Banach空间一类奇异脉冲微分方程的多解存在性

第15卷第1期2013年3月应用泛函分析学报A C T A A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T AV01．15，N o．1M ar．，2013D O I：10．3724／SP．J．1160．2013．00001文章编号：1009-1327(2013)01-0001—06B anach空间中混合型积分一微分方程解的存在性周文学，一，刘海忠，1．兰州交通大学数理学院，兰州7300702．复旦大学数学科学学院，上海200433摘要：将微分方程初值问题转化为等价的积分方程，近来此方法被应用于讨论非线性微分方程初值问题解的存在性．利用凸幂凝聚算子的不动点定理，研究了Bana ch空间中混合型非线性二阶积分一微分方程的初值问题解的存在性．关键词：B a nac h空间；积分-微分方程；解的存在性；初值问题中图分类号：0175．81引言在本文中，我们利用凸幂凝聚算子的不动点定理研究了B a nach空间E中混合型非线性二阶积分一微分方程的初值问题u”(t)=f(t，u(￡)，(K札)(t)，(H札)(砒t∈I=【0，n】，、沁)：训，(0h。

u’解的存在性，其中I=【0，0】(o<o)，，：J×E×E×E_E为非线性映射，X O，X l∈E，且广t广8(K u)(t)=／k(t，s)u(s)ds，(H u)(t)=／h(t，s)u(s)ds(2)30j0在(2)中，k(t，8)∈C[D o，R+】，h(t，s)∈c[△，R+】，D o={(t，8)∈R×R：0≤8≤t≤n)，△={(t，8)∈豫×R：(t，s)∈I×J)，R+=【0，+。

)，R=(一。

，+D。

)．该问题是含时间t的偏微分方程的初边值问题的抽象模型，许多数学物理方程的初边值问题及C auchy问题都可以转化为适当函数空间中方程(1)的形式，参见文献fI-2]．关于积分一微分方程的解的存在性，极值解以及解的其他讨论已取得许多丰富的成果，如文献【3—8】．特别地，在文献【3-5】中，借助混合单调技巧，作者得到了有序B anach空间中混合型非线性一阶积分一微分方程的初值问题的解．但是对初值问题(1)的解的讨论比较少．最近，在文献【6]中，在非线性项，不包括微分项u’的特殊情形下，作者讨论初值问题(1)的极小解和极大解，并且在比较强的条件下，得到了单调迭代序列．在文献【71中，在非线性项厂不包括算子日u的特殊情形下，并且在比较强的条件下，作者讨论初值问题(1)的极小解或极大解，借助下解或上解和混合单调迭代技巧得到了唯一解．在文献【8】中，借助一些新的比较定理和M5nch不动点定理，并且在更一般混合型情形下，作者获得了初值问题(1)的整体解和唯一解．本文将利用凸幂凝聚算子的不动点定理，在更广泛的条件下，来研究更一般的初值问题(1)解的存在性．因此本文的结果不能由文献【3—8】得到，而且本文的方法也与文献【3’81中的方法有本质不同．收稿日期：20l O-12-02资助项目：国家自然科学基金(11161027，11262009)作者简介：周文学(1976～)，男，汉族，甘肃天水人，副教授，博士，研究向：非线性分析理论及其应用，Em ai l：w xzhou 2006@126．c om．2应用泛函分析学报第15卷设C(1，E)为定义于，取值于E的抽象连续函数按范数I l ul l。

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性首先，关于常微分方程周期边值问题，需要先介绍它的定义、性质、以及各种参数。

在介绍它的定义之前，我们需要先介绍Banach 空间，这是一种非常抽象的数学概念，它会限定函数在各种极限中的行为。

Banach空间定义：给定一个复数数域X，X的子集M的定义为线性空间，如果：1.M是完全的，这意味着对于任意元素x∈M，如果(xn)是序列，且xn→x，则x∈M；2.M上有一个范数，即一个M[0,∞）函数，使得M上有正定义的欧式距离，且它具有三角不等式；3.如果x∈M，则存在常数c>0，使得它的范数最小；4.M上定义有完备的封闭性。

