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fZ (z)
f X (x) fY (z x)dx
卷积公式
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
概率论
例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
f
(
x)
1,
0,
0
x 其它
1
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z
概率论
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
故 当 z 0 或 z 2 时 , fZ z 0.
当0 z 1时 ,
暂时固定
fZ z
z
dx z
0
z x1
当 1 z 2时 ,
z
fZ z
解 P(Z r) P(X Y r)
r
P(X i,Y r i)
i0 r
P( X i)P(Y r i)
i0
由独立性 =a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
概率论
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为λ1, λ2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
概率论
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy
1
dx 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z
z1
于是
z , 0 z 1,
f
Z
z
2
z
,1
z
2,
0 , 其它.
2
z 1 z O zz 11
zx x
概率论
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具 有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
z2
2
e 2 2
2π 2
概率论
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
概率论
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
若X和Y 独立,
X
~
N
(1,
2 1
),Y
~
N
(2
,
2 2
),
结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z
X
Y
~
N (1
2 , 12
解 依题意
P(X
i)
e 1 i 1
i=0,1,2,…
i!
P (Y
j)
e 2 j 2
j=0,1,2,…
j!
于是
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
概率论
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
r e-1 1i e-2
r-i 2
i0
i!
(r - i)!
e (12 ) r!
概率论
4.5 随机向量函数的分布
概率论
在第二章中，我们讨论了一维
随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:
当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数
的分布?
Z = g ( X, Y )
概率论
一、Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数.
1
x2
z x2
e 2 e 2 dx
2π
1
z2
e2
e( x2 zx)dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
令 t x z, 得 2
fZ
z
1
z2
e4
et2 dt
1
z2
e 4
2π
2π
π
FXi z (i = 1, …, n)
2 2
)
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.
概率论
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态
分布.
概率论
休息片刻再继续
概率论
二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
M
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布
函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有
FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数
概率论
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
N
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
概率论
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为
r i0
i!
r! (r -
i)!
i r-i 12
e (12 ) r!
(1
2 )r ,
r=0,1,…
即Z服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
概率论
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 Z=X+Y的分布函数是:
y
FZ z P Z z
PX Y z
0
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
x x yz
概率论
y
FZ (z) f (x, y)dxdy
x yz
y
化成累次积分,得
zy
0
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
x x yz
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
z
FZ (z)
[ f (u y, y)du]dy
z
变量代换
[ f (u y, y)dy]du
交换积分次序
概率论
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
