2016版高考数学大二轮总复习增分策略高考大题纵横练(二)

第1讲概率1．（2015·课标全国Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2,3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（)A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!2．（2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!3．（2015·重庆)在区间［0，5］上随机地选择一个数p,则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．4．(2014·福建）如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．1。

以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.热点一古典概型1．古典概型的概率：P（A）＝错误!＝错误!.2．古典概型的两个特点:所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等．例1 （2014·天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X,Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．思维升华求古典概型概率的步骤:（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意;（2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；（3）利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4）计算事件A的概率P（A）＝错误!.跟踪演练1 （1）（2015·广州二模）有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是（）A.错误!B.错误!C。

高三高考二轮复习计划策略（7篇）高三怎么安排好复习计划才能达到更好的效果呢?通过复习,使学生对知识有一个明确的、系统的了解,要想取得好成绩，一个完备的复习计划是必不可少的。

下面是小编给大家整理的高三高考二轮复习计划策略，仅供参考希望能帮助到大家。

高三高考二轮复习计划策略篇1通过第一轮复习，学生基本能掌握概念、性质、定理及其简单应用，但掌握的深度和广度不够，亦不能形成完善的知识网络，因此第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。

然而，如何才能在第二轮的复习中提高效率，取得满意效果呢?一、研究《考试说明》与高考信息第二轮复习中，不可能再做到面面俱到。

要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，尤其是在一些课外辅导书中出现的旧教材的内容可以不予研究。

同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，尤其要注意教科书中新增内容的考查形式和频率，它们能够体现新课程中的新思想、新理念，这样复习才能有的放矢，事半功倍。

二、优化知识体系，提升数学思想尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，当然回归课本不是死记硬背，不是象一轮复习那样“事”无巨细，面面俱到，而是抓纲悟本，对照课本进行回忆和梳理知识。

近几年高考数学试题能在课本中找到“原型”，所以对课本典型问题进行挖掘推广，发挥其应有的作用。

在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果，加强各知识模块的综合。

尤其注意在知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。

如平面向量与三角函数，平向向量与解析几何的综合等。

在方法专题复习中，以这些重点知识的综合性题目为载体，渗透对数学思想和方法的系统学习。

三、规范训练，提高速度与准确率高考复习学生需要大量练习，为了赶时间，他们往往只注重解题思路的寻找，不按规定格式解题，导致会而不对，对而不全，全而不规范。

第1讲函数的图象与性质1．(2015·天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2｜x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53),b＝(log25),c＝f(2m），则a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a2．（2014·福建）若函数y＝log a x（a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（）3．（2015·课标全国Ⅱ）设函数f（x）＝错误!则f(－2）＋f（log212)等于( ）A．3 B．6 C．9 D．124．（2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f（x)在[0，＋∞)单调递减，f(2）＝0.若f(x－1)〉0,则x的取值范围是_________________________．1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2。

对图象的考查主要有两个方面：一是识图,二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题。

3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大。

热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f（a＋x）＝f(x）(a不等于0），则其一个周期T＝｜a|.例1 （1)设奇函数y＝f(x) (x∈R），满足对任意t∈R都有f(t）＝f （1－t),且x∈错误!时，f（x)＝－x2，则f(3）＋f错误!的值等于________．（2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,＋∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f（log12a)≤2f（1），则a的取值范围是________．思维升华(1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)〈f（x2）的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f（x－1)＝f（x＋1)成立,当x∈[－1，0］时，f（x)＝2x－1，则f(2 017）＝________。