因此，Banach空间定义为M上满足以上条件的空间。

定义常微分方程周期边值问题：给定一个常微分方程组：y(t)=f(t,y), (t∈[0,T])给定一(T轴上的固定点)t1,...,tN, 以及一组边值y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN对于对于Banach空间中的M，我们可以定义常微分方程周期边值问题，它的定义为：找出使得y(t)=f(t,y)， y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN成立的函数y，使y∈M。

对于常微分方程周期边值问题，它具有一些重要的性质，分别是： 1.边值问题具有解的唯一性，即对于边值问题，只有一解满足所有条件，不存在其他解。

2.边值问题具有连续性，即对于边值问题，在给定边值时，只有一解与给定边值相连，并且解是连续的。

3.边值问题具有可导性，即对于边值问题，可以使用微分方法来求解，可以求出方程的导数，并使用导数来分析问题的变化规律。

在介绍完常微分方程周期边值问题以及Banach空间的定义以及性质之后，本文将讨论《Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性》，即对于在Banach空间中的高阶常微分方程周期边值问题，存在什么样的条件可以保证它的解的存在性。

一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性张海燕;李耀红【摘要】在Banach空间中，利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究一类一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题，其非线性项和边值条件均具有耦合性。

获得该问题解的存在性定理，并给出一个应用实例。

%By applyingthe Mönch fixed theorem and using a new comparison result,we study existence of so⁃lutions of infinte boundary value problems for a class of nonlinear coupled differential equations systems in Banach spaces,where the system is coupled not only in the differential system but also through the boundary conditions. A new existence theorem is established.As an application,we give an example to demonstrate our result.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P1-5)【关键词】Banach空间;边值问题;不动点定理;比较结果【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000;宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91令（E，‖·‖）是Banach空间，考虑E中一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：这里J=[0 ,+∞),f,g ∈C[J × E ×E,E],α,β ＞ 1.近年来，微分方程耦合系统受到广泛关注，获得许多有价值的结果.如在无穷区间上，文［1-4］获得了微分方程耦合系统解的存在性或多解性；在分数阶情形下，文［5-8］也获得许多微分方程耦合系统的可解性结论.但上述文献中微分方程系统的耦合性主要是指非线性项中变量的耦合，对边值条件的耦合性研究相对较少.注意到耦合边值条件在反扩散问题、热学问题、流体力学等应用科学领域有着广泛的应用.本文将利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究非线性微分方程耦合系统无穷边值问题（1），其非线性项和边值条件均具有耦合性.1 预备知识和引理记C［J，E］={u：J→E|u（t）连续}，C1［J，E］={u：J→E|u（t）连续且一阶可微}.令BC［J，E］={u∈C［J，E］| X=BC[J,E]×BC[J,E], 则易知 BC[J,E]和 X 分别在范数和‖(u,v)‖X=‖ u‖B+‖ v‖B 下为一Banach空间.定义算子T：X→X 如下其中若（u，v）∈X且满足（1），则称（u，v）为边值问题（1）的解.对Banach空间中的有界集C，用α（C）衷示Ku⁃ratowski非紧性测度［9］.另记Br={(u,v)∈ X |‖ (u,v‖X≤ r}(r ＞ 0).为方便下文，给出几个需要用到的引理.引理1 若f,g ∈C[J×E×E,E]，则(u,v)∈BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]是耦合系统（1）的解有且仅当(u,v)是T(u,v)=(u,v)在X中的不动点.证明若(u,v)是耦合系统（1）的解，则直接对耦合系统（1）前两式两边直接从0到t积分，可知令t➝∞，则有将边值条件u(∞)=αv(0),v(∞)=βu(0)代入式（6），直接解方程组计算可知将式（7）（8）代入式（5），易知 u(t)=T1(u,v),v(t)=T2(u,v)，即 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点.反之，若(u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点，则对等式两边求导，容易验证(u,v)满足系统（1）.命题得证.引理2［2］若m(t),γ(t)∈C[J,J],m(t)是有界函数，，且有其中M1≥0,M2,M3 ＞0，则引理 3［9］若 H 是 C[J0,E](J0=[0,b]⊂J)中的可数可测集，对任给x∈H，存在ρ(t)∈L[J0,J]，使得‖ x(t)‖≤ρ(t),t ∈J0，则有α(H(t))∈L[J0,J]，且引理4［10］若 B={un}⊂C[J,E](n=1,2,…)，存在ρ(t)∈L[J,J]，使得‖u ‖n(t)≤ρ(t)(t ∈J,n=1,2,…)，则有α(B(t))在J上可积，并且引理5［10］设下文（A1）成立，H是E中的有界集，则，其中αE(TiH)表示TiH(i=1,2)在E中的非紧性测度.