2020最新中考数学专项练习：规律探索类试题

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020某某某某）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020某某某某）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020某某鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020某某某某）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），×2×2=2，∴第1个等腰直角三角形的面积=12∵A2（6，0），=2√2，∴第2个等腰直角三角形的边长为√2×2√2×2√2=4＝22，∴第2个等腰直角三角形的面积=12∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，×4×4=8＝23，∴第3个等腰直角三角形的面积=12…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020某某某某）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y 6.（2020•某某某某）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3x⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2√x，0）B．（0，√2x+1）C．（0，√2x(x−1)）D．（0，2√x）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m=√2−1，∴OB2＝2√2，设A3（a，2√2+n），则有n＝a（2√2+a）＝1，解得a=√3−√2，∴OB3＝2√3，同法可得，OB4＝2√4，∴OB n＝2√x，∴B n（0，2√x）．故选：D．7．（2020某某某某州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020某某仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=−12x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y=−12x上，∴1=−12x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝212x，∴P2020的横坐标为212×2020=21010，故答案为：21010．9.（2020某某某某）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．10.（2020某某某某）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…， ∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020某某某某）如图，△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A n ﹣1B n A n ，都是一边在x 轴上的等边三角形，点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在反比例函数y =√3x（x ＞0）的图象上，点A 1，A 2，A 3，…，A n ，都在x 轴上，则A n 的坐标为 （2√x ，0） ．【解答】解：如图，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，过点B 2作B 2D ⊥x 轴于点D ，过点B 3作B 3E ⊥x 轴于点E ，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），把B1（t，√3t）代入y=√3x∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），得（2√2+n）•√3n=√3，把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√x，0），故答案为：(2√x，0)．12.（2020某某湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3．上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°x【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，=60°；∠NOC=(3−2)×180°3=90°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD=(4−2)×180°4=108°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE=(5−2)×180°5…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°x故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°．x13．（2020某某某某）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020某某某某）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）A ．1100B ．120C ．1101D ．2101【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是1005050=2101， 故选：D ．15．（2020某某威海）如图①，某广场地面是用A ，B ，C 三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A 型）地砖记作（1，1），第二块（B 型）地砖记作（2，1）…若（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，则正整数m ，n 须满足的条件是m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数 ．【解答】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，正整数m ，n 须满足的条件为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数． 故答案为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数．16．（2020某某潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：xx 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；x 1x 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；x 1x 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；x 1x 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯xx 1̂，x 1x 1̂，x 1x 1̂，x 1x 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则x 2020x 2020̂的长是 4039π．【解答】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n ﹣1＝AA n ＝4（n ﹣1）+1，BA n ＝BB n ＝4（n ﹣1）+2，故x 2020x 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，x 2020x 2020̂的弧长=90180×8078x =4039x ．故答案为：4039π．17．（2020某某达州）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx +k +1与直线12：y ＝（k +1）x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 （﹣1，1） ；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝14，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为50101．【解答】解：∵直线11：y ＝kx +k +1＝k （x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y ＝（k +1）x +k +2＝k （x +1）+（x +1）+1＝（k +1）（x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）．