姓名：________班级：________学号：________ 高考大题纵横练(二)1．已知函数f(x)＝A sin(ωx－π6)(ω>0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足f(π4)＝ 3.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin B＝3sin C，a＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积．2．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数(精确到0.1)；(2)设m，n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>1”的概率．3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.(1)求证：BC⊥AC1；(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．4．数列{a n}的前n项和为S n，S3＝6a1，且对n∈N*，点(n，a n)恒在直线f(x)＝2x＋k上，其中k为常数．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记T n＝1S1＋1S2＋…＋1S n，求T20的值．5．已知函数f (x )＝a ln x ＋12bx 2－(a ＋b )x .(1)当a ＝1，b ＝0时，求f (x )的最大值；(2)当b ＝1时，设α，β是f (x )的两个极值点，且α<β，β∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)．求证：对任意的x 1，x 2∈[α，β]，|f (x 1)－f (x 2)|<1.6．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，|A 1B 1|＝7，S ▱A 1B 1A 2B 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1.是否存在上述直线l 使AP →·PB →＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案精析高考大题纵横练(二)1．解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2， ∵f (π4)＝3，∴A ＝2，f (x )＝2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， ∴π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z )．(2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin(2A －π6)＝1，∴sin(2A －π6)＝12，∵－π6<2A －π6<11π6，∴A ＝π6或π2，∵△ABC 为钝角三角形，∴A ＝π2(舍去)，故A ＝π6，∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×32＝c 2， ∴c ＝2，b ＝23， S △ABC ＝12×23×2×12＝ 3.2．解 (1)价格在[16,17)内的频率为 1－(0.06＋0.08＋0.16＋0.38)×1＝0.32. 所以价格在[16,17)内的地区数为50×0.32＝16. 设价格中位数为x ，由0.06＋0.16＋(x －15)×0.38＝0.5，解得x＝151419≈15.7(元)．(2)由直方图知，价格在[13,14)的地区数为50×0.06＝3，设为x，y，z；价格在[17,18)的地区数为50×0.08＝4，设为A，B，C，D.若m，n∈[13,14)时，有xy，xz，yz,3种情况；若m，n∈[17,18)时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD,6种情况；若m，n分别在[13,14)和[17,18)内时，共有12种情况．所以基本事件总数为21种，事件“|m－n|>1”所包含的基本事件个数有12种．P(|m－n|>1)＝1221＝47.3．(1)证明∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1.又∵BC⊥AC，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥AC1.(2)解方法一当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.理由如下：在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B 1E ＝3EC 1，∴EG ＝34A 1C 1，又AF ∥A 1C 1且AF ＝34A 1C 1，∴AF ∥EG 且AF ＝EG ， ∴四边形AFEG 为平行四边形， ∴EF ∥AG ，又EF ⊄平面A 1ABB 1，AG ⊂平面A 1ABB 1， ∴EF ∥平面A 1ABB 1.方法二 当AF ＝3FC 时，FE ∥平面A 1ABB 1.理由如下：在平面BCC 1B 1内过点E 作EG ∥BB 1交BC 于点G ，连接FG .∵EG ∥BB 1，EG ⊄平面A 1ABB 1，BB 1⊂平面A 1ABB 1， ∴EG ∥平面A 1ABB 1. ∵B 1E ＝3EC 1，∴BG ＝3GC ，∴FG ∥AB ，又AB ⊂平面A 1ABB 1，FG ⊄平面A 1ABB 1， ∴FG ∥平面A 1ABB 1.又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面A 1ABB 1.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面A 1ABB 1. 4．解 (1)方法一 依题意a n ＝2n ＋k ， 得a 1＝2＋k ，a 2＝4＋k ，a 3＝6＋k ， 所以S 3＝12＋3k .又S 3＝6a 1，所以12＋3k ＝12＋6k ， 解得k ＝0. 即a n ＝2n .方法二 依题意得a n ＝2n ＋k ，所以a n ＋1－a n ＝(2n ＋2＋k )－(2n ＋k )＝2，所以数列{a n }是以2＋k 为首项，2为公差的等差数列． 因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋6. 又S 3＝6a 1，所以a 1＝2， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . (2)S n ＝a 1＋a n 2·n ＝2＋2n 2·n ＝n (n ＋1)，所以1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T 20＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 20＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(120－121)＝1－121＝2021.5．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1，b ＝0时，f (x )＝ln x －x ，求导数，得f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数．故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝－1.(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝a ln x ＋12x 2－(a ＋1)x ， 求导数，得f ′(x )＝a x ＋x －(a ＋1)＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a .∵α，β是f (x )的两个极值点，且α<β，β∈(1，e]，∴α＝1，β＝a ∈(1，e]，∴当x ∈[α，β]时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[α，β]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)，f (x )min ＝f (a )，∴对任意的x 1，x 2∈[α，β]，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (a )＝[12－(a ＋1)]－[12a 2＋a ln a －a (a ＋1)] ＝12a 2－a ln a －12. 令g (a )＝12a 2－a ln a －12，则g ′(a )＝a －1－ln a ， 由(1)知ln x －x ≤－1，即ln x ≤x －1，∴g ′(a )≥0，∴g (a )在(1，e]上单调递增，∴g (a )≤g (e)＝12e 2－e －12＝e(12e －1)－12<3(32－1)－12＝1. 故对任意的x 1，x 2∈[α，β]，|f (x 1)－f (x 2)|<1.6．解 (1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7，①由知a ＝2c ，②又b 2＝a 2－c 2，③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP →·PB →＝1成立的直线l 存在．①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1得|m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2＋1.∵AP →·PB →＝1，|OP →|＝1，∴OA →·OB →＝(OP →＋P A →)·(OP →＋PB →)．＝OP →2＋OP →·PB →＋P A →·OP →＋P A →·PB →＝1＋0＋0－1＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，④ x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.⑤ 0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，将④⑤代入上式并化简得(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾．即此时直线l 不存在．②当l 垂直于x 轴时，满足|OP →|＝1的直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，(1,0)，∴AP →＝(0，－32)，PB →＝(0，－32)， ∴AP →·PB →＝94≠1. 当x ＝－1时，同理可得AP →·PB →≠1，矛盾．即此时直线l 也不存在．综上可知，使AP →·PB →＝1成立的直线l 不存在．。

第2讲空间中的平行与垂直1．（2015·北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α。

则“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是（)A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面,则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3．(2015·江苏）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；(2）BC1⊥AB1。

1。

以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断,属基础题。

2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法（1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；（2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1 （1)（2015·广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1,l2都相交C．l至多与l1,l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是（)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a,a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α,b⊂β，a∥β，b∥α思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1 已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α,n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α,m∥β，则α⊥β。

第2讲函数的应用1．（2014·北京）已知函数f(x）＝错误!－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1）B．（1，2）C．(2,4）D．(4，＋∞）2．(2014·江苏）已知f（x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈［0,3)时，f（x)＝|x2－2x＋12|.若函数y＝f（x）－a在区间［－3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．3．（2015·四川）某食品的保鲜时间y（单位:小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数,k，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．4．（2014·湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒），平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝错误!。

(1)如果不限定车型，l＝6。

05，则最大车流量为________辆/时；（2)如果限定车型,l＝5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1。

函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择题、填空题的形式出现。

2。

函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题。

热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间［a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a）·f（b）〈0，那么，函数y＝f（x）在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b）使得f（c）＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F（x)＝f(x）－g(x）的零点就是方程f（x）＝g（x)的根，即函数y＝f(x）的图象与函数y＝g（x)的图象交点的横坐标．例1 （1）（2015·黄冈中学期中)函数f(x）＝lg x－错误!的零点所在的区间是( )A．(0，1) B．（1,2）C．（2，3) D．（3，10）(2）已知函数f(x)＝e x＋x，g（x)＝ln x＋x，h(x）＝ln x－1的零点依次为a，b，c,则（）A．a<b〈c B．c<b<aC．c<a<b D．b〈a<c思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．跟踪演练1 （1）函数f （x )＝x 2－2x 在x ∈R 上的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知定义在R 上的函数f （x )满足：f (x ）＝错误!且f (x ＋2）＝f （x ），g (x ）＝错误!，则方程f （x )＝g （x )在区间[－5,1］上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 （1）对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧b ，a －b ≥1，，a a －b 〈1。