注1 由（2）式及引理5易知，αE(TH)≤αE(T1H)+αE(T2H).引理6［11］（Mönch定理）设E是Banach空间，Ω ⊂E 是有界开集，θ∈Ω,A:E →E 是一个连续算子，且满足下列条件：（1）x ≠ λAx,∀λ ∈[0,1],x ∈ ∂Ω ；（2）由 H ⊂可数及 H ⊂({θ}⋃A(H))可推出H为相对紧集.则A在Q中至少有一个不动点.引理7［12］设D和F是E中的有界集，则α(D×F)=max{α(D),α(F)}，其中α和α 分别为E×E和E中的Kuratowski非紧性测度.2 主要定理为方便，先给出下列假设：（A1）f,g ∈C[J×E×E,E]，且存在ai(t),bi(t)∈L[J,J](i=1,2,3)，使得其中（A2）对∀t ∈J和H1,H2 ⊂Br，存在ci(t),di(t)∈ L[J,J](i=1,2)，使得这里定理1 若条件（A1）-（A2）成立，则耦合系统（1）在BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]中至少有一个解.证明由引理l知，只需证明算子T在X中至少有一个不动点.首先证明是X中的有界集.事实上，对任给的(u,v)∈Ω0，则相应地存在0≤λ0≤1，使得当t ∈J=[0,+∞)时，由式（3）（4）（9）及假设（A1）得令则m(t)∈C[J,E]且有界，于是结合式（10）（11）得故由引理2知因此，故Ω0 是 X 中的有界集.令 R ＞M，取则Ω 是X中的有界开集，且(θ,θ)∈Ω .由R的取法可知，对任何(u,v)∈∂Ω,(u,v)≠λT(u,v),∀λ ∈[0,1].即引理6的条件（1）满足.下面验证引理6 的条件（2）满足.设 H ⊂为可数集且由非紧性测度的性质，结合引理3-4，引理7及假设（A2），可知这里ρ(s)=c1(s)+c2(s),w(s)=d1(s)+d2(s).由H的定义及引理5有于是由引理l知，α(H(t))=0,t ∈J.即H 是Ω 中的相对紧集，于是引理6的条件（2）满足.又注意 f,g 的连续性，显然T是连续算子.故由引理6知，算子T 在Ω 内至少有一个不动点.从而耦合系统无穷边值问题（1）至少有一个解.证毕.例1 考虑一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：则耦合系统无穷边值问题（12）至少有一个解.证明令E={x=(x1,x2,…,xn,…)|xn ∈J,xn →0}，对x ∈E，令显然耦合系统（12）可转化为X中的系统其中而显然f,g ∈C[J×E×E,E].则可令显然，故条件（A1）满足.利用锥理论中常规方法容易知，存在，使得对任何t ∈J，有界集 H1,H2⊂E,α(f(t),H1,H2))＜c1(t)α(H1)+c2(t)α(H2),α(g(t,H1,H2))＜d1(t)α(H1)+d2(t)α(H2)，故条件（A2）满足.由定理1即知结论成立.参考文献：［1］CHEN Xu，ZHANG Xingqiu.Existence of positive solutions for singular impulsive differential equations with integral boundary conditions on an infinite interval in Banach spaces［J］.Electron J Qual Theory Differ Eq，2011（29）：1-18.［2］张海燕，张祖峰.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2011，45（4）：529-533. ［3］汤小松，王志伟，罗节英.Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在性唯一性［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2012，35（6）：802-808.［4］李耀红，张祖峰.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2014，48（2）：171-175.［5］LI Yaohong，WEI Zhongli.Positive solutions for a coupled systems of mixed higher-order nonlinear singular fraction⁃al differential equations ［J］.Fixed Point Theory，2014，15（1）：167-178.［6］申腾飞，宋文耀.一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性［J］.常熟理工学院学报，2012，26（4）：28-34.［7］程玲玲，刘文斌.带有p-Laplace 算子分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2013（1）：48-51.［8］曹竞文，胡卫敏.两点分数阶微分方程耦合系统边值问题的解［J］.江汉大学学报（自然科学版），2014，42（3）：23-26.［9］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V，LIU Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1996.［10］刘振斌，刘立山.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.数学学报，2007，50（1）：97-104.［11］DEIMLING Klaus.Nonlinear functional analysis［M］.Berlin：Spring-Verlag，1985.［12］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with applications［J］.Nonlinear Analy⁃sis：TMA，1987，11（5）：623-632.。

