2018中考数学专题复习44《探索规律题》(无答案)

规律探索一、选择题1. 如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一 个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形， 共得到 10 个小三角形， 称为第三次操作； , 根据以上操作， 若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（ ）A ．25B ．33C ．34D ． 50 【考点】 规律型：图形的变化类．【分析】 由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有（ 4+3）个、第三次操作后三角 形共有（ 4+3+3）个，可得第n 次操作后三角形共有4+3（ n ﹣ 1）=3n+1 个，根据题意得 3n+1=100， 求得 n 的值即可．【解答】 解：∵第一次操作后，三角形共有 4 个； 第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个； 第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个；,∴第 n 次操作后，三角形共有 4+3（ n ﹣ 1） =3n+1 个； 当 3n+1=100 时，解得： n=33， 故选： B ．2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数 2016 应标在（ ）A ．第 C ．第504 个正方形的左下角 505 个正方形的左上角B．第D．第504 个正方形的右下角505 个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数 2016 在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵ 2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0 在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第 504 个正方形中最大的数是2015，∴数 2016 在第 505 个正方形的右下角，故选 D．3 ．（ 2016. 山东省临沂市， 3 分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第 n 个图形中小正方形的个数是（）22A． 2n+1 B ． n ﹣ 1 C ． n +2n D ． 5n ﹣ 2【分析】由第 1 个图形中小正方形的个数是 2 2﹣ 1、第 2 个图形中小正方形的个数是 3 2﹣ 1 、第 3 个图形中小正方形的个数是 4 2﹣ 1，可知第 n 个图形中小正方形的个数是（ n+1 ）2﹣ 1 ，化简可得答案．【解答】解：∵第 1 个图形中，小正方形的个数是： 22﹣ 1=3 ；第2 个图形中，小正方形的个数是： 3 2﹣ 1=8 ；第3 个图形中，小正方形的个数是： 4 2﹣ 1=15 ；,∴第 n 个图形中，小正方形的个数是：（ n+1 ）2﹣ 1=n 2+2n+1 ﹣ 1=n 2 +2n ；故选： C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为4n﹣ 3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的 4 倍少 3 个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是 1 个三角形， 1=4×1﹣ 3；第②是 5 个三角形， 5=4×2﹣ 3；第③是 9 个三角形， 9=4×3﹣ 3；∴第 n 个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为： 4n﹣ 3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l ： y=－43 x，点 A1 坐标为（－ 3，0） . 过点 A1 作 x 轴的垂线交直线l 于点 B1，以原点 O为圆心， OB1 长为半径画弧交x 轴负半轴于点A2，再过点A2 作 x 轴的垂线交直线l 于点 B2，以原点 O为圆心， OB2 长为半径画弧交x 轴负半轴于点A3，, ，按此做法进行下去，点A2016 的坐标为.【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】 由直线 l ： y=－ 4 x 的解析式求出 A1B1 的长，再根据勾股定理，求出 OB1 的长，从而得出 A23的坐标；再把 A 的横坐标代入 y= － 4 x 的解析式求出 A B 的长，再根据勾股定理，求出 OB 的长，从3 2 2 2 2 而得出 A3 的坐标； , ，由此得出一般规律．【解答】 解：∵点 A 1 坐标为（－ 3，0），知 O A1=3，把 x=－ 3 代入直线 y=－ 4 x 中，得y=4 ，即A1B1=4. 3根据勾股定理，OB= 2 1 22 21 1 = 3 4 =5， 1 OA A B∴ A 坐标为（－ 5， 0）， O A=5；2 24 x 中，得 y=20 ，即 A B = 2把 x=－ 5 代入直线 y=－ 3 3 3 .2 22 2 2 2 2 根据勾股定理， OB2= A 2 B = ( 20 ) = 253 = 51，2 2 5 OA3 3 2 2∴A3 坐标为（－51 ， 0），O A3= 51 ； 3 32把 x=－ 51 代入直线 y=－ 4x 中，得 y= 100 ，即 A3B3= 100.3 3 9 92 2 25 2 100 23 ( ) ( ) 125 5根据勾股定理， OB = OA A B = = ，3 9 9 = 233 3 3 3 3∴ A4 坐标为（－52， 0）， OA4= 52；3 3,,n 1n 1同理可得 An 坐标为（－52， 0）， OAn=52 ；n n3 32015∴ A2016 坐标为（－52014， 0）32015故答案为：（ - 52014 ， 0）3【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征 . 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键 . 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