必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数， 所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， 所以f (x )的图象关于x ＝2对称， 所以f (4)＝f (0)＝1， 设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )， 所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减， 因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。

高考小题分项练(一)1．(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝________.2．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的________条件．3．函数f (x )＝12－x＋lg(1＋x )的定义域是________． 4．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.5．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________.6．(2015·连云港模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的______条件．7．函数f (x )在定义域内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 8．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为________．9．(2015·南京模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年时，其营运的平均利润最大．10．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是________． 11．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________．12．(2015·江西六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是________________________________________________________________________．13．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．14．某名牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．15．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 都成立，又当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则下列四个命题：①函数y ＝f (x )是以4为周期的周期函数；②当x ∈[1,3]时，f (x )＝(2－x )3；③函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；④函数y ＝f (x )的图象关于点(2,0)对称．其中正确命题的序号是________．答案精析高考小题分项练高考小题分项练(一)1．(1,2)解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．2．充分不必要解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，所以a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”；当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，即“a ∥b ” ⇏“m ＝－3”．故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．3．(－1,2)∪(2，＋∞)解析 要使函数有意义当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≠0，1＋x >0，解得x >－1且x ≠2，从而定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．4．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74. 5．x 3－ln(1－x )解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．6．充要解析 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时， f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，cos φ＝0，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件． 7．c <a <b解析 由于函数满足f (x )＝f (2－x )，则说明函数关于直线x ＝1对称，且当x ∈(－∞，1)时，由不等式(x －1)f ′(x )<0，可知函数f ′(x )>0，说明函数在x ∈(－∞，1)上单调递增，则在(1，＋∞)时，函数单调递减．x ＝3离对称轴的距离为最远，则最小值为f (3)，因为0<12<1在单调递增区间上，所以a <b ，所以c <a <b .8．2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立， 得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.9．5解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25x＋12， ∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x， 即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的平均利润最大．10．1解析 依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x >0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]>0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]<0，g (x )是减函数，g (x )>0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1. 11．[－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离，所以d ＝21＋k2≥1，解得－3≤k ≤ 3.12．(8，＋∞) 解析 由题意得：⎩⎨⎧ x 0≤0，301x ＋>3或⎩⎨⎧ x 0>0，log 2x 0>3即⎩⎨⎧ x 0≤0，x 0>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，x 0>8，解得x 0>8. 13.⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)<0，即－6b ·(3－6b )<0，解得0<b <12. 14．40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0.即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x>40时，y′>0，当0<x<40时，y′<0，所以当x＝40时，y最小．15．①②③④解析因为函数y＝f(x)是奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，由f(x－2)＝－f(x)可知，函数是最小正周期为4的函数，故命题①正确．f(－x)＝－f(x)和f(x－2)＝－f(x)结合得到f(x－2)＝f(－x)，故函数关于x＝－1对称，而x∈[1,3]，x－2∈[－1,1]，∴f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，∴f(x)＝－(x－2)3＝(2－x)3，故命题②正确，由上可作图，推知命题③④正确．。

高考大题纵横练高考大题纵横练（一)1．（2016·山东）设f(x）＝2错误!sin（π－x)sin x－(sin x－cos x）2. (1)求f（x）的单调递增区间；（2)把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移错误!个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g错误!的值．解（1)f（x）＝2错误!sin（π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2错误!sin2x－(1－2sin x cos x)＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－错误!cos 2x＋错误!－1＝2sin错误!＋错误!－1.由2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!(k∈Z)，得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!(k∈Z)．所以f（x）的单调递增区间是错误!（k∈Z）错误!。

(2)由（1)知f（x）＝2sin错误!＋错误!－1,把y＝f(x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）．得到y＝2sin错误!＋错误!－1的图象．再把得到的图象向左平移错误!个单位，得到y＝2sin x＋错误!－1的图象，即g（x)＝2sin x＋错误!－1。

所以g错误!＝2sin 错误!＋错误!－1＝错误!.2．(2016·天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2，3的人数分别为3,3,4。

现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A 发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由已知，有P(A)＝错误!＝错误!。

所以事件A发生的概率为1 3 .（2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝1）＝错误!＝错误!，P(X＝2)＝错误!＝错误!.所以随机变量X的分布列为X012P错误!错误!错误!随机变量X的数学期望E（X)＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝1。

清河中学2023届高三数学第二轮复习策略与计划（一）夯重基础，加深理解与应用基础永远是高考的重点。

对基础的复习，不是对课本内容的简单重复，而是对知识点的解析梳理，对概念、公式等的准确理解、牢固掌握，是学生理解能力的升华。

加强对常考知识点、重难点的融会、贯通，把握每个知识点背后的潜在的出题规律，要通过对基础题的系统训练和规范讲解，从不同的角度把握每一个知识点的内涵与外延以及与其它知识点的联系。

“一体四层四翼”是高考的评价体系，从国家层面设计上回答了“为什么考”“考什么”“怎么考”等关键性问题。

一体：高考评价体系，通过确立“立德树人，服务选拔，导向教学”这一核心立场，回答了“为什么考”的问题。

四层：通过明确“必考知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了“考什么”的问题。

四翼：通过明确“基础性、综合性、应用性、创新性”四个考查要求，回答了“怎么考”的问题。

复习策略上以基础、中档题为主，抓住问题的本质，知识间的相互联系，总结出通性通法，注意最优（技巧性）解法的优越性。

（二）注重数学思想方法，培养数学核心素养高考数学试题十分重视对数学思想的考查，着重考查如下七种数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想，分类与整合思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，数学思想蕴含在数学基础知识之中，是架设在数学知识与能力之间的一座桥梁。

数学的思想与方法，是宏观与微观的关系，在数学思想的指导下，灵活运用数学方法解决具体问题，没有思想的方法是肤浅的，没有方法的思想是空洞的，只有二者完美的结合才是数学教学的最高境界。