几类脉冲微分方程解的存在性几类脉冲微分方程解的存在性摘要：脉冲微分方程是一类带有脉冲信号的微分方程，其解的存在性是微分方程理论的重要问题之一。

本文将探讨几类常见的脉冲微分方程并讨论其解的存在性。

一、引言脉冲微分方程是在某些离散时间点发生突变或发生冲击的微分方程。

相比于普通微分方程，脉冲微分方程的求解更加困难，因为离散时间点的突变或冲击会使系统的动力学行为发生剧变。

因此，解脉冲微分方程的存在性成为研究的重要内容之一。

二、周期性脉冲微分方程周期性脉冲微分方程是一类具有周期性脉冲信号的微分方程，其在固定时间间隔内受到脉冲作用。

解周期性脉冲微分方程的存在性问题可以通过周期延拓方法来解决。

该方法通过将周期延拓后的方程转化为周期函数的微分方程，然后应用连续性和紧性定理，判断原始方程的解是否存在。

三、非线性脉冲微分方程非线性脉冲微分方程是指含有非线性项的微分方程，其解的存在性问题更为复杂。

对于非线性脉冲微分方程，通常可以通过构造适当的Lyapunov函数或应用不动点定理来解决。

Lyapunov函数可以用来刻画系统的稳定性，并通过其定义的正定性和严格增加性来推导解的存在性。

不动点定理则可以将微分方程转化为适当的积分方程，通过分析积分方程的不动点来判断方程的解是否存在。

四、时滞脉冲微分方程时滞脉冲微分方程是一类含有时滞项的微分方程，其解的存在性问题更具挑战性。

对于时滞脉冲微分方程，可以通过使用Lyapunov-Krasovskii函数和稳定矩阵方法来解决。

Lyapunov-Krasovskii函数是一类特殊的Lyapunov函数，通过引入时滞项和矩阵变量，可以刻画系统的稳定性，推导解的存在性。

稳定矩阵方法则通过构造适当的矩阵Lyapunov方程，将微分方程转化为矩阵的稳定性问题，从而判断解的存在性。

五、数值仿真数值仿真是解决脉冲微分方程存在性问题的常用方法之一。

通过将脉冲微分方程离散化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，可以得到脉冲微分方程的数值解。

Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在唯一性汤小松;王志伟;罗节英【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【摘要】研究如下一类Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题u’=f(t,u(t),v(t)),v’=g(t,u(t),v(t)),(A)t∈J,t≠tk,△u|t=tk=Ik(u(tk),v(tk)),△v|t=tk=Jk(u(tk),v(tk)),k=1,2,…u(∞)=βu(0) ,v(∞)=δv(0).首先利用H.M(o)nch不动点定理和非紧性测度,获得了该问题解的存在性,然后在解存在的前提下,利用反证法证明了解的唯一性,所得结果推广了现有文献中已有的结论.最后,举例说明了结果的有效性.%In this paper, the existence and uniqueness of solutions for the following nonlinear first-order impulsive differential systems with infinite boundary value problems are consideredrnu'=f(t,u(t),v(t)),v'=g(t,u(t),v(t)),VtEj,t=tk,u/t=tk=1k(U(tk),v(tk)),v /t=tk=jk(u(tk),v(tk)),k=1.2.`````u(oo)=Bu(0),v(oo)=8v(0).rnFirstly, the existence of solution for the problem is established based on the H. Monch' s fixed point theorem and the measures of non-compactness. Furthermore, based on the existence of solution, the uniqueness of solution is proved by using the argument of contradiction. The obtained results in this paper are new and extend some known results. Finally, an example is presented to illustrate the effects of the present theorems.【总页数】7页(P802-808)【作者】汤小松;王志伟;罗节英【作者单位】井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009;井冈山大学数理学院,江西吉安343009【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.Banach空间中一阶非线性微分方程组边值问题解的存在性 [J], 李耀红2.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解 [J], 李耀红;张祖峰3.Banach空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性 [J], 张海燕;张祖峰4.Banach空间中的一阶脉冲积微分方程无穷边值问题 [J], 石漂漂;王文霞5.Banach空间中含有无穷多个跳跃点的一阶脉冲积分-微分方程的无穷边值问题[J], 袁伟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