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考题·体验感悟
考法·互动研析
类型一
类型二
解:(1)4 17 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下: 左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1, 右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边, 故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.
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类型一
类型二
例4(2012· 安徽,17)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网 格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成 下表:
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类型一
类型二
解析:(1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an, 观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,…, 故an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n1)+…+5+3+1=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=an2 2 2 1+(2n+1)+an-1=n +2n+1+n =2n +2n+1. 答案:(1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1

2018年中考数学总复习规律探究问题专题综合训练题含答案和解析依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列等式：第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第____层．8. 观察下列等式：第1个等式： a1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a4＝12＋5＝5－2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：a n＝；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝．9. 观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是．10. 如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，……按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是____．11. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，……依次进行下去，则点A2019的坐标为．12. 在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．13. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，……依次循环反复下去，当报出的数为2019时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是____分．14. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，试求第2019秒时点P 的坐标． 参考答案: 1. B2. B 【解析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n 个图案中白色纸片数，从而可得关于n 的方程，解方程可得．∵第1个图案中白色纸片有4＝1＋1×3张；第2个图案中白色纸片有7＝1＋2×3张；第3个图案中白色纸片有10＝1＋3×3张；……∴第n 个图案中白色纸片有1＋n ×3＝3n ＋1(张)，根据题意得3n ＋1＝2019，解得n ＝672，故选B.3. D 【解析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，总结出其规律为（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2，根据规律求解．通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：（1＋2）×22 ＋12＝4，第二个图形为：（1＋3）×32 ＋22＝6，第三个图形为：（1＋4）×42＋32＝10，第四个图形为：（1＋5）×52＋42＝15，…，所以第n 个图形为：（n ＋2）（n ＋1）2 ＋n 2，当n ＝7时，（7＋2）（7＋1）2＋72＝85，故选D.4. C 【解析】设图形n 中星星的颗数是a n (n 为自然数)，观察，发现规律：a 1＝1＋1，a 2＝(1＋2)＋3，a 3＝(1＋2＋3)＋5，a 4＝(1＋2＋3＋4)＋7，…，∴a n ＝(1＋2＋…＋n )＋(2n －1)＝n （n ＋1）2＋2n －1，当n ＝8时，a 8＝8（8＋1）2＋2×8－1＝51，故选C.5. C6. －12211 【解析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．∵－2＝－21，52，－103，174，－265，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.7. 44 【解析】第一层：第一个数为12＝1，最后一个数为22－1＝3，第二层：第一个数为22＝4，最后一个数为32－1＝8，第三层：第一个数为32＝9，最后一个数为42－1＝15，∵442＝1936，452＝2025，又∵1936＜2019＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第44层． 8. (1)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n(2) n ＋1－1【解析】(1)根据题意可知，a 1＝11＋2＝2－1，a 2＝12＋3＝3－2，a 3＝13＋2＝2－3，a 4＝12＋5＝5－2，……由此得出第n 个等式：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2) 将每一个等式化简即可求得答案．解：(1)∵第1个等式：a 1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a 2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a 3＝13＋2＝2－3，第4个等式a 4＝12＋5＝5－2，∴第n 个等式：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－19. n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋210. 13【解析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为－17－3＝－20，A12表示的数为16＋3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13.11. (21008，21009)【解析】写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n＋1((－2)n，2(－2)n)(n为自然数)”，依此规律即可得出结论．观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)(n为自然数)．∵2019＝1008×2＋1，∴A2019的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．12. (2n－1，2n－1)【解析】∵y＝x－1与x轴交于点A1，∴A1点坐标(1，0)，∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标(1，1)，∵C1A2∥x轴，∴A2坐标(2，1)，∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标(2，3)，∵C2A3∥x轴，∴A3坐标(4，3)，∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3(4，7)，∵B1(20，21－1)，B2(13. 33614. (63，32)15. 解：∵半圆的半径r＝1，∴半圆长度＝π，∴第2019秒点P运动的路径长为π2×2019，∵π2×2019÷π＝1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方，∴此时点P的横坐标为1008×2－1＝2019，纵坐标为－1，∴点P(2019，－1)。