∴无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y ＝kx +k +1与x 轴的交点为（−x +1x，0）， 直线12：y ＝（k +1）x +k +2与x 轴的交点为（−x +2x +1，0）， ∴S K =12×|−x +1x +x +2x +1|×1=12x (x +1)， ∴S 1=12×11×2=14；∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101] =12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）] =12×（1−1101）=12×100101=50101．故答案为（﹣1，1）；14；50101．18．（2020某某某某）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a 1，第2幅图中“▱”的个数为a 2，第3幅图中“▱”的个数为a 3，…，以此类推，若2x 1+2x 2+2x 3+⋯+2x x=x2020．（n 为正整数），则n 的值为 4039 ．【解答】解：由图形知a 1＝1×2，a 2＝2×3，a 3＝3×4， ∴a n ＝n （n +1），∵2x 1+2x 2+2x 3+⋯+2x x=x2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2x (x +1)=x2020， ∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1x −1x +1）=x 2020， ∴2×（1−1x +1）=x2020， 1−1x +1=x4040， 解得n ＝4039，经检验：n ＝4039是分式方程的解， 故答案为：4039．19．（2020某某某某）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =xx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝ 4√3，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．【解答】解：设直线y =−√3x +b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ． ∵y =−√3x +b ，∴当y ＝0时，x =√33b ，即点D 的坐标为（√33b ，0）， 当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =−√33b ．∵在Rt △AOD 中，tan ∠ADO =xxxx=√3，∴∠ADO ＝60°．∵直线y =−√3x +b 与双曲线y =x x在第三象限交于B 、C 两点，∴−√3x +b =xx ，整理得，−√3x 2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=√33k ，即EB •FC =√33k ，∵xxxx =cos60°=12， ∴AB ＝2EB ，同理可得：AC＝2FC，k＝16，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．。

（2020•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=﹣．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故a n=﹣．解答：解：通过分析数据可知第n个等式为：a n=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．（2020，娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.（2020•益阳）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是21 ．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …考点：规律型：数字的变化类．分析：根据第一行第3个数是前两个数值之和，进而得出答案．解答：解：根据题意可得出：a=13+5=21．故答案为：21．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．（2020，永州）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 .（请填入方块上的字母）3()图甲A B C D GE F2341322422221111111133()图乙00（2020•荆州）观察下面的单项式：a ，﹣2a 2，4a 3，﹣8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ﹣128a 8．考点： 规律型：数字的变化类． 专题：规律型． 分析： 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号，而a 的系数为2（n ﹣1），a 的指数为n ．解答：解：第八项为﹣27a 8=﹣128a 8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．（2020•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2020BC 和∠A 2020CD 的平分线交于点A 2020，则∠A 2020= 度。

中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。

已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)． 真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

2020年中考数学压轴题之规律探究专项练习☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如图所示，在平面直角坐标系中，()A 00，，()B 20，，1AP B V 是等腰直角三角形且1P 90∠=o ，把1AP BV 绕点B 顺时针旋转180o ，得到2BP C V ，把2BP C V 绕点C 顺时针旋转180o ，得到3CP D V ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 2020的坐标为（ ）A ．(4039，-1)B ．(4039，1)C ．(2020，-1)D ．(2020，1)2．山西面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根.其中，“拉面”远播世界各地.制作方法如图所示，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n 次后可拉出细面条（ ）A ．2n 根B ．12n +根C ．12n -根D ．112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭根3．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A．(5，44) B．(4，44) C．(4，45) D．(5，45)4．下列图形是由大小、形状相同的“●”和线段按照一定规律组成的，其中第1幅图形有3个“●”，第2幅图形中有8个“●”，第3幅图形中有15个“●”，……，则第7幅图形中的“●”个数为（）A．99 B．63 C．80 D．485．已知，顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连接新的矩形各边的中点得到一个新的菱形，如图3；……如此反复操作下去，则第2018个图形中直角三角形的个数有（）A．2018个B．2017个C．4028个D．4036个6．下列图形都是由同样大小的“d”按一定的规律组成的，其中第1个图形中一共有5个“d”，第2个图形中一共有12个“d”，第3个图形中一共有21个“d”，L L，则第7个图形中“d”的个数是（）A．60B．66C．77D．967．已知：如图，等边三角形OAB的边长为边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60, 则第2020次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（）A ．()B ．()0,1-C ．()1-D ．()0,2-8．观察下列有规律的算式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，13+23+33+43+53=225，…，探究并运用其规律计算：113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的结果可表示为（ ） A ．265155⨯B ．275145⨯C ．285145⨯D ．255165⨯9．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,A A A ⋅⋅⋅都在x 轴上，点123,,,B B B ⋅⋅⋅在直线y x =上，11112212223323,,,,,OA B B A A B B A B A A B B A ⋯△△△△△，都是等腰直角三角形，如果11OA =，则点2019B 坐标是( )A ．()201020192,2B ．()201820182,2C ．()201720172,2D ．()201620162,2☆填空题10．如图，下列正多边形都满足BA 1=CB 1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB 1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB 1=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB 1=108°，依此类推在正八边形中，AOB 1=____°，在正n (n ≥3)边形中，∠AOB 1=____°．