高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

对学生核心素养的培养，对于发展学生的理性思维、培养学生的学科能力，具有决定性的作用。

（三）重视数学文化传承，注重创新意识发展中科院院士、王梓坤教授曾指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括.”，武汉大学齐民友教授站在影响人类文化的兴衰、民族生存发展的高度，在《数学与文化》一书中写到：“一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.” 阐明了数学文化的价值.由于数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括，其价值对于人类文明乃至民族的存亡有着重大的意义.近年来，每年都对中华优秀传统文化知识进行考查，对传统文化知识的考查是对高层次数学思维的考查；每年的数学试题中总有4～5道新颖题型，体现创新意识，以便选拔优秀的学生.每年创新题型肯定会出现，这样的题型包括新定义型、归纳猜想型、类比推理型、探索发现型、研究设计型、开放发散型问题等，但整体试卷难度不会大起大落，以平稳为主。

【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导二 全面掌握解答题的6个模板，规范答题拿高分 理规范——解答题的6个解题模板题型概述解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．模板1 三角问题【例1】 (满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． [规范解答] 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①2′ 又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②4′ 由①②得，sin C sin B ＝cos B sin C ， ∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0， ∴sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.6′(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac ，8′由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4＝a 2＋c 2－2ac ，10′又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2＝2()2＋2，当且仅当a ＝c 时，取等号．所以△ABC 面积的最大值为2＋1.14′[解题模板] 第一步 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为边之间的关系或角之间的关系第二步 求待求角的某一三角函数值； 第三步 指明角的范围，并求角；第四步 利用面积公式表示所求三角形的面积或利用余弦定理表示边角关系； 第五步 反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤．【训练1】 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin∠B sin∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin∠B sin∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 模板2 立体几何问题【例2】 (满分14分)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE . [规范解答](1)证明 法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM . 因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA . 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以EF ∥AM .5′又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .7′ 法二 连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN . 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE . 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .5′又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .7′ 法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD . 又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD .2′ 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD . 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD .5′ 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .7′ (2)证明 设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CDDA＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA . 又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .9′因为平面PAC ⊥平面ABCD 且平面PAC ∩平面ABCD ＝AC ，因为DE ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥平面PAC ，12′又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .14′ [解题模板]1．画出必要的辅助线，根据条件合理转化； 2．写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分； 3．明确写出所证结论．【训练2】 如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 模板3 实际应用问题【例3】 (满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y .(1)设∠CA 1O ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．[规范解答] 解 (1)在Rt△COA 1中，CA 1＝2cos θ，CO ＝2tan θ，2′y ＝3CA 1＋CB ＝3·2cos θ＋2－2tan θ＝2（3－sin θ）cos θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4.6′(2)y ′＝2－cos 2θ－（3－sin θ）（－sin θ）cos θ ＝23sin θ－1cos 2θ，令y ′＝0，则sin θ＝13，10′ 当sin θ＞13时，y ′＞0；sin θ＜13时，y ′＜0，∵y ＝sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴当角θ满足sin θ＝13时，y 最小，最小为42＋2；此时BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22 m ．14′[解题模板]解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意； (2)设置变量，建立函数关系； (3)应用函数知识或数学方法解决问题； (4)检验，作答．【训练3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °， 即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ， 所以y ＝22x x －2(x ＞2)．(2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)． 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2. 模板4 解析几何问题【例4】 (满分16分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，点P 为上顶点，圆O ：x 2＋y 2＝b 2将椭圆C 的长轴三等分，直线l ：y ＝mx －45(m ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，PA ，PB 与圆O 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求证△APB 为直角三角形；(3)设直线MN 的斜率为n ，求证mn为定值． [规范解答](1)解 由已知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2，2a ＝6b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所求椭圆方程为x 29＋y 2＝1.Ⅰ 5′(2)证明 将y ＝mx －45代入椭圆方程整理得(9m 2＋1)x 2－725mx －8125＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用求根公式求解上述一元二次方程的根，则x 1＋x 2＝72m5（9m 2＋1）， x 1x 2＝－8125（9m 2＋1）.又P (0，1)， ∴PA →·PB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(mx 1－95)(mx 2－95)＝(m 2＋1)x 1x 2－95m (x 1＋x 2)＋8125＝－81（m 2＋1）25（9m 2＋1）－648m 225（9m 2＋1）＋8125＝0， 因此PA ⊥PB ，则△APB 为直角三角形．