专题2 指数、对数及幂的大小比较问题(精讲深剖)-从课本到高考之2019年高考数学高频考点全突破含解析

在比较指数、对数、幂函数值的大小时，我们需要根据函数的特性来进行分析。

首先，指数函数的值随着自变量的增加而增加，对数函数的值随着自变量的增加而增加，幂函数的值则取决于幂的符号和自变量的值。

其次，对于两个自变量相同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么指数函数值最大，对数函数次之，幂函数最小；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

此外，对于两个自变量不同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么自变量较大的函数值较大；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

最后，需要注意的是，对于一些特殊的函数值，例如0或负数，需要根据具体情况来进行判断。

综上所述，在比较指数、对数、幂函数值的大小时，需要根据函数的特性、自变量的值以及底数等因素来进行综合考虑。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

专题14指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性核心考点二：引入媒介值核心考点三：含变量问题核心考点四：构造函数核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法核心考点七：放缩法核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg 8lg10lg 80lg 8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -=，由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】C【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以10ln 099<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<-时，()0h x <，所以当01x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c >故.c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b<<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<= ，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>，0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ=当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ=1cos sin 4ϕ=故1cos411sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<，由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >，由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >，综上：b a c >>.故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】B【解析】构造函数()21log 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数2log y x =、13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1103f =-<，()8209f =>，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p>>C ．m p n>>D ．p n m>>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭m n >>，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>.故选：A核心考点二：引入媒介值【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】D【解析】由3110,53,log 2a bc π===-可得，lg πa =，5log 3b =，123c -=，由于1213,12c -⎛⎫==⎪⎝⎭，1lg 2a ==，551log 3log 2b =>=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<．故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>，0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>>故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【答案】C【解析】()sin4sin 40π==--<a ，ln 4ln e 1=>=b，14124210--==<=<c ，所以a c b <<．故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】B【解析】 103e e 1=>=a ，ln ln e 1b ==，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg3lg e lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >，∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】A【解析】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1，∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0，∵20.6＞20＝1，∴c ＞1，∴b ＜a ＜c ，故选：C ．核心考点三：含变量问题【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．z y x>>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >，综上所述，z y x >>，故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a<<D ．c b a<<【答案】D【解析】,,a b c 均为正数，因为ln a b c a =⋅，所以ln c b =，设()ln 0ca b b e c a t t =⋅=⋅=>，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===，令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >，又ln c b =得c b <，综上，c b a <<.故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c == 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．c<a<b【答案】C【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<，又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>，∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1e xx a +=，cos cos 1e xx b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．c<a<b【答案】C【解析】构造函数()()10e x x f x x +=>，则()2222sin 2sin 12sin e x x a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==．因为()()()2e 1e 0ee x xx x x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<，故选：A核心考点四：构造函数【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以c b >.综上所述：a c b >>.故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【解析】令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，当0x >，()0f x >′，此时()f x 单调递增，当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减，所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立，∴当0x >，()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<=当0x >时，有sin x x <，则sin 0.060.06<，所以0.92sin 0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==，综上可得c a b <<．故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．b c a <<B ．b a c<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增，则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<.故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin 0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】设()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，设()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()110g x x'=->，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin 0.02sin 0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2x h x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<，所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <，所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =，故b a c <<，故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________.【答案】.b a c<<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c <<故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】因为10.0250ln eln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+-因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫==-=⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<-=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎛⎫=>=>⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立).因此c b a >>，故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =，ln 2)3b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b<c<aB ．c b a<<C ．b a c<<D ．a b c<<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，e 3c =，设函数2e ()x f x x =，则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0xx f x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增所以f f <即c a <；②再比较,b c：由①知2min e()(2)4f x f f c ==<=，而1(2ln 2)32b =-=，设2(ln 2)3()x h x x +=，'22(ln 1)3()x h x x +=-当10e x <<，'()0h x >，()h x 单调递增，当1ex >，'()0h x <，()h x 单调递减，所以max 12()()e e 3b h h x h =<==，而22e e e .e 344f c <=<=，所以b c <，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =-的图象，由图象知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a a f a -=-．易知1eexx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数．∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+=>，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知eππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】A 【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0xf x x x -'=>，由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以e ln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；eeππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又ey x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπeπeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln aα=，令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a bcd ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d>>>C ．b a c d>>>D ．a b d c>>>【答案】C 【解析】依题意，31422a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<，于是得112232)32<<，即32b a >>，函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>，则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>，于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >，又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=，所以32b acd >>>>.故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<；因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>，由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==，综上所述，a c b >>.故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（）A ．m n p >>B ．n p m >>C ．n m p >>D ．m p n>>【答案】C【解析】因为e b a >>>所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ====，2525 6.2524an b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅．由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg22lg20lg230-⋅>，即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>.故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，所以()()0.4200f f >=，即0.42e 0.421>+，又21.42 2.01642=>，所以0.420.5e 0.4212>+>，所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>，所以0.5452log 54>>，所以a b c >>.故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=，()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；1+，c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭ ，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>.故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】a b c<<【解析】由544567,117<<得7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<，b c ∴<，又267lg5lg 6lg5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<，lg5lg 7lg35lg36+= <，lg 5lg 7lg 62+∴<，22lg 5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】C 【解析】解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>.故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．a c d<<D ．b<c<a【答案】A【解析】22a a -+= ，即220a a -+-=，即22a a -=-，2xy -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b += ，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c += ，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（）A ．y x z <<B ．z x y<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】A【解析】要比较0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，∵0.5log x x =，由定义域可知0x >，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减，0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >，∴1log 0log x x z >=，∵0.51x <<，∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =，∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<.故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】D【解析】由251030b b +-=解得1b =-构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x '=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，。

