，∴，∵∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ABD，∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC；（2）∵△AEB∽△DEC，∴，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠ADE＝∠BCE，∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDA∽△BCE，∴，∴BC•AD＝CE•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDA∽△BCE．14．（徐汇区）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．（1）求证：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．【分析】（1）根据已知条件先证明△ADE∽△CDB，可得，因为∠ADC＝∠EDB，即可得证；（2）结合（1）证明△EAB是等腰直角三角形，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB，∴，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD；（2）∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB，∵△ACD∽△EBD，∴∠ACD＝∠EBD，∵∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EBD＝∠EAB＝45°，∴EA＝EB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，∵△AED∽△CEA，∴＝，∴AE2＝ED•EC，∵AE2+EB2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴AE2＝AB2，∴AB2＝ED•EC，∴AB2＝2ED•EC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△EAB是等腰直角三角形．15．（黄浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作DF∥CB，分别交AC、AB点E、F，且满足AB•AF＝DF•BC．（1）求证：∠AEF＝∠DAF；（2）求证：＝．【分析】（1）根据DF∥CB，可得∠B＝∠AFD，根据AB•AF＝DF•BC．证明△ABC∽△DAF，进而可以解决问题；（2）由△DCE∽△FAE，可得＝，所以＝，再由△AFE∽△DFA，可得AF2＝EF•DF，由△AEF∽△ACB，得＝，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，DF∥CB，∴四边形FBCD是平行四边形，∴DC＝FB，DF＝CB，∵AB•AF＝DF•BC．∴＝，∵DF∥CB，∴∠B＝∠AFD，∴△ABC∽△DAF，∴∠ACB＝∠DAF，∵DF∥CB，∴∠AEF＝∠ACB，∴∠AEF＝∠DAF；（2）证明：∵AB∥CD，∴△DCE∽△FAE，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠AEF＝∠DAF，∠AFE＝∠DFA，∴△AFE∽△DFA，∴＝，∴AF2＝EF•DF，∴＝＝＝＝，∵DF∥CB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，得到△AEF∽△ACB．。

专题16 图形的变化之填空题（3）参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝16.8米．【答案】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．2．（2019•奉贤区一模）如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【答案】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．3．（2019•宝山区一模）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【答案】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．4．（2019•嘉定区一模）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．【答案】解：由题意可得，∠BAO＝42°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2019•崇明区一模）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．【答案】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα＝cos∠A，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．6．（2019•闵行区一模）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【答案】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．7．（2019•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．【答案】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD，BD＝2a，BC a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（2019•闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A，那么BC＝2．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．9．（2019•金山区一模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，那么GE＝．【答案】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG，∴，得BE，∴GE＝BE﹣BG，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2019•金山区一模）已知α是锐角，sinα ，那么cosα＝．【答案】解：∵α是锐角，sinα ，∴α＝30°，∴cosα ．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．11．（2019•黄浦区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cos C，那么tan A＝．【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，∵cos C，∴，，设CD＝x，BC＝4x，由于AB＝AC，∴CE＝2x，∴AC＝8x，∴AD＝AC﹣CD＝7x，∴由勾股定理可知：BD x，∴AB＝AC＝8x，∴tan∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理以及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．12．（2019•青浦区一模）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【答案】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点睛】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．13．（2019•浦东新区一模）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于30度．【答案】解：设该斜面坡角为α，∵某斜面的坡度为1：，∴tanα ，∴α＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．14．（2019•青浦区一模）如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为39米．【答案】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE＝15m，则，故EC＝2.4×15＝36（m），则在Rt△DEC中，DC39（m）．故答案为：39．【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．15．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A 的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝20米．【答案】解：由题意可得：tan30°，解得：AB＝20，答：铁塔的高度AB为20m．故答案为：20．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．16．（2019•辽阳模拟）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于（22）千米．（结果保留根号）【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝42（km），AD＝AC•cos30°＝42（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（22）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．17．（2019•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．18．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【答案】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2019•黄浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B，则BC的长为4．【答案】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cos B，∴cos B，解得：BC＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．20．（2019•虹口区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A，BC＝4，那么AB＝6．【答案】解：∵在Rt△ABC中，sin A，且BC＝4，∴AB6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．21．（2019•奉贤区一模）计算：sin30°tan60°＝．【答案】解：sin30°tan60°．故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2019•邹平县模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sin A，BC＝4，则AB值是10．【答案】解：∵sin A，即，∴AB＝10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．23．（2019•嘉定区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．【答案】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BD BC＝3，在Rt△ABD中，cos B．故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质.。

上海中考数学题目2023
上海中考数学题目2023指的是在2023年上海市中考中，数学科目的考试题目。

这些题目通常由上海市教育考试院组织专家进行编制，旨在测试学生在初中阶段数学学科的知识和技能掌握情况。

具体的题目示例如下：
1.题目：若 x1，x2 是方程 x^2 - 6x + 5 = 0 的两个根，则 x1^2 + x2^2 =
( )
A. 34
B. 26
C. 10
D. 5
2.题目：若关于 x 的一元二次方程 x^2 - 4x + m - 1 = 0 有两个不相等的实
数根，则 m 的取值范围为 ___．
3.题目：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 1，BC = √3，则 sinA + cosA =
___．
A. √3
B. 1/2
C. 2
D. √3/2
总结：上海中考数学题目2023指的是在2023年上海市中考中，数学科目的考试题目。