Ⅱ 12′ (3)证明 由(2)知直线MN 方程为y ＝nx ， 代入x 2＋y 2＝1，得(n 2＋1)x 2－1＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝0，x 3x 4＝－1n 2＋1，y 1－1x 1＝y 3－1x 3，① y 2－1x 2＝y 4－1x 4.② 两式相加整理得2m －95·x 1＋x 2x 1x 2＝2n ，可求得m n ＝15.Ⅲ 16′[解题模板] Ⅰ求椭圆方程； Ⅱ证明垂直①将直线方程和椭圆方程联立，得到一元二次方程；②设出直线与椭圆的交点坐标，利用求根公式求一元二次方程的根，并求两根和与积； ③利用两根和与两根积的关系证明垂直； Ⅲ可利用第(2)问结论，证明m n为定值．【训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1，0)，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )， 设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2（4k 2－12）3＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83.模板5 函数与导数问题【例5】 (满分16分)设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)当x ＞0时，求证： f (x )－ax ＋e x＞0. [规范解答](1)解 ∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝a －1x ，由已知f ′(e)＝1e ，即a －1e ＝1e ，则a ＝2e.Ⅰ 6′(2)解 由(1)知，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上递减； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a；当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由表可知：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 上是单调减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞上是单调增函数，综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.Ⅱ 10′(3)证明 当x ＞0时，要证f (x )－ax ＋e x＞0， 即证e x－ln x －2＞0，设g (x )＝e x－ln x －2(x ＞0)．只需证g (x )＞0， ∵g ′(x )＝e x－1x，由指数函数及幂函数的性质知：g ′(x )＝e x－1x在(0，＋∞)上是增函数，又g ′(1)＝e －1＞0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝e 13－3＜0，∴g ′(1)·g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜0， ∴g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1内存在唯一的零点， 则g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一的零点， 设g ′(x )的零点为t ，则g ′(t )＝e t－1t＝0，即e t＝1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜t ＜1，由g ′(x )的单调性知：当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜g ′(t )＝0； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(t )＝0，∴g (x )在(0，t )上为减函数，在(t ，＋∞)上为增函数， ∴当x ＞0时，g (x )≥g (t )＝e t －ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝1t ＋t －2≥2－2＝0，又13＜t ＜1，等号不成立，∴g (x )＞0，故当x ＞0时，f (x )－ax ＋e x＞0.Ⅲ 16′ [解题模板]Ⅰ求参数值，利用导数的几何意义求a ；Ⅱ判断单调性：①求定义域，②求导，③讨论，并求单调区间；Ⅲ利用最值证不等式：①构造函数；②求导；③判断最值点x ＝x 0，并用x 0表示最值；④证不等式．【训练5】 设f (x )＝（x ＋a ）ln xx ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直． (1)求a 的值；(2)若对∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的范围．解 (1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ＋a x （x ＋1）－（x ＋a ）ln x （x ＋1）2由f ′(1)＝12，即2（1＋a ）4＝12，解得a ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x ln xx ＋1， 当x ≥1时，f (x )≤m (x －1)，即x ln xx ＋1≤m (x －1)，可化为ln x －mx ＋m x≤0， 设g (x )＝ln x －mx ＋m x ，g ′(x )＝1x －m －m x 2 ＝－mx 2＋x －m x 2. 设φ(x )＝－mx 2＋x －m ，①当m ≤0时，g ′(x )＞0，g (x )≥g (1)＝0，不合题意．②当m ＞0时，1°.Δ≤0时，即m ≥12，g ′(x )≤0，g (x )≤g (1)＝0，符合题意． 2°.Δ＞0时，0＜m ＜12，φ(1)＝1－2m ＞0，不合题意． 综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 模板6 数列问题【例6】 (满分16分)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求证{b n －12}是等比数例，并求数列{b n }的通项公式； (2)如果对任意n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围． [规范解答](1)证明 当n ＝1时，2b 1＝7，b 1＝72.Ⅰ 2′ 当n ≥2时，S n ＋b n ＝n ＋132， ① S n －1＋b n －1＝（n －1）＋132， ② ①－②得2b n －b n －1＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫b n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3， 公比为12的等比数列，Ⅱ 6′ 所以b n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即b n ＝3·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋12.Ⅲ 7′ (2)解 由题意及(1)得S n ＝n ＋132－b n ＝n ＋132－3112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭－12＝n ＋122－3112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅳ10′不等式12k 12＋n －2S n≥2n －7， 化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立． 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝－2n ＋92n ＋1. 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n ＜5时，c n ＋1＞c n ，c n 为单调递增数列，116＝c 4＜c 5＝332， 所以n ＝5时，c n 取得最大值332， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.Ⅴ 16′[解题模板]Ⅰ求首项令n ＝1，即可求出b 1；Ⅱ转化为等比数列将⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝72，b n ＝12b n －1＋14类型的问题转化为等比数列求解； Ⅲ求通项公式根据等比数列通项公式求b n －12，进而求b n ； Ⅳ求前n 项和由已知可用b n 表示S n ，即S n ＝n ＋132－b n ； Ⅴ转化并证明分离字母，并判断数列{c n }的增减性求数列{c n }中的最大项．【训练6】 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜12. (1)证明 因为a n ＞0，令n ＝1，有4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－5，所以a 2＝4a 1＋5.(2)解 4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，两式相减得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，整理得a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，即a n ＋1＝a n ＋2.所以{a n }从第2项起，是公差为2的等差数列．所以a 5＝a 2＋3×2＝a 2＋6，a 14＝a 2＋12×2＝a 2＋24，又a 2，a 5，a 14构成等比数列，有a 25＝a 2·a 14，则(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)知a 1＝1，又a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)证明 由(2)得1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.。