指数函数、对数函数专题二 比较大小 例1.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<例3．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+4．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>例5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<6．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<练习7．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <8．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<练习9．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<10．（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>。

ʏ朱 梅指数㊁对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数㊁对数㊁幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用㊂一㊁单调性法例1 已知a =l o g 312,b =l nπ,c =b a,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .b >c >a B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b分析:根据题设条件,利用对数函数的单调性进行放缩处理,分别确定参数a ,b 的取值范围,在此基础上确定参数c 的取值范围,从而得到a ,b ,c 的大小关系㊂解:因为-1=l o g 313<l o g 312<l o g 31=0,所以-1<a <0㊂因为l n π>l n e =1,所以b >1㊂又0<b a<b 0=1,所以0<c <1㊂综上分析,可得b >c >a ㊂应选A㊂利用指数函数㊁对数函数,以及幂函数的单调性比较代数式的大小,首先要观察代数式形式的异同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性,指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较大小㊂比较代数式的大小的两个思路:一是判断出各个数值所在的区间(一般是三个区间(-ɕ,0),(0,1),(1,+ɕ)),二是利用函数的单调性比较大小㊂二㊁媒介法例2 若a =l o g 23,b =l o g 34,c =l o g 45,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .a <b <c B .b <c <aC .b <a <cD .c <b <a分析:根据题设条件,通过对数式的合理放缩处理,引入中间值32,54作为媒介进行过渡处理,合理 串联 起各参数a ,b ,c 所对应的关系式与对应 媒介值 之间的大小关系,进而加以正确分析与判断㊂解:依题意知,a =l o g 23>l o g 222=32,b =l o g 34<l o g 333=32,所以a >b ㊂由44>35,两边同取以3为底的对数可得4l o g 34>5,所以b =l o g 34>54㊂而c =l o g 45<l o g 442=54,所以b >c ㊂综上可知,a >b >c ㊂应选D ㊂指数㊁对数㊁幂的比较大小问题,要注意一些特殊值如0,1,12,e 等的应用,通常可以借助媒介这一特殊的 桥梁 合理构建不等关系,从而实现比较大小的目的㊂三㊁数形结合法例3 已知x ,y ,z 均为大于0的实数,且2x =3y=l o g 5z ,则x ,y ,z 的大小关系正确的是( )㊂A .x >y >z B .x >z >yC .z >x >yD .z >y >x 分析:根据题设条件,将所求问题转化为三个函数与对应直线的交点的横坐标的关系,作出函数的图像,利用数形结合法确定x ,y ,z 的大小关系㊂解:依题意可知x ,y ,z 均为大于0的实数,所以2x =3y=l o g 5z >1㊂图1所求问题可转化为函数y =2x ,y =3x,y =l o g 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系,从而可比较x ,y ,z 的大小㊂作出函数y =2x,y =3x,y =l o g 5x ,以及直线y =t >1的图像,如图1所示㊂结合图像可知,其4知识结构与拓展 高一数学 2023年11月横坐标的关系为z >x >y ㊂应选C㊂利用数形结合法进行代数式的比较大小时,通过观察相应的代数式的结构特征,画出对应的函数图像,观察函数图像的交点位置,从而确定所给指数㊁对数㊁幂的大小关系㊂四㊁特殊值法例4 已知a ,b ,c 满足a =l o g 5(2b+3b),c =l o g 3(5b-2b),则( )㊂A .