中考规律探索1以下为全部整理类型.规律探索共两套试题.供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3.32＝9.33＝27.34＝81.35＝243.36＝729.37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（ ）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从小到大排列.并按如下规律分组：（1）.（3.5.7）.（9.11.13.15.17）.（19.21.23.25.27.29.31）.….现用等式A M=（i.j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数）.如A7=（2.3）.则A2013=（）A．（45.77） B．（45.39） C．（32.46） D．（32.23）3.下表中的数字是按一定规律填写的.表中a的值应是．1235813a…2358132134…4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成.其中第（1）个图形的面积为2cm2.第（2）个图形的面积为8 cm2.第（3）个图形的面积为18 cm2.…….第（10）个图形的面积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D． 256 cm25．如图.动点P从（0.3）出发.沿所示的方向运动.每当碰到矩形的边时反弹.反弹时反射角等于入射角.当点P第2013次碰到矩形的边时.点P 的坐标为（）A、（1.4）B、（5.0）C、（6.4）D、（8.3）6．如图.下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是A． M=mn B． M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)7．我们知道.一元二次方程12-=x 没有实数根.即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“”.使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为).并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算.且原有的运算律和运算法则仍然成立.于是有,1i i =12-=i .,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n.我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么.20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成.其中第①个图形有1颗棋子.第②个图形一共有6颗棋子.第③个图形一共有16颗棋子.….则第⑥个图形中棋子的颗数为（）图①图②图③··（第8题图）A ．51B ．70C ．76D ．81二．填空题1．观察下列图形中点的个数.若按其规律再画下去.可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．2．如图.在直角坐标系中.已知点A （﹣3.0）、B （0.4）.对△OAB 连续作旋转变换.依次得到△1、△2、△3、△4….则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图.正方形ABCD 的边长为1.顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形A 1B 1C 1D 1.由顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第二个正方形A 2B 2C 2D 2….以此类推.则第六个正方形A 6B 6C 6D 6周长是 ．4．直线上有2013个点.我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点.经过3次这样的操作后.直线上共有个点．5．如图.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1.5.12.22…为五边形数.则第6个五边形数是 ．6 ．如图.是用火柴棒拼成的图形.则第n个图形需 根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；….则1+3+5+…+2013的值是 ．8．如图12.一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3）.记为C1.它与x轴交于点O.A1；将C1绕点A1旋转180°得C2.交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3.交x 轴于点A3；……如此进行下去.直至得C13．若P（37.m）在第13段抛物线C13上.则m =_________．9.直线上有2013个点.我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点.经过3次这样的操作后.直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25.15×15=1×2×100+25.25×25=2×3×100+25.35×35=3×4×100+25.…… ……请猜测.第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列.则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图.每一幅图中均含有若干个正方形.第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去.则第（6）幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆. 第2个图形有10个小圆. 第3个图形有16个小圆. 第4个图形有24个小圆. …….依次规律.第6个图形有 个小圆．14.已知一组数2.4.8.16.32.….按此规律.则第n个数是 ．15、我们知道.经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1.1）时.a＝__________；当顶点坐标为（m.m）.m≠0时.a与m之间的关系式是__________；（2）继续探究.如果b≠0.且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上.请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线.顶点A1.A2.….A n在直线y＝x上.横坐标依次为1.2.….n（为正整数.且n≤12）.分别过每个顶点作x轴的垂线.垂足记为B1.B2.….B n.以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n.若这组抛物线中有一条经过D n.求所有满足条件的正方形边长．16．如图.所有正三角形的一边平行于x轴.一顶点在y轴上.从内到外.它们的边长依次为2.4.6.8.….顶点依次用1A、2A、3A、4A、…表示.其中12A A与x轴、底边12A A与45A A、45A A与78A A、…均相距一个单位.则顶点3A的坐标是 .22A的坐标是．第16题图17．如图.已知直线l ：y=33x .过点A （0.1）作y 轴的垂线交直线l 于点B .过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1.过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去.则点A 2013的坐标为 ．18、如图.在平面直角坐标系中.一动点从原点O 出发.按向上.向右.向下.向右的方向不断地移动.每移动一个单位.得到点A 1（0.1）.A 2（1.1）.A 3（1.0）.A 4（2.0）.…那么点A 4n ＋1（n 为自然数）的坐标为 （用n 表示）19．当白色小正方形个数n 等于1.2.3…时.由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．（用n 表示.n 是正整数）20. （2013•衢州4分）如图.在菱形ABCD 中.边长为10.∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点.可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点.可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点.可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ．21.一组按规律排列的式子：ａ２.43a .65a ,87a,….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a.﹣2a 2.4a 3.﹣8a 4.…根据你发现的规律.第8个式子是 ．23.如图.已知直线l：y=x.过点M（2.0）作x轴的垂线交直线l于点N.过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1.过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2.…；按此作法继续下去.则点M10的坐标为　．24.为庆祝“六•一”儿童节.某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律.摆第（n）图.需用火柴棒的根数为 ．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）；（2）解：∵a ≠0∴y ＝ax 2＋bx ＝a (x ＋2b a)2－24b a ∴顶点坐标为（－2ba .－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba )＝－24b a ∵b ≠0∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n .n ）.点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t .t ）由（1）（2）可得.点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形∴点D n 的坐标为（2n .n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数.且t ≤12.n ≤12∴n ＝3.6或9∴满足条件的正方形边长为3.6或916、（1）.（－8.－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选一个都对）18、（2n.1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、 我们平常用的数是十进制数.如2639=2×103+6×102+3×101+9×100.表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0.1.2.3.4.5.6.7.8.9。