这些题目旨在测试学生在初中阶段数学学科的知识和技能掌握情况。

通过做题、理解和掌握数学概念和方法，学生可以提高自己的数学水平，并为未来的学习和职业生涯打下坚实的基础。

第4题图上海市2023年中考数学试卷答案详解（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列运算正确的是（）.A 523a a a ；.B 336a a a ；.C 235a a ；.D a ．【参考答案】A ．【解析过程】52523a a aa ，A 选项正确；3332a a a ，B 选项错误； 23326a a a ，C 选a ，D 选项错误；故选A ．2.在分式方程2221521x x x x）.A 2550y y ；.B 25y y .2510y y ．【参考答案】D ．【解析过程】221x y x ，2221510x y y x ；故选D ．3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）.A 6y x ；.B 6y x ；.C 6y x；.D 6y x．【参考答案】B ．【解析过程】对于正比例函数6y x ，60k ， 函数值y 随x 的增大而增大，A 选项错误；对于正比例函数6y x ，60k ， 函数值y 随x 的增大而减小，B 选项正确；对于反比例函数6y x，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小，C 选项错误；对于反比例函数6y x ，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而增大，D 选项错误；故选B ．4.某学校的数学兴趣小组统计了不同时间段的车流量如图所示，则下列说法正确的是（）.A 小车的车流量与公车的车流量稳定；.B 小车的车流量的平均数较大；.C 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；.D 小车与公车车流量的变化趋势相同．【参考答案】B ．【解析过程】观察图像可知：小车的车流量起伏较大不稳定，A 选项错误；小车的车流量每个时间段都比公车大，因此平均数较大，B 选项正确；小车与公车车流量在不同时间段达到最小值，C 选项错误；小车车流量先增大再减小再增大，公车车流量先增大再减小，因此变化趋势不同，D 选项错误；故选B ．5.在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）.A //AB CD ；.B AD BC ；.C A B ；.D A D ．【参考答案】C ．【解析过程】//AD BC ，AB CD ， 四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形．若//AB CD ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，A 选项错误；若AD BC ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，B 选项错误；若A B ，//AD BC ，90A B ，又AB CD ，由平行线间的距离处处相等，可知CD AD ，因此6.//DC ，AD ．同学们得出以下两个结论，其中判断正确的是（）①AC .A .C DO ，AD C 7.分解因式：29n．【参考答案】 33n n ．【解析过程】 2229333n n n n ．8.化简：2211xx x的结果为．【参考答案】2．【解析过程】 21222221111x x x x x x x．9.已知关于x 2 ，则x．【参考答案】18．214418x x （经检验，18x 是原方程的解）．10.函数 123f x x的定义域为．【参考答案】23x ．【解析过程】由分式的分母不为零，可得23023x x ．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x 没有实数根，那么a 的取值范围是．【参考答案】9a ．【解析过程】由题意，可得093640a a a．12.在不透明的盒子中装有1个黑球、2个白球、3个红球、4个绿球，这10个球除颜色外完全相同，那么从中随机摸出一个球是绿球的概率是．13.，那么这个正多边形的边数为．3601820．14.满足0a ，0b ，0c 即可）0，0c ，又其对称轴左侧的部分是上升21y x ．15.如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，2BD AD ，且//DE BC ．设AB a ，AC b，那么DE．（用a 、b表示）【参考答案】1133a b．【解析过程】由题意，可知13DE AD BC AB ，故13DE BC1111133333BA AC AB AC a b a b ．第15题图第16题图16.“垃圾分类”是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为吨．【参考答案】1500．【解析过程】由扇形统计图，可得可回收垃圾占比为150%29%1%20% ，故全市可收集的干垃圾总量为6050%10150020%吨．17.如图，在ABC 中，35C ，将ABC 绕点A 旋转 （0180 ）度角，使点B 落在边BC 上的点D 处，若AD 平分BAC ，则 度．【参考答案】110．，，由三角形内角和得 ，18.在，⊙．又三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）2133．【参考答案】6．【解析过程】原式22936．20.（本题满分10分）解关于x的不等式组：36152x xxx．【参考答案】34x．【解析过程】3626333422103124152x xx x xxxx x x xx．即原不等式组的解为34x．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且4cos5ABC，2OB OC．（1）求⊙O的半径；（2）求BAC的正切值．【参考答案】（1）5；（2）94．【解析过程】（1）如图所示，作OD AB于点D，由垂径定理可得142AD DB AB．在Rt ODB中，44cos cos5DBABC OBDOB OB，解得5OB ，即⊙O的半径为5．（2）如图所示，作CE AB于点E，可得//OD CE，因此OD DB OBCE BE CB．又3OD ，2OB OC，故342233OCCE BE OC，解得92CE ，6BE ．在Rt ACE中，992tan864CECAEAE，即BAC的正切值为94．第21题图第23题图某加油站现有面值为1000元的会员卡，购买该卡可以打九折．若用此卡内的金额来加油，则每升油在原价的基础上还可以减价0.3元．某人购买了此会员卡，并将卡内金额一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）假设优惠后该人加油的实际单价为y 元/升，每升油的原价为x 元/升，请写出y 关于x 的函数关系式（不必写出定义域）；（3）若每升油原价为7.3元/升，那么优惠后的实际单价与原价的差值为多少？【参考答案】（1）900（元）；（2）0.90.27y x ；（3）1（元）．【解析过程】（1）由题意，可得100090%900 （元），即他实际花了900（元）购买会员卡．（2）该人实际花费900（元），实际单价为y 元/升，购买油量为900y升；会员卡面值为1000（元），会员卡加油每升为 0.3x 元/升，购买油量为10000.3x 升；由油量相等可列方程90010000.3y x ，化简得0.90.27y x ，即y 关于x 的函数关系式为0.90.27y x ．（3）当7.3x 时，可得0.97.30.27 6.3y ，7.3 6.31x y ，即优惠后的实际单价与原价的差值为1（元）．23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点F 、E 分别在线段BC 、AC 上，且FAC ADE ，AC AD ．（1）求证：FC AE ；（2）若ABC CDE ，求证：2AF BF CE ．【参考答案】（1）证明如下；（2）证明如下．【解析过程】（1）如图所示，//AD BC ，ACF DAE ，又AC AD ，FAC ADE ，ACF DAE ≌（..A S A ），FC AE ．（2）如图所示，由外角可得AFB ACF FAC ，CED DAE ADE ，又ACF DAE ，FAC ADE ，AFB CED ．又ABC CDE ，AFB CED ∽，AF BFCE DE．又ACF DAE ≌，AF DE ．可得AF BF CE AF，即2AF BF CE ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上（不与点B 重合），以C 为顶点的抛物线2:M y ax bx c （0a ）经过点B ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求b 、c 的值；（3）平移抛物线M ，使得点C 平移至点P ，点B 平移至点D ，联结CD ，且//CD x 轴，如果点P 在x轴上，且新抛物线经过点B ，求新抛物线N 的表达式．【参考答案】（1） 8,0A ， 0,6B ；（2）32b ，6c ；（3） 2316y x ．时，解得8x ；当x （2）6 ．在线段将a 242432．（3因为点 ,0P p 是由点3,64C t t平移得到的，因此抛物线M 向左或向右平移后再向下平移364t 个单位得到新抛物线N ．又点D 是由点 0,6B 平移得到的，所以点D 的纵坐标为34t．又//CD x 轴，所以C D y y ，即364t 34t 4t ．又3342416C b x t a a a，所以抛物线233:6162M y x x ．设抛物线N 的顶点式为 2316y x p ，因为新抛物线经过点B ，将 0,6B 带入 2316y x p ，第25题图1第25题图2可得 236016p p ，故抛物线N 的表达式为 2316y x ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）②小题5分，第（3）小题5分）已知在ABC 中，AB AC ，点O 在边AB 上，点F 为边OB 中点，以O 为圆心、OB 为半径的圆分别交BC 、AC 于点D 、E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如图1，如果OG GD ，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图2，联结OE ，如果90BAC 时，OFE DOE ，4AO ，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果BGO 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF ，求OGOD的值．【参考答案】（1）证明如下；（2）133【解析过程】（1）AB AC ，ABCOB OD ，OBD ODB ．//ODB AC OD ．又OG //BD ．（2又 又90EAF OAE ，AFE AEO ∽，2AF AE AE AO AF AE AO．设OE OB x ，则1122OF OB x，1442AO AF x．又222216AE OE AO x ，因此221164423202x x x x．解得1x ，负舍，故1x ．即边OB 的长为1（3）首先排除OB OG ，因为假如OB OG ，由OB OD ，可推得点G 、D 重合，从而推得G 、D 、C 、E 重合，此时点A 和点O 必重合，又点F 为边OB 中点，这与AO OF 矛盾，故舍．因此只能OB BG ，如图所示，倍长GF 至点'G ，由'GF FG ，'GFB G FO ，FB FO ，可得''GFB G FO GF G F ≌，'OG BG OB OE ，'OEG OG F ．又//AC OD ，AO OF ，1'EG AOEG GF G F GF OF．由以上可得'OEG OG F OG OF ≌．又OF FB ，OD OB ，所以OG GD ，故12OG OD ．。