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |B .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |C .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |D .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |分析:根据题设条件,利用特殊值法,选取特殊值b =2,代入相应的关系式,合理作差比较,从而结合对数运算,排除不满足特殊值的选项,进而得到正确的结果㊂解:令b =2,则a =l o g 5(2b+3b)=l o g 513,c =l o g 3(5b -2b)=l o g 321,此时a <b <c ,即c -a >c -b >0,也即|a -c |>|b -c |,排除C ㊁D ㊂因为b -a =2-l o g 513=l o g 52513,c -b =l o g 321-2=l o g 373,又5>3>1,2513<73,所以c -b >b -a >0,即|a -b |<|b -c |,排除A ㊂应选B㊂特殊值法是 小题小做 的重要策略,利用特殊值法进行合理排除,是一种常见的解题方法,这种方法既可以提高解题速度,又能提高解题的准确性㊂五㊁引入参数法例5 已知l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z >1,则2x ,3y ,5z的大小排序为( )㊂A .2x <3y <5z B .3y <2x <5z C .5z <2x <3yD .5z <3y <2x分析:根据题设条件中的不定方程引入参数,结合对数式与指数式的互化,可得对应代数式的指数幂形式,利用幂函数的单调性即可判断大小关系,从而得到三个代数式的大小排序㊂解:依题意可设l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z =k >1,则2x =22k =21-k ,3y =33k =31-k,5z =55k =51-k ㊂因为1-k <0,所以21-k >31-k>51-k,所以5z <3y <2x㊂应选D㊂当题目条件中出现连等式时,可通过引入参数把连等式设为一个常数,利用指数式与对数式的相互转化,进行大小比较㊂利用此方法解决问题的关键是熟悉指数㊁对数运算公式,以及指数函数与对数函数的图像与性质的应用㊂1.(多选题)已知l o g 3a >l o g 3b ,则下列不等式一定成立的是( )㊂A .0<1b <1a B .l o g 3(a -b )>0C .3a -b>1D .13a<12b提示:由l o g 3a >l o g 3b ,可得a >b >0,所以0<1a <1b,A 错误㊂a -b >1不一定成立,所以l o g 3(a -b )>0不一定成立,B 错误㊂3a -b>30=1,C 正确㊂13a<13b<12b,D 正确㊂应选C D ㊂2.(多选题)已知函数m (x )=2x,h (x )=3x,且m (a )=h (b ),则下列式子可能成立的是( )㊂A .a <0,b >0B .a <b <0C .a =bD .0<b <a提示:在同一坐标系下画出函数m (x )和h (x )的图像(图略)㊂结合图像得,当m (a )=h (b )时,a ,b 的关系可能为a <b <0,a =b =0,0<b <a ㊂应选B C D ㊂作者单位:江苏省高邮第一中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年11月。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校 郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。