第3讲统计与统计案例1．(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2，p3,则( ）A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p32．(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28。

610.11。

311。

9支出y(万元）6。

27。

58.08.59。

8根据上表可得线性回归方程错误!＝错误!＋错误!，其中错误!＝0。

76,错误!＝错误!－错误!错误!。

据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（)A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元3．（2014·天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4．(2014·江苏）为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.2。

在概率与统计的交汇处命题,以解答题中档难度出现。

热点一抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围:总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．例1 （1)某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1，2,3，…,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1，2,3,…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根,其编号不可能是（）A．13 B．17C．19 D．23(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4,y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市,则乙组中应抽取的城市个数为________．思维升华(1）随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的;(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．跟踪演练1 (1）（2015·西北工业大学附中二模）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（)A.08 B．07C．02 D．01（2)(2014·广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100,20C．200,10 D．100,10热点二用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示错误!，频率＝组距×错误!。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角函数的性质典例1 (12分)(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．审题路线图 利用和角公式展开→降幂整理→用辅助角公式化f x 为y ＝A ωx ＋φ＋k 的形式→利用T ＝2π|ω|求周期→利用单调性或数形结合求最值规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π322分＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x 4分 ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分第一步 化简：利用辅助角公式化f (x )为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步 整体代换：设t ＝ωx ＋φ，确定t 的范围． 第三步 求解：利用y ＝sin t所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，8分f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，10分 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.12分的性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调性、最值、对称性等．第四步 反思：查看换元之后字母范围变化，利用数形结合估算结果的合理性，检查步骤的规范性.评分细则 第(1)问得分点：1 无化简过程，直接得到f (x )＝12sin(2x －π6)，扣5分2 化简结果错误，中间某一步正确，给2分 第(2)问得分点：1 只求f (－π3)，f (π4)得出最值，给1分2 若单调性出错，给1分3 单调性正确，计算错误，扣2分4 求出2x －π6范围，利用数形结合求最值，同样得分．跟踪演练1 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．模板2 解三角形典例2 (14分)(2014·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板解 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33，1分 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.3分由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.5分(2)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝63⇒c 2－43c ＋9＝0⇒c 1＝3，c 2＝33，10分 又因为B ＝A ＋π2为钝角，所以b >c ，即c ＝3，12分 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝322.14分第一步 找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向． 第二步 定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步 求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步 再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.评分细则 第(1)问得分点1．没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分． 2．写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． 第(2)问得分点1．写出余弦定理，但c 计算错误，得1分． 2．求出c 的两个值，但没舍去，扣2分．3．面积公式正确，但计算错误，只给1分．4．若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．模板3 数列的通项、求和典例3 (12分)(2014·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 审题路线图a n ，b n 关系、特殊项→基本量法求a n →代入a n ，b n 关系求b n →求a n→分组求和求S n →利用数列的单调性、最值确定k规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板解 (1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)32b b －＝8.2分又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)，4分 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2(1)2n n +＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).6分 (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).8分 ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，9分 当n ≥5时，c n ＝1nn ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋2n －1，而n n ＋2n－n ＋n ＋2n ＋1＝n ＋n －2n ＋1>0， 得n n ＋2n ≤＋25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.11分综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.12分第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系． 第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式．第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)．第四步 写步骤．第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则 (1)求出a 3＝8得2分，给出b 2，b 3的关系得1分； (2)求出q 给1分，但q ＝－2不舍去不得分； (3)裂项得1分，每个求和写出正确结果得1分；(4)验算前4项给2分； (5)验算法给出最后结果得3分．跟踪演练3 (2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .模板4 利用向量求空间角典例4 (12分)(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规范解答·评分标准构建答题模板(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，如图(1)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，3分因为C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.5分(2)解如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，7分因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，8分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.因此M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，9分 因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n|CD 1→||n |＝55.11分所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.12分评分细则 (1)得出C 1D 1∥AM 给1分，得出C 1D 1＝MA 给1分； (2)线面平行条件不完整扣1分； (3)建系得1分；(4)写正确向量坐标给2分；(5)求出平面C 1D 1M 的一个法向量给2分．跟踪演练 4 (2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ； (3)求二面角AEGM 的余弦值．模板5 离散型随机变量的分布列典例5 (12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求均值规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ， 则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727，4分 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.6分 (2)由题意知ξ的可能取值是1,2.7分 P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45， 则ξ的分布列为ξ1 2 P15 4510分∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.12分第一步 定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值．第二步 定性：明确每个随机变量取值所对应的事件． 第三步 定型：确定事件的概率模型和计算公式． 第四步 计算：计算随机变量取每一个值的概率． 第五步 列表：列出分布列．第六步 求解：根据均值、方差公式求解其值.评分细则 (1)P (A )，P (B )计算正确每个给2分；(2)对甲、乙至少有一人闯关成功事件分解、计算正确的参照给分； (3)P (ξ＝1)，P (ξ＝2)计算正确每个给1分，列表给1分．跟踪演练5 (2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．模板6 直线与圆锥曲线典例6 (12分)(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 审题路线图 待定系数法求E 的方程→设l 方程→联立l 、E 方程→求|PQ |→求S △OPQ→求S △OPQ 的最值规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.2分又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.5分(2)当l ⊥x 轴时，不合题意，故设l ：y ＝kx －2，6分P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.7分当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.9分 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，11分所以，当△OPQ 的面积最大时l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12分 第一步 提关系：从题设条件中提取不等关系式． 第二步 找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．第三步 得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围或最值．第四步 再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约，检查最值取得的条件.评分细则 (1)列出关于c 的方程，结果算错给1分； (2)求出a ＝2，给2分，得E 的方程给1分； (3)没有考虑斜率不存在的情况扣1分； (4)求|PQ |时结果正确没有过程扣1分； (5)没有验证Δ>0扣1分．跟踪演练6 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．模板7 解析几何中的探索性问题典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k x ＋→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为m ，→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.2分 第一步 先假定：假设结论成立．第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－k 2＋k 2－， ①x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1. ② 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12， 解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.4分(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.7分 将③代入，整理得MA →·MB →＝m －k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －13k 2＋－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋14k 2＋.9分注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.10分(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.11分综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常理求解．第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设．第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.数.12分评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0扣1分； (3)没有假设存在点M 不扣分；(4)MA →·MB →没有化简至最后结果，直接下结论扣1分．跟踪演练7 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．模板8 函数与导数典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f x ＝mmx－＋2x →讨论m 确定f x 符号→证明结论 (2)条件转化为f x 1－f x 2max≤e－1――→结合知f x min ＝f⎩⎪⎨⎪⎧ f －f －1f －－f－1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1e －m＋m ≤e－1→构造函数g t ＝e t－t －e ＋1→研究g t 单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g mg－m的条件→对m 讨论得适合条件的范围规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .1分若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.4分所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.6分 (2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f－f －1，f －－f －1，8分即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝et－1.9分当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e－1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；10分第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f ′(x )．第二步 定区间：根据f ′(x )的符号确定函数的单调区间． 第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题． 第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立． 第五步 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点的探求是否合理等. 当m＞1时，由g(t)的单调性，g(m)＞0，即e m－m＞e－1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.11分综上，m的取值范围是[－1,1].12分评分细则(1)讨论时漏掉m＝0扣1分；(2)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(3)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(4)无最后结论扣1分；(5)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练8 设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．学生用书答案精析第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分 跟踪演练1 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .跟踪演练2 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.跟踪演练3 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14nn －n ＋＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋－n －12n ＋1)跟踪演练4 (1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)证明 连接BD ，设O 为BD 的中点， 因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ，所以OM ∥HN ，OM ＝HN ，所以四边形MNHO 是平行四边形， 从而MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， 所以MN ∥平面BDH .(3)解 方法一 连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P ， 在正方体ABCD-EFGH 中，AC ∥EG ， 所以MP ⊥EG ，过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ， 所以EG ⊥平面PKM ， 从而KM ⊥EG ，所以∠PKM 是二面角AEGM 的平面角，设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2， 在Rt△CMP 中，PM ＝CM sin 45°＝22， 在Rt△PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322，所以cos∠PKM ＝PK KM ＝223，即二面角AEGM 的余弦值为223.方法二 如图，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD ＝2，则M (1,2,0)，G (0,2,2)，E (2,0,2)，O (1,1,0)， 所以GE →＝(2，－2,0)，MG →＝(－1,0,2)， 设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·GE →＝0，n 1·MG →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2,2,1)，在正方体ABCD-EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1,1,0)， 所以n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223，故二面角AEGM 的余弦值为223.跟踪演练5 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610. 故X 的分布列为 X200 300 400 P110 310 610 E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.跟踪演练6 解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝ c ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立． ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t x ＋，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝ 6－2x2x ＋2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.跟踪演练7 解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y2b 21＝1上，所以(233)2－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知 2a 2＝ 2332＋－2＋2332＋＋2＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)·(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．跟踪演练8 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋a x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。

