最新湘教版九年级数学上册第1课时 相似三角形判定的基本定理同步习题课件

又 A' D AB, AB AC ,
AB AC ∴ A' D A' E AC .
A' B' A' C' A' C'
解 ∵ ∠C = 90°，∠F= 90°， ∠A=∠D ， ∴ △ABC ∽△DEF.
∴
AB BC . DE EF
又 AB = 5，BC = 4，DE = 3，
∴ EF = 2.4.
练习
1. 如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长 线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图
中有几对相似三角形，并说明理由.
成比例？ （3） 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？
由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
下面我们来证明：
D
E
如图，在△ABC 与△ABC 中， 已知 ∠A =∠A， ∠B =∠B .
在△ ABC的边 AB上截取点D，使 AD = AB. 过点D作DE∥BC ，交 AC于点E.
在△ABC 与△ ADE 中， ∵ ∠A =∠A，A' D = AB，
解 ∵ OE∥BC，OF∥CD ， ∴ △AEO∽△ABC ，
△AFO∽△ADC.
∴ AE AF , AB AD
又 FAE DAB,
∴ 四边形AEOF∽四边形ABCD.
动脑筋
任意画△ABC 和△ABC，使∠A=∠ A，∠B=∠B. （1） ∠C =∠ C 吗？ （2） 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应
解 由已知条件易知BC∥ED,由相似三角形
的判定定理可得 △ADE∽△ACB.
∴ AD ED . AC BC
设正方形EFCD的边长为x,则有 7.5 x x 7.5 5

感悟新知
知识点 3 边角关系判定三角形相似定理
知3－讲
1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关 系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
感悟新知
2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵DABE＝BEFC，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似” 证明. 由于∠BFA是公共角，因此只 需说明∠B＝∠4即可.
感悟新知
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3. ∵ AD平分∠BAC，∴∠ 1 ＝∠ 2. ∵∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， ∴∠B ＝∠ 4. ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
感悟新知
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
和AC上的点，DE∥BC，若ABDD＝21，那么DBCE＝( )
A.
4 9

C.
1 3
B.
1 2
D.
2 3
感悟新知
知1－练
解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形 的对应边成比例是解题的关键.
解：∵ ABDD＝21，∴AADB＝23. ∵ DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴ DBCE＝AADB＝23. 答案：D

课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.

A
A'
C
B'
C'
注意：对应点写在对应的位置.
跟踪训练： ∠F=60°.ΔABC与ΔDEF_______（“相似”或“不相
1.ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80°， 似”）.
D
A
40°
80°
B
？
C
E
° 80 60 °
F
2 .有一个锐角相等的两直角三角形是否为相似 三角形？
（2）求CE的长.
解：∵ABD∽△DCE，
10 6 4
∴△ABD∽△DCE，
∴CE=2.4.
课堂小结
定理1：两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三 角形相似 相似三角形的判定定理1的运用
课后作业
见本课时练习
九年级数学上（XJ） 教学课件
第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
证明猜想 在△ADE与△ABC中，∠A=∠A. ∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F. ∵DE∥BC，DF∥AC，
AD AE AD CF , ∴ AB AC AB CB
F
∵四边形DFCE为平行四边形， ∴DE=FC.
AD AE DE ∴ AB AC BC
C D F E
B
例3：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB. A
∴∠AED＝∠C，
D ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. B F C E
（两角分别相等的两个三角形相似．）

（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？
得出结论： 只要DE∥BC，
那么△ADE和△ABC是相似 的！
这个结论是正确的吗？如何证 明这个结论呢？
因为EF‖BC 所以AE/AC=AF/AC=EF/BC 又∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,∠A=∠A 所以△AEF∽△ABC
3.4.1 相似三角形的判定与性质
第1课时 利用平行判定三角形相似
一、知识回顾
在以往的学习中，我们已经探讨了两个三角形全等 的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件。
二、思考探究
DE∥CB
观察上图，试着发现图中两个三角形之间 的关系。
（1）△ADE和△ABCABC的边长，它们的边长是 否对应成比例？
这是用相似三角形定义证明的，你还有别的方法吗？
判定三角形相似的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两 边相交，截得的三角形与原三角形 相似。
随堂练习：
在△ABC中，已知点D，E分别是AB、AC边的中点 。 求证：△ADE∽△ABC。
课后练习 见《学练优》本课练习“课后巩固提升”

感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .

两角分别相等的两个三角形相似.
3.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，
OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并
说明理由. 解：∵OE∥BC，OF∥CD， ∴∠AEO=∠ABC,∠AOE=∠ACB, ∠AOF=∠ACD,∠AFO=∠ADC. ∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,即 ∠EOF=∠BCD. 又∵OE∥BC，OF∥CD， ∴△AOE∽△ACB,△AOF∽ACD. ∴四边形AEOF与四 AE EO AO OF AF 边形ABCD相似. AB BC AC CD AD
观察与思考
相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果∠A=∠A′，
AB BC AC ∠B=∠B'，∠C=∠C′， ，那么△ABC与 A ' B ' B 'C ' A 'C '
△A'B'C'相似.这是由三角形相似的定义来判断的，我们还有 其他的方法来判断两个三角形相似吗？
讲授新课
一 判定三角形相似的预备定理
点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5， 求正方形的边长. 解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC，ED=DC=FC=EF. ∴△ADE∽△ACB. AD ED AC BC
AC DC ED 7.5 DC DC , AC BC 7.5 5
∴DC=3,即正方形的边长为3.
BC NC ∴ = , AC MC 1.2 NC 即 = , 3.2 2.5 15 ∴NC = m. 16
当堂练习
1．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若
14 AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝____. 3

点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 SR = 1 BC 时，
求 DE 的长.如果 SR = 1 BC 呢？
2A
3
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
S
ER
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴△ASR∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
D
C
∴ AE SR AD BC
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那 么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm， 则由相似性质有 x 6，
42 x 8
解得 x＝18.
较长的角平分线长为 24 cm.
故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD =
10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，
A
你能求出这个矩形的面积吗？
S ER
BPD Q C
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
分析：
情况一：SR = 2SP
A
设 SP = x cm，则 SR = 2x cm. 得到 10 x 2x . 10 5 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 .
当堂练习
1.
两个相似三角形的相似比为
1
1，则对应高的比
21
为___2_____， 则对应中线的比为____2_____.
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的

ຫໍສະໝຸດ B' D'
∴△ABD∽△ABD.
C'
从而
AADD
AB AB
.
结论
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
A
B A' B'
问题3：AD和A'D'分别是△ABC和
△A'B'C'的中线，设相似比为k,
那么 AD ?k
D
A'D'
你能有条理地表达
理由吗？
D'
C'
结论
相似三角形对应中线的比等于相似比.
例1：CD是Rt△ABC斜边AB上的高， 垂足为点E.已知CD=2，AB=83 3 ，AC=4,求DE的长.
AD
上的高 B
┓ DC
A又D∵∴△，∵△A∠A那BABBDD么C．=B∽ ∠△∽B=．∠A△BAADDB.CB(吗两，=？9角0对°，应相B′ 等的D┓A′ ′C′
两 从个而A三ADD
AB AB
k角. (形相相似似三)角形的对应边成比
例)
结论
相似三角形对应高的比等于相似比.
A
B
D
A'
B' D'
问题2：AD和A'D'分别是△ABC和 △A'B'C'的角平分线，设相似比为k
1、课本89页练习第3题 2、课本90页习题第6题
下课了!
只有不断的探索, 才会有新的发现;
只有量的变化, 才会有质的进步.
那么 AD ?k
A'D'
C
你能有条理地表达 理由吗？
C'
如图,△ ABC∽△ABC， AD，AD分别为角平分线.

2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。