一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。

通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。

指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................3【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................4【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................6【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................7【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................9【题型7 含变量问题比较大小】..........................................................................................................................12【题型8 放缩法比较大小】. (14)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>30=1，0<b=0.33<1=0.30，c=log0.33<log0.31=0，∴a>b>c.故选：A.，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.【解答过程】因为y=log2x在x∈(0,+∞)上单调递增，<log21=0即a<0；所以a=log213因为y=1.2x为增函数，故b=1.20.2>1.20=1即b>1；因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0<c<1，综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=(log4a)4,c=log4(log4a)，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c=log4(log4a)=log40.3<0，所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1，因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增，所以ln a<ln1，即b<0，因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，综上，c>a>b.故选：D.【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，b=1―2lg2=1―lg4，且0=lg1<lg4<lg10=1，则0<b<1，因为log310>log39=2，则c=2―log310<0，故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=―12,b=log65,c=log56，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a =>32，b <log 66=1，1=log 55<c <32即可比较三者大小.【解答过程】a =―12=>=32，b =log 65<log 66=1，1=log 55<log 56=c <log =32，因此b <c <a ．故选：C ．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（ ）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a =e ―1∈(0,1)，b =lg a =lge ―1=―lge <0，c =e 0=1，所以b <a <c ，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12,1”分析大小即可.【解答过程】因为y =0.5x 在R 上单调递减，则0.53.1<0.51=12，即a <12；又因为y =log 0.9x 在(0,+∞)上单调递减，则log 0.90.3>log 0.90.9=1，即b >1；可得c =log 1312=log 32，且y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，则12=log <log 32<log 33=1，即12<c <1；综上所述：a <c <b .故选：D.【题型3 特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a =log 0.50.6，b =0.49―0.3，c =0.6―0.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c >b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y =log 0.5x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.51<log 0.50.6<log 0.50.5，即0<a <1.因为y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增，又0.49―0.3=0.7―0.6=，0.6―0.6=，又53>107>1>>10.6，故c >b >1，所以c >b >a .故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解题思路】由对数函数单调性得c <12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，由函数的单调性得12<a <b 及，即可得出判断．【解答过程】由对数函数单调性得，c =log 163<log 164=log 161612=12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，则f(a)=2a +a =2，f(b)=2b +b =因为y =2x 和y =x 单调递增，所以f(x)单调递增，因为2<f(a)<f(b)，所以a <b ，又f(12)=212+12=<2，所以f(a)>f(12)，即a >12，所以c <a <b ，故选：A ．【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a =log 1314，b =(13)14，c =log 314，d =14则（ ）A ．a >b >d >cB ．a >b >c >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a =log 1314=log 34>log 33=1<<⇒13<b <1，log 314<log 31=0⇒c <0，所以a >b >d >c .故选：A ．【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用b 3>c 3得出b,c 大小.=2可得a =log 132<log 131=0，b =log 123―log 129=log 1213=log 23>1，c =―13=213=>0，下面比较b,c ，因为32>=8，所以3>232，所以b =log 23>log 2232=32，而c 3=3=2<=278，故c <32，所以c <b ，综上，b >c >a .故选：B.【题型4 作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a =3―14，b =―13，c =log 1225，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a <1，0<b <1，c >1，再作商比较a,b 的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a =3―14<30=1，0<b =―13<=1，令a b=3―14―13=3―14+13×2―13=3112×―1，而3112×2=3×2=3×2―4=316<1，即3112×2―13<1，所以a <b ，又因为c =log 1225=log 12410>log 12510>log 1212=1，所以c >b >a .故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c<a<bD ．