banach空间fredholm型积分方程解的存在性判定Banach空间Fredholm积分方程是求解不同种类积分方程的重要方法。

它的求解是基于测度论，随着研究的深入，越来越受到大家的重视，但是由于Banach空间Fredholm积分方程的存在性判定是难以解决的一个重要问题。

本文将重点介绍Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定。

首先，介绍Banach空间Fredholm积分方程。

Banach空间Fredholm积分方程指，如果X是Banach空间，K(x,y)是X×X到实数或复数的积分核，F(x)是X到实数或复数的积分函数，且积分核K(x,y)及积分函数F(x)在X上满足一定条件，则存在一个唯一的函数u(x)，使得：$ int_{X}K(x,y)u(y)dy=F(x),x∈X $此方程叫做Banach空间中的Fredholm积分方程，简称Banach 空间Fredholm积分方程。

其次，介绍Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定。

Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定需要满足以下几个条件：（1）积分核K(x,y)是X×X到实数或复数的连续函数；（2）积分函数F(x)是X到实数或复数的连续函数；（3）若存在A为X的子空间，满足K(x,y)极限于零，当x∈A，y∈AA时；（4）F(x)在X上收敛；（5）若存在m∈[1,∞)，使得当x∈X，y∈X时，有|K(x,y)|≤m。

根据以上条件，若积分核K(x,y)与积分函数F(x)满足以上五个条件，则Banach空间Fredholm积分方程解的存在性问题就可以证明了。

然后，介绍Banach空间Fredholm积分解的存在性判定中使用的方法。

一是山口穷尽定理，山口穷尽定理提出了一种求解Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定的方法，即若存在若干相互正交的基，则可以构造出Fredholm积分方程的特解，从而实现Fredholm 积分方程的存在性判定。

banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方
程解的关系
Banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方程解的关系：
1.Banach空间的含义：
Banach空间是一类模式空间，它被引入到几何空间的代数结构中，用于处理泛函分析、函数拓扑以及更复杂的物理理论。

它们是线性的、具有正定的距离函数的完备的空间，通常被广泛应用于几何分析、物理学和工程学中。

2. Banach空间常微分方程的存在定理：
Banach空间常微分方程存在定理指的是关于存在解的结果，它确定在Banach空间中存在一个微分方程的具有内在满足性的解集。

首先，定义称Banach空间X上的具有Lipschitz连续梯度的局部Lipschitz函数f 称为C-Lipschitz函数，用f表示，C-Lipschitz函数f(t，u)满足条件：它存在bounded set K 这标量K，只要u ,v∈ K，都有：|f(t,u)-f(t,v)|
≤CL|u-v|,其中C是定数。

3.Banach空间常微分方程解与纯量方程解的关系：
Banach空间常微分方程解与纯量方程解之间存在着相关性。

纯量方程是一种特殊的微分方程，它只含有某一变量的函数表达式，这变量满足所给的微分方程。

而Banach空间常微分方程作为普通的微分方程，
它的解需要满足常微分方程的某种形式的局部Lipschitz函数；纯量方程的解仅仅可以从一个内在参数出发，它通过一个连续的基本表达式满足局部Lipschitz不变条件，从而在Banach空间上获得解集，而这个表达式只是纯量变量的函数表达式。

因此，纯量方程解和Banach空间常微分方程解之间存在着相关性。