（1）如果BF •AB ＝BD •BC ．求证：EF •CE ＝DE •AE ；（2）如果AE •BF ＝2AF •DE ，求证：AD 是△ABC的中线．2．（2022秋•杨浦区校级期末）已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 是边BC 、AC 上的点，且CD ＝3BD ，联结AD 、BE ，交点为F ．（1）若AF ＝4DF，求的值．（2）若BD 2＝DF •AD ，求证：BC 2＝4CE •AC．3．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ，AF 2＝FG •FE ．（1）求证：△CAD ∽△CBG ；（2）联结DG ，求证：DG •AE ＝AB •AG ．一．解答题（共14小题）1．（2022秋•浦东新区期末）如图，在△ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E ．上海市中考数学23题各区期末汇编—证明题4．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在Rt△CAB与Rt△CEF中，∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE，AC与EF相交于点G，BC＝15，AC＝20．（1）求证：∠CEF＝∠CAF；（2）若AE＝7，求AF的长．5．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED．（1）求证：AB•AD＝BC•AE；（2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D．6．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E 是边AC上的一点，∠EDF＝45°，DF交射线BC于点F．（1）求证：∠ADE＝∠F；（2）求证：BC2＝2AE•BF．7．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．8．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点D、F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足BD•CF＝BC2．求证：（1）△ADB∽△FAC；（2）AF•AD＝BC•DF．9．（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF ⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：∠ABD＝∠ACE；（2）求证：CD2＝DG•BD．10．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．11．（2022秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC •BE（1）求证：DE•AB＝AC•BE；（2）如果AC2＝AD•AB，求证：AE＝AC．13．（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且AC 2＝CE •CB ．（1）求证：AE ⊥CD ；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：∠EBF ＝∠EAB．12．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG •DF ＝DB •EF．14．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED ＝∠B ，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC ＝DF ：CG ．求证：（1）AG 平分∠BAC ；（2）EF •CG ＝DF •BG．一．解答题（共14小题）1．（2022秋•浦东新区期末）如图，在△ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E 上海市中考数学23题各区期末汇编—证明题．（1）如果BF •AB ＝BD •BC ．求证：EF •CE ＝DE •AE ；（2）如果AE •BF ＝2AF •DE ，求证：AD 是△ABC的中线．【分析】（1）根据BF •AB ＝BD •BC ，得到比例式＝，又因为成比例的边的夹角相等，证明△ABD ∽△CBF ，所以对应角∠BAD ＝∠BCF ，再因为对顶角相等得到△AEF ∽△CED ，最后根据相似三角形的性质即可证明；（2）过D 作DG ∥AB 交CF ，根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明．【解答】证明（1）∵BF •AB ＝BD •BC ，∴＝，∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF ，∴∠BAD ＝∠BCF ，又∵∠AEF ＝∠CED ，∴△AEF ∽△CED ，∴＝，∴EF •CE ＝DE •AE ；（2）过D 作DG ∥AB 交CF 于G ，∴＝，∵AE•BF＝2AF•DE，∴＝，∴＝，即＝＝，∵＝，∴＝，∴D为BC的中点，AD是△ABC的中线．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．2．（2022秋•杨浦区校级期末）已知等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E是边BC、AC上的点，且CD＝3BD，联结AD、BE，交点为F．（1）若AF＝4DF，求的值．（2）若BD2＝DF•AD，求证：BC2＝4CE•AC．【分析】（1）作AG∥BC，交BE延长线于G，证明△AGF∽△DBF，根据相似三角形的性质得出，则AC＝BC，进而得出；（2）根据已知条件证明△BDF∽△ADB，得出∠BAD＝∠FBD，进而证明△ABO∽△BCE，根据相似三角形的性质以及AB＝ACBC＝BD+CD＝4BD，即可得证．【解答】（1）解：作AG∥BC，交BE延长线于G，∵AG∥BC，∴△AGF∽△DBF，∵AF＝4DF，∴AG＝4BD，∵CD＝3BD，∴，∴AC＝BC，又AG∥BC，∴△AGE∽△CBE，∴；（2）证明：∵BD2＝DF⋅AD，∴，∵∠BDF＝∠ADB，∴△BDF∽△ADB，∴∠BAD＝∠FBD，又∵∠ABD＝∠ACB，∴△ABO∽△BCE，∴，∴CE•AB＝BD•BC，又∵AB＝ACBC＝BD+CD＝4BD，∴，∴BC2＝4CE⋅AC．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得＝，由平行线分线段成比例可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG•AE＝AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．4．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在Rt△CAB与Rt△CEF中，∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE，AC与EF相交于点G，BC＝15，AC＝20．（1）求证：∠CEF＝∠CAF；（2）若AE＝7，求AF的长．【分析】（1）由∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE可以得出△CAB∽△CFE，可以得出，∠B＝∠CEF，由等式的性质就可以得出∠BCE＝GCF，就可以得出△BCE∽△ACF就可以得出结论；（2）由勾股定理可以得出AB，可以得出BE的值由△BCE∽△ACF就可以得出，进而求出结论．【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE，∴△CAB∽△CFE，∴，∠B＝∠CEF．∵∠ACB＝∠FCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCE﹣∠ACE，∴△BCE∽△ACF，∴∠B＝∠CAF，∴∠CEF＝∠CAF；（2）∵∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴由勾股定理，得AB＝25．∵AE＝7，∴BE＝18．∵△BCE∽△ACF，∴，∴，∴AF＝24．答：AF＝24．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键．5．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED．（1）求证：AB•AD＝BC•AE；（2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D．【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中的结论和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到∠AFE＝∠C，再利用（1）中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B．∴△ADE∽△BCA，∴，∴AB•AD＝BC•AE；（2）∵，，∴，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴∠AFE＝∠C．由（1）知：△ADE∽△BCA，∴∠ADE＝∠C，∴∠AFE＝∠D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E 是边AC上的一点，∠EDF＝45°，DF交射线BC于点F．（1）求证：∠ADE＝∠F；（2）求证：BC2＝2AE•BF．【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC，得∠A＝∠B＝45°，则∠F＝135°﹣∠BDF，因为∠EDF＝45°，所以∠ADE＝135°﹣∠BDF，则∠ADE＝∠F；（2）由AC2+BC2＝AB2，且AD＝BD，AB＝2AD，推导出BC2＝2AD2，由∠A＝∠B，∠ADE＝∠F，证明△ADE∽△BFD，得＝，则AD•BD＝AE•BF，即可证明BC2＝2AD2＝2AE•BF．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠F＝180°﹣∠B﹣∠BDF＝135°﹣∠BDF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠EDF﹣∠BDF＝135°﹣∠BDF，∴∠ADE＝∠F．（2）∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，AB＝2AD，∵AC2+BC2＝AB2，∴2BC2＝（2AD）2＝4AD2，∴BC2＝2AD2，由（1）得∠A＝∠B，∠ADE＝∠F，∴△ADE∽△BFD，∴＝，∴AD•BD＝AE•BF，∴2AD2＝2AE•BF，∴BC2＝2AE•BF．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△7．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵CB∥DG，∴△AEG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点D、F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足BD•CF＝BC2．求证：（1）△ADB∽△FAC；（2）AF•AD＝BC•DF．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABC＝∠ACB ＝120°，由BD•CF＝BC2，可得BD•CF＝AB•AC，即BD：AC＝AB：CF，进而可得结论；（2）由（1）知，△ADB∽△FAC，所以∠DAB＝∠F，易证△ADB∽△FDA，所以AD：DF＝AB：AF，即AD•AF＝AB•DF，再由AB＝BC可得结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝120°，∵BD•CF＝BC2，∴BD•CF＝AB•AC，即BD：AC＝AB：CF，∴△ADB∽△FAC；（2）由（1）知，△ADB∽△FAC，∴∠DAB＝∠F，∵∠D＝∠D，∴△ADB∽△FDA，∴AD：DF＝AB：AF，即AD•AF＝AB•DF，∴AF•AD＝BC•DF．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键．9．（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF ⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：∠ABD＝∠ACE；（2）求证：CD2＝DG•BD．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴AE＝AB，AD＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE．在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE；（2）∵DF⊥AC，点D是边AC的中点，∴DF是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACE．由（1）知：∠ABD＝∠ACE，∴∠FAC＝∠ABD．∵∠ADG＝∠BDA，∴△ADG∽△BDA，∴，∴AD2＝DG•BD．∵点D是边的中点，∴AD＝AC＝CD，∴CD2＝DG•BD．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，∴AD：AE＝BC：AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴AB∥FD；（2）根据题意可得，＝＝，∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△AGC和△EFC面积相等，∴＝，解得CF＝．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．11．（2022秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC •BE（1）求证：DE•AB＝AC•BE；（2）如果AC2＝AD•AB，求证：AE＝AC．【分析】（1）由BA•BD＝BC•BE得，结合∠B＝∠B，证△ABC∽△EBD得，即可得证；（2）先根据AC2＝AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD＝∠B，再由证△BAE∽△BCD得∠BAE ＝∠BCD，根据∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD可得∠AEC＝∠ACE，即可得证．【解答】证明：（1）∵BA•BD BC•BE，∴，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，∴DE•AB＝AC•BE；（2）∵AC2＝AD•AB，∴，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠B，∵，∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．12．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF＝DB•EF．【分析】（1）由AB＝AC，根据等边对等角，即可证得：∠ABC＝∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°，则可证得：∠BDE＝∠CED，又由已知∠EDF＝∠ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE；（2）由（1）易证得DE2＝DB•EF，又由∠BED＝∠DFE与∠GDE＝∠EDF证得：△GDE∽△EDF，则可得：DE2＝DG•DF，则证得：DG•DF＝DB•EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED，（2）由△DEF ∽△BDE ，∵∠EDF ＝∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ；得．∴DE 2＝DB •EF ，由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE ．∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．∴，∴DE 2＝DG •DF ，∴DG •DF ＝DB •EF ．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用．13．（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且AC 2＝CE •CB ．（1）求证：AE ⊥CD ；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：∠EBF ＝∠EAB．【分析】（1）先根据题意得出△ACB ∽△ECA ，再由直角三角形的性质得出CD ＝AD ，由∠CAD +∠ABC ＝90°可得出∠ACD +∠EAC ＝90°，进而可得出∠AFC ＝90°；（2）根据AE ⊥CD 可得出∠EFC ＝90°，∠ACE ＝∠EFC ，故可得出△ECF ∽△EAC ，再由点E 是BC 的中点可知CE ＝BE，故，根据∠BEF ＝∠AEB 得出△BEF ∽△AEB ，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC 2＝CE •CB ，∴．又∵∠ACB＝∠ECA＝90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC＝∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD∵∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠ACD+∠EAC＝90°∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC＝90°，∴∠ACE＝∠EFC又∵∠AEC＝∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE＝BE，∴∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF＝∠EAB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．14．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED ＝∠B ，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC ＝DF ：CG ．求证：（1）AG 平分∠BAC ；（2）EF •CG ＝DF •BG ．【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE ＝∠C ，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF ∽△ACG ，其性质和角平分线的定义得AG 平分∠BAC ；（2）由两对应角相等证明△AEF ∽△ABG ，△ADF ∽△AGC ，其性质得，，再根据等式的性质求出EF •CG ＝DF •BG ．【解答】解：如图所示：（1）∵∠DAE +∠AED +∠ADE ＝180°，∠BAC +∠B +∠C ＝180°，∠AED ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，在△ADF 和△ACG 中，∴△ADF ∽△ACG ，∴∠DAF ＝∠CAG ，∴AG 平分∠BAC ；（2）在△AEF 和△ABG 中，，∴△AEF∽△ABG，∴，在△ADF和△AGC中，，∴△ADF∽△AGC，∴，∴，∴EF•CG＝DF•BG．【点评】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．。

上海中考数学第23题解题方法(一)上海中考数学第23题解题题目描述23.两个正整数的商是10，余数是2，被除数小于20，求这两个数。

方法一：列举法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外一个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = y * 10 +2；5.由于被除数小于20，所以可以假设y的范围在1至19之间；6.将y的取值从1至19代入第4步的方程式，计算出对应的x；7.通过列举法找到x和y满足条件的组合，即为题目所求的答案。