a <c <b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y =ln x 的单调性分别判断a,b 和a,c 的大小关系，即可判断出a,b,c 的大小关系.【解答过程】因为b ―a =ln33―ln22=2ln3―3ln26=ln9―ln86>0，所以b >a ；又因为c ―a =ln55―ln22=2ln5―5ln210=ln25―ln3210<0，所以a >c ；综上所述：c <a <b .故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【解题思路】作差法比较a,b 的大小，利用对数的性质比较a,c 的大小.【解答过程】a =ln 26=(ln2+ln3)2，c =(lne +ln3)2因为ln2+ln3<lne +ln3，所以(ln2+ln3)2<(lne +ln3)2，即a <c ，a =ln 26=(ln2+ln3)2，b =4ln2⋅ln3，则a ―b =(ln2+ln3)2―4ln2⋅ln3=(ln2―ln3)2>0，即b <a ，所以b <a <c .故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c 范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b 的大小，即可得答案.【解答过程】因为函数y =2x 在R 上单调递增，所以a =20.4<20.5=又a b=20.430.25===>1，所以b <a <因为0.52=0.25<0.343，故0.5<=0.732,y =log 0.7x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.70.5>log 0.70.732=32>a <c ，所以实数a,b,c 的大小关系为b <a <c ，故选：B ．【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（ ）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】根据0<ln2<1得到c 的值最大，然后构造函数f (x )=(1―ln2)ln x ―ln2，根据f (x )的单调性和f (8)<0得到a <b .【解答过程】因为0<ln2<1，所以a =ln7―ln2<ln7，b <ln7，c >ln7，故c 的值最大．下面比较a ，b 的大小．构造函数f (x )=ln x ―ln2―ln x ⋅ln2=(1―ln2)ln x ―ln2，显然f (x )在(0,+∞)上单调递增．因为f (8)=ln8―ln2―ln8⋅ln2=ln2(2―ln8)=ln2(lne 2―ln8)<0，所以a ―b =f (7)<f (8)<0，所以a <b ，所以a <b <c ．故选：C ．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a =514，b =54，c =log 45，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a 和b ，构造函数y =x 4在上(0,+∞)单调递增，∵5=5>625256=，∴514>54，即a >b ；又∵4b =5，4c =4log 45=log 454，且45=4×256>54=625，∴ 4c =log 454<log 445=5=4b ，∴b >c ，∴a >b >c .故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <c <aB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．【解答过程】∵0<a =log 0.20.3<1，b =log 0.30.2>1，c =log 23>1，又b c=log 0.30.2⋅log 32=lg2―1lg3―1⋅lg2lg3=lg 22―lg2lg 23―lg3，因为函数f (x )=x 2―x =x―14，在0,f (0)=0，又因为12>lg3>lg2>0，所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以f (lg2)f (lg3)<1，即lg 22―lg2lg 23―lg3<1，所以bc <1，∴b <c ，即a <b <c ．故选：C ．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．c <b <a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x 2+log 2x ， f(x)在(0,+∞)上单调递增，又=―34<0,f(1)=1>0，所以12<a <1；设g(x) =―log 2023x ， g(x)在(0,+∞)上单调递减，又g(1)=12023>0,g(2023)=―1<0，所以1< b <2023，因为c =log <log =12，所以c <12.综上可知，c <a <b .故选：B.【题型6 数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a =ln π,b =log 3π,c =，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e <3<π，∴a =log e π>log 3π=b >log 33=1，即a >b >1，∵a =ln π=2, c ==ln2下面比较2与 y =x 2与y =2x ，由指数函数y =2x 与幂函数y =x 2的图像与单调性可知，当x ∈(0,2)时，x 2<2x ；当x ∈(2,4)时，x 2>2x由x =(0,2)，故2 <ln π<a < c ，所以b <a <c ，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（ ）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解题思路】设log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，得到x =3m ,y =4m ,z =5m ，画出图象，数形结合得到答案.【解答过程】令log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，则x =3m ,y =4m ,z =5m ，3x =3m +1,4y =4m +1,5z =5m +1，其中m +1<0，在同一坐标系内画出y =3x ,y =4x ,y =5x ，故5z <4y <3x 故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c ∈(0,1)，得到log a b <1=log a a ，求出b >a ，根据单调性得到c =c<=a ，从而得到答案.【解答过程】令f (x )=―x ，其在R 上单调递减，又f (0)=1>0,f (1)=12―1=―12<0，由零点存在性定理得a ∈(0,1)，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，画出y 1=与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈(0,1)，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c ∈(0,1)，<=1，故log a b <1=log a a ，故b >a ，因为a,c ∈(0,1)，故a c >a 1=a ，由a c=log 12c 得，c =c<=a ．综上，c <a <b ．故选：D ．【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z 均为大于0的实数，且2x =3y =log 5z ，则x,y,z 大小关系正确的是（ ）A ．x >y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【解答过程】解：因为x,y,z 均为大于0的实数， 所以2x =3y =log 5z =t >1，进而将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知z >x >y 故选：C.【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a ､b ､c 都是正数，且4a =6b =9c ，则下列结论错误的是（ ）A ．c <b <aB ．ab +bc =acC ．4b ⋅9b =4a ⋅9cD ．