2018年中考数学专题复习第一讲——规律探究题【专题分析】在课改以后的中考数学命题中,各地都十分重视规律探究的考查,各省市数学中考试题中基本上每年都有这样的题目,这类试题通常有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究等,它的选材不只限于教材上的代数知识或几何知识(材料涉及的知识点并不是考查的重点,而只是考查考生分析归纳能力的载体),所以解答此类问题,相关的知识和技能只是基础,重要的是具备对问题观察、分析、归纳、解决的能力.【知识归纳】新课标核心要求用代数式表示数量关系及所反映的规律,考查考生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究,一般有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究.数字变化类规律探究,即是通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数字变化类规律探究既是规律探究问题中的基础,也是规律探究的重点.图形变化类规律探究,即是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示.这种探索图形构成元素规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.数形结合变化类规律探究,其实质是数字规律探究和图形规律探究的结合,其特点就是二者兼而有之.【题型解析】题型1:数字变化类规律探究例题：（2017年江苏扬州）在一列数：a1，a2，a3，,，a n中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】本题可分别求出n=3、4、5,时的情况，观察它是否具有周期性，再把2017代入求解即可．【解答】解：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期为6；2017÷6=336,1，所以a2017=a1=3．故选B．方法指导：数字类规律问题一般先观察一列数字的规律,观察分析、归纳猜想得出一般性的结论,再验证,从而得到问题的答案.题型2:图形变化类规律探究例题: （2017甘肃张掖）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8 ，第2017个图形的周长为．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据已知图形得出每增加一个四边形其周长就增加3，据此可得答案．【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3=5，第2个图形的周长为2+3×2=8，第3个图形的周长为2+3×3=11，,∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053，故答案为：8，6053．方法指导：考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键题型3数形结合变化类规律探究例题：（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，,在直线l上，点B1，B2，B3，,在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，,，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2 ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3,的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）,，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，，∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．方法指导：考查此类问题重点是结合图形进行分析研究后得到数字与图形之间的关系，利用相关知识解答即可。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