方法二：代数法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外两个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = 10y + 2；5.将方程式中的x代入第4步中的方程式，得到10y + 2 = y * 10+ 2；6.化简上述方程式，得到10y = y * 10；7.由于y不等于0，可以将上述方程式两边除以y，得到10 = 10；8.由于上述方程式恒成立，说明y可以取任意正整数；9.代入y的取值，计算出对应的x；10.通过代数法找到满足条件的x和y的组合，即为题目所求的答案。

方法三：数学推理法1.假设被除数为x，除数为y，商为z，余数为r；2.根据题目中的条件列出方程式：x = y * z + r；3.根据题目中的条件，列出另外两个方程式：z = 10 且 r = 2；4.将第3步中的z和r代入第2步中的方程式，得到x = 10y + 2；5.根据题目中的条件，可以推导出x的范围在12至192之间；6.从范围内依次取x的值，计算出对应的y，判断是否满足题目中的条件；7.找到满足条件的x和y的组合，即为题目所求的答案。

专题2021年分类汇编-23题专题一A字型X型【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：11nBC AH EF+=．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）专题二相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB ＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．专题三相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB．专题四相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC；（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF•DC＝EF•BC．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．专题2021年分类汇编-23题专题一A 字型X 型【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，△ABC 的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD •EH ＝DH •CE ；（2）设DE ＝n •EF （n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△BDG ∽△ABH ，△FEC ∽△ACH ，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明△AGF ∽△ABC ，对应边成比例即可证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴GD ⊥BC ，FE ⊥BC ，DG ＝EF ，∵AH ⊥BC ，∴GD ∥AH ∥FE ，∴BD BG =DH GA CE FC =HE FA∵GF ∥BC ∴BG FC =GA FA ∴BD CE =DH EH∴BD •EH ＝DH •CE ；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF AF =BC AC ，∵FC EF =AC AH ，∴GF EF 1BC AH AF FC AC AC+=+=，∵GF ＝DE ＝n •EF ，∴1n EF EF BC AH += ，∴11n BC AH EF+=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得AD DE BF AB=，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得BE BMDE AD=，进而证出BM DNBC DC=，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴AD DEBF AB=，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴BE BM DE AD=，∵BE DNDE DC=，∴BM DNAD DC=，∴BM DNBC DC=，∴MN∥BD，∴EF∥MN．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：③如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；④如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．（2）连接CA，DB，延长CA交DB延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF∥BC，求证：OE＝OF．证明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE AO=BC AC，OF DO=BC DB，∵AD∥BC，∴AO DO=AC DB，∴EO OF=BC BC，∴EO＝OF．（2）如图3中，点M，N即为所求作．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．专题二相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得AB BEBC BD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BCAD CD=，设AF BCAD CD=＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝AD，BD CD，∴DF AD BD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BC AD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴AB BE BC BD=，∴BC•12BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到AF EFAC AB=，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴AF EF BF DF=，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴AF EFAC AB，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，可得△ADE∽△BCE，得∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，根据AB＝AD，进而可以证明结论；（2）根据DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，可得△ADB∽△ADE，对应边成比例，结合（1）△ADE∽△CBE对应边成比例，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△EDA，∴AB AD AE DE=，∵△ABE∽△ACB，∴AD DE BC EC=，∴AD BCDE EC=，∴AB BCAE EC=，∴AB•EC＝BC•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CE CGBE AG=，进而可得CE CGBE BF=，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠DCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明△ABE∽△CBA，可得AB BEAC AB=，可得结论．【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴CE CG BE AG=，∵BF＝AG，∴CE CG BE BF=，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴AB BE AC AB=，∴AB 2＝AC •BE ＝AC •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABE ∽△CBA 是本题的关键．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE ＝∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE •CB ＝AB •CD ．（1）求证：AD ∥BC ；（2）当AD ＝DE 时，求证：AF 2＝CF •CA．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ABC ∽△ECD ，可得∠CDE ＝∠ACB ＝∠CAD ，可得结论；（2）由“ASA ”可证△ADF ≌△DEC ，可得AF ＝CD ，通过证明△ADC ∽△DFC ，可得CD CF AC CD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵CE •CB ＝AB •CD ，∴AB BC EC DC=，又∵∠B ＝∠DCB ，∴△ABC ∽△ECD ，∴∠CDE ＝∠ACB ，∵∠CDE ＝∠CAD ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，在△ADF 和△DEC 中，DAC=CDE AD=DE ADF=DEC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADF ≌△DEC （ASA ），∴AF ＝CD ，∵∠CDE ＝∠DAC ，∠DCA ＝∠DCF ，∴△ADC ∽△DFC ，∴CD CF AC CD=，∴CD 2＝CF •CA ，∴AF 2＝CF •CA ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF ＝CD 是本题的关键．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到AD DF=BC BD，再证明△ADE∽△CBE，则AD DE=BC BE，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到DF DE=BD BE，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴AD DF=BC BD，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴AD DE=BC BE，∴DF DE=BD BE；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴DC DE=BD DC，∴DC2＝DE•DB，∵DF DE=BD BE，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．专题三相似三角形之面积比【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得AE ABAD AC=，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得DF EF DEBD DE BE==，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DF EF DEBD DE BE==，2()DF EF DEBD DE BE= ，∴22DF EF BD BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD的面积的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH ＝∠CBH ，根据等腰三角形的性质得到∠CED ＝∠CDE ，进而得到∠AEC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，根据相似三角形的性质得到AD BD AE CD=，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC ⊥BC ，CH ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠AHC ＝90°，∴∠ACH ＝∠CBH ，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ABD ；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，∴∠CAD ＝∠G ，∵△ACE ∽△ABD ，∴AD BD AE CD =，∠CAD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠G ，∴AB ＝BG ，∵BG ∥AC ，∴△ADC ∽△GDB ，∴BG BD AC CD =，∴AD BD AE CD=，∴ACD ABD ACE ACDS S S S ∆∆∆∆=，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得CD DEBC CD=，可得22CD CD DE DEBC BC CD BC=⋅=，由平行线分线段成比例可得结论．【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，∴AD AC AE AD=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ACD，∴△BCD∽△CDE；（2）∵△BCD∽△CDE，∴CD DE BC CD=，∴22CD CD DE DE BC BC CD BC=⋅=，∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，∴22CD ADBC AB=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．专题四相似三角形综合题【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DC CEBC CD=，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DC CE BC CD=，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）联结EF ，如果∠ADB ＝∠BDF ，求证：DF •DC ＝EF •BC ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AB BD DC BC =，证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AE BD DF BC=，则可得出结论；（2）证明△ADB ∽△EDF ，由相似三角形的性质得出∠ABD ＝∠EFD ，证明△EDF ∽△DBC ，得出DF EF BC DC =，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∵∠ABD ＝∠C ，∴△ABE ∽△DCF ，∴AE AB DF DC=，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴AB BD DC BC =，∴AE BD DF BC =；（2）证明：∵∠ADB ＝∠DBF ，∠ADB ＝∠BDF ，∠BFD ＝90°，∴∠DBF ＝∠BDF ，∴∠DBF ＝ADE ＝45°，∴△AED 和△BFD 都是等腰直角三角形，∴AD BD DE DF==又∵∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△EDF ，∴∠ABD ＝∠EFD ，∵∠ABD ＝∠C ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠EDF ＝∠DBC ，∴△EDF ∽△DBC ，∴DF EF BC DC=，∴DF •DC ＝EF •BC ．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴DE CE=CE BC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BE EF=BF AE，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．。

上海中考数学25题2023题目：如图一在等腰△ABC中，AB=AC，O在边BC上，点F为边OB中点。

以O为圆心，OB为半径的圆分别交BC、AC于点D、E，联结EF交OD于点G。

（1）如果OG=GD，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）图二中，联结OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长。

（3）联结BG，如果△BGO是以OB为腰的等腰三角形，且AO=(1/2)OB,求(OG/OD)的值。

图一图二解析：(1)由AB=AC，OB=OD得∠B=∠C=∠ODB，于是OD∥AC，再加上OG=DG，即点G是OD中点，而点F是OB中点，所以FG是△OBD中位线，因此FG∥BD即EG∥CD，所以四边形CEGD是平行四边形；（2）由条件∠OFE=∠DOE易得相似三角形，如下图：由上题可知，我们得到的OD∥AC依然可用，因此∠FOG=∠A=90°，∠DOE=∠AEO，于是可证明∠OFG=∠AEO，则△AEF ∽△AOE，不妨设OB=x是，则OF=x/2，由相似三角形对应线段成比例得AE:AF=AO:AE，化成AE²=AO·AF，再由勾股定理得AE²=OE ²-AO²，于是可列方程x²-16=4(4+x/2)，解得x=1+√33；（3）如果OG=OB，则G与D重合。