11．点P(x ，y)经过某种变换后到点P '(-y+1，x+2)，我们把点P '(-y+1，x+2)叫做点P(x ，y)的终结点，已知点1P 的终结点为2P ，点2P 的终结点为3P ，点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1P 、2P 、3P 、4P …n P 若点1P 的坐标为(2，0)，则点2020P 的坐标为_______12．如图，点(0,1)A ，点(B ，作1OA AB ⊥，垂足为1A ，以OA 1为边做Rt △A 1OB 1，使1190A OB ∠=︒，130B ∠=︒；作211OA A B ⊥，垂足为A 2，再以OA 2为边作Rt △A 2OB 2，使2290A OB ∠=︒，230B ∠=︒，以同样的作法可得到Rt △A n OB n ，则当n=2020时，点A 2020的纵坐标为__________．13．观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a +b 的值为____．14．如图，过点A 1（1，0）作x 轴的垂线，交直线y ＝2x 于点B 1；点A 2与点O 关于直线A 1B 1对称；过点A 2（2，0）作x 轴的垂线，交直线y ＝2x 于点B 2；点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称；过点A 3（4，0）作x 轴的垂线，交直线y ＝2x 于点B 3；…，按此规律作下去，则点B 10的坐标为__．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+1与x 、y 轴分别交于点A 、B ，在直线 AB 上截取BB 1=AB ，过点B 1分别作y 轴的垂线，垂足为点C 1，得到⊿BB 1C 1；在直线 AB 上截取B 1B 2= BB 1，过点B 2分别作y 轴的垂线，垂足为点C 2，得到⊿BB 2C 2；在直线AB 上截取B 2B 3= B 1B 2，过点B 3作y 轴的垂线，垂足为点C3，得到⊿BB3C3；……；第3个⊿BB3C3的面积是___________；第n个⊿BB n C n的面积是______________（用含n的式子表示，n是正整数）．16．有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数(以下称为原数)；第二步，再写一个新的三位数．它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的．最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”．请你以2019为例尝试一下，“黑洞数”是____．☆解答题17．观察下列等式：第一个等式：111122+-=第二个等式：1111 34122 +-=第三个等式：1111 56303 +-=第四个等式：1111 78564 +-=按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第五个等式____________；（2）写出你猜想的第n个等式____________（用含n的等式表示），并证明．18．如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．尝试：第3次画线后，分割成 个互不重叠的正方形； 第4次画线后，分割成 个互不重叠的正方形．发现：第n 次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由． 19．[观察发现]当()()21111x x x x ≠+-=-,()()33111x x x x -++=- ()()234111x x x x x -+++=-（探究归纳）（1）()()211...nx x x x-++++= ．（应用拓展）（2）计算下列式子的值: ①()()234512122222-+++++= ；②2342222...2n +++++= ；③()99989721..1().x x x x x x -++++++= ．（3）求：2019201820172222...221++++++式子的值的个位数是多少．20．你能化简()9998972(1)1a a a a a a -++++++…吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：(1)(1)a a -+= ；()2(1)1a a a -++= ；()32(1)1a a a a -+++= ；由此猜想()9998972(1)1a a a aa a -++++++=… ；…（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：求19919819719622222221+++++++…的值．21．现规定：求若千个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如()()()()222,3333÷÷-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()3-④，读作“()3-的圈4次方”，一般地，把(2)n n ≥个a (0)a ≠相除记作a π，读作“a 的圈n 次方”．初步探究：（1）直接写出结果：2=③ ．12⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤．（2）下列关于除方的说法中，错误的是 A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数()2,1n n ≥的圈n 次方等于1C ．34=④③D ．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试，把下列除方运算直接写成幂的形式()3-=⑤．15⎛⎫= ⎪⎝⎭⑧．（4）想一想，请把有理数(0)a a ≠的圈(3)n n ≥次方写成幂的形式．参考答案1．A2．A3．B4．B5．D6．C7．D8．A9．B 10．135 (2)180n n- 11．(-2，-1) 12．202020212-．13．139． 14．（29，210）15．92， 22n16．123 17．（1）1111910905+-=；（2）11112122(21)n n n n n +-=--，证明略． 18．尝试：10，13；发现：(3n ＋1)，6061；探究：不能．19．（1）11n x +-；（2）①63-，②122n +-，③1001x -；（3）原式的个位数为5． 20．（1）21a -，31a -，41a -，1001a -；（2）2200-121．（1） 1,82-；（2）C ；（3）361,53⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）21(0,3)n a n a -⎛≠⎪⎝⎭≥⎫。

中考数学规律探索专题复习试题含解析Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020规律探索一、选择题1. 如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为 4n ﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3； 第②是5个三角形，5=4×2﹣3； 第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n ﹣3； 故答案为：4n ﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）. 过点A 1作x 轴的垂线交直线l于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l ：y=－34x 的解析式求出A 1B 1的长，再根据勾股定理，求出OB 1的长，从而得出A 2的坐标；再把A 2的横坐标代入y=－34x 的解析式求出A 2B 2的长，再根据勾股定理，求出OB 2的长，从而得出A 3的坐标；…，由此得出一般规律． 【解答】解：∵点A 1坐标为（－3，0），知O A 1=3，把x=－3代入直线y=－34x 中，得y=4，即A 1B 1=4. 根据勾股定理，OB 1=B A OA 11122+=4322+=5，∴A 2坐标为（－5，0），O A 2=5；把x=－5代入直线y=－34x 中，得y=320，即A 2B 2=320.根据勾股定理，OB 2=B A OA 22222+=)(532022+=325=3512， ∴A 3坐标为（－3512，0），O A 3=3512；把x=－3512代入直线y=－34x 中，得y=9100，即A 3B 3=9100.根据勾股定理，OB 3=B A OA 33322+=)()(910032522+=9125=3523， ∴A 4坐标为（－3523，0），O A 4=3523；……同理可得A n 坐标为（－3521--n n ，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐标为（－3520142015，0） 故答案为：（ 3520142015，0）【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键.解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