探索规律专题练习卷1．观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是________. (n为正整数)2．在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38①，然后在①式的两边都乘以3，得3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②－①，得3S －S ＝39－1，即2S ＝39－1，所以S ＝39－12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m (m ≠0且m ≠1)，能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m2 016的值？如能求出，其正确答案是________．3．如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有________根火柴棒．(用含n 的代数式表示)4．如图在平面直角坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，OA ＝1.先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2 014次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 014的坐标为________．5．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( )A ．M ＝mnB ．M ＝n (m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m (n ＋1)017个格子中的数为( )A ．3B ．2C ．0D ．－17．如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是( )……A ．y ＝2n ＋1B ．y ＝2n＋n C ．y ＝2n ＋1＋n D ．y ＝2n＋n ＋18．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2 017个白色纸片，则n 的值为( )A ．671B ．672C ．673D ．6749．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，……设碳原子的数目为n (n 为正整数)，则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示( )A ．C n H 2n ＋2B ．C n H 2n C ．C n H 2n －2D ．C n H n ＋310．观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A.2531 B.3635C.47D.626311．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( ) A ．135 B ．170 C ．209 D ．25212．下列图形都是按照一定规律组成的，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形……依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A．22 B．24C．26 D．2813．观察下列关于自然数的等式：(1)32－4×12＝5，(2)52－4×22＝9，(3)72－4×32＝13，…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×()2＝( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．14．将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割，纸片均不得有剩余)：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；按上述分割方法进行下去……(1)请你在下图中画出第一次分割的示意图；(2)若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：(3)观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n之间有何关系？(S 用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程)参考答案1.2n＋1n2＋12.m2 017－1m－13. 2n2＋2n或2n(n＋1)解析：方法一，根据图形的变化规律，得出结果．方法二，依题意，得n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；……n＝n时，根数为2n(n＋1)．4. (1 342，0)5.D6.A7.B8.B 9．A 10.C 11.C 12．C 13．解：(1)4 17(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立．14．解：(1)如图所示：(2)(3)S ＝a4n .。

2018年初三年级中考数学《规律探索》精选一.选择题1. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3，6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）A ．28B ．29C ．30D ．313.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. 观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．0二 填空题1. 如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P （13，3），P 2，P 3，…均在直线 y =﹣13x+4 上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为 S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2018= ．2.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y =x 的图象，点 A 1 的坐标为（1，0），过点 A 1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D 1，以 A 1D 1为边作正方形 A 1B 1C 1D 1；过点 C 1 作直线 l 的垂线，垂足为 A 2，交 x 轴于点 B 2，以 A 2B 2 为边作正方形 A 2B 2C 2D 2；过点 C 2 作 x 轴的垂线，垂足为 A 3，交直线 l 于点 D 3，以 A 3 D 3 为边作正方形 A 3 B 3 C 3 D 3 ，…，按此规律操作下所得到的正方形 A n B n C n D n 的面积是________ ．3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 1，A 2，A 3，…和 B 1，B 2，B 3，…分别在直线 y =15x+b 和 x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形．如果点 A 1（1，1），那么点 A 2018 的纵坐标是4.已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若 10+b a =102×b a符合前面式子的规律，则 a +b= ．4. 将从 1 开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第 m 行，第 n 列的自然数 10 记为（3，2），自然数 15 记为（4，2）......按此规律，自然数 2018 记为5. 观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 ．6. 如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 A B 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 A B 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1， △B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n =_______．7. 在平面直角坐标系中，点 A ，1）在射线 OM 上，点 B 3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ．8.如图，已知等边△OA 1B 1，顶点 A 1 在双曲线 y （x ＞0）上，点 B 1 的坐标为（2，0）．过B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 ________ ．n2n20189. 观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