则C、G、E、D全部重合，O、A重合，显然不能成立；如果GB=OB，则过点O、B分别作AC、OD的垂线OH、BM。

联结OE。

设AO=OF=FB=k，AH=t。

易证⊿AHO相似于⊿OMB，故OM=2k=MG。

由⊿FOG相似于⊿FAE，得AE=8t，故HE=7t。

在⊿AOE中，由双勾股得：（2k）²-（7t）²=OH²=k²-t²。

解得：K=4t。

故OD=2k=8t。

故OG/OD=1/2。

2024年上海市中考数学真题变式题1．如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC =⋅；(2)F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =．2．已知：如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的一点，BF AE ⊥于点F ，求证：AB AE AF DE=．3．如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点,E BF AC ⊥于点F ．求证：AE BF =．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF = ．5．如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE CF =．6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值．7．如图1，在正方形ABCD 中，12CE DE =，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，作MN CM ⊥交边AD 于点N ．(1)当F 为BE 中点时，求证：2AM CE =﹔(2)如图2，若23EF BF =，求AN ND 的值．8．如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AC 、BE 交于点M ，BE 、AD 的延长线交于点N(1)求证：CM BE AM BN=；(2)联接DM ，若E 为CD 中点，且DM AD =，求证：2DM DE DC=⋅9．如图，在矩形ABCD 中，延长BC 到E ，延长CB 到F ，使BF CE =，AE ，DF 交于点G ．(1)求证：GE GF =；(2)过点E 作EH EF ⊥，垂足为点E ，交FD 的延长线于点H ，若34AB HE =，4=AD ，求CE 的长．10．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 的延长线上，DE DC =，连接BE ，分别交边DC 、对角线AC 于点F 、G ，AD FD =．(1)求证：AC BE ⊥；(2)求证：CF AC DF BE=．11．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 在BC 边上，且EF EC =，垂足为点H ，连接FG ．(1)若20GCB ∠=︒，求BEC ∠的度数；(2)求证：BG =；(3)若F 为BC 的中点，求GH HF的值．12．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别为对边AD BC ，的中点，线段EF 交AC 于点O ，延长CD 于点G ，连接GE 并延长交AC 于点Q ，连结GF 交AC 于点P ，连结QF ．(1)求证：O 是EF 的中点；(2)求证：FE 平分QFP ∠；(3)若CD mDG =，求PF QF．（结果用含m 的代数式表示）13．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一动点（点F 与点B ，点C 不重合），线段DE 和:AF 相交于点P ，连接PC ．(1)若在线段DP 上取一点Q ，使得2DP EQ =，连接AQ ，猜想PC 与AQ 的关系并证明；(2)若AF D E ⊥时，8,10AB AD ==，求BF 的长；(3)当点F 为BC 的中点时，求AP PF的值．14．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标．15．如图，抛物线()2143y x h =-+与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点B ．(1)求h 的值及点B 的坐标；(2)将该抛物线向上平移()0m m >个单位长度后，与y 轴交于点C ，过点B 作x 轴的平行线交新抛物线于点D ，若2BC BD =，求m 的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求此抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2y x bx c =-+的对称轴是直线2x =，与y 轴交于点()0,5C -，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线2y x bx c =-+于另一点D ，连接OD ．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向上平移m 个单位长度，使平移后的抛物线的顶点落在OCD 的内部（不包括OCD 的边界），直接写出m 的取值范围．18．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于点()0,3C(1)求抛物线解析式及A 点坐标；(2)将抛物线2y x bx c =++向上平移3个单位长度，再向左平移()0m m >个单位长度，若新抛物线的顶点在ABC 内，求m 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一个动点，若ACB BAP ∠=∠，直接写出点P 的坐标．19．如图①，抛物线L ：2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A ，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线L 的表达式；(2)如图②，若D 为抛物线顶点，连接AC CD BD ，，及BC ，求证：CBD COA ∽；(3)如图③，在平面内放置一块玻璃片，并用记号笔画出遮盖部分的抛物线L '，再将玻璃片向上平移()0m m ≠个单位长度，使L '与OBC △的三边有两个交点，请求出m 的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c M =-++：与x 轴相交于()3,0A -，B 两点，与y 轴相交于点()0,3C ．(1)求抛物线M 的函数表达式；(2)如图2，抛物线M 的顶点为D ，连接DA ，DC ，AC ，BC ，求证：ACD COB △∽△；(3)记抛物线M 位于x 轴上方的部分为M '，将M '向下平移()0h h >个单位，使平移后的M '与OAC 的三条边有两个交点，请直接写出h 的取值范围．21．已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ，且2OC OA =，该抛物线的对称轴为直线52x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，E 为直线BC 下方抛物线上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线BC 于点F ，求EF +的最大值及此时点E 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CB个单位，得到新的抛物线y '，M 为y '与y 轴的交点，N 为新抛物线y '对称轴上一点，点C 平移后的对应点为Q ，平面内是否存在点P ，使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，若存在请写出所有点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，且24OA OC OB ==．(1)求抛物线解析式；(2)如图，当D 为抛物线上一点，横坐标为5-，请求出 CBD 的面积；(3)将抛物线沿射线AC F 为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M ，使以点B 、C 、F 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知直线BC 的解析式为334y x =-，抛物线2y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若()1,M m y ，()24,N m y -是第四象限内抛物线上的两个动点，且2m <，分别过点M ，N 作x 轴的垂线，交线段BC 于点D 、E ．通过计算证明四边形MDEN 是平行四边形，并求其周长的最大值．(3)抛物线2y x bx c =++向右水平移动118个单位，得到新抛物线1y ，点F 为1y 的对称轴上任意一点，若以点B ，C ，F 为顶点的三角形是以BC 为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F 的坐标．24．在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．25．如图，已知AC 与DF 交于点O ，B 、E 是AO 、DO 上一点，且AD BE CF ∥∥．(1)若7AO =，3OC =，4OF =，求DF 的长；(2)若25DE EF =，且O 为EF 中点，3AD =，则CF =______．26．如图，在锐角三角形ABC 中，AC BC >．以点C 为圆心BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，连接CD ．点E 是CB 延长线上的一点，连接AE ，若AB 平分CAE ∠．(1)求证：ACD AEB ∽．(2)当AD BD =时，求BC EB的值．27．如图，在ABC 和ADE V 中，BAC DAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，点D 在线段BC 上，DE ，AC 交于点O ，连结CE ．(1)求证：AC 平分BCE ∠．(2)若8AO AC ⋅=，求AD 的值．28．如图，D ，E 为GCF 中GF 边上两点，过D 作AB CF 交CE 的延长线于点A ，AE CE =．(1)求证：ADE CFE ≌；(2)若3BG =，5BC =，2BD =，求CF 的长．29．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE ∽；（2）若AC =AB 的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？30．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E ，F 分别为AD ，BC 边上的点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的点G 处，点B 落在点H 处，AG 与EF 交于点O ．（1）如图①，求证：以A ，F ，G ，E 为顶点的四边形是菱形；（2）如图②，当△ABG 的外接圆与CD 相切于点P 时，求证：点P 是CD 的中点；（3）如图②，在（2）的条件下，求AG EF 的值．31．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 点为AB 边上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥，交CD 于点E ．(1)用等式表示ACE ∠与ABE ∠的数量关系，并说明原因；(2)如图2，若F 为AC 中点，且:1:2AD DB =，求证：B ，E ，F 三点共线．(3)如图3，若在线段EB 上截取EH EC =，连接AH ，交CD 于点G ，求证：2=BH EG ．32．如图①，在锐角ABC 中，45,ACB AD BC ∠=︒⊥于点,D E 为AD 上一点，,DE DB F =为AB 边的中点，连接FE 并延长交边AC 于点,G M 为BC 边的中点，连接ME ．(1)若1DM =，求AE 的长；(2)如图②，若ME FG ^，（ⅰ）求证：2EM FE =；（ⅱ）求证：E 为FG 的中点．33．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，45B C ∠==︒∠，3AB CD ==，AD45°角的顶点E 在BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．(1)如图1，当3EC =时，求证：ABE ECF ≌△△；(2)如图2，在CD 上有一点P ，2CP =．若点E 从点B 到点C 个单位长，求点P 在直角三角板内部（包括边界）的时长；(3)连接AF ，当AEF △的外心落在AEF △的边上时，求BE 的值；(4)直接．．写出点E 移动过程中ADF △的外接圆半径的最小值．34．如图①，点D 为ABC 上方一动点，且60BDC ∠︒＝．