规律探索一.选择题1. 2020年青海省观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；②2243891⨯-=-=-；③235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n 个算式为________．【答案】 (1). 246524251⨯-=-=- (2). ()()2211n n n ⨯+-+=-【解析】 【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】（1）2132341⨯-=-=-， ②2243891⨯-=-=-， ③235415161⨯-=-=-， ④246524251⨯-=-=-； 故答案为246524251⨯-=-=-． （2）第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-．【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．2. 12．（2020山东省德州市4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A．148 B．152 C．174 D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．【点评】考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．3. （2020•四川省达州市•3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）A．12（m﹣1）B．4m+8（m﹣2）C．12（m﹣2）+8 D．12m﹣16【分析】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则有12m个小球，而每个顶点处的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12m﹣8×2＝12m﹣16，再将各选项化简即可．解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m﹣8×2＝12m﹣16．而12（m﹣1）＝12m﹣12≠12m﹣16，4m+8（m﹣2）＝12m﹣16，12（m﹣2）+8＝12m ﹣16，所以A选项表达错误，符合题意；B.C.D选项表达正确，不符合题意；故选：A．4. （2020•山东聊城市•3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150 B．200 C．355 D．505【分析】由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地砖的块数．【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．【点评】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．5. （2020•山东济宁市•3分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示)，每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体，第(2)个图案中有3个正方体，第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A.1100B.120C.1101D.2101【答案】D 【解析】【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【详解】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=，故选：D．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．二.填空题1.（2020•辽宁省营口市•3分）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为（1+）2019．【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝，∵A1B1∥A2B2，∴＝，∴＝，∴A2B2＝（1+），同法可得，A3B3＝（1+）2，…由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，故答案为（1+）2019．2.（2020•辽宁省本溪市•3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EF n B的面积为．（用含正整数n的式子表示）【分析】先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EF n﹣1F n的面积，以及△BCF n的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，∵点F2是CF1的中点，∴△EF1F2的面积等于，同理可得△EF n﹣1F n的面积为，∵△BCF n的面积为2×÷2＝，∴△EF n B的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．【点评】考查了矩形的性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积，本题难点是得到EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EF n﹣1F n的面积．3. (2020•山东省泰安市•4分)如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝(1+2+…+n)＝n(n+1)，依此求出a4，a200，再相加即可求解．【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝(1+2+…+n)＝n(n+1)，则a4+a200＝×4×(4+1)+×200×(200+1)＝20110．故答案为：20110．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．4.(2020•山东省潍坊市•3分)如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是．【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到AD n－1＝AA n＝4(n－1)+1，BA n＝BB n＝4(n－1)+2，再计算弧长．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，…，AD n－1＝AA n＝4(n－1)+1，BA n＝BB n＝4(n－1)+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4(2020－1)+2＝8078，的弧长＝．故答案为4039π．【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．5. （2020•四川省内江市•6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．。

2020年中考数学真题分项汇编(全国通用)专题27规律探究题【共40道】一．选择题(共14小题)1．(2020•天水)观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是() A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣22．(2020•牡丹江)一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是()A．37B．41C．55D．713．(2020•娄底)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为()A．135B．153C．170D．1894．(2020•云南)按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是() A．(﹣2)n﹣1a B．(﹣2)n a C．2n﹣1a D．2n a5．(2020•德州)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A．148B．152C．174D．2026．(2020•聊城)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是()A．150B．200C．355D．5057．(2020•重庆)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A．10B．15C．18D．218．(2020•重庆)下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为()A．18B．19C．20D．219．(2020•常德)如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F10．(2020•玉林)观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于()A．499B．500C．501D．100211．(2020•烟台)如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为()A ．(√2)nB ．(√2)n ﹣1C ．(√22)nD ．(√22)n ﹣112．