第三个图形为10＋32＝
＋22＝10，
＋32＝19，
第四个图形为15＋42＝
… 所以第n个图形为
＋42＝31，
＋n2 . ＋72＝85，故
当n＝7时，图中小圆圈的个数为 选D.
5．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周 围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，
那么当n＝11时，芍药的数量为(
3 ，5 ，7 ，9 ， 1， 例1 (2017·信阳一模)观察下列一组数： 4 9 16 25 36 ….它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数
是
．
【分析】 把分数的分子、分母看作两个个体，分别观察分
子、分母间的变化规律，进而写出答案． 【自主解答】 观察这组数据的分子，得第n个数的分子为
n n 2 n 1 n 2
4．(2017·黄石)观察下列等式：
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果 (n为正整数)______.(写出最简计算结果即可) n n1
类型二 图形变化规律
这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到
一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查 图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变 化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运 用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的
均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲 线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则2 015秒时，点P的坐标是( ) Nhomakorabea 2
A．(2 014，0)
C．(2 015，1)
B．(2 015，－1)
D．(2 016，0)
【分析】 根据点P的运动速度，找出点P完成一个循环需要

中考数学专题复习——探索规律一、选择题1.（2018年浙江省衢州市）32，33和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( ) A、41 B、39 C、31 D、292．（2018湖南益阳）有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为A. 60n厘米B. 50n厘米C. (50n+10)厘米D. (60n-10)厘米3.(2018江苏宿迁)用边长为1的正方形覆盖33 的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )Ａ．2Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．64.（2018 四川泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（）A．2158cm B．2176cm C．2164cm D．2188cm5.(2018 湖南益阳)如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是( )A. 1B. 2C. 3D. 66.(2018 河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）323533911 34131517197A ．上B ．下C ．左D ．右7.(2018山东德州)将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．( )将纸片展开，得到的图形是8.(2018山东德州)只用下列图形不能镶嵌的是( ) A ．三角形B ．四边形C ．正五边形D ．正六边形9.(2018黑龙江黑河)为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则搭建方案共有（ ） A ．8种 B ．9种 C ．16种 D ．17种10.(2018 山东 聊城)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个 11.(2018 台湾)有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成。

动到（ 0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动 [ 即（ 0，0）→（ 0，1）→（ 1，1）→（ 1，
0）→… ] ，且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是（
）
A. （ 4， 0） B. （ 5， 0） C. （0， 5） D. （ 5， 5）
14. （ 2018 贵州贵阳 ) 根据如图 2 所示的（ 1），（ 2），（ 3）三个图所表示的规律，依次下
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
6.(2018 河北 ) 有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、
“志”、
“成”、“城”四个字牌，如图 1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位
置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转 90 ，则完成一次变换．图 2，图 3 分别表示第 1
将纸片展开，得到的图形是
A．
B．
C．
D．
8.(2018 山东德州 ) 只用下列图形不能镶嵌的是 ( )
A．三角形
B．四边形
C ．正五边形
D．正六边形
9.(2018 黑龙江黑河 ) 为紧急安置 100 名地震灾民，需要同时搭建可容纳 6 人和 4 人的两种
帐篷，则搭建方案共有（
）
A． 8 种
B． 9 种
方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要
D． 3
17 根钢管，这样的帐篷按图②，图③的 根钢管．
2．（ 2018 年江苏省连云港市）如图所示，①中多边形（边数为
12 ）是由正三角形“扩展”
而来的，②图中1多边形是由正方形“图扩展2 ”而来的，
，依此类推图，3则由正 n 边形“扩展”
而来的多边形的边数为 ．