1c =2b ―1a【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【解答过程】设4a =6b =9c =k >1，所以a =log 4k =1log k 4，b =log 6k =1log k 6，c =log 9k =1log k 9，A.由对数函数的单调性可知，0<log k 4<log k 6<log k 9，可知c <b <a ，故A 正确；B.b (a +c )==1log k6⋅log k 36logk 4⋅log k 9=1log k6⋅2log k 6logk 4⋅log k 9=2logk 4⋅log k 9=2ac ，故B 错误；C.4a ⋅9c =(6b )2=36b =(4⋅9)b =4b ⋅9b ，故C 正确.D.1a +1c =log k 4+log k 9=log k 36=2log k 6=2b ，则1c =2b ―1a ，故D 正确.故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a =b ln b (a >0)，则（ ）A ．a <bB ．a =bC ．a >bD ．无法确定【解题思路】令a e a =b ln b =k ，k >0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a >0，所以a e a >a >0，因为a e a=b ln b，所以b ln b>0，可得b>1，令a e a=b ln b=k，k>0，所以e a=ka ,ln b=kb，设f(x)=e x，g(x)=ln x，ℎ(x)=kx，作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】∵ln c=a ln b,ln a=b ln c且a、b、c均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈(1,+∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据e c+e―2a=e a+e―c可得e c―e―c=e a―e―2a，由此可构造函数f(x)=e x―e―x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2变形为log2c=2―c，利用函数y=log2x与函数y=2―x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【解答过程】e c+e―2a=e a+e―c⇒e c―e―c=e a―e―2a，故令f(x)=e x―e―x，则f(c)=e c―e―c，f(a)=e a―e―a．和y=e x均为(0,+∞)上的增函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数．易知y=―e―x=―1e x∵e―2a<e―a，故由题可知，e c―e―c=e a―e―2a>e a―e―a，即f(c)>f(a)，则c>a>0．易知b=log23+log=log2>2，log2c=2―c，作出函数y=log2x与函数y=2―x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8 放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=）A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=<0，进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2，从而我们只需要比较log34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【解答过程】a =0.311.5<0.310=1，所以0<a <1,d =<0，b =log 312=1+log 34>2,c =log 26=1+log 23>2，又因为log 34log 23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3<=<1，所以b <c ，即d <a <b <c .故选：B.【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a =log 35，b =c =3log 72+log 87，则（ ）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a =log 35=12log 325<12log 327=32，34=<=b =>32且b <2，c =3log 72+log 87=log 78+log 87>=2，所以c >b >a .故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a ==6―34,c =log 53―29log 35，则（ ）A ．a <b <cB ．b<c<aC ．b <a <cD ．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a <b <c .【解答过程】因为a ==<=14，b =6―34=>=<=13，故b ∈c =log 53―29log 35=13log 527―19log 325>13log 525―19log 327=23―13=13，所以a <b <c .故选：A.【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a =log 8.14，b =log 3.1e ，c =ln2.1,，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c<a<bD ．b<c<a【解题思路】先证明b >0,c >0，利用比商法结合基本不等式证明c <b ，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明a <c 即可得结论.【解答过程】因为b =log 3.1e >0，c =ln2.1>0，所以c b=ln2.1log 3.1e=ln2.1×ln3.1<==，又e 2≈7.389<e ，所以<lne =1，所以cb <1，故c <b ，因为a =log8.14=ln4ln8.1=2ln2ln8.1=又e 2≈7.389，所以8.1>e 2，所以>1，所以a <ln2，又ln2<ln2.1=c ，所以a <c ，所以a <c <b ，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a =log 62，b =log 123，c =log 405，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】取到数计算得1b =1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b ,1c的大小，即可得到b,c 大小，利用中间值25即可比较a,c 大小.【解答过程】∵1b =log 312=1+log 34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=log 540=1+log 58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，∴1b ―1c =2lg2lg3―3lg2lg5=2lg2×lg5―3lg2×lg3lg3×lg5=lg2(2lg5―3lg3)lg3×lg5=lg2(lg25―lg27)lg3×lg5<0，∴1b <1c ，又b >0，c >0，∴b >c .∵1c =1+log 58<1+log =1+log 5532=52，∴c >25；∵1a =log 26=1+log 23>1+log =1+log 2232=52，∴a <25，∴a <c .∴a <c <b .故选：D.2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m =4，a =2m ―3，b =4m ―5，则（ ）A ．a >0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 23>log 34>log 45，即可判断大小.【解答过程】由3m =4⇒m =log 34，log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=lg 23―lg2⋅lg4lg2⋅lg3>=4lg 23―lg 284lg2⋅lg3=lg 29―lg 284lg2⋅lg3>0，log 34―log 45=lg4lg3―lg5lg4=lg 24―lg3⋅lg5lg3⋅lg4>=4lg 24―lg 2154lg3⋅lg4=lg 216―lg 2154lg3⋅lg4>0，∴log 23>log 34>log 45，∴b =4m ―5>4log 45―5=0，a =2m ―3<2log 23―3=0，∴b >0>a .