(2020•荆门)在平面直角坐标系xOy 中，Rt △AOB 的直角顶点B 在y 轴上，点A 的坐标为(1，√3)，将Rt △AOB 沿直线y ＝﹣x 翻折，得到Rt △A 'OB '，过A '作A 'C 垂直于OA '交y 轴于点C ，则点C 的坐标为( )A ．(0，﹣2√3)B ．(0，﹣3)C ．(0，﹣4)D ．(0，﹣4√3)13．(2020•鄂州)如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y =1x (x ＞0)的图象上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y =1x 交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n (n 为正整数)的坐标是( )A ．(2√n ，0)B ．(0，√2n+1)C ．(0，√2n(n −1))D ．(0，2√n )14．(2020•盐城)把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”(图①)，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为( )A ．1B ．3C ．4D ．6二．填空题(共26小题)15．(2020•通辽)如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第(n +1)个正方形比第n 个正方形多 个小正方形．16．(2020•成都)如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．17．(2020•湘西州)观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，则AN ＝CM ，∠NOC ＝60°； (2)如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，则AN ＝DM ，∠NOD ＝90°； (3)如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，则AN ＝EM ，∠NOE ＝108°； …根据以上规律，在正n 边形A 1A 2A 3A 4…A n 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是A 1A 2，A 2A 3上的点，且A 1M ＝A 2N ，A 1N 与A n M 相交于O ．也会有类似的结论，你的结论是 ．18．(2020•潍坊)如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；A 1B 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1C 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；C 1D 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯DA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则A 2020B 2020̂的长是 ．19．(2020•徐州)如图，∠MON ＝30°，在OM 上截取OA 1=√3．过点A 1作A 1B 1⊥OM ，交ON 于点B 1，以点B 1为圆心，B 1O 为半径画弧，交OM 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥OM ，交ON 于点B 2，以点B 2为圆心，B 2O 为半径画弧，交OM 于点A 3；按此规律，所得线段A 20B 20的长等于 ．20．(2020•营口)如图，∠MON ＝60°，点A 1在射线ON 上，且OA 1＝1，过点A 1作A 1B 1⊥ON 交射线OM 于点B 1，在射线ON 上截取A 1A 2，使得A 1A 2＝A 1B 1；过点A 2作A 2B 2⊥ON 交射线OM 于点B 2，在射线ON 上截取A 2A 3，使得A 2A 3＝A 2B 2；…；按照此规律进行下去，则A 2020B 2020长为 ．21．(2020•辽阳)如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EF n B 的面积为．(用含正整数n的式子表示)22．(2020•温州)点P，Q，R在反比例函数y=kx(常数k＞0，x＞0)图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为．23．(2020•自贡)如图，直线y=−√3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝，前25个等边三角形的周长之和为．24．(2020•齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4(10，4√2)，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12√2，0)，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．25．(2020•怀化)如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x(x＞0)的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为．26．(2020•内江)如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣2，0)，直线l：y=√33x+√33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．27．(2020•河北)如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m(m为1～8的整数)．函数y=kx(x＜0)的图象为曲线L．(1)若L过点T1，则k＝；(2)若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m＝；(3)若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．28．(2020•威海)如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块(A型)地砖记作(1，1)，第二块(B型)地砖记作(2，1)…若(m，n)位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是．29．(2020•孝感)有一列数，按一定的规律排列成13，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．30．(2020•黔西南州)如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．31．(2020•铜仁市)观察下列等式： 2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； 2+22+23+24+25＝26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ (结果用含m 的代数式表示)．32．(2020•遂宁)如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a 1，第2幅图中“▱”的个数为a 2，第3幅图中“▱”的个数为a 3，…，以此类推，若2a 1+2a 2+2a 3+⋯+2a n=n 2020．(n 为正整数)，则n 的值为 ．33．(2020•滨州)观察下列各式：a 1=23，a 2=35，a 3=107，a 4=159，a 5=2611，…，根据其中的规律可得a n ＝ (用含n 的式子表示)．34．(2020•绥化)如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 ．35．(2020•泰安)如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．36．(2020•咸宁)按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是．37．(2020•张家界)观察下面的变化规律：21×3=1−13，23×5=13−15，25×7=15−17，27×9=17−19，…根据上面的规律计算：21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=．38．(2020•宜宾)定义：分数nm(m，n为正整数且互为质数)的连分数1a1+1a2+1a3+⋯(其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1)，记作nm△¯1a1+1a2+1a3+⋯，例如：719=1197=12+57=12+175=12+11+25=12+11+152=12+11+12+12，719的连分数为12+11+12+12，记作719△¯12+11+12+12，则△¯11+12+13．39．(2020•青海)观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．请按以上规律写出第4个算式．用含有字母的式子表示第n个算式为．40．(2020•山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形(用含n的代数式表示)．。