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。

规律探索一、选择题1。

如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作；…根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是( ）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1)=3n+1个,根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解:∵第一次操作后,三角形共有4个;第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后,三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时,解得:n=33，故选：B．2。

观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在( ）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型:点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置,可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2016÷4=504,又∵由题目中给出的几个正方形观察可知,每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0,0在右下角，然后按逆时针由小变大,∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．(2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1,可知第n个图形中小正方形的个数是(n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中,小正方形的个数是:32﹣1=8；第3个图形中,小正方形的个数是:42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1)2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是:从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为 4n ﹣3 ．【考点】规律型:图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知,每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3； 第②是5个三角形，5=4×2﹣3； 第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n ﹣3； 故答案为：4n ﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为(－3，0）。

开放探索题：探索规律一、列式探索型【例1】如上图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图，则第n 个图形中需用黑色瓷砖_______________块导：第一个图案有12=3×4=（1+2）×4，第二个图案有 16=4×4=（2+2）×4，第三个图案有 20=5×4=（3+2）×4，第n个图案有（n+2）×4=4n+8。

【例2】上图是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．则s= ．导：至上而下第一层为1，第二层为1+2，第三层为1+2+3第n层为1+2+3+……+n=n(n+1)/2. 【练1】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；…依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为 . （n为正整数）二、模仿探索型析：根据图形得到一列数2、10、18、26…，第2个数=2+（2-1）×8,第3个数=2+（3-1）×8, 第4个数=2+（4-1）×8, 第n个数=2+（n-1）×8=8n-6.【练2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )析：第1个五角星个数为2=2 ×12第2个五角星个数为8=2 ×22第3个五角星个数为18=2×32第n个五角星个数为2×n2.，选择D.二、模仿探索型图 1 图 2 图 3【例3】观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；……通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式_____________导：1+3+5+7+…+2n-1=n2【例4】观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，9×4＋5＝41，…：第n个等式为_______________.导：9（n-1）+n=10n-9【练1】．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（）A．52012﹣1 B．52013﹣1 C ．D ．析：依次类推，选择C.三、运动探索型【例5】如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006＝_______________．导：从p到p4要翻转4次，横坐标刚好加4,2006÷4=501…2,501×4-1=2003，由于还要再翻两次，即从p到p2，横坐标加3，则p2006 =2006. 【练1】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC 经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是析：第1次变换后的点A对应坐标(-2+2，1+)即(0，1+)；第2次变换后的点A对应坐标(0+2，-1-)即(2，-1-)；第3次变换后的点A对应坐标(2+2，1+)即(4，1+)；第n次变换后的点A对应坐标为：当n为奇数时为(2n-2，1+)；当n为偶数时(2n-2，-1-)；故答案为(16，1+).四、利用几何关系探索【例6】如下图，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，A n＋1A n＋2⊥A n B，垂足为A n＋2，则线段A n+1A n+2(n为自然数)的长为（）．A2A1 A3A4A6A5 B-3-2-1-1-2-3AC B导：通过计算，可以发现A 2A 3 = ，A 3A 4 =，A n+1A n+2 =。

河北中考复习之规律探索1、观察图4给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为 A ．3n －2 B ．3n －1C ．4n ＋1D ．4n －32、观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：（2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．3、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A ．13=3+10 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．49=18+314、将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．2 5、如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”． 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．……① ② ③ ⑤④ 4×0＋1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2－3； 4×2＋1＝4×3－3；___________________； ___________________； …… 图4 第2个 s =5 第1个 s=1第3个 s =9 …… 第4个 s =136、如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．7、观察下列各式及其验证过程：验证322322+=：()()3221221221222223232222233+=-+-=-+-==验证833833+=：()()8331331331333338383322233=-+-=-+-== （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。