高考小题综合练(二)1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别为________．2．(2015·无锡模拟)已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，B ＝{y |y ＝2－x }，则A ∩B ＝________. 3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．4．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为________(精确到0.01)．5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝________.7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝π2，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．8．若(x －2x )n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为________．9．如图是某算法的流程图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为________．10．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________．11．设函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．12．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 14．(2015·南京联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y的最大值与最小值的比值为________．15．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．答案精析高考小题综合练(二)1．3，－2解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2. 2．[0,2]解析 ∵A ＝{x |y ＝2－x }＝(－∞，2]，B ＝{y |y ＝2－x }＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝[0,2]．3.π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.4．0.74解析 5次预报中至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报都准确．故5次预报，至少有4次准确的概率为C 45×0.84×0.2＋C 55×0.85×0.20≈0.74. 5.33解析 由题意，点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a)．因为∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a ＝tan 60°＝3，则2ac ＝3b 2，即2ac ＝3a 2－3c 2，3c 2＋2ac－3a 2＝0.两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，即(3e －1)(e ＋3)＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 6．100解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1，S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.7.π3解析 以△A 1B 1C 1为下底面做三棱柱A 1B 1C 1－A 2B 2C 2全等于三棱柱ABC －A 1B 1C 1，如图所示，取C 1C 2中点M ，连结FM ，则FM 綊BC 1，∴∠EFM 或其补角为直线EF 和BC 1所成的角，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则FM ＝BC 1＝22＋22＝22，EF ＝12＋12＝2，EM ＝CE 2＋CM 2＝22＋12＋32＝14.∴cos ∠EFM ＝EF 2＋FM 2－EM 22·EF ·FM ＝－12.∴∠EFM ＝23π.∴直线EF 和BC 1所成的角为π3.8．12解析 ∵T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x)r ＝C r n (－1)r 2r x ，∴T 5＝C 4n ·24·x . 令n －12＝0，∴n ＝12. 9.23解析 运行第一次，x ＝2x －1，n ＝2； 运行第二次得x ＝2(2x －1)－1＝4x －3， n ＝3；运行第三次得x ＝2(4x －3)－1＝8x －7， n ＝4，结束循环，输出8x －7.由8x －7>49得x >7，所以当输入的x ∈[1,19]时，输出的x 大于49的概率为19－719－1＝23.10．6解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0.又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6. 11．(log 32,1)解析 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2x ∈(log 32,1)，故要使函数f (x )在(1,2)内存在零点，只要a ∈(log 32,1)即可． 12．(2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.13．[2，＋∞)解析 如图，连结AQ ，∵P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a2≥1，a ≥2. 14．2解析 约束条件对应的区域如图所示，当直线z ＝2x ＋y 经过点A (2,2)时，z 取得最大值6，当直线经过点B (1,1)时取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2.15．[－22，＋∞)解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)， 当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.。

高考小题综合练(四)1．(2015·扬州月考)若集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝{y |4y ∈N *，y ∈A }中元素的个数为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8＝________.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的________条件． 5．已知sin 2α＝13，则cos 2(α－π4)＝________.6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数是________．7．(2015·课标全国Ⅱ改编)如图，流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该流程图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.8．(2015·课标全国Ⅱ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为________． 9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ，则y ＝f (x )的图象大致为下图中的________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．11．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．12．(2015·盐城模拟)某班班会准备从含甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．13．已知△P AD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，P A ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．14．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.15.(2015·镇江模拟)已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.答案精析高考小题综合练(四)1．3解析 ∵x 2－7x <0，∴0<x <7， 又∵x ∈N *，∴x ＝1,2,3,4,5,6， 又∵B ＝{y |4y∈N *，y ∈A }，∴B ＝{1,2,4}，即B 中的元素个数为3. 2．9解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝13，7a 1＋21d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1，所以a 8＝9.3.367解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 4．充要解析 因为m ＝1时，两直线分别是直线x －y ＝0和直线x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直，则1×1＋(－1)m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立，即“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的充要条件． 5.23解析 ∵cos 2(α－π4)＝1＋cos (2α－π2)2＝1＋sin 2α2，∴cos 2(α－π4)＝23.6．2解析对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n可能在平面α内，所以推不出n∥α，②错误；对于③，举一反例，当m⊂β且m与α，β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．7．2解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；第四次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；第五次执行循环结构时，由a＜b知，a＝2，b＝b－a＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a＝b知，输出a＝2，结束．8．∀n∈N，n2≤2n解析将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．9．①解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x1，x2)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0；在区间(x2，x3)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0.10.3＋1解析因为MF1的中点P在双曲线上，PF2－PF1＝2a，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.11．4 5解析 公共弦的方程为：(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2－25＝0的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.12.16解析 由题意可分两种情况：只有甲、乙中一人参加，包括情况有C 12C 35A 44＝480. 甲、乙两人都参加包括C 25A 44＝240，则满足条件总的发言总数为480＋240＝720. 甲、乙两人参加，且发言时不相邻的包括情况有C 25A 22A 23＝120，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为120720＝16.13．12π解析 如图，在Rt △P AD 中，AD ＝4＋4＝22，过△P AD 的外心M作垂直于平面P AD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则O 为四棱锥P －ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P －ABCD 外接球的半径)，即R ＝3，∴四棱锥P －ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. 14．312解析 易知前19行共有19×4＝76个奇数，所以第20行的第4列的奇数为2×77－1＝153，所以第20行第3列的数字与第20行第2列数字分别为155,157，所以它们的和为312. 15.112解析 设a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA→＋3bGB→＝－3cGC→＝－3c(－GA→－GB→)，即(2a－3c)GA→＋(3b－3c)GB→＝0，又因为GA→，GB→不共线，则2a－3c＝0，3b－3c＝0，即2a＝3b＝3c，所以a＝3b2，c＝3b3，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝112.。