故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >ca,b,c ，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a >b ，即可得答案.【解答过程】由题意可得a =3log 83=3×log 23log 223=log 23>1，b =―12log 1316=―12×log 316log 313=log 34>1，0<c =log 43<1，又log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=(lg3)2―lg2lg4lg2lg3，由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=2<(lg3)2，故log 23―log 34>0,∴a >b ，综合可得a >b >c ，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1，让其和a,b,c 进行比较，从而得出结果.【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y =在R 上单调递增，故a =>=1；由y =的值域，且在R 上单调递增可知，0<b =<=1；根据对数函数的单调性，y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，故log 34>log 33=1，由y =log 34x 在(0,+∞)上单调递减，故c =log 34(log 34)<log 341=0.结合上述分析可知：c <0<b <1<a .故选：A.5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a =e 13，b =ln2，c =log 32，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c 的大小，即可得答案；【解答过程】∵ a =e 13>e 0=1，b =ln2<lne =1，c =log 32<log 33=1∴ a 最大，∵ b ―c =ln2―log 32=lg2lge―lg2lg3=lg2⋅>0，∴ b >c ，∴ a >b >c ，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（ ）A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c ,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,所以e 2a =4,e 3b =6,e 5c =10,即得2a =ln 4,3b =ln 6,5c =ln10得a =ln 2,b ==因为y =ln x 是(0,+∞)上的增函数,比较a,b,c ,的大小关系 ,15次幂,因为幂函数y =x 15在(0,+∞)上是单调递增的，比较215,65,103即可,因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>>a >b >c .故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（ ）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】先利用对数函数单调性求出a ∈(1,1.5)，从而确定b >2，c ∈(1,2)，作差法判断出a <c ，从而求出答案.【解答过程】a =log 3π>log 33=1，因为332=>π，所以a =log 3π<log 3332=1.5，所以a ∈(1,1.5)，log 3π―1∈(0,0.5)，故b =1log3π―1>2，2―log 3π∈(0.5,1)，故c =12―log 3π∈(1,2)，令a ―c =log 3π―12―log 3π=2log 3π―(log 3π)2―12―log 3π=―(log 3π―1)22―log 3π<0所以a <c <b .故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=―2x ，若2a =log 2b =c ，则（ ）A ．f(b)<f(c)<f(a)B ．f(a)<f(b)<f(c)C ．f(a)<f(c)<f(b)D ．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像,得到a <c <b ，借助f(x)=―2x 的单调性进行判断即可.【解答过程】f(x)=―2x 在R 上单调递减，在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像，如图：所以a <c <b ，故f(b)<f(c)<f(a)，故选：A.二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）A．2―0.01>2―0.001B．log>log2π―1C．log1.85<log1.75D．log33.01>e―0.01【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log3 3.01>1，由指数函数的性质可得e―0.01<1，即可判断．【解答过程】解：对于A，因为―0.01<―0.001，所以2―0.01<2―0.001，所以A错误；对于B，因为log>log2π2=log2π―1，所以B正确；对于C，因为log1.85>0,log1.75>0，所以log1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log1.75，所以C正确；对于D，因为log33.01>log33=1,e―0.01<e0=1，所以log33.01>e―0.01，所以D正确.故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（）A．b a<c a B．log b a>log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=x a在(0,+∞)上单调递增，且b>c>1，∴b a>c a，故选项A错误；对于B：∵0<a<1，∴函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴log a b<log a c<log a1=0，∴0>1log b c >1log c a，即0>log b a>log c a，故B正确；对于选项C：∵0<a<1，则a―1<0，∵幂函数y=x a―1在(0,+∞)上单调递减，且b>c>1，∴b a―1<c a―1，∴cb a<bc a，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：0>log b a>log c a，∴0<―log b a<―log c a，∵b>c>1，∴c(―log b a)<b(―log c a)，∴b log c a<c log b a，故D错误.故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>log31>0，b=log515>log51=0，0<1a =log153，0<1b=log155，则0<1a<1b，则a>b>0，对A，根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对B，因为1a +1b=log153+log155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；对C，因为a>b>0，根据指数函数y=在R<，故C错误；对D，因为a>b>0，1a +1b=1，a+b=(a+b=2+ba +ab≥2+=4，当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是log25.【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=<23―2==19<1，log25>log24=2，∴log25>213>3―2，即三个数中最大的数是log25.故答案为：log25.