(1)在BD 左侧构造BDE BCA ∽ ，连接AE ，请证明BAE BCD ∽V V ；(2)如图②，在BD 左侧构造BDE BCA ∽ ，在CD 右侧构造CDF CBA △△∽，连接AF AE ，，求证：四边形AFDE 是平行四边形；(3)如图③，当ABC 满足150A ∠︒＝，AB =2AC ＝．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形AFDE ；（Ⅰ）求证：四边形AFDE 是矩形；（Ⅱ）直接写出在点D 运动过程中线段EF 的最大值．35．如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠= ，4AB =，3BC =，D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，连接DE ，将CDE 绕点C 顺时针旋转．(1)如图2，当旋转角为2A ∠时，设点D 的初始位置为点F ，连接BF ，FD ，试判断四边形BCDF 的形状，并说明理由；(2)将CDE 绕点C 顺时针旋转一周的过程中．①当点E 落在边AC 上时，连接AD ，求AD CD的值；②当CE BC ⊥时，连接BD ，求线段BD 的长；(3)如图3，连接BE ，AD 交于点M ，当线段BE 经过线段CD 的中点时，请直接写出线段MD 的长．参考答案1．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由矩形性质得到90BAD ∠=︒，90ADE ∠=︒，AB DC =，由角的互余得到ABD DAE ∠=∠，从而确定ADE BAD ∽，利用相似三角形性质得到2AD DE DC =⋅；（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到OA OD EF CF ===，ODA OAD ∠=∠，FEC FCE ∠=∠，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90ADE ∠=︒，AB DC =，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，AE BD ⊥，90DAE ADB ∴∠+∠=︒，ABD DAE ∴∠=∠，90BAD ADE ∠=∠=︒，ADE BAD ∴ ∽，AD DE BA AD∴=，即2AD DE BA =⋅， AB DC =，∴2AD DE DC =⋅；（2）证明：连接AC 交BD 于点O ，如图所示：在矩形ABCD 中，90ADE ∠=︒，则90DAE AED ∠+∠=︒，AE BD ⊥，∴90DAE ADB ∠+∠=︒，ADB AED ∴∠=∠，FEC AED ∠=∠，ADO FEC ∴∠=∠，在矩形ABCD 中，12OA OD BD ==， 12EF CF BD ==，OA OD EF CF ∴===，ADO OAD ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，ADO FEC ∠=∠ ，FEC E AD F O OAD C ∴∠∠=∠∠==，在ODA 和FEC 中，ODA FEC OAD FCE OD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ODA FEC ∴ ≌，CE AD ∴=．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．2．见解析【分析】先利用等角的余角相等得到DAE ABF ∠=∠，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进而得出结论得到结论．【详解】证明： 四边形ABCD 为矩形，90BAD D ∴∠=∠=︒，90DAE BAE ∴∠+∠=︒，BF AE ⊥ 于点F ，90ABF BAE ∴∠+∠=︒，DAE ABF ∴∠=∠，90AFB D ∠=∠=︒Q ，ABF EAD ∴ ∽，AB AE AF DE∴=．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似，解题的关键是证明两个三角形相似．3．见解析【分析】根据矩形的性质以及已知条件，AAS 证明AOE BOF △≌△，根据全等三角形的性质，即可得证．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OB=,AE BD BF AC ⊥⊥ ，90AEO BFO ︒∴∠=∠=又∵AOE BOF∠=∠AOE BOF∴ ≌AE BF∴=【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4．见解析【分析】根据矩形的性质得到，90OCB OBC OCB OCE ∠=∠∠+∠=︒，，得到OCE F ∠=∠，证明出OCE OFC ，最终得出结论．【详解】证明： 四边形ABCD 是矩形，90AO BO CO BCD ∴==∠=︒，，90OCB OBC OCB OCE ∴∠=∠∠+∠=︒，，又OF BD ⊥，90OBC F ∴∠+∠=︒，OCE F ∴∠=∠．COE COF ∠=∠ ，∴OCE OFC ，OC OE OF OC∴=，22OE OF OC AO ∴⋅==．【点睛】题目主要考查相似三角形判定定理，矩形的性质，其中掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．5．见详解【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得DE BF =，然后根据AD BC =，即可得到AE CF =．根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得DE BF =，然后根据AD BC =，即可得到AE CF =．【详解】证明：四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥，AD BC =，EDO FBO ∴∠=∠，点O 为BD 的中点，OB OD ∴=，在EDO 和FBO △中，EDO FDO OD OB EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)EDO FBO ∴△≌△，DE BF ∴=，AD DE BC BF ∴-=-，AE CF ．6．(1)见解析(2)AN ND 的值为2737【分析】（1）先证明BMFECF V V ，可得BM ＝CE ，再由点E 为CD 的中点，可得BM ＝CE ＝DE ，即可求证；（2）先证明BMF ECF V :V ，可得12BF BM EF CE ==，从而得到BM ＝32，AM ＝92，再由ANM BMC V :V ，可得2716AN =，再求出DN ，即可求解．【详解】（1）证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，AB ＝CD ，∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴BMF ECF AAS V V ，∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ，∴BM ＝CE ＝DE ，∵AB ＝CD ，∴AM ＝CE ；（2）解：在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=4，∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴BMF ECFV:V，∴12 BF BMEF CE==，∵点E为CD的中点，∴CE＝3，∴BM＝3 2，∴AM＝9 2，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC=90°，∴ANM BMCV:V，∴AN AM BM BC=，∴92 34 2AN=，∴2716 AN=，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝3716，∴272716373716ANDN==．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．(1)见解析(2)1 3【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）先证明MBC ECB ≌得出BM EC =，根据12CE DE =，以及正方形的性质即可得证；（2）根据正方形的性质可得，AB CD ∥得出FBM FEC ∽，根据已知条件设3BM a =，则2EC a =，求得4DE a =，进而求得AM ，证明AMN BCM ∽，取得AN ，进而即可求解．【详解】（1）证明：F 为BE 的中点，BF EF ∴=，四边形ABCD 为正方形，90BCE ABC ∴∠=∠=︒，CF BF EF ∴==，FBC FCB ∴∠=∠，BC CB = ，MBC ECB ∴ ≌（AAS ），BM EC ∴=，AB CD = ，12CE DE =，12BM AM ∴=，2AM CE ∴=．（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥，∴FBM FEC ∽，∵23EF BF =，∴23EF EC BF BM ==设3BM a =，则2EC a =，∵12CE DE =，∴4DE a =，∴246CD DE EC a a a =+=+=，∴633AM AB MB CD MB a a a =-=-=-=，∵MN CM ⊥，∴90NMC ∠=︒，又∵90A MBC ∠=∠=︒，∴90AMN BMC MCB ∠=︒-∠=∠，∴AMN BCM ∽，∴AM AN BC BM =，即363a AN a a=，∴32AN a =，∴39622ND AD ND a a a =-=-=，∴AN ND 312932a a ==．8．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点N 作NP BC ⊥交BC 的延长线于点P ，先证明四边形DCPN 是矩形，再证BMC NMA V V ∽，得到CM BC BC AM AN BP ==，再证BCE BPN △∽△，得到BC BE BP BN=，即可得到结论；（2）先证明BCE NDE △≌△()AAS 得到BC DN AD ==，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到90AMN BMC ∠=∠=︒，由同角的余角相等得到CBM DCM ∠=∠，进一步得到DCM DNM DMN ∠=∠=∠，又MDE CDM ∠=∠，则MDE CDM △∽△，结论得证．【详解】（1）证明：过点N 作NP BC ⊥交BC 的延长线于点P ，则90P ∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC BCD ∠=∠=︒，AD BC =，AD BC ∥，∴90BCP CDN ∠=∠=︒，∴四边形DCPN 是矩形，∴DN PC =，∴AN AD DN BC PC BP =+=+=，∴BMC NMA V V ∽，∴CM BC BC AM AN BP==，∵CD PN ∥，∴BCE BPN △∽△，∴BC BE BP BN =，∴CM BE AM BN=；（2）∵E 为CD 中点，∴CE DE=∵AD BC ∥，∴DNE CBE ∠=∠，∵DEN CEB ∠=∠，∴BCE NDE △≌△()AAS ∴BC DN AD ==，∵DM AD =，∴DM DN AD ==，DAM DMA ∠=∠，∴DMN DNM ∠=∠，∴1180902AMD DMN DAM DNM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴90AMN BMC ∠=∠=︒，∴90CBM BCM BCM DCM ∠+∠=∠+∠=︒，∴CBM DCM ∠=∠，∴DCM DNM DMN ∠=∠=∠，∵MDE CDM ∠=∠，∴MDE CDM △∽△，∴DM DE DC DM=，∴2DM DE DC =⋅．【点睛】此题考查了矩形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．(1)见解析【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识；熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）由矩形的性质得出90ABE DCF ∠=∠=︒，AB DC =，证出BE CF =，证明()SAS ABE DCF ≌△△，即可得出结论；（2）证明CDF EHF ∽△△，根据相似三角形的性质即可求出CE ．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，90ABE DCF ∴∠=∠=︒，AB DC =，BF CE = ，BF BC CE BC ∴+=+，即BE CF =，在ABE 和DCF 中，AB DC ABE DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE DCF ∴ ≌，AEB DFC ∴∠=∠，GF GE ∴=；（2）解： 四边形ABCD 是矩形，90ABE DCF ∴∠=∠=︒，AB DC =，4BC AD ==，HE EF ^Q ，∴DC HE ∥，∴CDF EHF ∽△△，∴DC CF HE EF =，∴AB BC BF HE BC BF CE+=++，BF CE = ，34AB HE =，∴43424CE CE +=+，2CE =．