高考大题纵横练(一)1．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3，x ∈R . (1)求函数y ＝f (－3x )＋1的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若锐角A 满足f (A 2－π6)＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．2．某网络营销部门为了统计某市网友2014年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下表数据统计表：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”“网购达人”人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值；(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．3．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD . (1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．4．(2014·四川)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a nb n }的前n 项和T n .5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．6．已知函数f (x )＝[ax 2＋(a －1)2x －a 2＋3a －1]e x(a ∈R )． (1)若函数f (x )在(2,3)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，设g (x )＝f xex＋ln x －x ，斜率为k 的直线与曲线y ＝g (x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中x 1<x 2)两点，证明：(x 1＋x 2)k >2.答案精析高考大题纵横练(一)1．解 (1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1) ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，∴y ＝f (－3x )＋1＝2sin(－6x ＋π3)＋1＝－2sin(6x －π3)＋1，∴y ＝f (－3x )＋1的最小正周期为T ＝2π6＝π3，由2k π－π2≤6x －π3≤2k π＋π2得：13k π－π36≤x ≤13k π＋5π36，k ∈Z ，∴y ＝f (－3x )＋1的单调递减区间是 [13k π－π36，13k π＋5π36]，k ∈Z . (2)∵f (A 2－π6)＝ 3.∴2sin(A －π3＋π3)＝3，∴sin A ＝32. ∵0<A <π2，∴A ＝π3.由正弦定理得：sin B ＋sin C ＝b ＋casin A ， 即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.2．解 (1)根据题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝60，18＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6，∴p ＝0.15，q ＝0.10.(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人，故ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 36C 310＝16；P (ξ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (ξ＝2)＝C 24C 16C 310＝310；P (ξ＝3)＝C 34C 06C 310＝130.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1612310130∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.3．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面PAB ∥平面EFG ，又∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG . (2)解 建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG的一个法向量n 1＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝a －1，∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的一个法向量n 2＝(1,0,0)，依题意， cos 〈n 1，n 2〉＝2－a 2－a2＋a －12＋1＝22， ∴a ＝1，于是GF →＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的一个法向量n 3＝(m ，n,1)，PC →＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有 sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36， 故有cos θ＝336. 4．解 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n. 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以T n ＝2n ＋1－n －22n. 5．(1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 由题意可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意． ②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝4k 2－123＋4k 2＋k 2(4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1) ＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.(3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(2)可得 |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k2[8k 23＋4k22－44k 2－123＋4k2] ＝12k 2＋13＋4k2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝431＋k23＋4k2，∴|AB |2|MN |＝481＋k23＋4k 212k 2＋13＋4k 2＝4，为定值． 6．(1)解 f ′(x )＝[ax 2＋(a 2＋1)x ＋a ]e x， 当a ≥0时，∵x ∈(2,3)， ∴f (x )在(2,3)上单调递增； 当a <0，∵f (x )在(2,3)上单调递增，f ′(x )＝a (x ＋a )(x ＋1a)·e x ≥0，①当－1<a <0时，得－a ≤x ≤－1a ，依题意知(2,3)⊆[－a ，－1a ]，得－13≤a <0；②当a ＝－1时，f ′(x )＝－(x －1)2·e x≤0，不合题意，舍去； ③当a <－1时，得－1a ≤x ≤－a ，依题意知(2,3)⊆[－1a，－a ]，得a ≤－3. 综上得：a ∈(－∞，－3]∪[－13，＋∞)．(2)证明 当a ＝0时，g (x )＝f xex＋ln x －x ＝ln x －1，k ＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1，要证(x 1＋x 2)k >2，即证(x 1＋x 2)·ln x 2－ln x 1x 2－x 1>2，∵x 2－x 1>0，即证ln x 2x 1>2x 2x 1－1x 2x 1＋1(x 2x 1>1)．令h (x )＝ln x －2x －1x ＋1(x >1)，则h ′(x )＝1x －4x ＋12＝x －12x x ＋12>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，h (x )>h (1)＝0.∴ln x 2x 1>2x 2x 1－1x 2x 1＋1.即(x 1＋x 2)k >2成立．。

第4讲推理与证明1．（2015·湖北）已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝｛(x，y）||x｜≤2，|y｜≤2，x，y∈Z｝，定义集合A B＝{(x1＋x2,y1＋y2)|（x1，y1)∈A，（x2，y2)∈B},则A B中元素的个数为( ）A．77 B．49 C．45 D．302．（2014·北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ）A．2人B．3人C．4人D．5人3．(2015·陕西)观察下列等式：1－12＝错误!，1－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!，1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!，……,据此规律,第n个等式可为_________________________________________．4．（2015·福建）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N＊)，其中x k(k＝1,2，…，n）称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:错误!其中运算定义为00＝0,01＝1,10＝1，11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k＝________。

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理,多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题。