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为a<b<c（按从小到大顺序）【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2―1.1<2―1=12，b=log1413=log43>log42=12，且b=log1413=log43<1，c=log23>log22=1，故a<b<c，故答案为：a <b <c .14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a =b =，c =a ，b ，c 的大小关系为c <a <b ．【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a ∈(0,1)，b >1，c =―12，从而得到大小关系.【解答过程】因为y =在(0,+∞)上单调递减，1>>故a =<=1且a =>=0，所以a ∈(0,1)，因为y =在R 上单调递减，<0，所以b =>=1，c ==lne―12=―12，故c <a <b .故答案为：c <a <b .四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x =lnπ，y =log 52，z =e ―12．(1)比较x ，y 的大小；(2)比较y ，z 的大小．【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y 和中间值1比较大小，即可判断；（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z 和中间值12比较大小，即可判断.【解答过程】（1）因为π>e ，所以lnπ>lne =1，即x =lnπ∈(1,+∞)因为1<2<5，所以0=log 51<log 52<log 55=1，即log 52∈(0,1)，所以x >y ；（2）y =log 52<log =12，且log 52>0，所以log 52∈0,z =e ―12=>=12，所以e ―12∈+∞，所以y <z .16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；（2）已知a >2，比较log (a―1)a 与log a (a +1)大小【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以a a b bb a a b=，所以①当a=b>0时，a a b bb a a b==1，所以a a b b=b a a b，②当a>b>0时，ab>1,a―b>0，>1，所以a a b b>b a a b，③当b>a>0时，0<ab<1,a―b<0，>1，所以a a b b>b a a b，综上所述：当a>0,b>0，a a b b≥b a a b.（2）log(a―1)a―log a(a+1)=lg alg(a―1)―lg(a+1)lg a=lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)，因为a>2，所以lg(a+1)>0,lg(a―1)>0,lg a>0，所以lg a lg(a―1)>0，由lg(a+1)lg(a―1)<=<=lg2a，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)>0，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)>0，即log(a―1)a―log a(a+1)>0，故log(a―1)a>log a(a+1).17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；(2)a=1+log32，b=1+log52，c=1+log72，由换底公式比较log32,log52,log72大小即可.【解答过程】（1）∵1<x<2，∴0=log21<log2x<log22=1，即log2x∈(0,1)，∴c=log2(log2x)<log21=0，a=(log2x)2<(log2x)1=log2x，∴0＜a<log2x，∴b=log2x2=2log2x>log2x>a，∴c＜0＜a＜b，∴c<a<b；（2）∵a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log510=log5(5×2)=1+log52，c=log714=log7(7×2)=1+log72，又∵0<lg3<lg5<lg7，∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，∴log32>log52>log72，∴1+log32>1+log52>1+log72，即a＞b＞c﹒18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x =log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z ―1x =log m 6―log m 3=log m 2=12y .（2）3x <4y <6z证明：因为正实数x ，y ，z ，∴3x >0, 4y >0, 6z >0，∴3x 4y =3log 3m 4log 4m =3lg m lg34lg m lg4=34×lg4lg3=34log 34=log<3，∴log <1，∴3x <4y∴4y 6z =4log 4m 6log 6m =4lg m lg46lg m lg6=23×lg6lg4=23log 46=log<2，∴log <1，∴4y <6z ∴3x <4y <6z ．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5),b =f (log 25),c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log 25,0.25三个数的大小，再利用函数f (x )的单调性即可比较a ，b ，c 的大小.【解答过程】（1）函数f(x)=x 2x 2+1=1―1x 2+1，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2则f(x1)―f(x 2)=1―1x 21+1―1―=1x 22+1―1x 21+1 =22=因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 22+1>0,x 21+1>0，x 1―x 2<0，x 1+x 2>0所以f(x 1)―f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数.（2）因为20.5>20=1，2=log 24<log 25<log 28=3，0<0.25<0.20=1，所以0<0.25<20.5<log 25，由（1）可知函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数，所以f (0.25)<f (20.5)<f (log 25)，即c <a <b .。

----------精讲深剖指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。

体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。

希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

1．【2018年全国卷Ⅲ理12】设，，则A.B.C.D.【答案】B解法二：∵0.2lg 0.3log 0.3lg 5a ==-，2lg 0.3log 0.3lg 2b ==， ∴ 5lg 0.3lglg 0.3lg 0.3lg 0.3(lg 5lg 2)2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+=-==， 310lg 0.3lg lg 0.3lglg 0.3lg 0.3103lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5ab =⋅=-=-， ∵105lglg 32>，lg 0.30lg 2lg 5<，∴0ab a b <+<．故选：B ．【反思回顾】本题为对数的大小比较；解法一从对数式的结构入手，通过换底公式化为同底数的对数，再结合对数运算性质及对数函数的性质，完成比较；解法二将两个对数化为常用对数，再运用对数函数的性质进行比较；体现了函数思想。

1.（人教A 版必修1第57页例7） 比较下列各题中两个数的大小：(1)1.72.5 ,1.73； （2）0.8-0.1 ,0.8-0.2； （3）1.70.3 ,0.93.1；【反思回顾】（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。

（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。