10．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由矩形的性质可知90ADC FDE ∠=∠=︒，然后可证ADC FDE ≌，进而问题可求证；（2）由矩形的性质可知AD ∥BC ，AD =BC ，CD =AB ，90ADC DAB ∠=∠=︒，然后可得EDF BCF △∽△，则有CF BC AD DF DE DE==，进而可证EAB CDA ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC FDE ∠=∠=︒，∵DE DC =，AD FD =，∴ADC FDE ≌（SAS ），∴E ACD ∠=∠，∵EFD CFG ∠=∠，∴90ACD CFG E EFD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90CGF ∠=︒，∴AC BE ⊥；（2）证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，CD =AB ，90ADC DAB ∠=∠=︒，∴EDF BCF △∽△，∴CF BC AD DF DE DE==，由（1）可知E ACD ∠=∠，∴EAB CDA ∽，∴AC AD AD AD BE AB DC DE ===，∴CF AC DF BE=．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键．11．(1)65︒(2)见解析(3)2​【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等腰三角形两底角相等可得70ECF EFC ∠=∠=︒，再由角平分线的性质可得EBC ∠的度数，最后在三角形中利用三角形内角和可得出结论；（2）首先证明CG CE =，再证明()AAS CRG ETC ≌ ，推出GR CT DE ==，可得结论；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得2FC CT =，设CT m =，则ED GR m ==，2FC BF m ==，所以4BC AD m ==，3AE CD m ==，利用GRC 的面积的不同表示可得FH 的长，由（2）可得EDC FHC ∽ ，由比例可得CH 的长，由线段的加减可得GH 的长，进而可得结论．【详解】（1）解：CG EF ⊥ ，90CHF ∴∠=︒，20GCB ∠=︒ ，70EFC ∴∠=︒，EF EC = ，70ECF EFC ∴∠=∠=︒，在矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒，BE 平分ABC ∠，45EBC ∴∠=︒，在BEC 中，180180704565BEC BCE EBC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；（2）证明：过点E 作ET BC ⊥于T ，过点G 作GR BC ⊥于R ．90A ABT BTE ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABTE 是矩形，AB AE = ，∴四边形ABTE 是正方形，45EBT BET ∴∠=∠=︒，EF EC = ，ET CF ⊥，FT TC ∴=，FET CET ∠=∠，EFC ECF ∠=∠，CH EF ⊥ ，90CHF ETC ∴∠=∠=︒，90CFH FCH ∴∠+∠=︒，90CET ECT ∠+∠=︒，HCF CET ∴∠=∠，45CEG CET BET CET ∠=∠+∠=︒+∠ ，45CGE CBG GCB GCB ∠=∠+∠=︒+∠，CEG CGE ∴∠=∠，CE CG ∴=，GR BC ⊥ ，90CRG ETC ∴∠=∠=︒，()AAS CRG ETC ∴≌ ，GR CT ∴=，90D DCT ETC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形DETC 是矩形，DE CT GR ∴==，BRG 是等腰直角三角形，BG ∴==；（3）解：由（2）知2FC TC =，四边形EDCT 是矩形，ED TC =，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，设CT m =，则ED GR m ==，2FC BF m ==，4BC AD m ∴==，3AE m =，ABE 是等腰直角三角形，3AE BE m ∴==，3CD m ∴=，EC EF ==，1122GFC S GC FH GR FC =⋅=⋅ ，∴11222FH m m ⋅=⋅⋅，5FH m ∴=，5GC m ∴=，由（2）知GCR ECD ∠=∠，90FHC D ∠=∠=︒ ，EDC FHC ∴∽ ，::DC EC HC FC ∴=，即3:2m HC m =，解得CH =，FH GC CH ∴=-==，∴52m GH FH ==．【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定，三角形内角和，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等相关知识，设CT m =，用m 表达FH 和GH 的长是解题关键．12．(1)见解析(2)见解析(3)232m m ++【分析】（1）首先证明QEO QGC ∆∆∽，根据该相似三角形的对应边成比例得到：QO OE QC CG =，结合中点的性质推知1122OE EF CD ==，1322CG CD CD CD =+=，最后根据等量代换推知Q 为OA 的中点；（2）如图2，延长QF 与GC 的延长线交于点I ．构造相似三角形：QOF QCl ∽，QOE QCG ∽△△．根据该相似三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推知QFE EFG ∠=∠．（3）首先证得QOE QCG ∽△△，则22QO OE m QC CG m ==+，同理22OP OF m PC CG m ==+，故232OP m OQ m +=+．作QH BC ⊥于点H ，PJ BC ⊥于点J ，构造QFH PFJ ∽△△，再次由相似三角形的对应边成比例推知232PF F OP m QF FH OQ m +===+．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，,AD BC AD BC ∴= ，OAE OCF ∴∠=∠，点E ，F 分别为对边AD BC ，的中点，11,22AE AD CF BC ∴==，AE CF ，在AOE △和COF 中，OAE OCF AOE COF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AOE COF ∴ ≌，OE OF ∴=，∴O 是EF 的中点；（2）证明：如图2，延长QF 与GC 的延长线交于点I．点E ，F 分别为对边AD BC ，的中点，11,22DE AD CF BC ∴==，DE CF ∴=，AD BC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，EF CD ∴ ，所以QFE I ∠=∠，EFG FGl ∠=∠；且QOF QCl ∽，QOE QCG ∽△△．∴OF QO OE CI QC GC==，OE OF = ，Cl CG ∴=．又FC GI ⊥ ，FI FG ∴=，I FGI ∴∠=∠，则QFE EFG ∠=∠，FE ∴平分QFP ∠；（3）解：因为CD mDG =，由EF CD ，得QOE QCG ∽△△，∴22QO OE m QC CG m ==+，同理22OP OF m PC CG m ==+，∴232OP m OQ m +=+．作QH BC ⊥于点H ，PJ BC ⊥于点J ，90QHF PJF ∴∠=∠=︒又由（2），得QFH PFJ ∠=∠，QFH PFJ ∴ ∽，∴232PF FJ OP m QF FH OQ m +===+．即232PF m QF m +=+．【点睛】本题考查的是相似综合题，主要涉及到了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，解题的难点是作出辅助线，构造相似三角形．13．(1)2PC AQ=(2) 3.2BF =(3)23AP PF =【分析】（1）判断出AEQ CDP ∠=∠，进而得出AEQ CDP ∆∆ ，即可得出结论；（2）先判断AED AFB ∠=∠，再判断出DAE ABF ，即可得出结论；（3）延长DE 交CB 的延长线于点G ，先判断出(AAS)ADE BGE ∆≅∆，得出AD BG =，进而判断出2GC BG BC AD =+=，再判断出2,2AD BF BG BF ==，进而判断出2233AD BF GF BF ==，判断出~APD FPG ∆∆，即可得出结论．【详解】（1）解：2PC AQ =，理由，∵四边形ABCD 是矩形，∴,AB CD AB CD=∥∴AEQ CDP ∠=∠，∵E 是边AB 的中点，∴2AB CD AE ==，∵2DP EQ =，∴DP CD EQ AE=，∴~AEQ CDP ∆∆，∴2PC CD AQ AE⋅==，∴2PC AQ =；（2）解：∵E 是边AB 的中点，8AB =，∴4AE BE ==．∵AF D E ⊥，∴90BAF AED Ð+Ð=°．∵90BAF AFB ∠+∠=︒，∴AED AFB ∠=∠，∵90DAE ABF ∠=∠=︒，∴DAE ABF ，∴AD AE AB BF =，即1084BF=，∴ 3.2BF =；（3）解：如图，延长DE 交CB 的延长线于点G ，∵点E 是AB 的中点，∴AE BE =，∵AD BC ∥，∴ADE BGE ∠=∠，∵AED BEG ∠=∠，∴(AAS)ADE BGE ∆≅∆，∴AD BG =，又AD BC =，∴2GC BG BC AD =+=，又点F 为BC 的中点，∴2BC BF =，∴2,2AD BF BG BF ==，∴3GF BG BF BF =+=，∴2233AD BF GF BF ==，∵AD GC ，∴APD FPG ∆∆ ，∴23AP AD PF GF ==．【点睛】此题查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．14．(1)21(2)33y x =--或2145333y x x =--；(2)①01m <<；②167,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）设平移抛物线213y x =后得到的新抛物线为213y x bx c =++，把50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B 代入可得答案；（2）①如图，设21,3Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2145,333P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，4533PQ x =+，结合PQ 小于3，可得45333x +<，结合()0x m m =>，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P 在B 的右边，当BP PQ '∥时，可得255,3P '⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合平移的性质可得答案如图，当P Q BP '∥时，则P QT BPT '∠=∠，过P '作P S QP '⊥于S ，证明P SQ BTP ' ∽，可得QS PT P S BT ='，设21,3P x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212,33P x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，212,3S x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()212,23Q x x ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，再建立方程求解即可.【详解】（1）解：设平移抛物线213y x =后得到的新抛物线为213y x bx c =++，把50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B 代入可得：5325503c b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得：4353b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴新抛物线为2145333y x x =--；（2）解：①如图，设21,3Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2145,333P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22114545333333PQ x x x x =-++=+，∵PQ 小于3，∴45333x +<，∴1x <，∵()0x m m =>，∴01m <<；②∵221451(2)33333y x x x =--=--，∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P 在B 的右边，当BP PQ '∥时，∴BP x '⊥轴，∴5P B x x '==，∴255,3P '⎛⎫ ⎪⎝⎭，由平移的性质可得：2552,33P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即167,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当P Q BP '∥时，则P QT BPT '∠=∠，过P '作P S QP '⊥于S ，∴90P SQ BTP '∠=∠=︒，∴P SQ BTP ' ∽，∴QS PT P S BT='，设21,3P x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212,33P x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，212,3S x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()212,23Q x x ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，∴()22211123333225x x x x +--=+-，解得：1x =（不符合题意舍去）；综上：167,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.15．(1)43h =-；()0,4(2)1m =【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移∶（1）将()6,0A 代入抛物线()2143y x h =-+求得43h =-，再求当0x =时，求得y 的值，即可得点的坐标；（2）根据平移得点A 的对应点为D 的坐标，平移后抛物线的解析为()231434y x m =---，()6,0D m +，求得点C 的坐标，再根据OC OD =，建立方程即可求得m 的值．【详解】（1）解：将()6,0A 代入抛物线()2143y x h =-+中，得：()210643h =-+，解得：43h =-，即：抛物线解析式为：()214433y x =--，当0x =时，()24104334y =--=，∴点B 的坐标为()0,4；（2）解：∵该抛物线向上平移()0m m >个单位长度后，与y 轴交于点C ，且点A 的对应点为D ，∴平移后抛物线解析式为()231434y x m =---，()6,0D m +，当0x =时，()()2244331104433y m m =--+-=-，∴()20,14433m C +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵OC OD =，∴()2144633m m +-=+，整理得：2560m m +-=，解得：1m =或6m =-（舍去），∴1m =．16．(1)265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5(2)6【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【详解】（1）解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c =++010255b c b c =++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5（2）()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．17．(1)245y x x =--；(2)1342m <<．【分析】（1）将对称轴是直线2x =，点()0,5C -的坐标代入抛物线解析式，即可求解；（2）函数的对称轴为2x =，顶点坐标为(2)9-，，求得直线OD 的函数表达式为：54y x =-，当2x =时，52y =-，据此即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴是直线2x =，且过点()0,5C -，∴225b c -⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得45b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为245y x x =--；（2）解：由（1）知抛物线的解析式为2245(2)9y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为(2)9-，，∵()0,5C -，∴点D 的坐标是(4)5-，，设直线OD 的解析式为y kx =，则54k -=，解得：54k =-，∴直线OD 的解析式为54y x =-，当2x =时，52y =-．∵平移后得到的抛物线顶点落在OCD 的内部（不包括OCD 的边界），∴()()59259m ---<<---，即1342m <<．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数求一次函数的解析式，图形的平移等，注意利用数形结合思想解决问题．18．(1)抛物线的解析式为243y x x =-+，()1,0A (2)513m <<(3)75,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法，即可求解；（2）根据平移的性质可得新抛物线的顶点坐标为()2,2M m -，然后分别求出直线AC 和BC 的解析式，可得当点M 在直线AC 上时，53m =，当点M 在直线BC 上时，1m =，即可求解；（3）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F．先求出BC =，再由1122ABC S BC AE AB OC =⋅=⋅ ，可得AE =从而得到CE =，进而得到12AE CE =，再根据ACE PAF ~ ，可得PF =2AF ，然后设()2,43P a a a -+，则AF =a -1，分两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：将()()3,0,0,3B C 分别代入2y x bx c =++，可得9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+，当0y =时，2430x x -+=，∴11x =，23x =，∴()1,0A ；（2）解∶由（1）知()224321y x x x =-+=--，∴该抛物线的顶点为（2，-1），∴将此抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移()0m m >）个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为()2,2M m -，∵()()1,0,0,3A C ，设直线的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()()1,0,0,3A C 代入得：03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为33y x =-+，同理直线BC 的解析式为3y x =-+，当点M 在直线AC 上时，()2323m =-⨯-+，解得：53m =，当点M 在直线BC 上时，()223m =--+，解得：1m =，∴点M 在ABC 内时，513m <<；（3）解∶如图，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ．∵()3,0B ，()0,3C ，A （1，0），∴OB =OC =3，AB =2，∴BC =∵1122ABC S BC AE AB OC =⋅=⋅ ，∴112322AE ⨯=⨯⨯，解得：AE =，∵222AE CE AC +=，∴CE ==∴12AE CE ==，∵AE BC ⊥，PF AB ⊥，∴∠AEC =∠AFP =90°，∵ACE PAB ∠=∠，∴ACE PAF ~ ，∴AE CE PF AF =，∴12PF AE AF CE ==，即PF =2AF ，设()2,43P a a a -+，则AF =a -1，①当点P 在x 轴上方时，243PF a a =-+，∴()214312a a a -+=-，解得172a =或21a =（舍去），∴75,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当点P 在x 轴下方时，243PF a a =-+-()214312a a a -+-=-，解得352a =或41a =（舍去），∴53,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述：存在这样的点P 有两个，坐标分别为75,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，分类讨论解题是关键．19．(1)243y x x =-+(2)见解析(3)30m -<<或914m <<【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定，函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）利用三边分别成比例证明三角形相似即可；（3）由题意可知L '的解析式为243y x x m =-++，当L '经过原点时，L '与OBC △有一个交点；当L '经过点()0,3或()3,0时，L '与OBC △的三边有三个交点；当L '与x 轴有一个交点时，顶点在x 轴上，L '与OBC △的三边有两个交点；直线BC 与抛物线有唯一交点时，L '与OBC △的三边有两个交点；即可得出答案．【详解】（1）解：将()1,0A ，()3,0B 代入2y x bx c =++，∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线L 的表达式为243y x x =-+；（2）证明：∵()224321y x x x =-+=--，∴顶点()2,1D -，当0x =时，3y =，∴()0,3C ，∵()1,0A ，()3,0B ，∴BC =BD ，CD =3CO =，1OA =，AC =，∴BC BD CD CO OA AC ===，∴CBD COA ∽；（3）解：由题意可知L '的解析式为243y x x m =-++，当L '经过原点时，30m +=，解得3m =-，此时L '与OBC △有一个交点，当L '经过点()0,3时，33m +=，解得0m =，当L '经过点()3,0时，91230m -++=，解得0m =，∴当0m =时，L '与OBC △的三边有三个交点，∴30m -<<时，L '与OBC △的三边有两个交点；当L '与x 轴有一个交点时，顶点在x 轴上，∴10m -+=，解得1m =，此时L '与OBC △的三边有两个交点；直线BC 的解析式为3y x =-+，当2343x x x m --+=++有唯一解时，940m ∆=-=，解得94m =，∴914m <<时，L '与OBC △的三边有两个交点；综上所述：30m -<<或914m <<时，L '与OBC △的三边有两个交点．20．(1)223y x x =--+(2)证明见解析(3)944h <<【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解抛物线解析式，求解抛物线与坐标轴的交点，抛物线的平移，相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．（1）采用待定系数法即可求解；（2）先求出顶点坐标，分别计算出DA ，DC ，AC ，BC 的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似即可判定；（3）先求出直线的解析式，根据题意可知，求出平移后的解析式，将交点问题转化为方程，解方程后根据解的情况求解即可．【详解】（1）解：把()3,0A -、()0,3C 分别代入2y x bx c =-++，得：9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线M 的函数表达式为223y x x =--+；（2）证明()222314y x x x =--+=-++ ，∴点(14),D -，令2x 2x 30--+=，解得：13x =-，21x =，∴点B 的坐标为()1,0，()3,0A -、()0,3C ，3OA OC ∴==，1OB =，BC ∴DA =DC ==AC ==3AC OC ∴==，1CD OB ==，AD CB ==，AC CD AD OC OB CB∴==，∴ACD COB △∽△；（3）解：设直线AC 的解析式为y kx m =+，把点()3,0A -、()0,3C 分别代入y kx m =+中，得：303k m m -+=⎧⎨=⎩，。